Kalkulator Pengurangan Pecahan

a/b − c/d = (a × (L ÷ b) − c × (L ÷ d)) ÷ L dengan L = KPK(b, d), kelipatan persekutuan terkecil dari kedua penyebut Lalu sederhanakan selisihnya

Pembilang pertama

Bagian atas pecahan yang dikurangi: 3 pada 3/4. Angka ini dikalikan dengan berapa kali penyebutnya sendiri masuk ke penyebut persekutuan — dengan 3 pada kasus bawaan, yang mengubah 3/4 menjadi 9/12. Nilainya boleh negatif, dan tandanya ikut berpindah bersamanya

Penyebut pertama

Bagian bawah pecahan pertama: 4 pada 3/4. Harus positif, dan merupakan salah satu dari dua bilangan yang kelipatan persekutuan terkecilnya menjadi penyebut persekutuan

Pembilang kedua

Bagian atas pecahan yang diambil: 1 pada 1/6. Pengalinya berbeda dari pengali pecahan pertama — 2 pada kasus bawaan, sehingga menjadi 2/12 — dan ketidaksamaan itulah yang diperlihatkan oleh kedua angka hasil konversi

Penyebut kedua

Bagian bawah pecahan kedua: 6 pada 1/6. Bersama penyebut pertama, angka ini menetapkan penyebut persekutuan pada 12. Harus positif dengan alasan yang sama seperti penyebut pertama

Penyebut persekutuan (L)

Kelipatan persekutuan terkecil dari kedua penyebut: 12 untuk 4 dan 6, dan 77 untuk pasangan 7 dan 11 yang saling prima, ketika hasilnya memang berupa hasil kali biasa. Angka ini dihitung sebagai satu penyebut dibagi faktor persekutuan terbesar keduanya, lalu dikalikan penyebut yang lain, yaitu bilangan yang sama lewat jalan yang tidak meluap. Penyebut persekutuan yang lebih besar daripada yang perlu adalah kekeliruan aritmetika yang paling sering terjadi pada operasi ini

Pecahan terkonversi

Kedua pecahan setelah ditulis ulang di atas penyebut persekutuan: 9/12 dan 2/12 pada kasus bawaan. Keduanya dicetak sebagaimana hasil konversi dan bukan dalam bentuk paling sederhana, sebab menyederhanakannya akan menyembunyikan pengali yang mengerjakan pekerjaan itu. Pengurangannya terjadi di antara kedua pembilang ini

Selisih

Yang tersisa setelah kedua pembilang terkonversi dikurangkan: 9 − 2 = 7 di atas 12. Angka ini dicetak dalam bentuk paling sederhana, jadi bisa berbeda dari hasil pengurangan kedua pembilang terkonversi — 5/6 dikurangi 1/3 menyisakan 3/6, yang dicetak sebagai 1/2 — dan menciut menjadi angka 0 telanjang ketika kedua pecahannya sama besar

Pemakaian pertama adalah latihannya sendiri, yang diajarkan begitu penyebutnya berbeda, dan panelnya disusun mengikuti urutan buku pelajaran: cari penyebut persekutuan, konversi, kurangkan, sederhanakan. Pemakaian kedua adalah memeriksa pekerjaan tangan, dan yang berguna justru kedua angka hasil konversi — kalau angka Anda bukan itu, semua langkah sesudahnya ikut berbeda. Pemakaian ketiga adalah pasangan penyebut yang punya faktor bersama, seperti 4 dan 6, ketika penyebut persekutuannya lebih kecil daripada hasil kali dan panel memperlihatkan penghematannya. Pemakaian keempat adalah pasangan penyebut yang saling prima seperti 7 dan 11, yaitu ujung yang lain: tidak ada faktor bersama, penyebut persekutuannya adalah hasil kali, dan jawabannya biasanya datang sudah dalam bentuk paling sederhana. Pemakaian kelima adalah pasangan pecahan yang sama besar, ketika selisihnya nol dan panel mencetaknya sebagai angka 0 telanjang, satu-satunya bacaan di halaman ini yang bukan pecahan. Halaman ini tidak menjumlahkan, mengalikan, atau membagi, dan tidak menerima pecahan campuran; ketiganya halaman lain.

