Calcolatrice dell'arcotangente

θ = arctan x x ∈ ℝ θ ∈ (−90°, 90°) l'altra soluzione in [0°, 360°) è θ + 180°

x

Il valore di tangente, che può essere un numero reale qualsiasi. Qui non si rifiuta niente, perché la tangente assume ogni valore reale da qualche parte sul cerchio

θ

L'angolo che la funzione restituisce, sempre strettamente compreso fra meno novanta gradi e novanta. Entrambi gli estremi sono esclusi, perché in nessuno dei due la tangente ha un valore

θ + 180°

Il secondo angolo del cerchio con la stessa tangente. La tangente si ripete ogni mezzo giro, quindi il compagno si trova sommando invece che riflettendo rispetto a un asse

Ricorri a questa pagina ogni volta che il rapporto che hai è una pendenza: il dislivello diviso lo spazio percorso, la pendenza in gradi di una strada o di un tetto, la direzione di un vettore nel piano. È anche la funzione inversa da usare quando i due lati che conosci sono quelli che si incontrano nell'angolo retto, dato che la tangente di un angolo è il cateto opposto diviso quello adiacente, ed è l'unica delle tre che non rifiuta mai un valore perché è troppo grande. Il calcolo dell'arcotangente in radianti funziona come quello in gradi, cambia solo l'unità accanto al campo. Due pagine vicine contano. Se il rapporto che tieni è il cateto opposto diviso l'ipotenusa, quella è la pagina dell'arcoseno, il cui intervallo copre la metà destra del cerchio invece della fascia centrale. E se quello che vuoi è la tangente di un angolo invece dell'angolo a partire da una tangente, la pagina della tangente gira nel verso opposto e spiega perché il rapporto esplode in corrispondenza dell'angolo retto.

1. Un valore di tangente di 1

   1. Il valore viene accettato qualunque sia, quindi c'è un angolo da trovare
   2. Quarantacinque gradi è l'angolo dell'intervallo la cui tangente vale 1, quindi la pagina riporta quarantacinque gradi
   3. In radianti è un quarto di pi greco, cioè 0,7854

   Il valore con cui la pagina si apre, e il più piccolo esempio di compagno a mezzo giro. Una tangente di 1 appartiene anche a duecentoventicinque gradi, che è quarantacinque più mezzo giro, ed è quello che la terza colonna della tabella legge su quella riga. Nota quello che il compagno non è: non è il riflesso di quarantacinque rispetto a un asse, come accade nella pagina dell'arcoseno e in quella dell'arcocoseno. La tangente si ripete e basta mezzo giro più tardi, ed è la stessa cosa che dire che il suo periodo è di centottanta gradi invece che di trecentosessanta.

2. Un valore di tangente negativo, meno 1

   1. Il valore viene accettato, ed è negativo, quindi anche la risposta lo sarà
   2. L'angolo dell'intervallo la cui tangente vale meno 1 è meno quarantacinque gradi
   3. I radianti seguono il segno: meno 0,7854

   La convenzione firmata, come nella pagina dell'arcoseno e a differenza di quella dell'arcocoseno. Una pendenza negativa dà un angolo negativo, perché l'intervallo è la fascia da meno novanta a novanta e metà di quella fascia sta sotto lo zero. Il compagno qui è centotrentacinque gradi, che è meno quarantacinque più mezzo giro, ed è anche il riflesso di quarantacinque rispetto all'asse verticale, ma quella coincidenza appartiene a questo valore e non alla pagina, e smette di valere appena il valore non è più esattamente meno uno.

3. Un valore di tangente di 0,5, che non è un angolo notevole

   1. Un mezzo non è la tangente di nessun angolo della tabella abituale, quindi la risposta avrà dei decimali
   2. L'angolo la cui tangente vale 0,5 è ventisei gradi e cinquantasette centesimi
   3. In radianti lo stesso angolo misura 0,4636

   La maggior parte delle pendenze finisce su una riga come questa invece che su un angolo notevole, ed è anche il posto più chiaro in cui vedere la forma della risposta: man mano che il valore cresce l'angolo sale verso novanta e non lo tocca mai, e man mano che il valore scende verso zero l'angolo scende verso zero. La tangente di un angolo piccolo è molto vicina all'angolo stesso misurato in radianti, 0,4636 contro 0,5, ed è la stessa approssimazione per angoli piccoli che compare nella pagina dell'arcoseno, solo più larga di quanto sia là.

4. Un valore di tangente di un milione, al bordo dell'intervallo

   1. Un milione è un valore di partenza del tutto ordinario qui, dato che non si applica nessun limite
   2. L'angolo la cui tangente vale un milione è ottantanove gradi e novantanove centesimi, un soffio sotto novanta
   3. Due cifre decimali non bastano a mostrare la differenza, quindi la pagina stampa novanta gradi

   La riga per cui la pagina esiste, cioè quella che mette in guardia. Novanta gradi non è nell'intervallo e non lo sarà mai, perché lì la tangente non ha alcun valore, ma un valore di partenza così grande arriva abbastanza vicino da far arrotondare la risposta stampata proprio a novanta. La cifra stampata è onesta su quello che è: l'angolo è di novanta gradi alla precisione mostrata. Sarebbe sbagliato leggerla come un valore esatto, e sarebbe peggio ancora concludere che la tangente di novanta gradi vale un milione invece di non esistere. Spingi il valore a cento milioni e l'angolo vero si avvicina ancora a novanta senza che la lettura cambi.

