Kalkulator FPB

24 = 2³ × 3, 36 = 2² × 3², 60 = 2² × 3 × 5 ⇒ FPB(24, 36, 60) = 2² × 3 = 12, dan pembagi bersama ketiganya adalah 1, 2, 3, 4, 6, 12

24, 36, 60

Bilangan yang dibandingkan, dua sampai sepuluh buah, masing-masing bilangan bulat dari 1 sampai 1000000. Pemisahnya boleh spasi, koma, atau titik koma, jadi 24 36 60 dan 24, 36, 60 adalah masukan yang sama. Tanda desimal atau garis pecahan ditolak alih-alih dibulatkan begitu pula 0 — tidak ada satu kesepakatan pun untuk FPB(0, 0), dan halaman ini tidak akan memilihkannya untuk Anda

2³ × 3

Faktorisasi prima 24: tiga faktor dua dan satu faktor tiga. Setiap bilangan bulat di atas 1 punya tepat satu penguraian seperti ini, dan itulah yang membuat cara kedua bekerja

2² × 3

Bagian yang disetujui ketiga faktorisasi: dua buah 2 dan satu buah 3, sehingga 4 × 3 = 12. Aturannya mengambil pangkat terkecil dari setiap prima yang sama, bukan yang terbesar — faktornya harus membagi habis semua bilangan itu, jadi nilainya tidak mungkin melebihi yang diizinkan bilangan yang paling pelit

1, 2, 3, 4, 6, 12

Setiap pembagi bersama, dalam urutan menaik. Yang terakhir adalah faktor persekutuan terbesarnya, dan daftarnya sekaligus menjadi pemeriksaannya: 12 membagi habis 24, 36, dan 60 tanpa sisa, sedangkan pembagi berikutnya di atasnya, yaitu 18, hanya membagi habis 36

FPB(a, b, c) = FPB(FPB(a, b), c)

Bagaimana lebih dari dua bilangan ditangani: dua sekaligus, dengan hasil berjalan dilipat ke bilangan berikutnya. Ini bukan cara tersendiri, melainkan cara dua bilangan yang diterapkan berulang, dan karena itulah halaman ini memberi jawaban yang sama untuk tiga bilangan seperti untuk pasangan mana pun yang Anda mulai

koprima

Sebutan untuk pasangan yang pembagi bersamanya hanya 1, sehingga faktor persekutuan terbesarnya 1. Angka 9 dan 20 koprima meskipun tidak satu pun dari keduanya prima, dan setiap dua bilangan bulat yang berurutan selalu koprima

Menuliskan pecahan dalam bentuk paling sederhana adalah pemakaian sehari-hari: 24/36 menjadi 2/3 setelah kedua bagiannya dibagi 12, dan langkah yang sama merupakan hal pertama yang dilakukan setiap halaman pecahan di situs ini. Memperkecil resep atau gambar ke perbandingan bilangan bulat terkecilnya adalah operasi yang sama dengan pakaian berbeda — campuran yang ditulis 24 : 36 : 60 adalah campuran yang sama dengan 2 : 3 : 5, dan versi keduanya yang muat di sebuah label. Dalam pelajaran aritmetika, faktornya diminta secara langsung, dan daftar pembagi bersama yang tercetak itulah pekerjaannya: daftar itu menunjukkan jawabannya ditemukan dengan membandingkan pembagi dan bukan ditebak. Ada dua tempat lagi ia muncul. Memasang ubin pada sebuah persegi panjang dengan ubin persegi terbesar yang mungkin sebenarnya pertanyaan faktor persekutuan terbesar, dan jawabannya adalah ukuran ubinnya. Lalu di teori bilangan, dua bilangan yang koprima merupakan syarat yang membuat beberapa hasil lain bekerja, termasuk yang mendasari enkripsi RSA — sebuah modulus hanya aman ketika ia koprima terhadap pangkat yang dipakai bersamanya. Kalau bilangannya sulit, misalnya 1.071 dan 462, memfaktorkannya dengan tangan berhenti praktis dan algoritma Euclid mengambil alih — Kalkulator Algoritma Euclid memperlihatkan setiap putarannya, sedangkan halaman ini langsung memberi jawabannya; contoh di bawah menunjukkan kedua jalan itu bertemu pada angka 21 yang sama.

1. Faktor persekutuan terbesar dari 24, 36, dan 60

   1. Pembagi 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
   2. Pembagi 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
   3. Pembagi 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60
   4. Simpan yang dimuat ketiga daftar: 1, 2, 3, 4, 6, 12
   5. Yang terbesar di antaranya 12, jadi faktor persekutuan terbesarnya 12

   Masukan bawaan, dan yang diuraikan penuh oleh tabel di bawah. Kalau dikerjakan dengan faktorisasi prima: 24 adalah 2³ × 3, 36 adalah 2² × 3², 60 adalah 2² × 3 × 5, ketiganya sama-sama memuat 2² dan satu buah 3, dan 2² × 3 adalah 12. Daftar pembagi bersamanya itulah bagian yang layak disimpan — hanya keluaran itu yang menunjukkan jawabannya memang yang terbesar dan bukan sekadar salah satu pembagi bersama, sebab 8 dan 9 masing-masing membagi habis dua dari tiga bilangan itu tetapi tidak ketiganya.

