Kalkulator KPK

12 = 2² × 3; 18 = 2 × 3²; 30 = 2 × 3 × 5 ⇒ KPK(12, 18, 30) = 2² × 3² × 5 = 180, dan empat kelipatan persekutuan pertamanya adalah 180, 360, 540, 720

12, 18, 30

Bilangan yang akan diolah, dua sampai sepuluh buah, masing-masing bilangan bulat dari 1 sampai 1.000.000. Spasi, koma, dan titik koma sama-sama memisahkan, jadi 12 18 30 dan 12, 18, 30 adalah masukan yang sama. Nol, bilangan negatif, dan bilangan desimal ditolak: kelipatan adalah pernyataan tentang mencacah, dan setiap bilangan di daftar harus punya kelipatannya

2² × 3² × 5

Faktor prima yang dibutuhkan, masing-masing pada pangkat tertingginya di seluruh daftar: 2² dari 12, 3² dari 18, dan 5 dari 30. Mengambil pangkat tertinggi dan bukan terendah itulah yang memisahkan halaman ini dari faktor persekutuan terbesar, dan itulah sebabnya jawaban di halaman ini selalu paling sedikit sebesar bilangan terbesar pada masukannya

180

Jawabannya, sekaligus kelipatan persekutuan yang pertama. Ia kelipatan dari setiap bilangan di daftar, dan tidak ada bilangan yang lebih kecil yang begitu — dan itulah seluruh isi kata terkecil

180, 360, 540, 720

Empat kelipatan persekutuan yang pertama, dicetak supaya jawabannya bisa diperiksa: keempatnya adalah 1, 2, 3, dan 4 kali jawabannya, dan jarak di antara mereka adalah jawaban itu sendiri. Seandainya ada kelipatan persekutuan yang lebih kecil, ia harus jatuh di bawah 180, sedangkan daftar ini menunjukkan bahwa barisannya mulai dari sana

KPK(a, b, c) = KPK(KPK(a, b), c)

Cara menangani lebih dari dua bilangan: dua-dua, dengan melipat jawaban yang sedang berjalan ke bilangan berikutnya. Ini lipatan yang sama dengan yang dipakai halaman faktor persekutuan terbesar, dan inilah alasan jalan pintas kali-bagi di atas tidak dipakai di sini — jalan pintas itu hanya eksak untuk dua bilangan

1.000.000.000.000

Batas atas yang dikenakan pada jawabannya, bukan pada masukannya. Daftar berisi sepuluh bilangan enam digit bisa mencapai jawaban jauh melewati batas yang bisa dipegang mesin secara tepat, sedangkan jawaban yang tidak tepat di sini akan terlihat sama sekali normal. Di atas batas itu halaman ini menolak daripada mencetak sesuatu yang hampir benar

Menjumlahkan atau membandingkan pecahan adalah tempat kelipatan ini berguna. 1/12 dan 1/18 tidak bisa dijumlahkan apa adanya; keduanya ditulis ulang di atas 36, dan 36 adalah kelipatan persekutuan terkecilnya — sebenarnya kelipatan persekutuan mana pun bisa dipakai, tetapi yang terkecil menjaga bilangannya tetap kecil, dan itulah sebabnya yang terkecil yang diajarkan lebih dulu. Penyebut sebuah jumlah adalah persis kuantitas ini, dan halaman penyebut bersama di situs ini adalah perhitungan yang sama yang diterapkan pada sekumpulan pecahan. Penjadwalan adalah versi sehari-harinya di luar aritmetika: dua kegiatan yang berulang setiap 12 hari dan setiap 18 hari bertemu lagi setelah 36 hari, tiga lampu yang berkedip dengan tiga irama bertemu lagi setelah kelipatan persekutuan ketiganya, dan pertanyaan kapan mereka bertemu lagi selalu dijawab oleh KPK-nya. Gigi gir bekerja dengan cara yang sama, dengan pola pertemuan yang berulang setelah sejumlah putaran yang diselesaikan kedua gir. Di ruang kelas, KPK sering ditanyakan langsung dan tabel di bawah adalah cara pengerjaan yang diharapkan: tulis kelipatan setiap bilangan sampai ada satu bilangan yang muncul di setiap kolom. Dua bilangan yang tidak berbagi faktor prima adalah kasus yang mudah — KPK-nya cukup hasil kalinya — dan mengenali hal itu menghemat seluruh pekerjaan aritmetikanya.