1. 3/4 − 1/6

   1. Cari penyebut persekutuan: kelipatan persekutuan terkecil dari 4 dan 6 adalah 12, bukan 24, karena 4 × 6 sudah menghitung faktor bersama 2 dua kali
   2. Konversi pecahan pertama: 12 ÷ 4 = 3, jadi 3/4 menjadi (3 × 3)/(4 × 3) = 9/12
   3. Konversi pecahan kedua: 12 ÷ 6 = 2, jadi 1/6 menjadi (1 × 2)/(6 × 2) = 2/12
   4. Kurangkan pembilangnya di atas penyebut persekutuan: 9 − 2 = 7, sehingga hasilnya 7/12
   5. 7 dan 12 tidak punya faktor bersama, jadi 7/12 sudah dalam bentuk paling sederhana

   Kasus bawaan, dan kasus yang menunjukkan mengapa penyebut persekutuannya bukan sekadar hasil kali: 4 dan 6 sama-sama habis membagi 12, dan 12 adalah bilangan terkecil yang keduanya bagi, sehingga satuan per dua belas sudah cukup dan per dua puluh empat hanya menggandakan pekerjaan. Kedua angka hasil konversi adalah buktinya — 9/12 dan 2/12 berpenyebut sama, dan itulah yang membuat pengurangannya sah. Perhatikan juga bahwa kedua angka hasil konversi dicetak apa adanya dan tidak disederhanakan: 2/12 bisa ditulis sebagai 1/6, tetapi pengali yang menghasilkannya akan ikut hilang, padahal pengali itulah langkah yang sedang diperlihatkan.

2. 5/6 − 1/3, penyebutnya masih berbeda setelah dikurangi

   1. Cari penyebut persekutuan: 3 habis membagi 6, jadi kelipatan persekutuan terkecilnya 6
   2. Pecahan pertama tidak perlu dikonversi: 6 ÷ 6 = 1, jadi tetap 5/6
   3. Konversi pecahan kedua: 6 ÷ 3 = 2, jadi 1/3 menjadi 2/6
   4. Kurangkan: 5 − 2 = 3 di atas 6, sehingga hasilnya 3/6
   5. Sederhanakan: faktor persekutuan terbesar dari 3 dan 6 adalah 3, jadi 3/6 = 1/2

   Kasus yang menunjukkan bahwa penyebut persekutuan belum menyelesaikan pekerjaan. Selisih kedua pembilang terkonversi adalah 3/6, dan 3/6 bukan jawabannya — jawabannya 1/2, karena 3 dan 6 masih punya faktor bersama. Metode yang berhenti di penyebut persekutuan akan mencetak 3/6 di sini dan salah dengan cara yang tidak bisa dilihat halaman itu sendiri. Perhatikan pula bahwa salah satu dari kedua angka hasil konversi tidak berubah: kalau satu penyebut habis membagi penyebut yang lain, hanya satu pecahan yang perlu ditulis ulang, dan angka yang kembali sama seperti masuknya itu adalah catatan yang jujur tentang hal tersebut.

3. 1/7 − 1/11, kedua penyebut saling prima

   1. Cari penyebut persekutuan: 7 dan 11 tidak punya faktor bersama, jadi kelipatan persekutuan terkecilnya adalah hasil kali keduanya, 77
   2. Konversi pecahan pertama: 77 ÷ 7 = 11, jadi 1/7 menjadi 11/77
   3. Konversi pecahan kedua: 77 ÷ 11 = 7, jadi 1/11 menjadi 7/77
   4. Kurangkan: 11 − 7 = 4 di atas 77, sehingga hasilnya 4/77
   5. 4, 7, dan 11 tidak punya faktor bersama, jadi 4/77 sudah dalam bentuk paling sederhana

   Ujung yang lain dari penyebut persekutuan: dua penyebut yang tidak punya kesamaan apa pun, sehingga kelipatan persekutuan terkecilnya memang hasil kali dan kedua pecahan harus ditulis ulang. Inilah kasus ketika orang yang melewati kelipatan persekutuan terkecil dan selalu mengalikan penyebut mendapat jawaban yang sama — dan alasan kasus ini tetap ditampilkan adalah contoh sebelumnya, 4 dan 6, justru yang mereka kerjakan keliru. Perhatikan bahwa jawabannya 4/77 dan bukan sesuatu yang masih bisa disederhanakan: penyebut yang saling prima tidak menjamin jawabannya sudah sederhana, hanya membuatnya besar kemungkinan begitu, dan penyederhanaannya tetap dikerjakan atas hasil akhirnya.