2. Bilangan yang menyulitkan: 1.071 dan 462

   1. 1.071 ÷ 462 = 2 dengan sisa 147
   2. 462 ÷ 147 = 3 dengan sisa 21
   3. 147 ÷ 21 = 7 dengan sisa 0 — sisanya sudah nol, jadi berhenti
   4. Sisa terakhir yang bukan nol adalah 21, jadi faktor persekutuan terbesarnya 21
   5. Periksa dengan memfaktorkan keduanya: 1.071 = 3 × 3 × 7 × 17 dan 462 = 2 × 3 × 7 × 11, sehingga bagian yang sama adalah 3 × 7

   Pasangan inilah alasan algoritma Euclid ada di halaman ini: tidak satu pun dari kedua bilangannya bisa difaktorkan sekilas, dan mendaftar pembaginya dengan tangan akan lambat dan mudah keliru. Empat pembagian menyelesaikannya. Jawaban 21 juga merupakan bilangan terbesar yang membagi habis keduanya, dan daftar bersamanya pendek — 1, 3, 7, 21 — yang biasanya menjadi tanda bahwa kedua bilangan itu hanya sedikit berbagi.

3. Bilangan koprima: 9 dan 20

   1. Pembagi 9: 1, 3, 9
   2. Pembagi 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20
   3. Satu-satunya pembagi yang dimuat kedua daftar adalah 1
   4. Karena itu faktor persekutuan terbesarnya 1

   Jawaban bernilai 1 adalah jawaban sungguhan, bukan kegagalan — kedua bilangan itu koprima. Hal ini terjadi setiap kali kedua bilangan tidak berbagi satu pun bilangan prima, dan sering terjadi: setiap dua bilangan bulat yang berurutan selalu koprima, dan begitu pula sebuah bilangan prima yang dipasangkan dengan bilangan yang bukan kelipatannya. Di halaman ini pasangan koprima kembali dengan daftar pembagi bersama yang paling pendek, yaitu satu buah 1.

4. Sebuah bilangan dipasangkan dengan dirinya sendiri: 36 dan 36

   1. Pembagi 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
   2. Kedua entri di daftarnya adalah bilangan yang sama, sehingga kedua daftar pembaginya identik
   3. Pembagi bersama terbesarnya adalah 36 itu sendiri

   Batas atas dari apa yang bisa menjadi jawabannya: faktor persekutuan terbesar sebuah daftar tidak akan pernah lebih besar daripada bilangan terkecil di dalamnya, dan nilainya mencapai batas itu tepat ketika bilangan terkecil membagi habis semua bilangan lainnya. Mengulang sebuah bilangan pada masukan tidak mengubah apa pun — FPB dari 36 dan 36 adalah 36, sama dengan FPB dari daftar berisi satu bilangan.

Setiap bilangan harus bilangan bulat dari 1 sampai 1000000, dan banyaknya harus antara dua sampai sepuluh. Nol ditolak, dan itu sebuah keputusan dan bukan kelalaian: FPB(0, 5) bernilai 5 menurut salah satu kesepakatan yang lazim dan tidak terdefinisi menurut yang lain, sedangkan FPB(0, 0) bernilai 0 di sebagian buku teks dan tidak didefinisikan sama sekali di sisanya. Mencetak salah satu jawaban itu akan keliru bagi pembaca yang mengikuti kesepakatan berbeda, jadi halaman ini meminta bilangan positif saja. Bilangan negatif ditolak karena alasan sejenis — FPB dari −24 dan 36 adalah 12 menurut kebanyakan pembahasan, tetapi aturan tandanya merupakan kesepakatan tersendiri yang tidak dinyatakan halaman ini. Bilangan desimal dan pecahan ditolak alih-alih dibulatkan: faktor persekutuan terbesar adalah pernyataan tentang bilangan bulat yang membagi bilangan bulat, sedangkan 2,5 ÷ 1,25 tidak bersisa, dan itu akan membuat jawabannya tidak bermakna. Pemisahnya boleh spasi, koma, atau titik koma, dicampur atau tidak; apa pun selain itu dianggap bagian dari sebuah bilangan dan membuat masukannya tidak terbaca. Tabel referensi di bawah dipatok pada 24, 36, dan 60 dan tidak mengikuti apa yang Anda ketik — panel di ataslah yang menjawab bilangan Anda, sedangkan tabelnya memperlihatkan metodenya. Entri yang berulang diperbolehkan dan tidak mengubah apa pun. Jawabannya eksak dan tidak pernah dibulatkan: setiap nilai di halaman ini berupa bilangan bulat yang jauh di dalam rentang yang bisa disimpan mesin secara eksak.

