Kalkulator Faktor

60 ÷ 1 = 60 ⇒ 1 * 60; 60 ÷ 2 = 30 ⇒ 2 * 30; 60 ÷ 3 = 20 ⇒ 3 * 20; 60 ÷ 4 = 15 ⇒ 4 * 15; 60 ÷ 5 = 12 ⇒ 5 * 12; 60 ÷ 6 = 10 ⇒ 6 * 10; 60 ÷ 7 tidak pas, 8 × 8 > 60, berhenti

n

Bilangan yang difaktorkan — bilangan bulat dari 1 sampai 1.000.000. Satu diperbolehkan dan memberi satu faktor saja, yaitu 1, yang merupakan jawaban sungguhan dan bukan kasus merosot: 1 adalah faktornya sendiri dan tidak membagi habis bilangan lain kecuali kelipatannya

d

Pembagi uji, dicoba berurutan 1, 2, 3, 4, dan seterusnya. Halaman ini tidak pernah menguji melewati akar kuadrat dari n, dan pemotongan itulah triknya: jika d × e = n dan d lebih besar daripada akar kuadratnya, maka e lebih kecil daripadanya, sehingga e sudah ditemukan dan pasangannya sudah tercetak

d * d ≤ n

Aturan berhentinya, ditulis apa adanya. Untuk 60 pembagi terakhir yang diuji adalah 7, karena 7 × 7 = 49 masih di bawah 60 sedangkan 8 × 8 = 64 sudah melewatinya. Aturan inilah sebabnya jumlah uji tumbuh mengikuti akar kuadrat masukan dan bukan mengikuti masukannya — satu juta memerlukan seribu uji, bukan satu juta

n / d

Pasangan sebuah faktor. Ketika d membagi habis n, hasil baginya adalah bagian lain dari pasangan itu, dan halaman ini menghasilkannya pada langkah yang sama. Karena itu pasangan 60 keluar sebagai 1 * 60, 2 * 30, 3 * 20 dan seterusnya secara berurutan, tanpa pengurutan: bagian kecilnya ditemukan menaik, jadi pasangannya juga

1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60

Setiap faktor 60 dalam satu daftar rata, menaik. Dua belas entri, dan jumlahnya genap — pemasangannya lengkap, setiap faktor punya pasangan. Daftar ini memuat informasi yang sama dengan pasangan di bawahnya, hanya disusun ulang: bacalah pasangannya dan kumpulkan angkanya, maka Anda kembali mendapat baris ini

6 * 6

Pasangan tengah dari 36, dan satu-satunya bentuk yang menampilkan sebuah faktor dua kali dalam satu baris. 36 adalah kuadrat sempurna, jadi jumlah faktornya ganjil — 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36, yaitu sembilan — dan halaman ini mencetak pasangan tengahnya satu kali saja, bukan dua kali. Inilah sebabnya kuadrat sempurna tidak pernah punya jumlah faktor yang genap

Menyederhanakan pecahan adalah alasan yang paling sering membuat orang memerlukan daftar faktor. Untuk mereduksi 42/60 dengan tangan Anda mencari bilangan yang membagi habis keduanya, dan faktor 60 memberi calonnya sedangkan faktor 42 menentukan mana yang memenuhi syarat — bilangan terbesar yang memenuhi syarat itulah faktor persekutuan terbesar, dan Kalkulator FPB menjawab pertanyaan itu secara langsung kalau hanya itu yang Anda butuhkan. Pemakaian kedua adalah persegi panjang dengan luas tetap: petak kebun seluas 60 meter persegi bisa berukuran 1 kali 60, 2 kali 30, 3 kali 20, 4 kali 15, 5 kali 12, atau 6 kali 10, dan pasangan faktor itulah daftar bentuk yang mungkin, sehingga bentuknya memang dicetak berpasangan. Pertanyaan yang sama muncul setiap kali benda harus ditata dalam baris dan kolom yang sama banyak: menempatkan 60 tamu pada meja berukuran sama, atau membagi kelas menjadi kelompok sama besar tanpa sisa. Pemakaian ketiga adalah memeriksa sebuah klaim. Kalau ada yang mengatakan 91 itu prima, daftar faktornya menyelesaikannya — 1, 7, 13, 91 — dan kenyataan bahwa daftarnya berisi empat entri dan bukan dua adalah bantahannya. Aturan habis dibagi untuk 2, 3, 5, dan 9 menangani kasus kecil dengan tangan, dan halaman ini melanjutkan dari titik aturan itu berhenti mudah. Kalau pertanyaannya sebenarnya menyangkut bagian-bagian terkecilnya dan bukan faktornya, jawabannya ada di tempat lain: Kalkulator Faktor Prima memecah bilangan menjadi prima, yang sengaja tidak dilakukan halaman ini; Kalkulator KPK dan Kalkulator FPB membandingkan dua bilangan alih-alih menjelaskan satu bilangan.

