Kalkulator Penjumlahan Pecahan
Hasil
Jumlah (bentuk paling sederhana)
- Penyebut persekutuan
- 12
- Pecahan pertama, setelah dikonversi
- 3/12
- Pecahan kedua, setelah dikonversi
- 2/12
Kalkulator penjumlahan pecahan menjumlahkan dua pecahan sekaligus memperlihatkan langkah yang membuat penjumlahan itu mungkin: kedua pecahan ditulis ulang di atas penyebut persekutuan lebih dulu, baru pembilangnya dijumlahkan. 1/4 ditambah 1/6 memberi 5/12, dan pekerjaannya adalah 3/12 ditambah 2/12 — seperempat sama dengan tiga per dua belas, seperenam sama dengan dua per dua belas, jadi jumlahnya lima per dua belas. Langkah penulisan ulang itulah inti halaman ini. Pecahan bisa langsung dijumlahkan kalau penyebutnya sudah sama, sebab penyebut menamai ukuran potongannya dan pembilang menghitung banyaknya potongan: 1/5 ditambah 2/5 adalah tiga per lima, sama seperti satu apel ditambah dua apel adalah tiga apel. Penyebut yang berbeda menamai potongan dengan ukuran berbeda, dan menghitungnya bersama-sama sama dengan menjumlahkan apel dengan jeruk, sehingga tiap pecahan diubah lebih dulu menjadi pecahan yang senilai tetapi berpenyebut sama. Penyebut persekutuan yang dipakai di sini adalah kelipatan persekutuan terkecil dari kedua penyebut, yaitu bilangan terkecil yang habis dibagi keduanya: untuk 4 dan 6 bilangan itu 12, bukan 24. Mengalikan kedua penyebut selalu memberi penyebut persekutuan yang sah, dan itulah yang dipakai kalkulator pecahan empat operasi, tetapi potongan yang dihasilkannya bukan yang terkecil sehingga faktor lebihnya harus dibagi habis lagi sesudahnya. Halaman ini memilih jalan yang lebih rapi karena dua alasan: angka yang dikonversi tetap kecil, dan langkahnya sejalan dengan cara pecahan diajarkan di sekolah. Penyebut terkecil tidak menjamin jumlahnya sudah dalam bentuk paling sederhana: 1/3 ditambah 1/6 menjadi 2/6 ditambah 1/6, yaitu 3/6, lalu 1/2; dan 1/2 ditambah 1/2 menjadi 2/2, lalu 1. Karena itu jumlahnya disederhanakan sebelum dicetak, sementara kedua pecahan hasil konversi dibiarkan apa adanya — keduanya justru langkah yang sedang diperlihatkan. Hasilnya ditulis sebagai pecahan, termasuk yang tak wajar: 3/4 ditambah 5/8 memberi 11/8 alih-alih pecahan campuran, supaya setiap angka di panel ditulis dengan cara yang sama. Pembilang dan penyebut di halaman ini keduanya bilangan bulat, dan kedua penyebut punya batas atas, karena aritmetikanya dikerjakan eksak dalam bilangan bulat dan penyebut di kisaran ratusan ribu sudah jauh melewati kebutuhan sebuah halaman penjumlahan.
