Calcolatrice dell'arcocoseno

θ = arccos x x ∈ [−1, 1] θ ∈ [0°, 180°] l'altra soluzione in [0°, 360°) è 360° − θ

x

Il valore di coseno da cui parti, fra meno uno e uno. Fuori da quella fascia nessun angolo lo possiede, e la pagina rifiuta il valore invece di approssimarlo

θ

L'angolo che la funzione restituisce. A differenza dell'arcoseno non è mai negativo, perché l'intervallo copre la metà superiore del cerchio invece della metà destra

360° − θ

Il secondo angolo del cerchio con lo stesso coseno. Gli angoli speculari rispetto all'asse orizzontale condividono il coseno, ed è per questo che qui il compagno si trova sottraendo da un giro intero mentre nella pagina dell'arcoseno si sottrae da mezzo giro

Ricorri a questa pagina quando hai il rapporto fra il cateto adiacente e l'ipotenusa e vuoi l'angolo fra i due: l'inclinazione di una scala appoggiata al muro, l'angolo fra due vettori ricavato dal loro prodotto scalare, una direzione recuperata da una rotta che era stata salvata come coseno. È anche la funzione da chiamare quando un problema sui triangoli ti dà tre lati e ti chiede un angolo, dato che la legge dei coseni produce un coseno e nient'altro. Il calcolo dell'arcocoseno in radianti segue le stesse regole di quello in gradi, cambia solo l'unità accanto al campo. Due pagine vicine contano. Se il rapporto che tieni in mano è il cateto opposto diviso l'ipotenusa, quella è la pagina dell'arcoseno, il cui intervallo copre la metà destra del cerchio invece di quella superiore e la cui risposta è firmata; le due concordano nel primo quadrante e si separano ovunque altrove. E se vuoi il coseno di un angolo invece dell'angolo a partire da un coseno, la pagina del coseno gira nel verso opposto.

1. Un valore di coseno di 0,5

   1. Il valore sta dentro la fascia, quindi c'è un angolo da trovare
   2. Sessanta gradi è l'angolo dell'intervallo il cui coseno vale 0,5, quindi la pagina riporta sessanta gradi
   3. In radianti sono sessanta per pi greco diviso centottanta, cioè un terzo di pi greco, ovvero 1,0472

   Il valore con cui la pagina si apre, e quello che mostra come le due pagine inverse si incastrino. L'arcoseno di 0,5 è trenta gradi e l'arcocoseno di 0,5 è sessanta, e trenta più sessanta fa novanta: non è una coincidenza, è l'identità che tiene insieme le due pagine ed è vera per ogni valore della fascia. Lo stesso valore mostra anche da dove viene la seconda soluzione: anche trecento gradi ha un coseno di 0,5, ed è il riflesso di sessanta rispetto all'asse orizzontale, ed è per questo che la terza colonna della tabella legge 300 su quella riga.

2. Un valore di coseno negativo, meno 0,5

   1. Meno 0,5 sta dentro la fascia, quindi la pagina trova un angolo
   2. L'angolo dell'intervallo il cui coseno vale meno 0,5 è centoventi gradi
   3. In radianti sono due terzi di pi greco, cioè 2,0944

   La riga che spiega perché questa pagina non restituisce mai una risposta negativa. Un coseno negativo appartiene a un angolo ottuso, e l'intervallo se la cava superando i novanta gradi invece di scendere sotto lo zero: centoventi gradi, non meno sessanta. La pagina dell'arcoseno affronta lo stesso valore e risponde con la stessa direzione sotto forma di angolo firmato, meno sessanta gradi per meno 0,5. Entrambe sono corrette, le due funzioni si spartiscono semplicemente il cerchio in modo diverso, e l'identità regge lo stesso: l'arcoseno di meno 0,5 è meno trenta, e meno trenta più centoventi fa novanta.

3. Un valore di coseno di 0,25, che non è un angolo notevole

   1. Un quarto non è il coseno di nessun angolo della tabella abituale, quindi la risposta avrà dei decimali
   2. L'angolo il cui coseno vale 0,25 è settantacinque gradi e cinquantadue centesimi
   3. In radianti lo stesso angolo misura 1,3181

   La maggior parte dei valori finisce qui invece che su un angolo notevole, e la riga è anche il posto più chiaro in cui vedere la decrescenza: un quarto è un coseno piccolo, e un coseno piccolo appartiene a un angolo vicino al tetto dell'intervallo invece che al fondo. Confronta la pagina dell'arcoseno, dove un valore piccolo dà un angolo piccolo. Quello scambio non è un incidente delle due definizioni, è lo stesso scambio che si vede nella forma delle due curve, e le tabelle lo rendono visibile in un modo che le formule non hanno.