1. Dua belas faktor: 60

   1. Uji 1: 60 ÷ 1 = 60 dengan pas, jadi 1 dan 60 keduanya faktor
   2. Uji 2: 60 ÷ 2 = 30, jadi 2 dan 30 faktor; uji 3: 60 ÷ 3 = 20, memberi 3 dan 20
   3. Uji 4: 60 ÷ 4 = 15, memberi 4 dan 15; uji 5: 60 ÷ 5 = 12, memberi 5 dan 12
   4. Uji 6: 60 ÷ 6 = 10, memberi 6 dan 10; uji 7: 60 ÷ 7 bukan bilangan bulat
   5. 8 × 8 = 64 sudah melewati 60, jadi berhenti — kedua belas faktornya sudah lengkap

   Masukan bawaan, dan pilihan yang baik karena 60 punya banyak faktor — dua belas, terbanyak di antara bilangan di bawahnya. Perhatikan betapa murah pencariannya: tujuh pembagi uji, bukan enam puluh. Baris pasangan dan daftar faktor memuat dua belas bilangan yang sama; pasangannya sekadar dilipat sehingga setiap bilangan bersebelahan dengan bilangan yang menjadi pasangan kalinya. Layak diperhatikan pula bahwa daftar pasangannya berakhir di 6 * 10 dan tidak berlanjut ke 10 * 6: begitu bagian kecil sebuah pasangan melewati akar kuadrat, setiap pasangan yang tersisa merupakan ulangan dari yang sudah dicetak.

2. Kuadrat sempurna: 36

   1. 1 berpasangan dengan 36, lalu 2 dengan 18, lalu 3 dengan 12, lalu 4 dengan 9
   2. 6 × 6 = 36, jadi 6 menjadi pasangannya sendiri — bagian tengah daftarnya
   3. 7 tidak membagi habis 36; 7 × 7 = 49 sudah melewatinya, tetapi 6 adalah pembagi terakhir di bawah akar kuadratnya
   4. Faktornya adalah 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 — sembilan buah, jumlah yang ganjil

   Kasus yang menunjukkan mengapa jumlah faktor bisa ganjil. Setiap faktor selain akar kuadratnya punya pasangan yang berbeda, sehingga keduanya berpasangan dan menyumbang jumlah yang genap; akar kuadratnya berpasangan dengan dirinya sendiri dan menyumbang satu. Itulah seluruh alasan 36 punya sembilan faktor sedangkan 60, bilangan yang lebih besar, punya dua belas. Baris pasangan mencetak 6 * 6 satu kali dan bukan dua kali, dan itu sebuah pilihan — mencetaknya dua kali akan membuat kedua baris berbeda pendapat tentang berapa banyak faktornya.

