Calcolatrice della tangente

tan θ = opposto ÷ adiacente tan θ = sen θ ÷ cos θ tan θ = pendenza

θ

L'angolo, in gradi o radianti. Può essere negativo e può superare un giro intero: conta solo dove si ferma sulla circonferenza

opposto / adiacente

I due cateti di un triangolo rettangolo con dentro l'angolo θ: il lato di fronte a θ e quello che gli sta accanto. La tangente è il primo diviso il secondo, e l'ipotenusa non entra affatto nel calcolo

sen θ ÷ cos θ

Lo stesso rapporto scritto con le altre due funzioni. È la forma che spiega i poli: dove il coseno è zero la divisione non ha risposta, e il coseno è zero a novanta e a duecentosettanta gradi

pendenza

Che cosa significa il rapporto sulla circonferenza goniometrica: la pendenza della retta che va dall'origine al punto su cui l'angolo si ferma. Una tangente di uno è una retta a quarantacinque gradi, e più la lettura è grande più la retta è ripida

Usa questa pagina quando la quantità che ti serve è una pendenza e non un'altezza: l'inclinazione di un tetto espressa come dislivello su spostamento, la pendenza di una strada in percentuale, l'angolo a cui va messa una scala o una rampa, la direzione di una retta che passa per due punti. È anche la pagina da aprire quando vuoi sapere quanto è ripido qualcosa con un numero solo invece di due, visto che il seno e il coseno ti dicono ciascuno metà della direzione. Due cose da tenere presenti mentre la leggi. Se l'angolo ha superato i novanta gradi la lettura diventa negativa e continua a crescere in grandezza dall'altra parte, e se stai lavorando su un disegno invece che su coordinate quel segno ti sta dicendo che la retta pende dall'altra parte, non che la ripidità è cambiata. E se l'angolo si avvicina all'angolo retto la lettura cresce senza limite, il che è il modo in cui la pagina ti avverte che la retta è diventata verticale: a novanta gradi esatti non c'è nessuna lettura da dare, perché una retta verticale non ha spostamento orizzontale per cui dividere. Il calcolo della tangente in radianti segue le stesse regole di quello in gradi e cambia solo l'unità che scegli accanto al campo; la tabella dei valori della tangente qui sotto copre dodici angoli, quattro per giro, ed è il modo più rapido per vedere l'intera forma della funzione. Se ti servono anche il seno e il coseno, la pagina della trigonometria li stampa tutti e tre; se ti serve il reciproco di questo numero, quella è un'altra funzione, con i poli nei due angoli opposti

1. Un angolo di quarantacinque gradi, l'unica risposta intera

   1. A quarantacinque gradi i due cateti del triangolo rettangolo sono uguali
   2. La tangente è il cateto opposto diviso il cateto adiacente
   3. Due grandezze uguali divise fra loro danno esattamente uno, quindi la lettura è 1 e non 0,9999

   L'angolo con cui la pagina si apre, e l'unico angolo in cui questa funzione produce un numero intero. Quarantacinque gradi è anche l'angolo la cui retta ha pendenza uno, che è la stessa affermazione nel linguaggio delle pendenze: un'unità in su per un'unità in avanti. Ogni altra lettura di questa pagina è una radice o il reciproco di una radice, ed è per questo che la tabella qui sotto è scritta con quattro decimali.

2. Un angolo di trenta gradi

   1. A trenta gradi il cateto opposto è metà dell'ipotenusa
   2. Il cateto adiacente è l'altro cateto, cioè metà della radice di tre
   3. Un mezzo diviso metà della radice di tre fa uno fratto radice di tre, cioè circa 0,5774

   La tangente di trenta gradi è la cotangente di sessanta gradi, e questa è una regola e non una coincidenza: i due angoli acuti di un triangolo rettangolo sommano a novanta gradi, e il lato di fronte a uno è il lato accanto all'altro. Quindi la tangente di un angolo è sempre la cotangente del suo complementare, e l'affermazione reciproca è l'altra metà dello stesso fatto.

3. Un angolo del secondo quadrante, centotrentacinque gradi

   1. Centotrentacinque gradi sono quarantacinque gradi oltre l'angolo retto
   2. Il punto è nel secondo quadrante, quindi il cateto adiacente è negativo mentre quello opposto è ancora positivo
   3. Un positivo diviso un negativo fa negativo, quindi la tangente è −1

   Esattamente il negativo della lettura di quarantacinque gradi, e questo è il schema di tutto il secondo quadrante: la grandezza della tangente non cambia rispetto all'angolo del primo quadrante ripiegato su di esso, si sposta solo il segno. È anche il caso che la pagina del seno racconta al contrario: a centotrentacinque gradi il seno è ancora positivo e vale 0,7071, perché il punto è sopra l'asse; la tangente è negativa, perché lo spostamento orizzontale è passato a sinistra.

4. Un angolo di duecentodieci gradi, mezzo giro oltre trenta

   1. Duecentodieci gradi sono trenta gradi più un angolo piatto
   2. Aggiungere centottanta gradi cambia il segno sia del cateto opposto sia di quello adiacente, quindi sono negativi entrambi
   3. Un negativo diviso un negativo fa positivo, e le grandezze non cambiano, quindi la lettura resta 0,5774

   La dimostrazione più chiara del periodo di mezzo giro, e il punto in cui questa funzione si separa da seno e coseno: quelle due hanno bisogno di un giro intero per tornare alla stessa lettura, questa ci è già arrivata dopo metà. Il motivo è che a un rapporto non importa niente se le due grandezze che contiene cambiano segno entrambe. La tabella qui sotto mostra la stessa coppia su righe distanti otto posti.

