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CalcMax

Calcolatrice della cotangente

Intervallo: -1.000.000 ° – 1.000.000 °

Risultato

1,0000

Cotangente

Una calcolatrice della cotangente restituisce la cotangente di un angolo: il reciproco della tangente, che è anche il rapporto tra il cateto adiacente all'angolo e il cateto opposto. Dei sei rapporti che un triangolo rettangolo mette a disposizione, questo è quello che ribalta la tangente: dove la tangente è opposto su adiacente, la cotangente è adiacente su opposto, quindi le due sono una divisa per l'altra in ogni angolo in cui esistono entrambe. Vale la pena tenere a mente questa relazione di reciprocità, perché spiega in un passo tutto quello che questa funzione ha di strano. La tangente si esaurisce all'angolo retto, dove il cateto adiacente si è ridotto a nulla; la cotangente si esaurisce a zero gradi, dove a ridursi è il cateto opposto. Porta l'angolo a novanta gradi e i ruoli si scambiano: la tangente non ha valore e la cotangente è zero. Portalo a zero e la cotangente non ha valore mentre la tangente è zero. Questa pagina rifiuta quindi esattamente gli angoli che la pagina della tangente accetta, e risponde esattamente agli angoli che quella rifiuta. La tabella qui sotto stampa entrambe le colonne perché tu veda succedere questo invece di doverlo credere sulla parola. Altre due cose discendono dalla definizione. La cotangente è una funzione dispari, quindi un angolo negativo dà il negativo del risultato; e si ripete ogni mezzo giro invece che a ogni giro intero, come la tangente, perché ribaltare sia il cateto adiacente sia quello opposto lascia invariato il loro rapporto. Quarantacinque gradi è l'unico angolo in cui la lettura è un numero intero — esattamente uno, dato che i due cateti di quel triangolo sono uguali — e tutto il resto è il reciproco di una radice.

La tangente e la cotangente affiancate su dodici angoli

θ (gradi)tan θcot θ
00—
300.57741.7321
4511
601.73210.5774
90—0
120-1.7321-0.5774
135-1-1
150-0.5774-1.7321
1800—
2100.57741.7321
270—0
330-0.5774-1.7321

Due colonne e dodici angoli, e la ragione per cui vengono stampate entrambe sono i due trattini: stanno nella colonna della tangente a novanta e a duecentosettanta gradi, e in quella della cotangente a zero e a centottanta. Da nessuna parte le due funzioni vengono meno insieme, e questa è la relazione di reciprocità raccontata come figura. Leggi le righe a coppie e compare anche il resto dello schema. A quarantacinque gradi entrambe le colonne contengono uno, che è che cosa significa essere il reciproco di se stessi. A trenta e a sessanta le due colonne contengono la risposta l'una dell'altra, perché la cotangente di un angolo è uguale alla tangente del suo complementare. E dove una colonna è grande l'altra è piccola — a trenta gradi, 0,5774 contro 1,7321 — dato che le due moltiplicate fra loro danno uno.

Formula

cot θ = 1 ÷ tan θ cot θ = adiacente ÷ opposto cot θ = cos θ ÷ sen θ

θ
L'angolo, in gradi o radianti. Può essere negativo e può superare un giro intero: conta solo dove si ferma sulla circonferenza
adiacente / opposto
I due cateti di un triangolo rettangolo con dentro l'angolo θ: il lato accanto a θ e il lato di fronte a θ. La cotangente è il primo diviso il secondo, che è la tangente letta al rovescio
tan θ
La tangente dello stesso angolo. Dividere uno per essa dà la cotangente ovunque la tangente non sia zero: ad angolo retto la tangente non ha valore, e la cotangente lì vale zero