Bagaimana mencari faktor persekutuan terbesar dengan tangan?

Daftarkan pembagi setiap bilangan lalu ambil yang terbesar di antara yang sama-sama dimiliki. Untuk 24, 36, dan 60 daftar-daftar itu bertemu di 12, jadi faktor persekutuan terbesarnya 12. Jalan yang lebih cepat untuk bilangan besar adalah algoritma Euclid: bagi bilangan yang lebih besar dengan yang lebih kecil, ganti bilangan yang lebih besar dengan sisanya, dan ulangi sampai sisanya nol — untuk 1.071 dan 462 itu empat kali pembagian dan jawabannya 21. Kedua jalan memberi bilangan yang sama, dan keduanya ditunjukkan pada contoh di atas.

Apa artinya kalau FPB-nya 1?

Bahwa bilangan-bilangan itu koprima, dan itu jawaban yang wajar dan bukan tanda ada yang salah. Angka 9 dan 20 tidak berbagi satu pun bilangan prima, sehingga 1 adalah satu-satunya bilangan yang membagi habis keduanya. Hal ini sering terjadi: setiap dua bilangan bulat yang berurutan koprima, dan begitu pula sebuah bilangan prima yang dipasangkan dengan apa pun yang bukan kelipatannya. Daftar pembagi bersamanya kembali sebagai satu buah 1 dalam kasus seperti itu.

Mengapa halaman ini menolak 0 dan bilangan negatif?

Karena jawabannya akan bergantung pada kesepakatan yang tidak dinyatakan halaman ini. FPB(0, 5) bernilai 5 di banyak buku teks dan tidak terdefinisi di buku lain, sedangkan FPB(0, 0) bernilai 0 di sebagian pembahasan dan tidak didefinisikan sama sekali di sisanya. Bilangan negatif membawa seperangkat aturan tanda tersendiri. Daripada memilih satu kesepakatan lalu diam-diam mencetaknya, halaman ini meminta bilangan bulat dari 1 ke atas, yaitu wilayah yang disepakati semua sumber.

Bagaimana cara faktorisasi prima bekerja?

Pecah setiap bilangan menjadi bilangan prima, lalu simpan prima yang muncul di semua bilangan itu, dengan mengambil pangkat terkecil dari masing-masing. Untuk 24, 36, dan 60 hasilnya 2² dan 3, jadi jawabannya 12. Alasan pangkatnya harus yang terkecil adalah karena faktornya harus membagi habis setiap bilangan dalam daftar: 36 punya 3² tetapi 24 hanya punya satu buah 3, sehingga 3 yang kedua akan menggagalkan pembagian 24. Faktorisasi lebih lambat daripada algoritma Euclid untuk bilangan yang menyulitkan, tetapi ia menjelaskan jawabannya.

Bisakah jawabannya lebih besar daripada bilangan terkecil dalam daftar?

Tidak. Pembagi bersama sebuah daftar harus membagi habis bilangan terkecil di dalamnya, jadi nilainya tidak akan pernah melampaui bilangan itu, dan faktornya mencapai tepat batas tersebut ketika bilangan terkecil membagi habis semua bilangan lainnya. FPB dari 36 dan 36 adalah 36, dan FPB dari 12, 24, serta 36 adalah 12. Nilainya juga tidak pernah lebih kecil daripada 1, karena 1 membagi habis setiap bilangan bulat.

Faktor persekutuan terbesar dipakai untuk apa?

Menuliskan pecahan dalam bentuk paling sederhana adalah pemakaian yang paling umum: membagi kedua bagian 24/36 dengan 12 memberi 2/3, nilai yang sama dengan penyebut sekecil mungkin. Memperkecil perbandingan adalah langkah yang sama — 24 : 36 : 60 adalah campuran yang sama dengan 2 : 3 : 5. Lalu dua bilangan yang koprima, yang sama artinya dengan FPB-nya 1, merupakan syarat yang dibutuhkan beberapa hasil dalam teori bilangan, termasuk yang mendasari enkripsi RSA.

• Greatest common divisor — the definition, the Euclidean algorithm, and the prime factorization method — Wolfram MathWorld (United States)
• Divisor — what it means for one whole number to divide another exactly, and how divisors are listed in pairs — Wolfram MathWorld (United States)
• Divisors of n arranged as a triangle — the sequence 1; 1, 2; 1, 3; 1, 2, 4; … that the divisor column of the table below is taken from, catalogued as OEIS A027750 — OEIS Foundation Inc. (United States)