Penjumlahan yang sering muncul dan penyebut persekutuannya
| Pecahan pertama | Pecahan kedua | Penyebut persekutuan | Jumlah |
|---|---|---|---|
| 1/4 | 1/6 | 12 | 5/12 |
| 1/2 | 1/3 | 6 | 5/6 |
| 1/4 | 1/2 | 4 | 3/4 |
| 1/3 | 1/6 | 6 | 1/2 |
| 2/3 | 1/6 | 6 | 5/6 |
| 3/4 | 5/8 | 8 | 11/8 |
| 1/7 | 1/11 | 77 | 18/77 |
| 1/2 | 1/2 | 2 | 1 |
Baris pertama adalah kasus bawaan dan contoh paling jelas dari apa yang dibeli kelipatan persekutuan terkecil: 1/4 dan 1/6 memberi penyebut persekutuan 12, bukan 24. Baris kedua adalah keadaan ketika kedua penyebut tidak punya faktor bersama, sehingga penyebut persekutuannya memang hasil kali keduanya, dan baris itulah yang membuat jalan pintas tadi tampak berlaku umum. Baris ketiga punya satu penyebut yang habis dibagi penyebut yang lain, jadi penyebut persekutuannya cukup yang lebih besar. Baris keempat adalah baris yang menunjukkan jumlahnya masih perlu dikerjakan meskipun penyebut persekutuannya sudah yang terkecil: 1/3 ditambah 1/6 adalah 2/6 ditambah 1/6, dan 3/6 masih harus disederhanakan menjadi 1/2. Baris kedua dan kelima sama-sama berakhir di 5/6 lewat dua jalan berbeda, dan itu layak diperhatikan: 1/2 ditambah 1/3 dan 2/3 ditambah 1/6 sama-sama dikonversi ke per enam dan sama-sama berjumlah lima bagian, jadi jawaban yang sama datang dari dua pasangan pecahan yang tidak berhubungan. Baris keenam adalah hasil tak wajar yang dibiarkan tak wajar, baris ketujuh adalah pasangan yang sama sekali tidak punya faktor bersama dengan penyebut persekutuan 77, dan baris terakhir adalah dua per dua yang membentuk satu keseluruhan, yang dicetak panel sebagai 1. Semua baris keluar dari rumus yang sama, dan tidak ada satu pun yang merupakan kasus khusus.
Rumus
Penyebut persekutuan = kelipatan persekutuan terkecil dari kedua penyebut Pecahan terkonversi = tiap pembilang × (penyebut persekutuan ÷ penyebutnya sendiri) Jumlah = (pembilang pertama terkonversi + pembilang kedua terkonversi) ÷ penyebut persekutuan, disederhanakan
- Pecahan pertama
- Pembilang dan penyebut yang pertama. Penyebutnya tidak boleh nol, dan pembilangnya yang membawa tanda minus kalau pecahannya negatif
- Pecahan kedua
- Pembilang dan penyebut yang kedua, diperlakukan persis sama seperti yang pertama: urutan kedua suku tidak mengubah jumlahnya
- Penyebut persekutuan
- Kelipatan persekutuan terkecil dari kedua penyebut: 12 untuk 1/4 ditambah 1/6. Itu bilangan terkecil yang habis dibagi kedua penyebut, dan itulah yang membuat kedua pembilang bisa dihitung bersama
- Pecahan terkonversi
- Tiap pecahan ditulis ulang di atas penyebut persekutuan, artinya pembilangnya dikalikan dengan faktor yang sama seperti penyebutnya: 1/4 menjadi 3/12 dan 1/6 menjadi 2/12. Nilainya tidak berubah; yang berubah hanya ukuran potongannya
- Jumlah
- Kedua pembilang terkonversi dijumlahkan di atas penyebut persekutuan, lalu dibawa ke bentuk paling sederhana. Hasilnya dicetak sebagai pecahan, dan pecahan tak wajar dibiarkan tak wajar alih-alih diubah menjadi pecahan campuran
Anda menjumlahkan dua pecahan dengan cara ini setiap kali penyebutnya berbeda, dan dalam praktik hampir selalu begitu. Pemakaian pertama adalah pekerjaan sekolah, ketika yang dinilai justru langkah konversinya dan bukan jawabannya: panel mencetak kedua pecahan terkonversi supaya pekerjaannya bisa dicocokkan dengan buku catatan, bukan cuma angka akhirnya. Pemakaian kedua adalah ukuran yang datang dalam potongan berbeda ukuran, misalnya seperempat jam ditambah seperenam jam, dan jumlahnya baru bermakna setelah keduanya dihitung dalam satuan yang sama, di sini per dua belas jam. Pemakaian ketiga adalah memeriksa hitungan orang lain: total yang keluar sebagai 10/24 untuk seperempat ditambah seperenam dihitung dengan mengalikan kedua penyebut — benar, tetapi belum disederhanakan — dan penyebut persekutuan 12 di halaman ini menunjukkan bahwa penjumlahan yang sama bisa dikerjakan dengan potongan yang lebih besar. Kalau penyebutnya sudah sama, langkah konversinya tidak melakukan apa-apa dan pembilangnya cukup dijumlahkan.