Rivolgiti a questa pagina quando il rapporto che ti serve è quello che mette il cateto adiacente al numeratore: una pendenza espressa come spostamento su dislivello invece che come dislivello su spostamento, una velocità di salita raccontata al contrario, un angolo che conosci in gradi e di cui vuoi il reciproco della tangente. La tabella della cotangente qui sotto dà entrambe le colonne, quindi è anche il modo più rapido per vedere come tangente e cotangente si scambino di posto: una colonna ha un trattino esattamente dove l'altra ha uno zero. Se ti serve la tangente invece del suo reciproco, e insieme il seno e il coseno, la pagina della trigonometria li stampa tutti e tre e i numeri coincidono fino all'ultimo decimale. Il calcolo della cotangente in radianti segue le stesse regole di quello in gradi, cambia solo l'unità che scegli accanto al campo. E se quello che hai è una cotangente e vuoi tornare all'angolo, quella è la direzione inversa: è una domanda diversa, con più di una risposta

Esempi svolti

  1. Un angolo di quarantacinque gradi, l'unica risposta intera

    1. A quarantacinque gradi i due cateti del triangolo rettangolo sono uguali
    2. La cotangente è il cateto adiacente diviso il cateto opposto
    3. Due grandezze uguali divise fra loro danno esattamente uno, quindi la lettura è 1 e non 0,9999

    L'angolo con cui la pagina si apre, e l'unico angolo in cui questa funzione produce un numero intero. Quarantacinque gradi è anche l'angolo in cui la tangente vale uno, e non è un caso: se un numero è il reciproco di se stesso, la funzione e il suo reciproco coincidono lì. Ogni altra lettura di questa pagina è una radice o il reciproco di una radice, ed è per questo che la tabella qui sotto è scritta con quattro decimali.

  2. Un angolo di trenta gradi

    1. La tangente di trenta gradi è radice di tre fratto tre, cioè circa 0,5774
    2. La cotangente è uno diviso quel valore, cioè radice di tre
    3. Arrotondata a quattro decimali, la radice di tre è 1,7321

    La cotangente di trenta gradi è lo stesso numero della tangente di sessanta gradi, e questa è una regola e non una coincidenza: i due angoli acuti di un triangolo rettangolo sommano a novanta gradi, e il lato di fronte a uno è il lato accanto all'altro. Quindi la cotangente di un angolo è sempre la tangente del suo complementare, e la tabella qui sotto mostra la coppia su righe vicine.

  3. Un angolo del secondo quadrante, centotrentacinque gradi

    1. Centotrentacinque gradi sono quarantacinque gradi oltre l'angolo retto
    2. Il punto è nel secondo quadrante, quindi il cateto adiacente è negativo mentre quello opposto è ancora positivo
    3. Un negativo diviso un positivo fa negativo, quindi la cotangente è −1

    Esattamente il negativo della lettura di quarantacinque gradi, e questo è il schema di tutto il secondo quadrante: la grandezza della cotangente non cambia rispetto all'angolo del primo quadrante ripiegato su di esso, si sposta solo il segno. Il valore assoluto torna a uno perché il triangolo ha la stessa forma che a quarantacinque gradi, solo disposto diversamente.

  4. Un angolo di novanta gradi, dove la cotangente è zero

    1. Ad angolo retto il cateto adiacente si è ridotto a zero
    2. La cotangente è il cateto adiacente diviso il cateto opposto, quindi è zero diviso un numero positivo
    3. Zero diviso qualsiasi cosa diversa da zero fa zero, quindi la lettura è 0

    Questo è l'angolo che la pagina della tangente rifiuta, e qui è una lettura di zero del tutto ordinaria. Non si sta trattando un caso speciale: il rapporto ha uno zero al numeratore invece che al denominatore, e dividere zero per un numero è permesso. È l'illustrazione più chiara di che cosa fa la relazione di reciprocità: a questo angolo le due funzioni non si limitano ad avere dimensioni diverse, si scambiano il definito e l'indefinito.