3. Bilangan prima: 7

   1. Uji 1: 7 ÷ 1 = 7 dengan pas, jadi 1 dan 7 adalah faktor
   2. Uji 2: 7 ÷ 2 bukan bilangan bulat; 3 × 3 = 9 sudah melewati 7, jadi pencariannya berhenti di situ
   3. Tidak ada bilangan di antara 1 dan 7 yang membaginya habis
   4. Dua faktor dan satu pasangan — dan itulah definisi bilangan prima

   Keluaran tidak trivial yang paling pendek di halaman ini, dan yang menunjukkan bahwa bilangan prima bukan kegagalan memfaktorkan. Bilangan prima adalah bilangan dengan tepat dua faktor, dan keduanya selalu 1 dan bilangan itu sendiri; halaman ini melaporkan fakta tersebut alih-alih melaporkan bahwa ia tidak menemukan apa-apa. Aturan berhentinya benar-benar bekerja di sini — setelah menguji 2 tidak ada lagi yang perlu diuji, karena 3 × 3 sudah lebih besar daripada 7. Menguji 3, 4, 5, dan 6 akan memakan empat pembagian dan tidak mungkin menemukan apa pun.

Masukannya harus bilangan bulat dari 1 sampai 1.000.000. Nol ditolak: setiap bilangan bulat membagi habis nol, sehingga daftar faktornya tidak akan berujung dan tidak ada yang masuk akal untuk dicetak. Bilangan negatif juga ditolak, meskipun ±1, ±2, dan seterusnya membagi habis −60 — halaman ini melaporkan faktor positif dari bilangan positif, dan daftar faktor bertanda akan menuntut kesepakatan tentang apakah kedua tandanya ditampilkan, yang tidak dinyatakan halaman ini. Bilangan desimal ditolak alih-alih dibulatkan. Batas satu juta itulah yang menjaga uji baginya tetap terhingga: pencariannya berhenti di akar kuadrat, sehingga kasus terburuknya seribu uji, dan daftar jawabannya bisa panjang tetapi tidak akan pernah tak terkendali. Panjangnya tetap bisa mengesankan — 720.720 punya 240 faktor, terbanyak di antara bilangan di bawah satu juta — dan daftar sebesar itu benar tetapi tidak enak dibaca. Halaman ini melaporkan faktor dan pasangan faktor, bukan faktor prima, dan perbedaannya mudah terlewat: daftar faktor 60 memuat 2, 3, dan 5, tetapi halaman ini tidak pernah mengatakan 60 = 2² × 3 × 5, dan untuk bilangan besar kedua pertanyaan itu biayanya sangat berbeda. Aturan habis dibagi untuk 2, 3, 5, dan 9 tidak ditandai tersendiri — semuanya diserap begitu saja ke dalam uji bagi, sehingga bilangan yang berakhiran 0 menampilkan 2, 5, dan 10 sebagai faktor tanpa halaman ini menjelaskan sebabnya. Setiap faktor dicetak sebagai bilangan bulat dalam daftar berpisah koma, dan pasangannya memakai tanda bintang sebagai tanda kali; tidak ada pemisah ribuan yang dipakai, sehingga faktor satu juta tercetak sebagai 1000000. Terakhir, tabel referensi di bawah menampilkan tiga bilangan tetap dan tidak mengikuti masukan Anda; panel di ataslah yang menjawab apa yang Anda ketik.

Apa saja yang termasuk faktor?

Setiap bilangan bulat yang membagi habis bilangan Anda, tanpa sisa. Kedua anggota setiap pasangan ikut dihitung, jadi untuk 60 daftarnya membentang dari 1 sampai 60 — 1 dan bilangan itu sendiri selalu menjadi faktor, dan yang menarik ada di antaranya. Pecahan tidak dihitung meskipun membaginya dengan pas: 2,5 masuk ke dalam 60 sebanyak dua puluh empat kali, tetapi 2,5 bukan bilangan bulat, jadi ia bukan faktor. Halaman ini mendaftar faktor positif dari bilangan positif, dan itulah kesepakatan yang lazim.

Mengapa pencariannya berhenti di akar kuadrat?