4. 5/8 − 3/4, hasilnya negatif

   1. Cari penyebut persekutuan: 4 habis membagi 8, jadi kelipatan persekutuan terkecilnya 8
   2. Pecahan pertama tetap: 8 ÷ 8 = 1, sehingga tetap 5/8
   3. Konversi pecahan kedua: 8 ÷ 4 = 2, jadi 3/4 menjadi 6/8
   4. Kurangkan: 5 − 6 = -1 di atas 8, sehingga hasilnya -1/8

   Kedua pecahannya positif dan jawabannya tidak: mengurangkan pecahan yang lebih besar dari pecahan yang lebih kecil membawa hasilnya melewati nol, dan panel mengatakannya dengan tanda minus alih-alih menolak masukannya. Penyebut persekutuannya 8 dan kedua angka hasil konversinya 5/8 dan 6/8, dan itulah yang membuat hasilnya sudah bisa ditebak sebelum pengurangannya dikerjakan — pembilang kedua lebih besar. Tandanya tinggal di pembilang dan tidak di tempat lain: jawabannya -1/8, bukan 1/-8, dan penyebutnya tetap positif di setiap baris panel.

5. 1/2 − 1/2, hasilnya bukan pecahan

   1. Penyebutnya sama, jadi kelipatan persekutuan terkecilnya penyebut itu sendiri, 2
   2. Tidak ada pecahan yang perlu dikonversi: keduanya sudah ditulis di atas 2
   3. Kurangkan: 1 − 1 = 0 di atas 2, sehingga hasilnya 0/2
   4. Sederhanakan: faktor persekutuan terbesar dari 0 dan 2 adalah 2, jadi 0/2 menjadi 0/1, yang ditulis sebagai angka 0 telanjang

   Kasus ketika jawabannya sama sekali bukan pecahan. Dua pecahan yang sama besar selisihnya nol, dan nol menyederhana menjadi 0/1, yang oleh notasi pecahan ditulis tanpa penyebut — sehingga bacaan utamanya adalah angka 0 telanjang sementara baris penyebut persekutuannya masih berbunyi 2 dan kedua angka hasil konversinya masih berbunyi 1/2. Itulah intinya: kedua masukannya pecahan sungguhan dan metodenya benar-benar berjalan, hanya hasilnya yang menciut. Ini juga satu-satunya tempat panelnya terlihat berbeda dari pengurangan yang sama bila dikerjakan di halaman penjumlahan, tempat sebuah jumlah baru menciut kalau mencapai bilangan bulat.

Kedua penyebut harus positif, karena pecahan membawa tandanya di pembilang — dan angka hasil konversi bergantung pada hal itu, sebab tiap pembilang dikalikan dengan bilangan bulat dan tandanya harus tetap di satu tempat. Pembilangnya boleh negatif, dan selisihnya boleh negatif meskipun kedua masukannya positif: 5/8 dikurangi 3/4 adalah -1/8, dan itu jawaban yang benar, bukan galat. Ukuran angkanya dibatasi. Setiap penyebut dibatasi seratus ribu, dan tiap pembilang dibatasi sekitar 4,5 × 10¹⁰, yaitu nilai terbesar yang masih membuat kedua pembilang hasil konversi mendarat di bilangan bulat yang bisa dinyatakan dengan tepat; melewatinya pengurangan akan menjadi tidak eksak tanpa pemberitahuan, jadi halaman ini menolak masukannya alih-alih mencetak angka yang kelihatan benar. Hanya bilangan bulat yang diterima di keempat kotak — pembilang desimal ditolak. Nol tidak masalah di pembilang: nol dikonversi menjadi 0 di atas penyebut persekutuan seperti angka lain. Halaman ini mengurangkan dua pecahan dan tidak melakukan apa pun selain itu: ia tidak menjumlahkan, mengalikan, atau membagi, dan tidak menerima pecahan campuran yang ditulis sebagai bilangan bulat di samping pecahan, yang harus diubah dulu menjadi pecahan tak wajar. Angka antara di halaman ini sengaja berbeda dari yang ada di kalkulator pecahan empat operasi: halaman itu mengalikan kedua penyebut langsung dan mencetak hasilnya sebelum disederhanakan, sedangkan halaman ini mencari kelipatan persekutuan terkecil dan mencetak kedua pecahan hasil konversi. Pengurangan yang sama karena itu menampilkan 9/12 dan 2/12 di sini dan pasangan antara yang berbeda di sana, sementara jawabannya sepakat. Terakhir, jawabannya selalu disederhanakan tetapi angka hasil konversinya tidak — pecahan hasil konversi bisa tercetak seperti 6/8, dan itu catatan yang merekam konversinya, bukan penyederhanaan yang terlewat.

