Kalkulator Sisa Bagi

47 = 5 × 9 + 2 ⇒ hasil bagi 9, sisa 2; dan -47 = 5 × -10 + 3 menurut cara Euklides versus -47 = 5 × -9 + -2 menurut cara dipotong

47

Bilangan yang dibagi, yaitu bilangan yang sedang dibagi: bilangan bulat dari -1.000.000.000 sampai 1.000.000.000. Nilai negatif diperbolehkan dan justru itulah alasan bidang aturan di bawah ada. Bilangan pecahan ditolak dan tidak dibulatkan, karena sisa adalah pernyataan tentang bilangan bulat

5

Pembagi: bilangan bulat dari -1.000.000.000 sampai 1.000.000.000. Ia tidak boleh 0: tidak ada hasil bagi yang bisa memenuhi pemeriksaannya. Ia juga boleh negatif, dan pembagi yang negatif membalik tanda hasil baginya pada kedua aturan — baris pemeriksaan itulah yang menjaga semuanya tetap lurus

truncated

Aturan yang membuang bagian pecahan dari hasil bagi yang eksak, sehingga hasil baginya bergerak menuju nol: -47 ÷ 5 memberi -9 karena -9,4 dipotong menjadi -9. Sisanya lalu mengikuti tanda bilangan yang dibagi dan bisa negatif. Inilah yang dihasilkan sebagian besar bahasa pemrograman, dan inilah bawaan di halaman ini

euclidean

Aturan yang menurunkan hasil baginya ke bilangan bulat berikutnya, sehingga sisanya tidak pernah negatif: -47 ÷ 5 memberi -10 dengan sisa 3. Teori bilangan dan aritmetika modular memerlukan yang ini, karena sisa yang negatif tidak punya makna ketika ia mewakili sebuah posisi di dalam putaran. Keduanya sepakat setiap kali kedua bilangannya positif

quotient 9

Berapa kali pembaginya masuk secara utuh. Menurut cara dipotong, ini hasil bagi eksak dengan bagian pecahannya dibuang; menurut cara dibulatkan ke bawah, ini hasil bagi eksak yang dibulatkan ke bawah. Keduanya berselisih tepat 1 ketika tandanya membuat sisanya negatif, dan tidak pernah berselisih selain itu

remainder 2

Apa yang tersisa, dan bilangan yang menjadi pokok seluruh halaman ini. Nilainya selalu lebih kecil daripada pembaginya dalam nilai mutlak, dan bernilai 0 setiap kali pembagiannya keluar dengan pas. Tandanya adalah seluruh perbedaan antara kedua aturan itu: menurut cara dipotong ia mengikuti bilangan yang dibagi, menurut cara euklides ia tidak pernah turun ke bawah 0

Membagi benda menjadi kelompok-kelompok adalah kasus sehari-harinya, dan justru pada kasus itulah aturannya tidak pernah berpengaruh: 47 benda yang dibagi menjadi kelompok berisi 5 menghasilkan 9 kelompok penuh dengan 2 tersisa, dan tidak ada yang akan menyebut jawabannya -9 dengan sisa -2. Aturannya mulai berpengaruh begitu bilangannya bisa negatif, dan itu terjadi jauh lebih sering daripada kesan sepintas. Pembagian bilangan bulat di dalam pemrograman adalah kasus yang umum — sebagian besar bahasa memotong, jadi -47 / 5 adalah -9 dan sisanya -2, dan kode yang mengandaikan sisanya tidak negatif akan rusak pada masukan negatif. Aritmetika modular adalah sisi yang lain: jam, tanggal kalender, perputaran berkeliling sebuah daftar, dan aritmetika komputer pada bilangan bulat berlebar tetap semuanya memerlukan versi euklides, karena 'tiga langkah ke belakang dari sini' harus mendarat pada posisi yang benar-benar ada di dalam putarannya. Di bangku sekolah, sisa menurut cara dipotong itulah yang diajarkan bersama pembagian bersusun, dengan bilangan negatif entah dikeluarkan atau ditangani oleh aturan yang sama, yaitu tanda mengikuti bilangan yang dibagi. Baris pemeriksaan itu layak dipakai di setiap keadaan seperti itu, karena kedua aturan menghasilkan hasil bagi yang berselisih satu dan sisa yang berselisih sebesar pembaginya, sedangkan kedua pasangan itu sama-sama memenuhi definisinya — pasangan yang tidak memenuhinya adalah kesalahan, apa pun aturan yang dimaksudkan.

