Kalkulator Pecahan

Tambah atau kurang: a/b ± c/d = (a·d ± c·b) / (b·d) Kali: a/b × c/d = (a·c) / (b·d) Bagi: a/b ÷ c/d = (a·d) / (b·c) Lalu bagi kedua bagian dengan faktor persekutuan terbesar

Pecahan pertama

Pembilang dan penyebut, keduanya bilangan bulat. Pembilang boleh negatif atau nol; penyebut tidak boleh nol dan tidak boleh lebih dari seratus ribu

Operasi

Salah satu dari empat operasi, dipilih dari daftar karena hanya ada empat — menambah, mengurangi, mengalikan, atau membagi pecahan pertama dengan pecahan kedua. Pembagian dikerjakan dengan membalik pecahan kedua, sehingga di sinilah pembilang nol pada pecahan kedua ditolak

Pecahan kedua

Operan lainnya, dengan aturan yang sama: pembilang bilangan bulat apa pun, penyebut bukan nol sampai seratus ribu. Pembilangnya menjadi penyebut bentuk kebalikannya ketika operasinya pembagian

Sebelum disederhanakan

Pecahan langsung dari aturannya, belum ada yang dibagi habis: 1/4 ditambah 1/6 melewati 10/24. Penyebutnya adalah hasil kali kedua penyebut asal — itulah sebabnya bentuk ini kadang disebut perkalian silang, dan sebabnya bentuk ini bisa lebih besar daripada penyebut persekutuan terkecil

Pecahan paling sederhana

Nilai yang sama setelah faktor persekutuan terbesar dibagi keluar dari kedua bagian: 10/24 menyusut menjadi 5/12. Inilah jawabannya, dan langkah di antara kedua keluaran itu adalah keseluruhan proses penyederhanaan pecahan

Desimal

Jawabannya sebagai desimal, sampai enam tempat: 5/6 adalah 0,833333. Nilai yang tidak habis dibagi dibulatkan, bukan dipotong, dan enam angka itu pilihan tampilan, bukan pernyataan tentang ketelitian pecahannya

Empat operasi, empat kesempatan, dan satu kebiasaan yang layak dipelihara. Menambah adalah yang Anda pakai untuk jumlah yang datang dalam bagian-bagian berbeda dari satu keseluruhan — sepertiga cangkir ditambah seperempat cangkir, dan halaman ini mengatakan hasilnya 7/12. Mengurangi sama saja dengan arah dibalik, dan di sinilah urutan kedua pecahan berpengaruh: 1/2 dikurangi 1/3 memberi 1/6, sedangkan 1/3 dikurangi 1/2 memberi -1/6, jadi pecahan yang Anda isi lebih dulu adalah yang dikurangi. Mengalikan adalah yang paling sederhana dari keempatnya dan yang paling sering dipikirkan terlalu rumit — kalikan lurus, pembilang dengan pembilang dan penyebut dengan penyebut, tanpa penyebut persekutuan yang perlu dicari; setengah dari dua per tiga adalah sepertiga. Membagi berarti mengalikan dengan kebalikannya, dan itulah yang paling sering orang serahkan ke kalkulator: 3/4 dibagi 1/2 sama dengan 3/4 dikali 2, yaitu 6/4 yang menyederhana menjadi 3/2. Di bawah keempatnya ada satu kebiasaan: periksa jawabannya dengan desimal kasar. Sepuluh per dua puluh empat sedikit lebih dari delapan persepuluh, dan lima per dua belas juga, jadi penyederhanaan tadi tidak mengubah nilainya — dan itulah satu-satunya hal yang boleh dilakukan penyederhanaan terhadap sebuah bilangan. Kalau kedua desimal itu berbeda, kesalahannya ada di aritmetika, bukan di penyederhanaan, dan membaca ulang keluaran bentuk paling sederhana tidak akan menemukannya.

