Kalkulator Pembulatan

1.234,5678 ke satuan terdekat ⇒ 1.235 setengah ke atas, 1.234 dipotong; 2,5 ⇒ 3 atau 2; 1.567 dengan 2 angka penting ⇒ 1.600

1.234,5678

Nilai yang akan dibulatkan, bilangan apa pun dari −1.000.000.000 sampai 1.000.000.000, angka desimal termasuk. Nilai ini juga menjadi dasar tabel rujukan di bawah, sehingga tujuh barisnya adalah tujuh tempat pembulatan dari nilai yang sudah ada di layar

p0, pm2, s2

Tempat pembulatannya, dipilih dari tiga belas pilihan dalam satu daftar. Pilihan p menyebut tempat desimal: p3 adalah ribuan terdekat, p0 satuan terdekat, pm2 perseratusan terdekat. Pilihan s menyebut jumlah angka penting, s1 sampai s6, dihitung dari angka bukan nol yang pertama

setengah ke atas menjauhi nol

Aturan untuk kasus tepat di tengah: nilai yang persis berada di antara dua kandidat bergerak menjauhi nol, sehingga 2,5 menjadi 3 dan −2,5 menjadi −3. Inilah aturan yang diajarkan di sekolah. Aturan ini juga yang terlihat seperti bug ketika deretan panjang nilai yang berakhiran ,5 dijumlahkan, karena setiap nilai didorong ke arah yang sama

dipotong

Keluaran kedua, dan separuh lainnya dari pertanyaan setengah: nilai yang sama pada tempat yang sama dengan angka-angka tambahannya dibuang dan bukan dibulatkan, sehingga nilainya selalu bergerak menuju nol. 2,5 dipotong menjadi 2 dan −2,5 menjadi −2. Mencetaknya di samping nilai hasil pembulatan itulah yang membuat aturannya terlihat, karena pada sebagian besar masukan kedua keluaran itu sama

1.567 → 1.600

Angka penting sedang bekerja. Hitungannya dimulai dari angka bukan nol yang pertama, sehingga 1.567 dengan dua angka penting menyimpan angka 1 dan angka 5 lalu membulatkan sisanya, dan hasilnya 1.600. Angka nol di belakangnya tetap tinggal: jawaban itu mengklaim dua angka penting, dan menulis jawabannya sebagai 1.600 adalah satu-satunya cara pembaca bisa melihat klaim itu

1,005 → 1,01

Alasan aritmetikanya dikerjakan atas angka desimalnya dan bukan dengan mengalikan lalu membagi dalam floating point. 1,005 disimpan sebagai nilai yang sedikit di bawah 1,005, sehingga jalur presisi ganda yang biasa membulatkannya ke bawah menjadi 1,00; mengerjakannya atas angkanya memberi jawaban yang diharapkan orang, yaitu 1,01. Contoh di bawah memaku kasus ini

Melaporkan hasil pengukuran adalah kasus klasiknya, dan dari situlah angka penting berasal: panjang yang dibaca dari penggaris sampai milimeter terdekat tidak boleh dilaporkan dengan enam angka desimal, karena angka-angka tambahan itu mengklaim ketelitian yang tidak pernah dimiliki alat ukurnya. Angka penting adalah notasi yang menjaga klaim itu tetap jujur, dan itulah sebabnya membulatkan hasil pengukuran tidak sama dengan membulatkan bilangan dalam soal teka-teki. Uang adalah versi sehari-hari dari tempat desimal — harga dibulatkan ke perseratusan terdekat, dan aturan setengah di situ benar-benar menjadi pertanyaan kebijakan, karena aturan itulah yang menentukan ke mana pecahan sen dibawa, dan pada transaksi yang banyak aturan yang selalu mendorong ke arah yang sama menghasilkan pergeseran yang terlihat. Statistika dan pelaporan membulatkan demi keterbacaan: persentase ke satu angka desimal, jumlah penduduk ke ribuan terdekat, rata-rata ke ketelitian yang sama dengan masukannya. Pemotongan punya pemakaiannya sendiri, dan itulah alasan nilai itu dicetak di sini dan bukan dihilangkan: memotong menuju nol adalah yang dilakukan banyak bahasa pemrograman secara bawaan, dan itulah yang muncul ketika sebuah nilai disimpan dalam format dengan ketelitian tetap. Dalam semua keadaan itu, aturan yang perlu diingat adalah membulatkan dua kali tidak sama dengan membulatkan sekali, dan bilangan yang sudah dibulatkan adalah pernyataan tentang ketelitian, bukan sekadar cara menulis bilangan aslinya dengan lebih pendek. Aritmetika atas nilai yang sudah dibulatkan menumpuk perbedaannya, dan itulah sebabnya versi angka penting dari persoalan itu menjadi alat yang terpisah dari halaman ini.