1. 47 ÷ 5, ketika kedua aturan sepakat

   1. 5 masuk ke dalam 47 sembilan kali: 5 × 9 = 45
   2. 47 - 45 = 2, jadi tersisa 2
   3. Hasil bagi eksaknya 9,4, dan memotongnya memberi 9
   4. Membulatkan 9,4 ke bawah juga memberi 9, jadi kedua aturan sepakat di sini
   5. Pemeriksaan: 5 × 9 + 2 = 47

   Masukan bawaan, sekaligus kasus ketika bidang aturan tidak membuat perbedaan apa pun. Kedua aturan sepakat setiap kali bilangan yang dibagi dan pembaginya bertanda sama, dan itu mencakup setiap pasangan bilangan positif — pilihannya baru muncul begitu salah satu dari keduanya negatif. Membaca baris pemeriksaan sebagai satu kalimat adalah kebiasaan yang layak dibentuk: pembagi kali hasil bagi ditambah sisa harus mengembalikan bilangan yang dibagi dengan tepat.

2. -47 ÷ 5 cara dipotong: sisanya menjadi negatif

   1. Hasil bagi eksaknya adalah -47 ÷ 5 = -9,4
   2. Memotong membuang bagian pecahannya dan menggerakkan hasil baginya menuju nol: -9
   3. 5 × -9 = -45, yaitu 2 lebih besar daripada -47, jadi 2 harus diambil kembali: sisanya -2
   4. Sisanya mengikuti tanda bilangan yang dibagi, dan itulah yang membuatnya negatif di sini
   5. Pemeriksaan: 5 × -9 + -2 = -47

   Hasil baginya -9 dan bukan -10, dan sisanya -2 dan bukan 3. Baik pasangan ini maupun pasangan berikutnya memenuhi definisi yang sama, dan itulah inti halaman ini: -9 dengan sisa -2 dan -10 dengan sisa 3 keduanya penguraian yang benar atas -47, dan aturan itulah yang menentukan mana yang Anda dapatkan. Sebagian besar bahasa pemrograman mendarat di sini, jadi kode yang mengandaikan sisanya tidak pernah negatif akan terkejut oleh baris ini.

3. -47 ÷ 5 cara Euklides: sisanya tetap tidak negatif

   1. Hasil bagi eksaknya tetap -47 ÷ 5 = -9,4
   2. Membulatkan ke bawah menurunkannya ke bilangan bulat berikutnya dan bukan menuju nol: -10
   3. 5 × -10 = -50, yaitu 3 di bawah -47, jadi tersisa 3: sisanya 3
   4. Sisanya tidak negatif, dan itulah yang dijamin aturan ini
   5. Pemeriksaan: 5 × -10 + 3 = -47

   Bilangan yang dibagi sama, pembagi sama, jawabannya berbeda — dan yang ini bukan koreksi atas contoh sebelumnya. Cara euklides itulah yang diperlukan aritmetika modular, karena sisa yang mewakili posisi di dalam sebuah putaran tidak boleh negatif; -47 modulo 5 bernilai 3 dalam keadaan itu, dan setiap hasil operasi modulo diharapkan jatuh di antara 0 dan pembaginya. Hasil baginya satu lebih rendah daripada menurut cara dipotong, dan sisanya lebih besar tepat sebesar pembaginya, dan itulah hubungan tetap antara kedua aturan itu.