4. Un valore di coseno di meno 1, al bordo della fascia

   1. Meno uno è il coseno più piccolo che un angolo possa avere, quindi la risposta è il tetto dell'intervallo
   2. Centottanta gradi ha coseno meno uno, e nessun angolo ne ha uno più piccolo
   3. In radianti mezzo giro è pi greco, cioè 3,1416

   Una delle due righe in cui la seconda soluzione non è un secondo angolo. Un coseno di meno uno appartiene a centottanta gradi e a nient'altro del cerchio, perché la curva del coseno si gira nel suo punto più basso e il riflesso di quel punto rispetto all'asse orizzontale è il punto stesso. La tabella lo dice: la seconda e la terza colonna della prima riga leggono entrambe 180. L'altro estremo si comporta allo stesso modo, dove un coseno di uno appartiene soltanto a zero gradi. Fra quelle due righe ogni valore della fascia ha una coppia vera, e la coppia somma a un giro intero.

Tre cose che questa pagina non fa. Primo, un valore fuori dalla fascia che va da meno uno a uno viene rifiutato, perché nessun angolo ha un coseno simile: è lo stesso confine della pagina dell'arcoseno, e per la stessa ragione. Secondo, la risposta è solo il valore principale. Ogni coseno compreso fra meno uno e uno appartiene a due angoli dentro un giro completo e a infiniti altri lungo i giri successivi, e la pagina restituisce quello nella metà superiore del cerchio; la terza colonna della tabella ha l'altro, e qui non è scritto a quanti giri interi di distanza stia un'ulteriore copia. Terzo, i radianti sono stampati con quattro decimali e i gradi con due, quindi un valore che si arrotonda su un angolo notevole viene stampato come quell'angolo: l'arcocoseno di 0,866 esce come trenta gradi, anche se il coseno esatto di trenta gradi è leggermente più piccolo di 0,866.

Perché l'arcocoseno non dà mai un angolo negativo?

Perché l'intervallo è fissato nella metà superiore del cerchio, da zero a centottanta gradi. Un coseno negativo appartiene a un angolo ottuso, e questo intervallo lo riporta come un angolo sopra novanta gradi invece di ripiegarlo sotto lo zero come fa l'arcoseno. Meno 0,5 ha il suo coseno a centoventi gradi e non a meno sessanta, anche se i due angoli indicano la stessa direzione.

In che cosa è diverso dall'arcoseno?

Nell'intervallo, e quindi in quello che succede fuori dal primo quadrante. L'arcoseno restituisce un angolo fra meno novanta e novanta, l'arcocoseno uno fra zero e centottanta. Per ogni valore della fascia le due risposte sommano a novanta gradi, che è il controllo più rapido su entrambe: l'arcocoseno di 0,5 è sessanta e l'arcoseno è trenta. Anche la seconda soluzione si trova in modo diverso, sottraendo da un giro intero qui e da mezzo giro là.

Che cosa succede se il valore è più grande di uno?

La pagina lo rifiuta. Il coseno di un angolo resta fra meno uno e uno qualunque cosa faccia l'angolo, quindi l'insieme di partenza della funzione inversa è esattamente quella fascia e un valore fuori di lì non corrisponde a nessun angolo. È lo stesso confine che ha l'arcoseno, e viene dallo stesso posto: il rapporto fra due lati di un triangolo non può superare uno quando il lato al denominatore è il più lungo dei tre.

Come si fa a trovare l'angolo dal coseno a mano?

Usa i valori che vale la pena ricordare, cioè un coseno di 0,5 per sessanta gradi, 0,7071 per quarantacinque e 0,866 per trenta, e leggi il resto da una tabella o da una calcolatrice. Poi ricorda il secondo angolo, che è il riflesso del primo rispetto all'asse orizzontale e si trova sottraendo da trecentosessanta. Questa è la pagina da chiamare quando un triangolo ti dà tre lati: la legge dei coseni ti consegna un coseno e si ferma lì.

Perché la tabella va all'indietro?

Perché il coseno diminuisce man mano che l'angolo cresce. Lungo l'intervallo che questa pagina copre, da zero a centottanta gradi, il coseno scende da uno a meno uno, quindi un valore di partenza più grande corrisponde sempre a un angolo più piccolo. Leggi la tabella dall'alto verso il basso e la colonna delle risposte va da centottanta fino a zero. La pagina dell'arcoseno si comporta nel verso opposto, e quella differenza è la stessa che si vede nella forma delle due curve.

L'arcocoseno è la stessa cosa di uno diviso per il coseno?

No. L'arcocoseno disfa il coseno: dagli 0,5 e restituisce sessanta gradi. Uno diviso per il coseno dà a 0,5 la risposta due, che è la secante di sessanta gradi, cioè un rapporto e non un angolo. La notazione rende la confusione facile, perché la funzione inversa viene spesso scritta con un meno uno in alto che sembra un esponente e non lo è.

• Inverse Cosine — the function this page computes, with its range and the sense in which it decreases — Wolfram MathWorld (United States)
• Inverse Trigonometric Functions — all three inverse functions together, with the ranges that separate them — Wolfram MathWorld (United States)
• Trigonometric Functions — the definitions of sine, cosine and tangent, and the identity that ties the first two together — Wolfram MathWorld (United States)
• Arcocoseno — la funzione inversa del coseno, l'intervallo fra zero e centottanta gradi e il legame con l'arcoseno — Treccani, Enciclopedia della Matematica (Italia)