1. 1.234,5678 ke satuan terdekat

   1. Kandidat di kedua sisi 1.234,5678 adalah 1.234 dan 1.235
   2. Angka yang memutuskannya adalah angka desimal pertama, yaitu 5
   3. Setengah ke atas memperlakukan 5 sebagai alasan untuk bergerak menjauhi nol, sehingga nilainya dibulatkan naik menjadi 1.235
   4. Sisa ,5678 di belakangnya tidak mengubah ini — angka pada posisi pembulatan itulah yang memutuskan, dan semua angka sesudahnya hanya memecah seri
   5. Pemotongan membuang bagian desimalnya, dan hasilnya 1.234

   Pilihan bawaan, sekaligus contoh yang menjadi dasar tabel rujukan di bawah. Angka 5 pada tempat desimal pertama itulah yang bekerja: angka 6, 7 dan 8 sesudahnya tidak berpengaruh, dan nilai 1.234,5001 akan dibulatkan dengan cara yang persis sama. Kedua keluaran berbeda di sini, dan itu kebetulan yang memudahkan — pada sebagian besar masukan setengah ke atas dan pemotongan sepakat, dan pasangan angka itulah yang memberi tahu Anda apakah aturan setengah tadi terlibat.

2. Kasus tepat di tengah: 2,5 ke satuan terdekat

   1. 2,5 berada persis di tengah antara 2 dan 3
   2. Setengah ke atas bergerak menjauhi nol, sehingga nilai hasil pembulatannya adalah 3
   3. Pemotongan bergerak menuju nol, sehingga nilai hasil pemotongannya adalah 2
   4. Keduanya bukan kesalahan; keduanya adalah dua aturan untuk masukan yang sama

   Kasus terkecil yang memperlihatkan perselisihan itu, dan yang paling layak diingat. Setengah ke atas bukan satu-satunya aturan yang dipakai: pembulatan bankir akan membawa 2,5 ke tetangga yang genap, yaitu 2, dan itu penting pada daftar pengukuran yang panjang karena selalu membulatkan nilai setengah ke atas menimbulkan bias naik yang kecil. Halaman ini memakai setengah ke atas — aturan sekolah — dan mengatakannya terang-terangan, bukan membiarkannya ditemukan sendiri.

3. Nilai negatif tepat di tengah: −2,5 ke satuan terdekat

   1. −2,5 berada persis di tengah antara −3 dan −2
   2. Setengah ke atas bergerak menjauhi nol, dan menjauhi nol di sisi negatif berarti turun lebih jauh, sehingga jawabannya −3
   3. Pemotongan bergerak menuju nol, dan hasilnya −2
   4. Tanda negatifnya ditangani oleh jarak dari nol, bukan oleh arah di sepanjang garis bilangan

   Kasus yang memisahkan setengah ke atas dari 'selalu dibulatkan naik'. Kedua nilai di sini bergerak dengan aturan yang sama — menjauhi nol — tetapi pada garis bilangan keduanya bergerak ke arah yang berlawanan, karena nol ada di tengah. Kode atau aturan apa pun yang dijelaskan sebagai 'dibulatkan naik' tanpa keterangan tambahan menjadi ambigu justru karena alasan ini, dan baris negatif pada tabel rujukan memperlihatkan efek yang sama pada tempat pembulatan lain.