4. Pembagi negatif di dekat batas: 1.000.000.000 ÷ -999.999.999

   1. Pembaginya negatif, jadi hasil bagi eksaknya negatif: sekitar -1,000000001
   2. Memotong menuju nol memberi -1
   3. -999.999.999 × -1 = 999.999.999, yaitu kurang 1 dari 1.000.000.000
   4. Sisanya 1, dan ia mengikuti tanda bilangan yang dibagi, yang positif
   5. Pemeriksaan: -999.999.999 × -1 + 1 = 1.000.000.000

   Kedua bilangan berada di tepi apa yang diterima halaman ini, dan hasil baginya keluar sebagai -1 karena nilai mutlak pembaginya hanya sedikit lebih besar daripada bilangan yang dibagi. Baris pemeriksaannya bagian yang layak dibaca: dua bilangan negatif yang dikalikan menghasilkan bilangan positif, ditambah sisa 1, mendarat tepat pada bilangan yang dibagi. Pembagi yang negatif membalik tanda hasil baginya pada kedua aturan, sedangkan sisanya tetap mengikuti bilangan yang dibagi.

Bilangan yang dibagi maupun pembaginya harus bilangan bulat dari -1.000.000.000 sampai 1.000.000.000, dan pembaginya tidak boleh 0 pada aturan mana pun — tidak ada bilangan yang, dikalikan 0, mengembalikan bilangan yang dibagi yang bukan nol, sehingga tidak ada hasil bagi dan sisa yang bisa memenuhi pemeriksaannya. Bilangan pecahan ditolak dan tidak dibulatkan: sisa adalah pernyataan tentang bilangan bulat yang membagi bilangan bulat. Bidang aturan berisi salah satu dari dua nilai, dipotong atau euklides, dan keduanya selalu tersedia; tidak ada pilihan ketiga, dan halaman ini tidak akan menebak mana yang Anda maksudkan. Dengan kedua bilangan positif, pilihannya tidak membuat perbedaan, dan kedua aturan tidak pernah berselisih tentang apa pun selain tanda sisanya dan hasil bagi yang berselisih satu. Menurut cara dipotong, sisanya bisa negatif, dan itu perilaku aturannya dan bukan kesalahan. Tabel rujukan di bawah tetap pada ±47 dan ±5 dan tidak mengikuti masukan Anda: ia memaparkan keempat kombinasi tanda supaya kedua aturan bisa dibandingkan berdampingan, sedangkan panel di atas menjawab apa pun yang Anda ketik. Setiap nilainya eksak — keempat bilangan itu bilangan bulat yang jauh di dalam rentang yang dipegang komputer dengan tepat — jadi tidak ada apa pun di sini yang pernah dibulatkan.

Mengapa ada dua jawaban untuk pembagian yang sama?

Karena definisinya hanya mengatakan bahwa hasil bagi kali pembagi ditambah sisa harus mengembalikan bilangan yang dibagi, dan untuk bilangan yang dibagi yang negatif baik hasil bagi yang lebih kecil dengan sisa negatif maupun hasil bagi yang lebih besar dengan sisa positif sama-sama memenuhinya. -47 ÷ 5 adalah -9 sisa -2 ketika hasil baginya dipotong menuju nol, dan -10 sisa 3 ketika dibulatkan ke bawah. Keduanya benar, dan aturan itulah yang menentukan mana yang Anda dapatkan.

Aturan mana yang sebaiknya saya pakai?

Cara dipotong menjadi bawaan di sini karena itulah yang dihasilkan sebagian besar bahasa pemrograman dan itulah yang dimaksud kebanyakan orang dengan pembagian bilangan bulat — hasil baginya bergerak menuju nol dan sisanya mengikuti tanda bilangan yang dibagi. Ambil cara euklides ketika sisanya harus tidak negatif: modulo dalam pengertian matematika, posisi di dalam sebuah putaran, aritmetika kalender, dan apa pun yang menjadikan sisanya indeks ke dalam daftar yang berulang. Dengan dua bilangan positif, pilihannya tidak membuat perbedaan sama sekali.

