Calcolatrice del seno

sen θ = opposto ÷ ipotenusa sen θ = y ÷ r sen θ = −sen(−θ)

θ

L'angolo, in gradi o radianti. Può essere negativo e può superare un giro intero: conta solo dove si ferma sulla circonferenza

opposto / ipotenusa

I due lati che ti dà un triangolo rettangolo con dentro l'angolo θ: il cateto opposto a θ e il lato più lungo. Il seno è il primo diviso il secondo, ed è per questo che non supera mai uno e non scende mai sotto meno uno

y / r

Lo stesso rapporto letto su una circonferenza di raggio r: y è l'altezza del punto su cui l'angolo si ferma. Sulla circonferenza goniometrica r vale uno, quindi il seno è semplicemente quell'altezza

quadrante

In quale dei quattro spicchi del piano cartesiano cade l'angolo, contati in senso antiorario dal semiasse orizzontale positivo. Zero significa che l'angolo sta esattamente su un asse e non appartiene a nessun quadrante

Usa questa pagina quando hai un angolo e vuoi l'altezza che gli corrisponde: la componente verticale di una salita, l'alzata di una rampa misurata rispetto alla sua lunghezza, la scomposizione di una forza nella sua parte rivolta verso l'alto. È anche il modo più rapido per controllare un segno: se sai che l'angolo ha superato l'angolo retto, il seno resta positivo fino a centottanta gradi, e questa pagina stampa il quadrante così vedi che il punto si è spostato a sinistra pur restando in alto. La tabella dei valori del seno mette gli stessi dodici angoli nello stesso ordine della pagina del coseno, quindi le due si leggono affiancate: là una colonna ha un trattino dove la tangente rinuncia, mentre qui non c'è un trattino da nessuna parte. Il calcolo del seno in radianti segue le stesse regole dei gradi, cambia solo l'unità che scegli accanto al campo. Se invece hai un valore di seno e vuoi tornare all'angolo, quella è la direzione inversa, dove due angoli si spartiscono ogni valore compreso tra meno uno e uno

1. Un angolo di trenta gradi, il valore con cui la pagina si apre

   1. La metà di un triangolo equilatero è il triangolo rettangolo con l'angolo di trenta gradi
   2. Il cateto opposto all'angolo di trenta gradi è metà dell'ipotenusa
   3. Un mezzo diviso uno fa 0,5, e il punto è sopra l'asse e alla sua destra, quindi il quadrante è 1

   L'angolo con cui la pagina si apre, e l'unica lettura di questa pagina che è esatta in un modo che si vede senza decimali. Trenta gradi è anche l'angolo in cui il seno è il più piccolo fra gli angoli notevoli il cui valore non è zero: un quarto di giro vale uno, un ottavo di giro vale 0,7071, e questo vale 0,5. La colonna del quadrante legge 1 perché il punto è sopra l'asse orizzontale e alla destra di quello verticale.

2. Un angolo di centocinquanta gradi, lo stesso seno in un altro quadrante

   1. Centocinquanta gradi sono trenta gradi in meno di un angolo piatto
   2. Il punto ha attraversato l'asse verticale ed è finito a sinistra, ma è ancora sopra quello orizzontale
   3. L'altezza è la stessa che a trenta gradi, quindi il seno è 0,5 e il quadrante è diventato 2

   Il caso più chiaro di perché questa pagina stampi un quadrante: il numero da solo non distingue questi due angoli. Trenta e centocinquanta gradi condividono il seno di 0,5, e sono gli unici due angoli di un giro intero a farlo. Quella coppia è una regola e non una coincidenza: il seno di un angolo è uguale al seno del suo supplementare, ed è quello che vedi piegando la circonferenza lungo l'asse verticale.

3. Un angolo negativo, meno trenta gradi

   1. Meno trenta gradi sono trenta gradi misurati dall'altra parte, in senso orario dal semiasse orizzontale positivo
   2. Adesso il punto è sotto l'asse invece che sopra, quindi l'altezza è negativa
   3. La lettura è −0,5 e il quadrante è 4

   Questo è il significato di funzione dispari: cambia il segno dell'angolo e il risultato cambia segno con lui. Il coseno non si comporta così, perché a meno trenta gradi restituisce lo stesso 0,866 che dà a più trenta. La differenza vale la pena di essere ricordata, perché torna in ogni formula che mescola i due, ed è il motivo per cui la tabella qui sotto non è simmetrica rispetto alla sua prima riga.

4. Un angolo di novanta gradi, dove la colonna del quadrante legge zero

   1. Ad angolo retto il cateto opposto e l'ipotenusa sono lo stesso lato
   2. Un lato diviso per se stesso fa uno, quindi il seno è 1, il valore più grande che assuma
   3. Il punto sta sull'asse verticale e non dentro uno spicchio, quindi il quadrante è 0

   La lettura di 1 è il tetto dell'intervallo, e nessun angolo lo supera. Lo zero nella colonna del quadrante è la convenzione che questa pagina segue per tutti e quattro gli angoli sugli assi: zero, novanta, centottanta e duecentosettanta gradi non stanno in nessun quadrante, perché un quadrante è uno spicchio aperto e l'asse ne è il bordo. Gli zeri della tabella qui sotto vengono tutti da quella regola, e questa è la riga in cui si vede meglio perché sia la risposta onesta e non un valore mancante.