4. 1,005 ke dua angka desimal

   1. Kandidatnya adalah 1,00 dan 1,01
   2. Angka yang memutuskannya adalah angka desimal ketiga, yaitu 5, dan itu persis kasus setengah
   3. Setengah ke atas bergerak menjauhi nol, sehingga nilainya dibulatkan menjadi 1,01
   4. Pemotongan membuang angka 5 itu dan menyisakan 1,00, dengan angka nol di belakangnya tetap disimpan supaya ketelitiannya terlihat

   Contoh yang menjadi pembenaran cara kerjanya. Jalur yang kelihatannya jelas — kalikan dengan 100, bulatkan, bagi dengan 100 — memberi 1,00, karena 1,005 tidak bisa disimpan dengan tepat dan nilai yang tersimpan berada sedikit di bawah 1,005. Jawaban yang diharapkan orang adalah 1,01, dan itulah yang dihasilkan dengan mengerjakan angka desimalnya. Hal yang sama terjadi pada banyak nilai sehari-hari, sehingga hasil yang meleset satu angka di tempat terakhir biasanya berasal dari sini dan bukan dari kesalahan aturannya.

5. 1.567 ke dua angka penting

   1. Angka penting pertama adalah angka 1, pada tempat ribuan; angka penting kedua adalah 5
   2. Dua angka penting berarti menyimpan kedua angka itu dan membulatkan pada tempat ratusan
   3. Angka sesudah keduanya adalah 6, yang membulatkan angka 5 itu ke atas, sehingga nilainya menjadi 1.600
   4. Angka nol di belakangnya tetap tinggal, karena itulah yang mencatat bahwa dua angka penting telah disimpan
   5. Memotong pada tempat yang sama memberi 1.500

   Jawaban yang sama dengan pembulatan ke ratusan terdekat, dicapai dari ujung yang lain. Perhatikan apa yang tidak bisa diberitahukan oleh keluarannya: 1.600 yang ditulis sebagai bilangan biasa tidak bisa dibedakan dari 1.600 hasil pembulatan ke satuan terdekat, atau dari hasil pengukuran yang kebetulan tepat 1.600. Menyimpan angka nolnya adalah hal terbanyak yang bisa dilakukan notasi ini, dan membawa angka penting menembus sebuah perhitungan — yang jumlahnya harus bertahan melewati perkalian dan pembagian — adalah persoalan yang terpisah dari membulatkan satu nilai.

Nilainya harus berada di antara −1.000.000.000 dan 1.000.000.000, angka desimal termasuk, dan tempat pembulatannya dipilih dari tiga belas pilihan dan tidak diketik, jadi tidak ada cara meminta tempat di luar daftar itu. Pembulatannya dikerjakan atas angka desimal dari nilai sebagaimana ditulis, bukan dengan penskalaan dalam floating point, sehingga hasilnya cocok dengan kata angkanya — 1,005 dengan dua angka desimal adalah 1,01 di sini, sedangkan jalur mengalikan lalu membagi memberi 1,00. Pilihan yang sama punya akibat yang terlihat: hasilnya selalu dicetak dengan titik desimal dan tidak pernah dengan pemisah ribuan, sehingga pembaca yang mengetik koma sebagai tanda desimal akan melihat titik pada jawabannya — membulatkan 1.000.000.000 ke perseribuan mengembalikan 1000000000.000, dan bukan 1.000.000.000,000. Ini disengaja dan sama dengan perilaku halaman lain yang mencetak hasilnya dalam bentuk teks. Angka nol di belakang tetap disimpan, karena angka itu mencatat ketelitian yang diklaim jawabannya, yang berarti 1.234,6 dan 1.234,60 adalah dua keluaran berbeda dari dua tempat yang berbeda dan tidak ditulis dengan cara yang sama. Nilai negatif dibulatkan berdasarkan jarak dari nol, sehingga nilai negatif yang tepat di tengah bergerak turun di garis bilangan dan bukan naik. Tabel rujukan di bawah dipatok pada 1.234,5678 dan tidak mengikuti masukan Anda; tabel itu memperlihatkan tujuh pilihan pertama yang diterapkan pada bilangan itu, sedangkan keenam pilihan angka penting dijelaskan pada catatannya dan tidak diberi barisnya sendiri. Tidak ada pembulatan atas total yang sedang berjalan di sini, dan tidak ada yang menumpuk: halaman ini membulatkan satu nilai per perhitungan.