1. Kelipatan persekutuan terkecil dari 12, 18, dan 30

   1. Kelipatan 12: 12; 24; 36; 48; 60; 72; 84; 96; 108; 120; …; 180
   2. Kelipatan 18: 18; 36; 54; 72; 90; 108; 126; 144; 162; 180
   3. Kelipatan 30: 30; 60; 90; 120; 150; 180
   4. Bilangan pertama yang muncul di ketiga daftar itu adalah 180
   5. Lewat faktorisasi prima: 2² dari 12, 3² dari 18, dan 5 dari 30, sehingga 4 × 9 × 5 = 180

   Masukan bawaan. Perhatikan bahwa 36 adalah kelipatan dari 12 dan 18 tetapi bukan kelipatan 30, sedangkan 60 adalah kelipatan dari 12 dan 30 tetapi bukan kelipatan 18 — jawabannya harus memenuhi setiap bilangan di daftar, bukan sebagian besarnya. Kedua jalan itu sepakat, dan jalan faktorisasi itulah yang dipakai ketika daftar kelipatannya akan menjadi terlalu panjang.

2. Dua bilangan saja: 4 dan 6

   1. Kelipatan 4: 4; 8; 12; 16; 20; 24
   2. Kelipatan 6: 6; 12; 18; 24
   3. Bilangan pertama yang muncul di kedua daftar itu adalah 12
   4. Periksa dengan aturan hasil kali: 4 × 6 = 24, dan faktor persekutuan terbesar dari 4 dan 6 adalah 2, sehingga 24 ÷ 2 = 12

   Kasus dua bilangan adalah satu-satunya kasus ketika aturan hasil kali itu berlaku, dan pemeriksaan di atas layak dikerjakan sekali dengan tangan karena ia memperlihatkan mengapa aturan itu berhenti bekerja di luar dua bilangan: untuk 4, 6, dan 9 hasil kalinya 216 sedangkan jawabannya 36, dan membagi dengan faktor dari 4 dan 6 saja tidak bisa mengoreksi bilangan ketiga. Halaman ini melipat dua-dua dan tidak pernah terjebak oleh hal itu.

3. Bilangan koprima: 7, 11, dan 13

   1. 7, 11, dan 13 semuanya bilangan prima, jadi tidak ada dua di antaranya yang berbagi faktor
   2. Tidak ada yang saling mencoret di dalam hasil kalinya, sehingga kelipatan persekutuan terkecilnya adalah 7 × 11 × 13
   3. 7 × 11 = 77, dan 77 × 13 = 1.001
   4. Keempat kelipatan persekutuan pertama berjarak 1.001 satu sama lain

   Ketika tidak ada faktor prima yang dipunyai bersama, jawabannya cukup hasil kalinya, dan inilah satu-satunya kasus ketika jawabannya sebesar itu. Bilangan 1.001 akrab karena alasan yang tidak berhubungan dengan halaman ini: ia berfaktorisasi menjadi 7 × 11 × 13, dan itulah tepatnya alasan berhasilnya cara cepat mengenali pola tiga angka yang berulang. Halaman ini memperlakukannya sama seperti memperlakukan semua bilangan lain, tanpa aturan khusus.

4. Daftar yang salah satu bilangannya membagi bilangan lain: 6, 8, dan 12

   1. 12 adalah kelipatan dari 6, jadi 6 tidak menambah tuntutan apa pun yang belum diminta 12
   2. Kelipatan 8: 8; 16; 24
   3. Kelipatan 12: 12; 24
   4. Bilangan pertama yang muncul di kedua daftar itu adalah 24, dan jawabannya bukan kelipatan dari bilangan terbesar pada masukan

   Jawabannya tidak harus salah satu dari bilangan yang Anda ketik, dan itu kebalikan dari faktor persekutuan terbesar, yang jawabannya selalu pembagi dari bilangan terkecil pada masukan. Di sini jawaban 24 justru lebih besar daripada setiap bilangan di daftar, karena kelipatan persekutuan memang harus merupakan bilangan yang bisa dibagi habis oleh semuanya. Membuang angka 6 tidak mengubah apa pun: 12 sudah membawa setiap faktor prima yang diminta 6, sehingga hasil lipatannya tetap sama.

Setiap bilangan harus bilangan bulat dari 1 sampai 1.000.000, dan jumlahnya harus antara dua dan sepuluh buah. Masukannya dibatasi di sana, tetapi batas yang benar-benar menggigit berada pada jawabannya: kelipatan persekutuan terkecil harus tetap berada pada atau di bawah 1.000.000.000.000, dan daftar berisi sepuluh bilangan besar akan melewati batas itu jauh sebelum rentang masukannya habis. Di atas batas itu halaman ini menolak daripada mencetak jawaban, karena bilangan sebesar itu tidak bisa dipegang secara eksak dan akan kembali tampak seperti hasil yang biasa saja. Nol dan bilangan negatif ditolak: pernyataan bahwa setiap bilangan bulat adalah kelipatan dari 0 tidak berguna, dan kelipatan persekutuan terkecil didefinisikan pada bilangan positif. Bilangan desimal dan pecahan ditolak dan tidak dibulatkan, dengan alasan yang sama seperti pada halaman faktor. Pemisahnya boleh spasi, koma, atau titik koma, dan boleh dicampur. Bilangan yang diulang diterima dan tidak mengubah apa pun, dan bilangan yang membagi bilangan lain di dalam daftar yang sama hanya berlebihan. Tabel di bawah tetap memakai 4, 6, dan 8 dan tidak mengikuti masukan Anda — panel di atas yang menjawab bilangan Anda, sedangkan tabel itu memperlihatkan bagaimana jawabannya dibaca. Jawabannya sendiri selalu eksak dan tidak pernah dibulatkan.

