Calcolatrice del coseno

cos θ = adiacente ÷ ipotenusa cos θ = l'ascissa del punto su cui θ si ferma

θ

L'angolo, in gradi o radianti. Può essere negativo e può superare un giro intero: conta solo dove si ferma sulla circonferenza

adiacente

Il cateto adiacente all'angolo θ, in un triangolo rettangolo costruito attorno a lui: quello che non è opposto a θ e non è l'ipotenusa

ipotenusa

Il lato più lungo, opposto all'angolo retto. È sempre lungo almeno quanto il cateto adiacente, ed è per questo che il rapporto non sale mai sopra uno

Rivolgiti a questa pagina quando vuoi un numero solo invece di tre: il coseno di un angolo di fase che stai per scomporre in componenti, la frazione di una forza che agisce lungo una superficie, l'ascissa di un punto che stai ruotando. La tabella dei valori del coseno qui sotto copre dodici angoli, quattro per giro, ed è il modo più veloce per vedere l'intera forma della funzione: parte da uno, scende a zero ad angolo retto, arriva a meno uno a mezzo giro e torna indietro. Se ti servono anche il seno e la tangente dello stesso angolo, la pagina della trigonometria li stampa tutti e tre insieme e i numeri coincidono fino all'ultimo decimale. E il calcolo del coseno in radianti funziona esattamente come quello in gradi: cambia solo l'unità che scegli accanto al campo. Se invece hai un coseno e vuoi tornare all'angolo, sappi che un coseno di 0,5 appartiene a più di un angolo, quindi quella è una domanda diversa, con un insieme di risposte invece di una sola, e la risolve la pagina dell'arcocoseno

1. Un angolo di sessanta gradi

   1. Ruota di sessanta gradi in senso antiorario dal semiasse orizzontale positivo
   2. Il punto su cui arrivi è (1/2, √3/2)
   3. L'ascissa è il coseno, quindi il coseno è 1/2 e il √3/2 appartiene al seno

   L'angolo con cui la pagina si apre, e quello da confrontare con la pagina della trigonometria: là lo stesso angolo dà coseno 0,5 e seno 0,866, e 0,5 è esattamente quello che ottieni qui. La coppia è il promemoria più chiaro del fatto che il coseno di sessanta e il seno di trenta sono lo stesso numero, perché sessanta e trenta sono i due angoli acuti di uno stesso triangolo rettangolo.

2. Un angolo di zero gradi, il valore più grande che un coseno raggiunge

   1. Zero gradi è nessuna rotazione: il punto è ancora sul semiasse orizzontale positivo
   2. Le sue coordinate sono (1, 0)
   3. L'ascissa è 1, quindi il coseno è 1

   Uno è il tetto. Il coseno non può superarlo per nessun angolo, perché è l'ascissa di un punto che dista una unità dall'origine, e nessun punto del genere sta più a destra di uno. Raggiunge quel valore a zero gradi e di nuovo a ogni giro intero successivo, trecentosessanta, settecentoventi, e in nessun punto intermedio.

3. Un angolo del secondo quadrante, centoventi gradi

   1. Centoventi gradi sono un terzo di giro, quindi il punto cade nel secondo quadrante
   2. La sua ascissa adesso è a sinistra dell'origine, quindi è negativa
   3. La grandezza della lettura è la stessa che a sessanta gradi, e il segno si è ribaltato

   Oltre l'angolo retto il punto attraversa l'asse verticale e finisce a sinistra, e il coseno diventa negativo, dove resta fino a duecentosettanta gradi. Questa è la cosa più utile che il segno di un coseno ti dice: un coseno negativo significa che la direzione che stai descrivendo punta all'indietro, qualunque cosa stia facendo il seno.

4. Un angolo negativo, meno sessanta gradi

   1. Un angolo negativo gira in senso orario invece che antiorario
   2. Il punto atterra sotto l'asse orizzontale, in (1/2, −√3/2)
   3. La sua ascissa è lo stesso 1/2, quindi il coseno non cambia

   Il coseno è una funzione pari: dà la stessa risposta per un angolo e per il suo opposto. Il seno e la tangente no, entrambi qui cambiano segno. In una tabella a una sola colonna questo si vede bene, ed è il motivo per cui i dodici angoli qui sotto ne comprendono due che sono l'opposto di quelli che stanno loro di fronte.