1. Setengah ditambah sepertiga

   1. Penyebut persekutuan lewat perkalian silang: 2 × 3 = 6
   2. Pembilang pertama: 1 × 3 = 3
   3. Pembilang kedua: 1 × 2 = 2
   4. Jumlahkan pembilangnya di atas penyebut persekutuan: (3 + 2) / 6 = 5/6
   5. Tidak ada yang bisa dibagi habis — 5 dan 6 tidak punya faktor bersama — jadi bentuk sebelum disederhanakan sama dengan jawabannya, dan desimalnya 0,833333

   Kasus bawaan, dan salah satu kasus ketika kedua keluaran pecahan itu kebetulan sama. Itu terjadi setiap kali bentuk hasil perkalian silang sudah merupakan pecahan paling sederhana, yang untuk jumlah dua pecahan satuan berarti kedua penyebutnya saling prima. Ada baiknya melihat kasus ini lebih dulu sebelum kasus yang kedua keluarannya berbeda, supaya halaman yang menampilkan satu pecahan dua kali tidak terlihat seperti kerusakan.

2. Seperempat ditambah seperenam, dalam kedua bentuk

   1. Penyebut persekutuan lewat perkalian silang: 4 × 6 = 24
   2. Pembilang pertama: 1 × 6 = 6; pembilang kedua: 1 × 4 = 4
   3. Jumlahkan keduanya di atas penyebut persekutuan: (6 + 4) / 24 = 10/24
   4. Cari faktor persekutuan terbesar dari 10 dan 24: 2
   5. Bagi kedua bagian dengan 2: jawabannya 5/12, dan sebagai desimal 0,416667

   Contoh yang menjelaskan mengapa ada dua keluaran. Dua puluh empat bukan bilangan terkecil yang habis dibagi empat dan enam — dua belas yang terkecil — sehingga bentuk sebelum disederhanakan lebih besar daripada yang seharusnya, dan langkah penyederhanaan benar-benar bekerja di sini. Melewati hasil kali penyebut, bukan kelipatan persekutuan terkecil, bukan kemalasan: aturan itu berlaku untuk setiap pasangan penyebut tanpa perlu memeriksa faktornya, dan penyederhanaan sesudahnya mengembalikannya ke bentuk rapi. Sepuluh per dua puluh empat dan lima per dua belas adalah bilangan yang sama, dan desimal yang sama di ujung kedua bentuk itu yang membuktikannya.

3. Dua per tiga dikali tiga per empat

   1. Kalikan lurus: 2 × 3 = 6 di atas 3 × 4 = 12
   2. Penyebut persekutuan tidak diperlukan — langkah itu hanya milik penjumlahan dan pengurangan
   3. Bagi habis angka enamnya: 6 ÷ 6 = 1 dan 12 ÷ 6 = 2
   4. Jawabannya 1/2, yaitu 0,5

   Perkalian, ketika penyebutnya cukup dikalikan dan tidak ada yang perlu disamakan lebih dulu. Penyederhanaan di sini layak diperhatikan: dua per tiga dikali tiga per empat menghasilkan setengah, lebih kecil daripada kedua operannya karena keduanya kurang dari satu — hasil yang mengejutkan orang yang mengira perkalian selalu membesarkan, dan pemeriksaan terhadap 0,5 memastikannya dalam satu langkah.

4. Setengah dibagi tiga per empat

   1. Balik pecahan kedua: 3/4 menjadi 4/3
   2. Kerjakan sebagai perkalian: (1 × 4) / (2 × 3) = 4/6
   3. Bagi habis angka duanya: 4 ÷ 2 = 2 dan 6 ÷ 2 = 3
   4. Jawabannya 2/3, yaitu 0,666667

   Pembagian, yaitu perkalian dengan kebalikannya — aturan yang membuat pembilang pecahan kedua berakhir di penyebut jawaban. Perhatikan arahnya: setengah dibagi tiga per empat memberi dua per tiga, lebih besar daripada setengah yang Anda mulai, karena pembaginya kurang dari satu. Membagi dengan bilangan di bawah satu selalu membesarkan hasilnya, dan itu pemeriksaan cepat yang paling mudah dipakai di sini.

