Calcolatrice della legge dei coseni

a² = b² + c² − 2bc·cos A cos A = (b² + c² − a²) ÷ 2bc A = arccos((b² + c² − a²) ÷ 2bc)

a, b, c

I tre lati del triangolo, in qualsiasi unità purché tutti e tre usino la stessa. Il lato a è quello di fronte all'angolo A, e gli altri due seguono lo stesso schema

A

L'angolo di fronte al lato a, quello che questa forma della legge recupera. Gli altri due angoli vengono dalla stessa formula con le lettere ruotate

cos A

Il coseno di quell'angolo, che è quello che i tre lati ti danno direttamente. Risalire all'angolo è un passo separato, ed è il passo che mette la lettura fra zero e centottanta gradi

2bc

Il doppio del prodotto dei due lati che si incontrano in quell'angolo. È il termine di correzione che il teorema di Pitagora non ha, ed è quello che fa funzionare la legge quando nessun angolo è retto

Usa questa pagina quando hai tutti e tre i lati di un triangolo e vuoi i suoi angoli — un appezzamento misurato lungo il confine, una staffa tagliata su tre lunghezze, un triangolo disegnato su una mappa dove puoi misurare i lati a passi ma non puntare gli angoli. È l'unica delle due pagine sui triangoli che non ha bisogno di un angolo per cominciare, ed è esattamente il caso in cui la legge dei seni non serve a niente. È anche il modo più rapido per scoprire se tre lunghezze possono formare un triangolo prima di costruire qualcosa: le digiti, e o tornano indietro tre angoli o arriva un messaggio che ti dice quale lato è troppo lungo. Quella formula è la stessa che, letta dall'altro capo, dà il lato mancante quando conosci due lati e l'angolo compreso fra loro: quel caso appartiene alla pagina del triangolo, che arriva allo stesso teorema dalla parte opposta. Se quello che ti serve è l'area del triangolo e non i suoi angoli, i tre lati sono anche tutto ciò che chiede la formula di Erone. E se hai un lato e due angoli, oppure due lati e un angolo che non sta fra loro, la pagina da usare è quella della legge dei seni.

1. Il triangolo tre quattro cinque, dove un angolo è esattamente retto

   1. Prendi l'angolo di fronte al lato di lunghezza 5
   2. I quadrati degli altri due lati sommano a 9 più 16, cioè 25
   3. Il termine di correzione è il doppio di 3 per 4 per il coseno di quell'angolo; ponendo l'intera espressione uguale a 25 il coseno resta zero, quindi l'angolo è 90 gradi
   4. Gli altri due angoli vengono dalla stessa formula con le lettere ruotate, e risultano 36,87 e 53,13

   I valori con cui la pagina si apre, e il triangolo che ogni lettore ha già incontrato. È il caso in cui la legge dei coseni e il teorema di Pitagora concordano: il termine di correzione sparisce perché il coseno di un angolo retto è zero, e la formula si riduce di nuovo al teorema. I due angoli acuti sono la coppia che mostra perché ci si può fidare di questa pagina: sommano esattamente a 90, e il terzo angolo è un 90 pulito senza niente di arrotondato.

2. Un triangolo equilatero, dove non si arrotonda via niente

   1. Tre lati uguali danno tre angoli uguali
   2. I tre angoli sommano a 180 gradi
   3. 180 diviso 3 fa esattamente 60, quindi ogni lettura è 60 senza decimali persi

   Tre lati uguali danno tre angoli uguali, e visto che devono sommare a un angolo piatto ciascuno vale esattamente sessanta gradi: è l'unica riga della tabella qui sotto in cui tutte e tre le letture sono esatte e nessuna è zero. È anche un buon controllo della formula: il termine di correzione qui è il doppio di 5 per 5 per il coseno di sessanta, cioè 25, e 25 più 25 meno 25 fa 25, che è il quadrato del terzo lato. La formula concorda con se stessa.