Contoh hitungan
1/4 + 1/6, kasus bawaan
- Kelipatan persekutuan terkecil dari 4 dan 6: 12
- Konversi pecahan pertama: 1/4 = 3/12, karena 12 ÷ 4 = 3
- Konversi pecahan kedua: 1/6 = 2/12, karena 12 ÷ 6 = 2
- Jumlahkan pembilangnya: 3 + 2 = 5, sehingga hasilnya 5/12
Kasus bawaan, dan kasus yang menunjukkan apa yang dibeli oleh penyebut persekutuan: potongannya dua belas per dua belas, bukan dua puluh empat per dua puluh empat, karena 12 adalah bilangan terkecil yang habis dibagi 4 dan 6. Jumlahnya sudah dalam bentuk paling sederhana.
1/2 + 1/3, penyebut yang saling prima
- Kelipatan persekutuan terkecil dari 2 dan 3: 6
- Konversi pecahan pertama: 1/2 = 3/6
- Konversi pecahan kedua: 1/3 = 2/6
- Jumlahkan pembilangnya: 3 + 2 = 5, sehingga hasilnya 5/6
Penyebut persekutuannya kebetulan sama dengan hasil kali kedua penyebut, karena 2 dan 3 tidak punya faktor bersama. Itu satu-satunya keadaan ketika mengalikan kedua penyebut memberi jawaban yang sama dengan kelipatan persekutuan terkecil, dan itulah sebabnya jalan pintas tadi tampak selalu berhasil.
3/4 + 5/8, hasilnya pecahan tak wajar
- Kelipatan persekutuan terkecil dari 4 dan 8: 8, karena 8 sudah merupakan kelipatan 4
- Konversi pecahan pertama: 3/4 = 6/8
- Konversi pecahan kedua: 5/8 sudah dalam per delapan
- Jumlahkan pembilangnya: 6 + 5 = 11, sehingga hasilnya 11/8
Salah satu penyebut habis dibagi penyebut yang lain, jadi penyebut persekutuannya adalah yang lebih besar, bukan hasil kalinya. Jumlahnya lebih dari satu, dan ditulis sebagai 11/8: pecahan tak wajar adalah cara yang sah untuk menyatakannya, dan dengan begitu setiap angka di panel memakai notasi yang sama.
1/2 + 1/2, hasilnya bilangan bulat
- Kedua penyebutnya sudah sama, jadi penyebut persekutuannya 2
- Konversi: kedua pecahan sudah dalam per dua
- Jumlahkan pembilangnya: 1 + 1 = 2, sehingga hasilnya 2/2
- Sederhanakan: 2/2 adalah 1
Dua per dua membentuk satu keseluruhan, dan panel menulisnya sebagai 1, bukan 2/2 atau 1/1. Langkah penyederhanaan tetap wajib meskipun penyebut persekutuannya yang terkecil: kedua pecahan terkonversi sudah dalam bentuk paling sederhana, tetapi jumlahnya belum tentu.
Batasan
Kedua masukan harus bilangan bulat, jadi 0,5 ditambah 1/3 bukan sesuatu yang dijumlahkan halaman ini: ubah dulu desimalnya menjadi pecahan, dan alasannya adalah seluruh perhitungan dikerjakan dalam aritmetika bilangan bulat eksak, yang berhenti eksak begitu ada desimal di dalamnya. Penyebutnya harus positif dan punya batas, dan pembilangnya juga dibatasi, karena kedua pembilang terkonversi dikalikan naik sebelum dijumlahkan. Hasilnya selalu ditulis sebagai pecahan dan tidak pernah sebagai pecahan campuran, sehingga jumlah 11/8 tetap 11/8 dan tidak menjadi 1 3/8. Penyebut persekutuannya adalah kelipatan persekutuan terkecil, dan itu langkah antara yang berbeda dari yang ditampilkan kalkulator pecahan empat operasi: menjumlahkan pasangan yang sama di sana memberi 6/24 dan 4/24 alih-alih 3/12 dan 2/12, dan keduanya benar, hanya ukuran potongannya yang berbeda. Halaman ini hanya menjumlahkan: pengurangan, perkalian, dan pembagian punya halamannya masing-masing, sedangkan hasil negatif ditulis dengan tanda minus di pembilang. Terakhir, halaman ini bekerja pada pecahan dan bukan pada bilangan campuran, jadi pecahan campuran harus diubah dulu menjadi pecahan tak wajar sebelum bisa diketik.