Limiti

Tre limiti che vale la pena dichiarare senza giri di parole. Le letture sono date a quattro decimali e quasi tutte sono irrazionali: la cotangente di trenta gradi è radice di tre, quindi 1,7321 è un troncamento e non la risposta. Quarantacinque gradi è l'unico angolo di questa pagina con un valore esatto e finito, ed è per questo che la tabella sembra irregolare: alcune righe cadono su numeri puliti e le altre no. Secondo, la cotangente non ha valore a zero gradi, a centottanta gradi e in ogni angolo che si riduce a uno dei due, compresi gli angoli negativi e quelli oltre un giro intero; questa pagina li rifiuta tutti, e lo stesso rifiuto vale per qualsiasi angolo che si ottenga aggiungendo un giro intero a quei due. Terzo, la pagina non inverte. Data una cotangente di 1,7321, l'angolo potrebbe essere trenta gradi, duecentodieci gradi, o uno qualsiasi degli infiniti angoli distanti mezzo giro, e scegliere fra queste possibilità richiede una decisione che questa pagina non prende.

Domande frequenti

Perché la cotangente non esiste a zero gradi?
Perché la cotangente è il cateto adiacente diviso il cateto opposto, e a zero gradi il cateto opposto si è ridotto a nulla. Dividi per zero e non c'è risposta. È lo stesso guasto che la tangente ha a novanta gradi, spostato di un quarto di giro: le due funzioni sono reciproche, quindi dove una è zero l'altra non è definita, e gli zeri e i poli si scambiano di posto.
La cotangente è soltanto uno fratto la tangente?
Sì, ed è la descrizione più breve che se ne possa dare. È anche il coseno diviso il seno e il cateto adiacente diviso il cateto opposto, e tutte e tre dicono la stessa cosa. L'unico punto in cui prestare attenzione sono gli angoli in cui la tangente è zero o non è definita: uno fratto zero non è un numero, quindi la cotangente non è definita a zero e a centottanta gradi anche se la tangente lì è definita, ed è zero a novanta e a duecentosettanta gradi dove la tangente non lo è.
Perché la cotangente di novanta gradi è zero?
Perché ad angolo retto il cateto adiacente si è ridotto a nulla mentre il cateto opposto è al suo massimo. Un rapporto con lo zero al numeratore è zero, quindi la lettura è uno zero del tutto ordinario: non si sta trattando nessun caso speciale. È l'angolo che la pagina della trigonometria rifiuta, e il contrasto è il punto: le due funzioni si scambiano quale delle due ha una risposta e quale no.
Che cosa significa una cotangente negativa?
Che i due cateti del triangolo hanno segni opposti, cosa che succede nel secondo e nel quarto quadrante. Oltre l'angolo retto il cateto adiacente punta dall'altra parte mentre quello opposto no, quindi il rapporto diventa negativo e resta così fino a centottanta gradi, torna positivo nel terzo quadrante dove sono negativi entrambi, e diventa di nuovo negativo oltre i duecentosettanta.
La cotangente si ripete, e ogni quanto?
Ogni mezzo giro, cioè il doppio delle volte del seno e del coseno. Aggiungere centottanta gradi a un angolo cambia il segno sia del cateto adiacente sia di quello opposto, e il rapporto di due grandezze cambiate di segno non cambia. Quindi trenta gradi e duecentodieci gradi condividono una cotangente di 1,7321, e la tabella qui sotto mostra la coppia su righe distanti otto posti. Il seno e il coseno, al contrario, hanno bisogno di un giro intero per tornare.
Posso inserire l'angolo in radianti?
Sì: accanto al campo c'è un selettore di unità e la lettura è lo stesso angolo in un modo o nell'altro. Quarantacinque gradi e 0,7854 radianti danno la stessa cotangente, uno. Come sempre, la cosa da controllare è quale unità dà per scontata la fonte con cui ti stai confrontando, perché la maggior parte delle tavole è scritta in gradi.

Riferimenti

Calcolatrici correlate

Calcolatrice della tangenteTangente di un angolo, in gradi o in radianti.Calcolatrice di trigonometriaSeno, coseno e tangente di un angolo, in gradi o radianti.Calcolatrice circonferenza goniometricaSeno, coseno e tangente sulla circonferenza goniometrica.Calcolatrice del cosenoCoseno di un angolo, espresso in gradi o in radianti.Calcolatrice del triangolo rettangoloRisolvi un triangolo rettangolo da due lati o da un angolo.