3. Un triangolo ottusangolo, con i lati 2, 3 e 4

   1. Prendi l'angolo di fronte al lato più lungo, che è quello che può essere ottuso
   2. I quadrati degli altri due lati sommano a 4 più 9, cioè 13
   3. Sottrai il quadrato del lato più lungo, 16, e resta meno 3
   4. Dividi per il doppio del prodotto degli altri due lati, che è 12, e ottieni un coseno di meno 0,25
   5. L'angolo il cui coseno è meno 0,25 misura 104,48 gradi, e gli altri due seguono a 28,96 e 46,57

   L'angolo di fronte al lato più lungo è quello ottuso, ed è una regola e non una coincidenza: il lato maggiore sta di fronte all'angolo maggiore, e quando un lato supera la radice della somma dei quadrati degli altri due l'angolo che gli sta di fronte passa l'angolo retto. Qui 4 è maggiore della radice di tredici, quindi l'angolo di fronte misura 104,48 gradi. Guarda cosa sommano le tre letture: 180,01, un centesimo oltre l'angolo piatto, perché ognuna è stata arrotondata per conto suo. Il paragrafo dei limiti qui sotto riguarda esattamente questo.

4. Tre lati che entrano appena, 3, 4 e 7

   1. Tre più quattro fa sette, esattamente la lunghezza del lato più lungo
   2. Il termine di correzione tocca il suo estremo, e il coseno dell'angolo di fronte al lato più lungo esce meno uno
   3. L'angolo il cui coseno è meno uno misura 180 gradi, e gli altri due si riducono a zero

   Sette è esattamente tre più quattro, quindi al triangolo non resta spazio: i due lati più corti si stendono lungo quello più lungo e la figura è una retta con gli angoli collassati su di essa. Questo è il confine che la disuguaglianza triangolare permette, ed è stampato invece che rifiutato perché è un limite reale: gli angoli vanno davvero a 0, 0 e 180. Alza uno dei due lati corti di quanto ti pare e compare un triangolo vero, con angoli positivi che crescono man mano che i lati si separano; abbassalo e la pagina dichiara che nessun triangolo ha quei lati.

Tre limiti che vale la pena dichiarare senza giri di parole. I tre angoli vengono calcolati ognuno per conto proprio dai tre lati e arrotondati ognuno a due decimali, quindi sommeranno spesso 180,01 o 179,99 invece che esattamente un angolo piatto: un triangolo due tre quattro sbaglia di un centesimo, come mostra il terzo esempio qui sopra. L'alternativa sarebbe calcolare due angoli e ricavare il terzo per sottrazione, che somma sempre esattamente 180, ma rompe la simmetria dall'altro capo: un triangolo isoscele con due lati di 3 e una base di 3,3 ha due angoli alla base di 56,63 gradi, e quel metodo li stampa come 56,63 e 56,64, perché il terzo angolo viene sottratto da due valori già arrotondati. Un centesimo di grado di deriva è stato giudicato la bugia minore. Secondo, i lati devono soddisfare la disuguaglianza triangolare: ognuno minore della somma degli altri due. Questa pagina rifiuta tutto ciò che non la rispetta, e accetta il caso di confine in cui un lato è esattamente la somma degli altri due, che produce un triangolo piatto con angoli di 0, 0 e 180 gradi. Terzo, la pagina non stampa nessuna lunghezza e nessuna area. I lati non mancano: sono i tre numeri che hai digitato, e il triangolo è da essi completamente determinato, quindi non c'è altro da riportare. Se quello che vuoi è l'area, è un output diverso degli stessi tre numeri.

A che cosa serve la legge dei coseni?

Per i due lavori che il teorema di Pitagora non sa fare. Primo, quando hai tutti e tre i lati di un triangolo e vuoi i suoi angoli, che è quello che fa questa pagina: il teorema produce un angolo solo quando uno dei tre è già retto, e il termine di correzione in più è quello che lo fa funzionare in ogni altro triangolo. Secondo, quando hai due lati e l'angolo compreso fra loro e vuoi il terzo lato: la pagina del triangolo qui accanto la usa in quel verso. Le due direzioni sono la stessa equazione letta da un capo o dall'altro.