Pertanyaan yang sering diajukan
- Bagaimana cara menjumlahkan pecahan berpenyebut berbeda?
- Tulis ulang kedua pecahan yang Anda punya supaya penyebutnya sama, lalu jumlahkan pembilangnya dan pertahankan penyebut itu. Itulah seluruh rumusnya: untuk 1/4 dan 1/6 penyebut bersamanya 12, sehingga keduanya menjadi 3/12 dan 2/12 dan jumlahnya 5/12.
- Bagaimana penyebut persekutuannya dicari?
- Dari kelipatan persekutuan terkecil kedua penyebut: bilangan terkecil yang habis dibagi keduanya. Untuk 4 dan 6 bilangan itu 12. Mengalikan kedua penyebut juga selalu memberi jawaban yang bisa dipakai, tetapi hasilnya sering lebih besar daripada yang perlu.
- Mengapa tidak langsung mengalikan kedua penyebut saja?
- Boleh, dan jawabannya tetap benar, tetapi potongannya menjadi lebih kecil daripada yang perlu: 1/4 ditambah 1/6 dengan cara itu memberi 6/24 ditambah 4/24, yaitu 10/24, dan angka itu masih harus disederhanakan menjadi 5/12. Memakai kelipatan persekutuan terkecil mengerjakan pekerjaan yang sama dengan potongan per dua belas, bukan per dua puluh empat.
- Apakah hasilnya masih perlu disederhanakan?
- Kadang perlu, dan halaman ini menyederhanakannya sebelum mencetak hasil. Memakai penyebut persekutuan terkecil menjaga potongannya sebesar mungkin, tetapi tidak menjamin pembilangnya berjumlah sesuatu yang tidak punya faktor bersama: 1/3 ditambah 1/6 adalah 2/6 ditambah 1/6, yaitu 3/6, yang menyederhana menjadi 1/2.
- Bisakah hasilnya berupa pecahan tak wajar?
- Bisa, dan memang dicetak begitu: 3/4 ditambah 5/8 adalah 11/8, yang lebih dari satu. Menulisnya sebagai pecahan campuran adalah konversi tersendiri, dan halaman ini menjaga setiap angka tetap dalam bentuk pembilang di atas penyebut.
- Apa arti dua pecahan hasil konversi di panel?
- Keduanya adalah kedua suku yang ditulis ulang di atas penyebut persekutuan, dan itulah langkah yang menopang penjumlahannya: 1/4 menjadi 3/12 dan 1/6 menjadi 2/12. Nilainya tidak berubah, yang berubah hanya ukuran potongan yang dipakai menghitungnya.
- Bisakah saya menjumlahkan desimal dengan pecahan di sini?
- Tidak. Pembilang dan penyebut keduanya harus bilangan bulat, jadi 0,5 ditambah 1/3 ditolak. Alasannya, langkah konversi dan penjumlahannya dikerjakan dalam aritmetika bilangan bulat eksak, dan mengubah desimalnya menjadi pecahan lebih dulu menjaga sifat itu.
Referensi
- Fraction — the common denominator of two fractions is a common multiple of their denominators, and the least common denominator is the least of those; the entry works an addition through the conversion step that this page prints — Wolfram MathWorld (United States)
- Least Common Multiple — the smallest positive integer that both numbers divide, which is the common denominator this page uses, computed from the greatest common divisor rather than by listing multiples — Wolfram MathWorld (United States)
- Greatest Common Divisor — the largest integer dividing both numbers, which is what the least common multiple is derived from and what the sum is reduced by at the end — Wolfram MathWorld (United States)
- Reduced Fraction — a fraction written with the common factors of numerator and denominator cancelled; the converted fractions on this page are already in that form, while the sum may still need it — Wolfram MathWorld (United States)