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CalcMax

Calcolatrice dell'arcoseno

Intervallo: -1 – 1

Risultato

30,00 °

Angolo

Angolo in radianti
0,5236 rad

Una calcolatrice dell'arcoseno riporta un valore di seno all'angolo che lo produce. Le dai un numero compreso fra meno uno e uno e ti dice quale angolo ha quel numero come seno, in gradi e in radianti. È la prima pagina del sito che gira nel verso opposto a tutte le altre: le altre pagine di trigonometria prendono un angolo e restituiscono dei rapporti, questa prende un rapporto e restituisce un angolo, e quasi tutto quello che leggi qui sotto è il prezzo di quel ribaltamento. Il punto di partenza è che un valore di seno non appartiene a un angolo solo. Il seno di un mezzo è il seno di trenta gradi, ma anche di centocinquanta gradi, e anche di trecentonovanta, e di ognuno di quei tre meno un giro intero. La funzione arcoseno ne restituisce esattamente uno, quello che sta fra meno novanta gradi e novanta gradi, e quella scelta è quello che si chiama valore principale. Non vuol dire che gli altri non esistano: la tabella in fondo alla pagina li stampa in una colonna apposta, perché un conto è quello che una funzione può restituire e un altro conto è quante soluzioni ha l'equazione. Due confini delimitano la risposta. Il valore deve stare fra meno uno e uno, dato che il seno di un angolo non esce mai da quella fascia: chiedere l'arcoseno di uno e mezzo non ha risposta, e la pagina rifiuta il numero invece di lasciare il campo vuoto. E la risposta è firmata, cioè un valore negativo dà un angolo negativo e non l'angolo equivalente nella metà inferiore del cerchio. Questo è l'unico punto in cui la pagina si legge diversamente da quelle dell'angolo doppio e dell'angolo metà, dove un angolo negativo viene prima riportato dentro l'intervallo e torna come posizione sul cerchio. Qui il segno resta, perché il valore principale vive nella fascia che va da meno novanta a novanta e metà di quella fascia sta sotto lo zero. Nella tabella qui sotto trovi nove valori con l'angolo principale, la sua misura in radianti e il secondo angolo del cerchio che ha lo stesso seno.

Nove valori di seno con l'angolo principale e la seconda soluzione

sen θθ (gradi)altra θ (gradi)θ (radianti)
-1-90270-1.5708
-0.866-60240-1.0471
-0.7071-45225-0.7854
-0.5-30210-0.5236
001800
0.5301500.5236
0.7071451350.7854
0.866601201.0471
190901.5708

La seconda colonna è quello che la funzione restituisce e la terza è quello che lascia fuori, e la coppia è il senso dell'intera tabella. Leggi prima le righe centrali: il valore zero appartiene alla coppia zero e centottanta, e 0,5, il valore con cui la pagina si apre, alla coppia più familiare, trenta e centocinquanta. Lungo tutta la tabella le due colonne sommano a centottanta, che è l'aritmetica del riflesso, e la somma regge anche agli estremi. Gli estremi sono il punto in cui smette di essere interessante, in due modi diversi. In cima la coppia legge novanta e novanta: la curva del seno si gira sulla sua cima, quindi il riflesso di novanta gradi è di nuovo novanta gradi, e le due colonne stampano lo stesso numero. In fondo la coppia legge meno novanta e duecentosettanta, che sono la stessa direzione scritta in due modi: la seconda colonna conserva il segno che la funzione restituisce e la terza è già stata sistemata sul cerchio, e le due sembrano angoli diversi solo perché a una delle due è permesso essere negativa. La quarta colonna è la seconda convertita, e va da meno 1,5708 a 1,5708, metà di pi greco per lato, mentre le colonne degli angoli coprono mezzo giro intero.

Formula

θ = arcsen x x ∈ [−1, 1] θ ∈ [−90°, 90°] l'altra soluzione in [0°, 360°) è 180° − θ

x
Il valore di seno da cui parti. Deve stare fra meno uno e uno: il seno di un angolo non può uscire da quella fascia, quindi un valore fuori di lì non corrisponde a nessun angolo
θ
L'angolo che la funzione restituisce, detto valore principale. Sta sempre fra meno novanta gradi e novanta gradi ed è riportato sia in gradi sia in radianti
180° − θ
Il secondo angolo del cerchio con lo stesso seno. Due angoli speculari rispetto all'asse verticale condividono il seno, ed è per questo che il compagno si trova sottraendo da centottanta invece che sommando