Bisakah sisanya negatif?

Bisa, tetapi hanya menurut cara dipotong. Menurut aturan itu sisanya mengikuti tanda bilangan yang dibagi, sehingga -47 ÷ 5 memberi sisa -2. Itu perilaku aturannya dan bukan kesalahan, dan tidak ada yang rusak pada halaman ini ketika hal itu terjadi. Menurut cara euklides sisanya tidak pernah negatif, karena hasil baginya diturunkan ke bilangan bulat berikutnya dan bukan digerakkan menuju nol. Itu juga sebabnya aturan yang dipakai selalu ditampilkan di sebelah hasilnya: tanpa keterangan itu, -2 dan 3 akan terlihat seperti dua jawaban yang bertentangan untuk satu perhitungan yang sama.

Apa gunanya baris pemeriksaan itu?

Ia mengikat hasil bagi dan sisanya menjadi satu pernyataan yang bisa Anda periksa sendiri: pembagi kali hasil bagi ditambah sisa harus sama dengan bilangan yang dibagi. Karena kedua aturan menghasilkan hasil bagi yang berselisih satu dan sisa yang berselisih sebesar pembaginya, hanya definisi itu yang bisa memberi tahu Anda apakah sepasang jawaban memang sah — dan pasangan yang tidak memenuhinya adalah kesalahan, apa pun aturan yang dimaksudkan. Baris itu juga berguna ketika bilangan negatif mulai terlibat: mengalikan dua bilangan negatif menjadi bagian yang paling mudah salah, dan pemeriksaannya membuat kesalahan itu langsung terlihat.

Mengapa pembaginya tidak boleh nol?

Karena tidak ada jawaban yang bisa memenuhi pemeriksaannya. Pembagi kali hasil bagi akan selalu 0, sehingga tidak ada hasil bagi dan sisa yang bisa mengembalikan bilangan yang dibagi yang bukan nol, dan penolakan itu adalah hasil yang jujur. Halaman ini memilih menolak masukannya daripada mengembalikan angka pengganti yang terlihat seperti jawaban dan salah untuk setiap masukan yang bukan nol. Itu alasan yang sama dengan alasan pembagian dengan nol tidak terdefinisi di seluruh aritmetika, dan bukan pembatasan yang dipilih halaman ini sendiri.

Apa hubungannya dengan halaman modulo di situs ini?

Halaman modulo memakai aturan euklides dan tidak menawarkan pilihan lain, karena di sana sisanya menurut definisinya tidak pernah negatif. Halaman ini memaparkan kedua aturan berdampingan dan membiarkan Anda memilih, sebab pembagian bersusun memang punya dua kesepakatan yang beredar di lapangan dan pelajaran di sekolah bisa memakai salah satunya. Untuk -47 dibagi 5, cara euklides di sini memberi jawaban yang persis sama dengan halaman modulo, yaitu -10 dengan sisa 3 dan kongruensi -47 ≡ 3 (mod 5), sedangkan cara dipotong memberi -9 dengan sisa -2. Pakai halaman ini untuk melihat bagaimana kedua aturan berbeda pada sepasang bilangan tertentu; pakai halaman modulo ketika yang Anda inginkan adalah sisanya sendiri.

• Remainder — the definition, the identity linking dividend, divisor, quotient and remainder, and the different conventions in use when signs are involved — Wolfram MathWorld (United States)
• Modular arithmetic — where the non-negative remainder convention comes from, and why a negative remainder is not usable as a position in a cycle — Wolfram MathWorld (United States)
• Division — the dividend, divisor and quotient, and the identity restated as the check the page prints — Wolfram MathWorld (United States)