Due cose da tenere presenti. Le letture sono date a quattro decimali, e per la maggior parte degli angoli in tabella il valore esatto è una radice o una frazione che nessun decimale esaurisce: il coseno di trenta gradi è radice di tre mezzi, e 0,866 è dove quella quantità finisce dopo l'arrotondamento, non la quantità stessa. Gli angoli in cui il valore è esatto, cioè zero, sessanta, novanta, centoventi e centottanta gradi, sono quelli in cui la lettura sembra pulita, e quella è una proprietà di quegli angoli e non della calcolatrice. Secondo, questa pagina non va nella direzione opposta. Un coseno di 0,5 appartiene a sessanta gradi, a trecento gradi e a infiniti altri angoli oltre a quelli, perché la funzione si ripete a ogni giro completo e si rispecchia rispetto allo zero; risalire da un coseno a un angolo solo richiede una decisione in più su quale intervallo vuoi, e quel lavoro tocca alla pagina dell'arcocoseno.

Esiste un angolo di cui il coseno non esiste?

No. Il coseno è definito per ogni angolo, compresi quelli in cui la tangente non ha valore: a novanta gradi il coseno è zero e a duecentosettanta gradi è di nuovo zero, due numeri del tutto ordinari. È questa la differenza fra le due funzioni in una frase: la tangente è un rapporto che può finire diviso per zero, il coseno mai. Perciò questa pagina non rifiuta nessuna lettura.

Perché il coseno di sessanta gradi è uguale al seno di trenta gradi?

Perché sessanta e trenta sono i due angoli acuti di uno stesso triangolo rettangolo. In quel triangolo il cateto adiacente all'angolo di sessanta gradi è il cateto opposto all'angolo di trenta, quindi il rapporto che dà il coseno dell'uno è il rapporto che dà il seno dell'altro. La tabella qui sotto mostra la stessa cosa dal lato della circonferenza: la colonna del coseno e quella del seno contengono gli stessi numeri, spostati di un quarto di giro.

Che cosa significa un coseno negativo?

Che la direzione che stai descrivendo punta a sinistra dell'asse verticale, cioè a più di un quarto di giro dal punto di partenza e a meno di tre quarti. Non è un errore e non è un valore più piccolo: meno un mezzo è maggiore di meno uno, e il coseno raggiunge il suo valore più piccolo a mezzo giro. Fra novanta e duecentosettanta gradi ogni coseno è negativo, e fuori da quell'intervallo ogni coseno è positivo.

Posso inserire l'angolo in radianti?

Sì, accanto al campo c'è un selettore di unità e l'angolo viene letto allo stesso modo in un caso e nell'altro. Sessanta gradi e 1,0472 radianti danno lo stesso coseno, un mezzo. L'unica cosa a cui fare attenzione è quale unità dà per scontata la fonte con cui ti stai confrontando, visto che per impostazione predefinita quasi tutte intendono i gradi.

Perché il coseno di novanta gradi risulta zero mentre il seno dello stesso angolo è esattamente uno?

Perché ad angolo retto il punto sta sull'asse verticale: la sua ascissa è zero e la sua ordinata è uno. Il coseno è l'ascissa, quindi è zero, e il seno è l'ordinata, quindi è uno. Entrambi sono esatti, e la coppia è l'illustrazione più chiara di che cosa siano le due funzioni: il coseno misura quanto il punto sta a destra, e a quell'angolo non sta a destra per niente.

Perché questa pagina dà un numero solo dove la pagina della trigonometria ne dà tre?

Perché è quello il compito delle due. La pagina della trigonometria esiste perché i tre rapporti si possano confrontare fra loro, e la sua tabella ha una colonna per ciascuno. Questa pagina esiste per chi vuole il coseno e nient'altro, e la sua colonna unica è quello che rende visibile la forma della funzione: uno a zero, zero ad angolo retto, meno uno a mezzo giro, di nuovo zero a tre quarti, e ritorno a uno. Le due pagine concordano fino all'ultimo decimale per ogni angolo, quindi la scelta riguarda la presentazione e non l'aritmetica.

• Coseno — la funzione che la circonferenza goniometrica legge come ascissa, la sua simmetria pari e i valori negli angoli notevoli — Treccani, Enciclopedia della Matematica (Italia)
• Trigonometria — le funzioni trigonometriche, i valori notevoli e le relazioni fondamentali fra seno, coseno e tangente — Treccani, Enciclopedia della Matematica (Italia)
• Cosine — the function the unit circle reads off as the x-coordinate, its even symmetry, and the values it takes at the special angles — Wolfram MathWorld (United States)
• Unit Circle — the circle of radius one, and why the coordinates of a point on it are the cosine and the sine — Wolfram MathWorld (United States)