Tre limiti che vale la pena dichiarare senza giri di parole. Le letture sono date a quattro decimali e quasi tutte sono irrazionali: il seno di sessanta gradi è metà della radice di tre, quindi 0,866 è un troncamento e non la risposta, e trenta, novanta e i loro riflessi sono le uniche righe di questa pagina con un valore esatto e corto. Secondo, il quadrante è un'etichetta per uno spicchio del piano, non una misura, e i quattro angoli che stanno su un asse non appartengono a nessuno spicchio: per loro la colonna legge zero. Quello zero non è un valore mancante e non è un quinto quadrante, è l'affermazione che l'angolo sta sul bordo. Terzo, la pagina non inverte. Dato un seno di 0,5, l'angolo potrebbe essere trenta gradi, centocinquanta gradi, o uno dei due più un numero intero qualsiasi di giri, e scegliere fra queste possibilità richiede una decisione che questa pagina non prende. Gli angoli oltre un milione di gradi in entrambe le direzioni vengono rifiutati invece che ridotti, perché a quella scala la riduzione stessa smette di avere un senso.

Perché il seno non si esaurisce mai, mentre la tangente sì?

Perché la divisione è girata dall'altra parte. Il seno è il cateto opposto diviso l'ipotenusa, e l'ipotenusa è il lato più lungo, quindi la frazione sta sempre fra meno uno e uno e il denominatore non è mai zero. La tangente è il cateto opposto diviso il cateto adiacente, e ad angolo retto il cateto adiacente è zero: dividere per zero non ha risposta, e quello è l'angolo che la pagina della tangente rifiuta. Questa pagina accetta ogni angolo, compresi novanta gradi, dove la lettura è uno.

Che cosa mi dice la colonna del quadrante?

In quale dei quattro spicchi del piano cartesiano cade l'angolo, contati in senso antiorario dal semiasse orizzontale positivo. Il segno del seno dice se il punto è sopra o sotto l'asse e il segno del coseno dice se è a sinistra o a destra, quindi i due segni insieme nominano lo spicchio. Questa pagina stampa il quadrante perché il seno da solo non basta: trenta e centocinquanta gradi condividono un seno di 0,5, e solo il quadrante dice quale dei due hai davanti.

Perché gli angoli sugli assi hanno quadrante zero?

Perché zero, novanta, centottanta e duecentosettanta gradi stanno su un asse e non dentro uno spicchio, e un quadrante è uno spicchio aperto il cui bordo è l'asse. Sistemarli nel primo quadrante sarebbe un'affermazione falsa: il punto non è sopra l'asse orizzontale, ci sta sopra. Lo zero è la risposta onesta, ed è la stessa convenzione che la tabella di riferimento usa nella sua colonna del quadrante.

Perché il seno di centocinquanta gradi è uguale al seno di trenta gradi?

Perché il seno di un angolo è uguale al seno del suo supplementare. Centocinquanta gradi sono trenta gradi in meno di un angolo piatto, e piegando la circonferenza lungo il suo asse verticale un angolo finisce esattamente sull'altro, quindi i due punti stanno alla stessa altezza. Gli angoli che condividono un seno sono sempre una coppia dentro un giro intero, e sono immagini speculari rispetto all'asse verticale e non a quello orizzontale: è proprio per questo che il quadrante cambia mentre il valore resta lo stesso.

Il seno può essere negativo?

Sì, per ogni angolo sotto l'asse orizzontale, cioè per la seconda metà del giro e per ogni angolo negativo. La lettura è negativa fra centottanta e trecentosessanta gradi, e il valore più piccolo che raggiunge è meno uno, a duecentosettanta. Sotto questo aspetto il seno si comporta diversamente dal coseno a un quarto di giro invece che a metà: il coseno diventa negativo quando il punto attraversa l'asse verticale, il seno quando attraversa quello orizzontale.

Posso inserire l'angolo in radianti?

Sì, accanto al campo c'è un selettore di unità e la lettura è lo stesso angolo in un modo o nell'altro. Trenta gradi e 0,5236 radianti danno lo stesso seno, un mezzo, e lo stesso quadrante. La cosa da controllare è quale unità dà per scontata la fonte con cui ti stai confrontando, perché la maggior parte delle tavole stampate è scritta in gradi mentre la maggior parte dei linguaggi di programmazione no.

• Seno — il rapporto fra cateto opposto e ipotenusa, la simmetria dispari e il periodo di un giro intero — Treccani, Enciclopedia della Matematica (Italia)
• Trigonometria — le funzioni trigonometriche, i valori notevoli e le relazioni fondamentali fra seno, coseno e tangente — Treccani, Enciclopedia della Matematica (Italia)
• Sine — the opposite-over-hypotenuse ratio, its odd symmetry, and its period of one full turn — Wolfram MathWorld (United States)
• Trigonometric Functions — the definitions of all six ratios, their ranges, and why the sine is defined at every angle while the tangent is not — Wolfram MathWorld (United States)