Bagaimana cara mencari kelipatan persekutuan terkecil dengan tangan?

Tulis kelipatan setiap bilangan sampai ada satu nilai yang muncul di semua daftar. Untuk 12, 18, dan 30 nilai itu adalah 180: ia kelipatan kelima belas dari 12, kelipatan kesepuluh dari 18, dan kelipatan keenam dari 30. Jalan yang lebih cepat adalah faktorisasi prima — simpan setiap faktor prima yang muncul di mana pun di daftar itu pada pangkat tertingginya, sehingga 2², 3², dan 5 untuk ketiga bilangan tersebut, dan hasilnya 180. Kedua jalan itu diperlihatkan pada contoh di atas.

Apa bedanya KPK dengan FPB?

Faktor persekutuan terbesar adalah bilangan terbesar yang membagi semua masukannya; kelipatan persekutuan terkecil adalah bilangan terkecil yang bisa dibagi oleh semua masukannya. FPB tidak pernah lebih besar daripada bilangan terkecil pada masukan, sedangkan KPK tidak pernah lebih kecil daripada bilangan terbesar. Kalau dilihat dari faktorisasi prima, bedanya hanya satu kata: FPB menyimpan pangkat terendah dari faktor prima yang dipunyai bersama, sedangkan KPK menyimpan pangkat tertinggi dari setiap faktor prima yang muncul.

Bisakah saya langsung mengalikan bilangannya saja?

Cara itu menghasilkan kelipatan persekutuan, tetapi jarang yang terkecil, dan untuk dua bilangan aturan yang eksaknya adalah hasil kali sama dengan KPK dikalikan FPB. Untuk 4 dan 6 hasil kalinya 24 dan FPB-nya 2, sehingga jawabannya 12. Di luar dua bilangan aturan itu tidak berlaku lagi, dan itulah sebabnya halaman ini melipat bilangannya dua-dua daripada mengalikan semuanya sekaligus.

Mengapa halaman ini menolak jawaban yang sangat besar?

Karena mesin berhenti memegang bilangan bulat secara eksak di atas ukuran tertentu, dan jawaban sebesar itu akan kembali dalam keadaan sudah dibulatkan sementara tampilannya sama sekali biasa. Masukannya dibatasi 1.000.000 per bilangan, tetapi jawabannya bisa tumbuh jauh melewati itu — daftar berisi sepuluh bilangan enam digit terkalikan menjadi bilangan yang sangat besar — sehingga halaman ini juga memeriksa jawabannya terhadap sebuah batas atas dan menolak daripada mencetak sesuatu yang hampir benar.

Berapa KPK dari dua bilangan yang koprima?

Hasil kalinya, karena tidak ada yang saling mencoret: 7 dan 11 koprima, sehingga KPK-nya 77. Koprima berarti kedua bilangan itu tidak berbagi faktor prima sama sekali, sehingga pangkat tertinggi dari setiap faktor prima di daftar itu adalah faktor prima itu sendiri. Bilangan bulat yang berurutan selalu koprima, dan begitu juga sebuah bilangan prima yang dipasangkan dengan bilangan apa pun yang bukan kelipatannya.

Di mana kelipatan persekutuan terkecil dipakai?

Menjumlahkan atau membandingkan pecahan memerlukan penyebut bersama, dan penyebut bersama yang terkecil adalah kuantitas ini — 1/12 dan 1/18 keduanya ditulis ulang di atas 36. Di luar aritmetika, apa pun yang berulang pada dua irama akan bertemu lagi setelah KPK dari kedua iramanya: kegiatan setiap 12 hari dan setiap 18 hari bertemu lagi setelah 36 hari, dan gigi gir bertemu dalam pola yang berulang setelah kelipatan dari jumlah gigi keduanya.

• Least common multiple — the definition, the highest-power rule for prime factorizations, and the relation to the greatest common divisor — Wolfram MathWorld (United States)
• Multiple — what it means for one number to be a multiple of another, and the smallest number that is a multiple of two given ones — Wolfram MathWorld (United States)
• Least common multiple of 1 through n — the sequence 1, 2, 6, 12, 60, 60, 420, … that shows how fast the answer grows as a list gets longer, catalogued as OEIS A003418 — OEIS Foundation Inc. (United States)