5. Sepertiga dikurangi sepertiga

   1. Penyebut persekutuan: 3 × 3 = 9
   2. Pembilang pertama 1 × 3 = 3, pembilang kedua 1 × 3 = 3
   3. Kurangkan: (3 − 3) / 9 = 0/9
   4. Sederhanakan: nol dibagi berapa pun tetap nol, dan jawabannya ditulis 0, bukan 0/9

   Nol, yang merupakan jawaban sah dan bukan hasil kosong — kedua pecahannya sama, dan dua bilangan yang sama kalau dikurangkan habis. Keluaran sebelum disederhanakan tetap menyimpan bentuk pekerjaan yang menghasilkannya, sembilan di penyebut, sementara jawabannya menciut menjadi satu angka. Hal serupa terjadi di ujung lain: sembilan per empat dibagi sembilan per empat memberi bilangan bulat 1 dengan 36/36 sebagai bentuk sebelum disederhanakan, jadi pecahan yang pembilang dan penyebutnya sama ditulis sebagai bilangan bulat, bukan sebagai pecahan di atas dirinya sendiri.

Keluaran sebelum disederhanakan adalah hasil perkalian silang, bukan penyebut persekutuan terkecil. Menjumlahkan seperempat dan seperenam melewati dua puluh empat, padahal dua belas sudah cukup, sehingga pecahan antara itu lebih besar daripada bentuk rapi yang diharapkan orang yang menanti kelipatan persekutuan terkecil. Keduanya bilangan yang sama dan jawabannya benar — perbedaan kedua keluaran hanya seberapa banyak yang sudah dibagi habis — tetapi kalau yang Anda butuhkan adalah penyebut terkecil, bacalah keluaran bentuk paling sederhana. Hasilnya selalu pecahan tak wajar, tidak pernah pecahan campuran: sembilan per empat tetap 9/4 dan tidak menjadi 2 1/4, sedangkan hasil bilangan bulat ditulis sebagai bilangan bulat sehingga 1/2 dibagi 1/2 adalah 1, bukan 1/1. Keluaran desimal dibulatkan sampai enam tempat, jadi fungsinya memeriksa jawaban, bukan menyatakannya: sepertiga adalah 0,333333 dan sepertiga ditambah dua per tiga tampil sebagai 0,999999, bukan 1, sementara keluaran pecahannya lewat perhitungan yang sama memberi 1 dengan tepat. Penyebut dibatasi seratus ribu, dan itu batas yang disengaja atas berapa banyak penyederhanaan yang dikerjakan halaman ini sekaligus. Tiga masukan ditolak, bukan dijawab: penyebut nol, karena pecahannya tidak punya nilai; pembagian yang pembilang keduanya nol, karena kebalikan dari nol bukan bilangan; dan pembilang yang terlalu besar sehingga perkalian silangnya keluar dari rentang aritmetika bilangan bulat eksak, yang dilaporkan halaman ini sebagai galat alih-alih mencetak pecahan hampiran. Pembilang bukan bilangan bulat juga ditolak, sehingga nilai seperti satu setengah di kolom pembilang harus Anda ubah sendiri menjadi pecahan tak wajar sebelum diterima.

Mengapa kedua keluaran pecahan itu berbeda?

Karena yang satu adalah jawabannya dan yang lain adalah pekerjaannya. Bentuk sebelum disederhanakan datang langsung dari aturannya — kedua penyebut dikalikan, tiap pembilang dikalikan dengan penyebut seberangnya — sedangkan bentuk paling sederhana adalah nilai yang sama setelah faktor persekutuan terbesarnya dibagi keluar dari kedua bagian. Seperempat ditambah seperenam adalah 10/24 sebelum disederhanakan dan 5/12 sesudahnya; desimalnya sama, dan itu buktinya bahwa hanya penulisannya yang berubah.