Ricorri a questa pagina quando hai un rapporto e vuoi l'angolo: una pendenza rilevata sul terreno e trascritta come seno, la componente di una forza espressa come frazione del totale, il valore letto su una tabella in cui era tabulato soltanto il rapporto. La funzione arcoseno serve anche quando un problema sui triangoli ti dà due lati e ti chiede l'angolo opposto a uno dei due, visto che il seno di un angolo è il cateto opposto diviso l'ipotenusa. Il calcolo dell'arcoseno in radianti segue le stesse regole di quello in gradi: cambia solo l'unità accanto al campo, e la lettura resta lo stesso angolo scritto in un altro modo. Due pagine vicine meritano un pensiero. Se ti servono i tre rapporti di un angolo e non l'angolo a partire da un rapporto, la pagina della trigonometria gira nel verso opposto e le due letture coincidono dove entrambe hanno senso. E se quello che hai in mano è il rapporto fra il cateto adiacente e l'ipotenusa, quella è la pagina dell'arcocoseno, il cui intervallo copre la metà superiore del cerchio invece di quella destra.

Esempi svolti

  1. Un valore di seno di 0,5

    1. Il valore sta dentro la fascia che va da meno uno a uno, quindi c'è un angolo da trovare
    2. Trenta gradi è l'angolo dell'intervallo principale il cui seno vale 0,5, quindi la pagina riporta trenta gradi
    3. In radianti sono trenta per pi greco diviso centottanta, cioè un sesto di pi greco, ovvero 0,5236

    Il valore con cui la pagina si apre, e quello che mostra quanto costa l'intervallo principale. Anche centocinquanta gradi ha un seno di 0,5, ed è il riflesso di trenta gradi rispetto all'asse verticale, ma la funzione restituisce un numero solo e trenta è quello che sta nell'intervallo. La tabella rende visibile l'angolo perduto: 0,5 è la sesta delle sue nove righe, e la terza colonna di quella riga legge 150. Entrambi gli angoli rispondono alla stessa domanda, ma solo uno dei due è quello che una funzione può restituire.

  2. Un valore di seno di 0,25, che non è un angolo notevole

    1. Un quarto non è il seno di nessun angolo della tabella abituale, quindi la risposta avrà dei decimali
    2. L'angolo il cui seno vale 0,25 è quattordici gradi e quarantotto centesimi
    3. In radianti lo stesso angolo misura 0,2527, cioè all'incirca un quarto del valore di partenza

    La maggior parte dei valori finisce qui invece che su un angolo notevole, e questa riga è quello che si vede in una consultazione reale. La colonna dei radianti merita uno sguardo: per gli angoli piccoli la misura in radianti è molto vicina al valore del seno, ed è per questo che 0,2527 sta vicino a 0,25. È l'approssimazione per angoli piccoli, e il fatto che compaia da sola dentro una tabella è la dimostrazione più breve del perché i radianti siano l'unità che l'analisi usa.

  3. Un valore di seno negativo, meno 0,5

    1. Meno 0,5 sta dentro la fascia, quindi la pagina trova un angolo
    2. L'angolo dell'intervallo principale il cui seno vale meno 0,5 è meno trenta gradi
    3. I radianti seguono lo stesso segno: meno 0,5236

    L'altro punto in cui questa pagina si legge diversamente da quelle dell'angolo doppio e dell'angolo metà. Là un angolo negativo veniva riportato dentro l'intervallo prima di ogni altra cosa e tornava come posizione nella metà superiore del cerchio. Qui la risposta resta firmata, perché l'intervallo principale è la fascia da meno novanta a novanta e metà di quella fascia sta sotto lo zero. Trenta gradi sotto l'orizzontale e trenta gradi sopra sono lo stesso angolo con segni opposti, e la funzione riporta quello che porta il segno del valore inserito. La riga di meno 0,5 nella tabella mostra entrambe le letture: meno trenta nella seconda colonna e duecentodieci nella terza.

  4. Un valore di seno di 1, al bordo della fascia

    1. Uno è il seno più grande che un angolo possa avere, quindi la risposta è il tetto dell'intervallo principale
    2. Novanta gradi ha seno uno, e nessun angolo ne ha uno più grande
    3. In radianti un angolo retto è metà di pi greco, cioè 1,5708

    La riga in cui le due soluzioni si sovrappongono. Ogni altro valore della fascia appartiene a due angoli diversi, ma uno appartiene a novanta gradi e a nient'altro del cerchio: la curva del seno si gira proprio lì, quindi il riflesso di novanta gradi rispetto all'asse verticale è di nuovo novanta gradi. La tabella lo dice senza giri di parole, visto che la seconda e la terza colonna dell'ultima riga leggono entrambe 90. Non è una voce duplicata, è la curva che si appiattisce sulla sua cima.