Perché i miei tre angoli sommano 180,01 invece di 180?

Perché ogni angolo viene calcolato dai tre lati per conto suo e poi arrotondato a due decimali, e tre arrotondamenti separati non hanno motivo di annullarsi. Non è un difetto e non significa che il triangolo sia impossibile; significa che le letture stampate stanno ciascuna entro un centesimo di grado dall'angolo vero. L'alternativa, cioè calcolare due angoli e ottenere il terzo sottraendoli da 180, somma sempre esattamente, ma arrotonda due angoli e poi li sottrae, quindi un triangolo isoscele con due angoli alla base di 56,63 gradi esce come 56,63 e 56,64, che è una bugia peggiore in un'altra direzione.

Tre lunghezze qualsiasi formano un triangolo?

No. Ogni lato deve essere più corto degli altri due messi insieme, che è la disuguaglianza triangolare: la strada più breve fra due vertici è il lato che li unisce direttamente, quindi passare dal terzo vertice non può essere più corto. Se un lato supera la somma degli altri due questa pagina rifiuta i dati invece di restituire un angolo impossibile. Se è esattamente uguale, il triangolo è piatto e gli angoli escono 0, 0 e 180, che la pagina accetta perché è un confine reale e non uno sbaglio.

Perché questa pagina dà tre angoli e nessuna lunghezza?

Perché i tre lati sono l'input. Un triangolo con tre lati assegnati è completamente determinato: esiste una sola forma che può avere, a meno di spostarlo e girarlo, quindi ristampare i lati sarebbe ripetere quello che hai appena digitato. Quello che la pagina aggiunge è la parte che non potevi vedere, cioè dove stanno i vertici, che sono i tre angoli. Gli stessi tre numeri danno anche l'area, ma quello è uno strumento separato.

Come faccio a capire se il triangolo è ottusangolo?

Guarda il lato più lungo. Se il suo quadrato è maggiore della somma dei quadrati degli altri due, l'angolo che gli sta di fronte è ottuso; se i due valori sono uguali quell'angolo è esattamente retto; se è minore, tutti e tre gli angoli sono acuti. Il triangolo due tre quattro degli esempi qui sopra è il caso ottusangolo, sedici contro tredici, ed è sempre l'angolo maggiore a diventare ottuso, perché il lato maggiore sta di fronte all'angolo maggiore.

Quando uso questa invece della legge dei seni?

Usa questa quando conosci tutti e tre i lati, oppure due lati e l'angolo compreso fra loro. Usa la legge dei seni quando conosci un lato insieme all'angolo che gli sta di fronte e un altro dato qualsiasi, perché è l'informazione di cui ha bisogno il rapporto fra lato e seno. Il caso in cui le due pagine si sovrappongono è quello di due lati e un angolo che non sta fra loro, e lì la legge dei seni è lo strumento migliore: è anche il caso in cui un triangolo può avere due forme diverse, cosa di cui questa pagina non deve mai preoccuparsi.

• Law of Cosines — the relation between the three sides of a triangle and the cosine of one of its angles, and its reduction to the Pythagorean theorem — Wolfram MathWorld (United States)
• Triangle — the triangle inequality, the rule that the largest side faces the largest angle, and the degenerate cases — Wolfram MathWorld (United States)
• Trigonometric Functions — the sine, cosine and tangent of an angle, their ranges, and why recovering an angle from a cosine gives a value between zero and one hundred and eighty degrees — Wolfram MathWorld (United States)
• Teorema del coseno — la relazione fra i tre lati di un triangolo e il coseno di un suo angolo, e la sua riduzione al teorema di Pitagora — Treccani, Enciclopedia della Matematica (Italia)