Mengapa penyebut sebelum disederhanakan bernilai 24 padahal 12 sudah cukup?

Karena halaman ini mencari penyebut persekutuan dengan mengalikan kedua penyebut, bukan dengan mencari bilangan terkecil yang habis dibagi keduanya. Dua puluh empat adalah empat kali enam, dan itu penyebut persekutuan yang sah meskipun dua belas lebih kecil. Pertukarannya disengaja: mengalikan selalu berhasil dan tidak menuntut pemeriksaan faktor, dan langkah penyederhanaan sesudahnya tetap membawa jawaban ke bentuk paling sederhana. Jadi keluaran pecahan paling sederhana tetap dapat dipercaya meskipun bentuk antaranya terlihat boros.

Bagaimana cara membagi pecahan?

Kalikan dengan kebalikannya: balik pecahan kedua lalu kalikan lurus. Setengah dibagi tiga per empat sama dengan setengah dikali empat per tiga, yaitu 4/6, yang menyederhana menjadi 2/3. Aturannya ada karena membagi dengan sebuah bilangan sama dengan mengalikannya dengan kebalikan bilangan itu, dan itulah sebabnya pembilang pecahan kedua berakhir di penyebut jawaban — 0,666667 melawan 0,5 memastikan jawabannya membesar, seperti yang harus terjadi kalau pembaginya kurang dari satu.

Bisakah jawabannya berupa pecahan campuran?

Tidak — hasilnya selalu pecahan tak wajar, jadi 9/4 kembali sebagai 9/4 dan bukan sebagai 2 1/4. Pecahan tak wajar adalah bentuk yang tetap bisa dipakai: menjumlahkan atau mengalikan pecahan campuran mengharuskan Anda mengubahnya lebih dulu kembali menjadi pecahan tak wajar, jadi mencetaknya sebagai pecahan campuran hanya berarti mengubahnya lagi di langkah berikutnya. Mengubah 9/4 menjadi 2 1/4 menuntut satu pembagian, dan membaca keluaran desimal melakukan pemeriksaan cepat yang setara.

Apa yang terjadi kalau penyebutnya nol?

Halaman ini melaporkan galat, dan memang tidak ada jawaban yang bisa diberikan: pecahan dengan penyebut nol tidak punya nilai, karena penyebut adalah banyaknya bagian yang membagi keseluruhan dan pembagian dengan nol tidak terdefinisi. Membagi dengan pecahan yang pembilangnya nol ditolak karena alasan yang sama — kebalikan dari nol bukan bilangan — sedangkan pembilang nol pada pecahan pertama tidak masalah dan memberi nol untuk setiap perkalian atau pembagian.

Bagaimana cara memastikan jawabannya benar?

Ubah kedua operan menjadi desimal kasar di kepala Anda lalu kerjakan operasinya pada angka-angka itu. Setengah ditambah sepertiga seharusnya mendarat di antara 0,8 dan 0,9, dan lima per enam adalah 0,833333. Mengalikan dua pecahan yang keduanya kurang dari satu seharusnya memberi hasil yang lebih kecil daripada keduanya, dan membagi dengan bilangan di bawah satu seharusnya memberi hasil yang lebih besar. Kalau jawaban kasar dan jawaban pecahan berbeda, masalahnya ada di aritmetika, bukan di penyederhanaan, sebab penyederhanaan hanya boleh mengubah cara sebuah bilangan ditulis.

• Fraction — numerator, denominator, the solidus and the rules for adding, multiplying and reducing fractions, including the common denominator that addition and subtraction require — Wolfram MathWorld (United States)
• Reduced Fraction — a fraction in lowest terms, obtained by dividing the numerator and denominator by their greatest common divisor, which is the step between the two fraction outputs on this page — Wolfram MathWorld (United States)
• Decimal fraction — an arithmetical fraction with an integral power of ten as its denominator, which is why a fraction like five twelfths has no exact decimal form and the decimal output has to be rounded — Encyclopedia of Mathematics, European Mathematical Society (international)