Limiti

Tre cose che questa pagina non fa, e conviene saperle prima di usarla. Primo, un valore fuori dalla fascia che va da meno uno a uno non ha risposta e viene rifiutato invece che approssimato: uno e mezzo non è il seno di niente. Secondo, la risposta è soltanto il valore principale. Ogni seno compreso fra meno uno e uno appartiene a due angoli dentro un giro completo e a infiniti altri lungo i giri successivi, e la pagina restituisce quello nella fascia da meno novanta a novanta; se ti serve l'altro, la terza colonna della tabella ce l'ha, mentre se ti serve lo stesso angolo più o meno giri interi qui non trovi scritto quanti. Terzo, i radianti sono stampati con quattro decimali e i gradi con due, quindi un valore che dopo l'arrotondamento cade su un angolo notevole viene stampato come quell'angolo: l'arcoseno di 0,866 esce come sessanta gradi, anche se il seno esatto di sessanta gradi è leggermente più grande di 0,866.

Domande frequenti

Perché l'arcoseno di 0,5 dà trenta gradi e non centocinquanta?
Perché entrambi gli angoli hanno un seno di 0,5 e una funzione può restituire un numero solo. L'intervallo della funzione arcoseno è fissato nella fascia che va da meno novanta gradi a novanta gradi, e trenta è l'angolo che sta in quella fascia. Centocinquanta gradi è una risposta del tutto legittima all'equazione, e la tabella di questa pagina la mostra nella terza colonna, ma non è quello che la funzione restituisce.
Che cosa succede se inserisco un valore più grande di uno?
La pagina lo rifiuta, perché nessun angolo ha un seno sopra uno. Il seno di un angolo resta fra meno uno e uno qualunque cosa faccia l'angolo, quindi l'insieme di partenza della funzione inversa è esattamente quella fascia e niente fuori di lì corrisponde a un angolo. È diverso da un valore come uno e mezzo dentro una divisione, dove un numero grande produce semplicemente un numero piccolo: qui la domanda stessa non ha risposta.
Perché la risposta è negativa quando il valore è negativo?
Perché l'intervallo principale va da meno novanta gradi a novanta gradi e metà di quell'intervallo sta sotto lo zero. La funzione seno è dispari, cioè il seno di meno trenta è l'opposto del seno di trenta, quindi disfarla su un valore negativo restituisce un angolo negativo. L'angolo equivalente nella metà inferiore del cerchio, trecentotrenta gradi per un valore di meno 0,5, indica la stessa direzione, ma la pagina riporta quello firmato.
Come si fa a trovare l'angolo dal seno a mano?
Cerca il valore in una tabella dei seni, oppure stima dalla fascia: un seno di 0,5 è trenta gradi, un seno di 0,7071 è quarantacinque e un seno di 0,866 è sessanta. Per tutto quello che sta in mezzo, una calcolatrice resta la via pratica. L'unica cosa da ricordare quando lo fai a mano è il secondo angolo: ogni seno della fascia aperta appartiene a due angoli dentro un giro, e di solito una tabella ne elenca soltanto il primo.
Quanto vale l'arcoseno in radianti?
È lo stesso angolo misurato nell'altro modo. Trenta gradi sono un sesto di pi greco, cioè 0,5236 radianti, e la pagina stampa entrambe le misure così la conversione non va mai fatta a mano. I radianti sono l'unità che rende la derivata del seno uguale al coseno, ed è per questo che tutto quello che riguarda l'analisi esprime gli angoli in quel modo, mentre tutto quello che si misura con un goniometro li esprime in gradi.
L'arcoseno è la stessa cosa di uno diviso per il seno?
No, e le due si confondono facilmente perché entrambe si scrivono con la parola seno. Il seno inverso disfa il seno: prende 0,5 e restituisce trenta gradi. Uno diviso per il seno prende 0,5 e restituisce due, che è la cosecante di trenta gradi, cioè un rapporto e non un angolo. La notazione peggiora le cose, visto che il seno inverso viene spesso scritto con un meno uno in alto che assomiglia esattamente a un esponente.

Riferimenti

Calcolatrici correlate

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