Bagaimana cara mengurangkan pecahan berpenyebut berbeda?

Tulis ulang kedua pecahan di atas penyebut persekutuan, lalu kurangkan pembilangnya dan pertahankan penyebut itu. 3/4 dikurangi 1/6 menjadi 9/12 dikurangi 2/12, yaitu 7/12. Mengalikan kedua penyebut selalu memberi penyebut persekutuan yang bisa dipakai, dan mengambil kelipatan persekutuan terkecil memberi angka yang lebih kecil.

Mengapa penyebut persekutuan 3/4 dan 1/6 adalah 12, bukan 24?

Karena 12 adalah bilangan terkecil yang habis dibagi 4 dan 6. Mengalikan 4 dengan 6 menghitung faktor 2 yang dimiliki kedua penyebut dua kali, dan itu menggandakan setiap angka dalam pekerjaannya. Satuan per dua puluh empat akan mencapai jawaban yang sama dengan aritmetika dua kali lebih banyak — panel memilih yang lebih kecil supaya pengalinya tetap kecil.

Apakah selisihnya masih perlu disederhanakan setelah penyebutnya disamakan?

Perlu. Penyebut persekutuan membuat pengurangannya mungkin, bukan membuat hasilnya sederhana. 5/6 dikurangi 1/3 adalah 5/6 dikurangi 2/6, yaitu 3/6, dan 3/6 adalah 1/2. Halaman ini menyederhanakan selisihnya dan membiarkan kedua angka hasil konversi sebagaimana dikonversi, sehingga kedua kenyataan itu sama-sama terlihat.

Bisakah hasilnya negatif?

Bisa. 5/8 dikurangi 3/4 adalah 5/8 dikurangi 6/8, yaitu -1/8: mengurangkan pecahan yang lebih besar dari pecahan yang lebih kecil membawa hasilnya di bawah nol, dan itu jawaban sungguhan, bukan galat. Tandanya duduk di pembilang, jadi jawabannya ditulis -1/8 dan tidak pernah sebagai pecahan berpenyebut negatif.

Apa yang terjadi kalau kedua pecahannya sama besar?

Selisihnya nol. 1/2 dikurangi 1/2 dikonversi menjadi 1/2 dikurangi 1/2, pembilangnya berkurang menjadi 0, dan 0 di atas 2 menyederhana menjadi 0 di atas 1 — yang ditulis sebagai angka 0 telanjang tanpa penyebut. Baris penyebut persekutuannya tetap berbunyi 2, karena metodenya memang berjalan.

Bisakah saya mengurangkan pecahan campuran di sini?

Tidak. Halaman ini menerima empat bilangan bulat yang membentuk dua pecahan, jadi pecahan campuran seperti 4 1/2 harus diubah dulu menjadi pecahan tak wajar — 9/2 — sebelum bisa diketik. Menjumlahkan, mengalikan, dan membagi juga punya halamannya masing-masing.

• Fraction — the quotient of two integers written with a numerator and a denominator, and the arithmetic of subtracting two of them — Wolfram MathWorld (United States)
• Least Common Multiple — the smallest positive integer divisible by two given integers, which is the common denominator this page converts both fractions to — Wolfram MathWorld (United States)
• Greatest Common Divisor — the largest integer dividing two given integers, used here both to find the least common multiple and to reduce the difference — Wolfram MathWorld (United States)
• Reduced Fraction — the lowest terms of a fraction, which is the form the difference is printed in and not the form the converted readings are printed in — Wolfram MathWorld (United States)
• Relatively Prime — two integers with no common factor greater than one, the case in which the common denominator is the plain product of the two denominators — Wolfram MathWorld (United States)