Tre cose che questa pagina non fa. Primo, gli estremi dell'intervallo non vengono mai restituiti. Novanta gradi e meno novanta sono esclusi, perché la tangente non ha valore in nessuno dei due, quindi la risposta si avvicina senza arrivare; per valori abbastanza grandi da far scendere la differenza sotto i due decimali la pagina stampa comunque l'estremo, e quella lettura è arrotondata e non esatta. Secondo, la risposta è soltanto il valore principale. La tangente si ripete ogni mezzo giro, quindi ogni valore di questa pagina appartiene a due angoli dentro un giro completo e a infiniti altri lungo i giri successivi, e la pagina restituisce quello strettamente compreso fra meno novanta e novanta; la terza colonna della tabella ha il compagno, che sta a mezzo giro di distanza. Terzo, i radianti sono stampati con quattro decimali e i gradi con due, quindi un valore che dopo l'arrotondamento cade vicino a un angolo notevole viene stampato come quell'angolo: l'arcotangente di 1,7321 esce come sessanta gradi, anche se la tangente esatta di sessanta gradi è leggermente più grande.

Perché qui ogni valore è ammesso mentre le altre due pagine rifiutano quelli sopra uno?

Perché la tangente non ha un limite superiore. L'arcoseno e l'arcocoseno prendono il rapporto fra due lati con il lato più lungo al denominatore, quindi il loro valore di partenza non può superare uno; la tangente è il cateto opposto diviso quello adiacente, e nessuno dei due è il lato più lungo, quindi il rapporto può essere grande quanto è ripido il triangolo. Una tangente di un milione è la pendenza di un muro un milione di volte più alto che largo.

Perché un valore molto grande dà esattamente novanta gradi?

A rigore non li dà: dà un angolo appena sotto novanta che si arrotonda a novanta. Novanta gradi non è nell'intervallo, perché lì la tangente non ha valore, dato che il rapporto dividerebbe per zero. Man mano che il valore cresce la risposta sale verso novanta e non arriva mai, quindi per tutto quello che supera all'incirca diecimila la cifra stampata è novanta gradi con le due cifre decimali mostrate. La lettura è corretta a quella precisione e sbagliata se la tratti come esatta.

Perché il secondo angolo sta a mezzo giro invece di essere un riflesso?

Perché la tangente si ripete ogni centottanta gradi invece che ogni trecentosessanta. Sommare mezzo giro a un angolo fa cambiare segno sia al cateto opposto sia a quello adiacente, quindi il loro rapporto resta quello di prima. Le pagine dell'arcoseno e dell'arcocoseno trovano la seconda soluzione riflettendo rispetto a un asse, perché seno e coseno sono condivisi dalle immagini speculari; la tangente non lo è, quindi il suo compagno viene da una somma e non da una sottrazione.

Come si fa a trovare l'angolo dalla tangente a mano?

Ricorda che una tangente di 1 è quarantacinque gradi e che una tangente di 1,7321 è sessanta, ricava il resto da una tabella o da una calcolatrice, e poi somma centottanta gradi se ti serve l'altro angolo del cerchio. Questa è la funzione inversa da usare per una pendenza, cioè il dislivello diviso lo spazio percorso, e anche quella da usare quando i due lati che conosci sono i due che si incontrano nell'angolo retto.

Perché la risposta è negativa quando il valore è negativo?

Perché l'intervallo va da meno novanta gradi a novanta e metà di esso sta sotto lo zero. Una tangente negativa significa che il cateto opposto e quello adiacente hanno segni opposti, cioè una pendenza che scende invece di salire, e la pagina la riporta con il segno che il valore di partenza suggerisce. Il compagno, a mezzo giro di distanza, è invece positivo: meno quarantacinque e centotrentacinque sono la stessa pendenza percorsa in direzioni opposte.

L'arcotangente è la stessa cosa di uno diviso per la tangente?

No. L'arcotangente disfa la tangente: dalle 1 e restituisce quarantacinque gradi. Uno diviso per la tangente dà a 1 la risposta 1, che è la cotangente di quarantacinque gradi, cioè un rapporto e non un angolo. Le due coincidono soltanto a quarantacinque gradi, che è esattamente il genere di coincidenza che rende questa confusione così difficile da togliersi di dosso.

• Inverse Tangent — the function this page computes, with the open range and the behaviour at large values — Wolfram MathWorld (United States)
• Inverse Trigonometric Functions — the three inverse functions together, and why only this one accepts every real number — Wolfram MathWorld (United States)
• Tangent — the definition of the ratio, its period of half a turn, and the angles at which it has no value — Wolfram MathWorld (United States)
• Arcotangente — la funzione inversa della tangente, l'intervallo aperto fra meno novanta e novanta gradi e il comportamento per valori grandi — Treccani, Enciclopedia della Matematica (Italia)