Apa yang dimaksud dengan pembulatan setengah ke atas?

Bahwa nilai yang berada persis di tengah antara dua kandidat bergerak menjauhi nol: 2,5 menjadi 3 dan −2,5 menjadi −3. Inilah aturan yang diajarkan di sekolah dan yang dipakai halaman ini. Aturan ini bukan satu-satunya yang dipakai — pembulatan bankir mengirim nilai setengah ke tetangga yang genap, dan dengan begitu menghindari bias naik yang kecil yang ditimbulkan oleh selalu membulatkan nilai setengah ke atas pada daftar nilai yang panjang.

Apa bedanya tempat desimal dengan angka penting?

Tempat desimal dihitung dari tanda desimalnya; angka penting dihitung dari angka bukan nol yang pertama. 1.567 dengan dua angka penting adalah 1.600, sama dengan pembulatan ke ratusan terdekat, sedangkan 1.567 dengan dua angka desimal adalah 1.567,00. Angka penting adalah notasi yang dipakai untuk hasil pengukuran, karena jumlahnya tidak berubah ketika besaran yang sama ditulis dalam satuan yang berbeda.

Mengapa 1,005 dibulatkan menjadi 1,01 dan bukan 1,00?

Karena nilainya berada tepat di titik setengah dan halaman ini membulatkan nilai setengah menjauhi nol, dengan mengerjakan angka desimalnya dan bukan dengan penskalaan dalam floating point. Jalur yang umum, yaitu mengalikan dengan 100, membulatkan lalu membagi dengan 100, memberi 1,00, karena 1,005 disimpan sebagai nilai yang sedikit di bawah 1,005. Jawaban dari angka desimalnya adalah 1,01, dan itulah yang dikatakan aturannya sekaligus yang akan dihasilkan orang yang menuliskan bilangan itu dengan tangan.

Apa itu pemotongan, dan mengapa ditampilkan?

Pemotongan membuang angka-angka tambahannya dan bukan membulatkannya, sehingga nilainya selalu bergerak menuju nol: 2,5 menjadi 2 dan −2,5 menjadi −2. Nilai itu dicetak di samping nilai hasil pembulatan pada tempat yang sama, karena pasangan angka itu adalah cara paling jelas untuk melihat apakah aturan setengah tadi terlibat — pada masukan yang jauh dari titik setengah kedua keluaran itu sama, dan di tempat keduanya berbeda, aturan itulah yang membuat perbedaannya.

Apakah angka nol di belakang itu angka penting?

Ya, dan angka itu sengaja dipertahankan. 1.234,6 dengan satu angka desimal dan 1.234,57 dengan dua angka desimal adalah dua klaim yang berbeda tentang seberapa teliti nilai itu diketahui, dan membuang angka nol di belakangnya akan menghapus perbedaan itu. Hal yang sama berlaku untuk bilangan bulat yang dibulatkan ke angka penting: 1.600 menyimpan angka nolnya, karena itulah yang mencatat bahwa dua angka penting telah dipertahankan.

Apakah halaman ini membawa angka penting menembus sebuah perhitungan?

Tidak. Halaman ini membulatkan satu nilai dalam satu waktu, dan tidak membawa ketelitian menembus rangkaian aritmetika, yang hasilnya dibatasi oleh masukan yang paling tidak teliti dan yang nilai-nilai antaranya harus tetap belum dibulatkan sampai akhir. Itu persoalan yang berbeda dari membulatkan satu bilangan, karena persoalan itu menuntut jumlah angka pentingnya bertahan melewati perkalian dan pembagian, dan hal itu tidak bisa diwakili oleh nilai yang sudah dibulatkan begitu saja.

• Rounding — the definition, the halfway rules including round-half-up and round-half-to-even, and how the choice affects accumulated results — Wolfram MathWorld (United States)
• Significant digits — how the count starts at the first non-zero digit, and why trailing zeros record precision rather than value — Wolfram MathWorld (United States)
• Nearest integer function — the special case of rounding to the nearest whole number, and the tie-breaking conventions defined for it — Wolfram MathWorld (United States)