Tre limiti che vale la pena dichiarare senza giri di parole. Le letture sono date a quattro decimali e quasi tutte sono irrazionali: la tangente di trenta gradi è uno fratto radice di tre, quindi 0,5774 è un troncamento e non la risposta, e quarantacinque gradi è l'unica riga di questa pagina con un valore esatto e finito. Secondo, la tangente non ha valore a novanta gradi, a duecentosettanta gradi e in ogni angolo che si riduce a uno dei due, compresi gli angoli negativi e quelli oltre un giro intero: meno novanta e quattrocentocinquanta vengono rifiutati per lo stesso motivo di novanta. Dove una lettura vicina sarebbe enorme, questa pagina dà un messaggio di errore invece di un numero molto grande, perché la successione non converge a niente: i valori crescono senza limite avvicinandosi all'angolo da un lato e sprofondano dal fondo dell'intervallo avvicinandosi dall'altro. Terzo, la pagina non inverte. Data una tangente di uno, l'angolo potrebbe essere quarantacinque gradi, duecentoventicinque gradi, o uno qualsiasi degli infiniti angoli distanti mezzo giro, e scegliere fra queste possibilità richiede una decisione che questa pagina non prende.

Perché la tangente non esiste a novanta gradi?

Perché la tangente è il cateto opposto diviso il cateto adiacente, e ad angolo retto il cateto adiacente si è ridotto a nulla. Dividere per zero non ha risposta, quindi non c'è niente da stampare. Non è che il valore sia enorme: le letture crescono davvero senza limite quando l'angolo si avvicina a novanta, ma a novanta esatto non esiste nessun numero, e i due lati dell'avvicinamento non puntano nemmeno verso lo stesso posto. Duecentosettanta gradi è lo stesso guasto mezzo giro dopo, e viene rifiutato allo stesso modo ogni angolo che si riduce a uno dei due.

La tangente è soltanto il seno diviso il coseno?

Sì, ed è la descrizione più breve che se ne possa dare. È anche il cateto opposto diviso il cateto adiacente e la pendenza della retta che l'angolo disegna, e tutte e tre dicono la stessa cosa. La forma che spiega di più è la divisione: dove il coseno è zero la frazione non ha risposta, e il coseno è zero a novanta e a duecentosettanta gradi, che è esattamente dove la tabella qui sotto ha i suoi due trattini.

Perché la tangente di centotrentacinque gradi è negativa mentre il seno è positivo?

Perché la tangente guarda anche allo spostamento orizzontale, non solo al dislivello. A centotrentacinque gradi il punto è ancora sopra l'asse orizzontale, quindi il seno resta positivo e vale 0,7071, ma è passato a sinistra dell'asse verticale, quindi il cateto adiacente è diventato negativo e la divisione è diventata negativa con lui. Il segno della tangente è in realtà un'affermazione sul fatto che i due cateti vadano nella stessa direzione, non su quanto sia alto il punto: è per questo che diventa negativa un quarto di giro prima del seno.

Che cosa significa una tangente molto grande?

Che la retta è quasi verticale. La lettura è una pendenza, quindi una tangente di dieci significa dieci unità in su per ogni unità in avanti, e cresce senza limite quando l'angolo si avvicina a novanta gradi da sotto. Dall'altra parte di novanta la stessa retta ricompare in fondo all'intervallo e risale verso lo zero, quindi i valori ai due lati del polo non sono affatto vicini fra loro: sono distanti quanto due numeri possono esserlo.

Ogni quanto si ripete la tangente?

Ogni mezzo giro, cioè il doppio delle volte del seno e del coseno. Aggiungere centottanta gradi a un angolo cambia il segno sia del cateto opposto sia di quello adiacente, e il rapporto di due grandezze cambiate di segno non cambia, quindi trenta gradi e duecentodieci gradi condividono una tangente di 0,5774. Il seno e il coseno, al contrario, hanno bisogno di un giro intero per tornare allo stesso valore.

Posso inserire l'angolo in radianti?

Sì: accanto al campo c'è un selettore di unità e la lettura è lo stesso angolo in un modo o nell'altro. Quarantacinque gradi e 0,7854 radianti danno la stessa tangente, uno. Come sempre, la cosa da controllare è quale unità dà per scontata la fonte con cui ti stai confrontando, perché la maggior parte delle tavole stampate è scritta in gradi.

• Tangent — the opposite-over-adjacent ratio, its period of half a turn, and its poles at ninety and two hundred and seventy degrees — Wolfram MathWorld (United States)
• Trigonometric Functions — the definitions, ranges and domains of all six ratios, including the angles at which each of them is undefined — Wolfram MathWorld (United States)
• Cotangent — the reciprocal of this function, whose own poles sit at zero and one hundred and eighty degrees instead — Wolfram MathWorld (United States)
• Tangente — il rapporto fra cateto opposto e cateto adiacente, la periodicità di mezzo giro e i due angoli in cui non è definita — Treccani, Enciclopedia della Matematica (Italia)