Karena di atas titik itu, setiap faktor yang akan Anda temukan adalah pasangan dari faktor yang sudah Anda lihat. Jika d × e = 60 dan d lebih besar daripada akar kuadrat 60, maka e lebih kecil daripadanya — jadi e sudah diuji lebih dulu dan pasangannya sudah tercetak saat itu. Menguji melewati titik itu hanya bisa menemukan kembali pasangan yang sama dengan urutan terbalik. Karena itulah 60 memerlukan tujuh pembagi uji dan bukan enam puluh, dan karena itulah biaya halaman ini tumbuh mengikuti akar kuadrat masukan: bilangan mendekati satu juta memerlukan sekitar seribu uji, bukan sejuta.

Mengapa 36 punya faktor berjumlah ganjil?

Karena 36 adalah kuadrat sempurna, sehingga akar kuadratnya berpasangan dengan dirinya sendiri. Setiap faktor lain punya pasangan yang berbeda — 1 dengan 36, 2 dengan 18, 3 dengan 12, 4 dengan 9 — dan setiap pasangan seperti itu menambah dua pada jumlahnya. Lalu 6 × 6 = 36 menambah satu. Jadi totalnya 4 × 2 + 1 = 9. Secara umum sebuah bilangan punya faktor berjumlah ganjil tepat ketika ia kuadrat sempurna, dan itulah cara tercepat mengenali dari daftar faktornya apakah bilangan itu kuadrat sempurna.

Apakah ini sama dengan faktorisasi prima?

Tidak, dan perbedaannya perlu diperjelas. Halaman ini memberi setiap faktor; faktorisasi prima memecah bilangan menjadi bilangan prima yang dikalikan bersama. Untuk 60 faktorisasi primanya adalah 2² × 3 × 5, dan halaman ini tidak pernah mencetaknya — meskipun 2, 3, dan 5 semuanya muncul di daftar faktor, karena bilangan prima adalah faktor seperti faktor lainnya. Perbedaan yang praktis adalah biayanya: halaman ini bekerja sebanding dengan akar kuadrat bilangannya, sedangkan faktorisasi prima benar-benar sulit untuk bilangan besar, dan kesulitan itulah yang menjadi tumpuan kriptografi kunci publik.

Bisakah saya memasukkan 0 atau bilangan negatif?

Tidak, dan keduanya bukan larangan yang sewenang-wenang. Setiap bilangan bulat membagi habis 0, sehingga daftar faktornya tidak akan pernah berakhir. Untuk bilangan negatif, faktornya datang dalam kedua tanda — 1 dan −1, 2 dan −2, dan seterusnya — dan halaman ini harus mengambil sikap apakah keduanya didaftarkan, sedangkan sikap itu tidak dinyatakannya. Masukannya adalah bilangan bulat dari 1 sampai 1.000.000. Bilangan desimal juga ditolak alih-alih dibulatkan, karena pembulatan akan diam-diam menjawab pertanyaan tentang bilangan yang lain.

Mengapa faktornya dipisah menjadi dua kolom?

Karena keduanya menjawab dua pertanyaan yang berbeda. Daftar rata adalah yang Anda periksa ketika ingin tahu apakah sebuah bilangan membagi bilangan Anda. Pasangannya adalah yang Anda butuhkan ketika bilangan itu merupakan hasil kali dua hal yang sedang Anda pilih — persegi panjang dengan luas tersebut, baris dan kolom yang sama banyak, kelompok yang terbagi tanpa sisa. Petak seluas 60 meter persegi bisa berukuran 1 kali 60, 2 kali 30, 3 kali 20, 4 kali 15, 5 kali 12, atau 6 kali 10, dan keenam bentuk itulah kolom pasangannya. Kedua kolom memuat bilangan yang sama; hanya susunannya yang berbeda.

• Divisor — what it means for one whole number to divide another exactly, and the convention that every number divides itself — Wolfram MathWorld (United States)
• Prime Number — numbers with exactly two factors, and why that definition is the one the factor list makes visible — Wolfram MathWorld (United States)
• Perfect Square — numbers whose square root is a whole number, and the reason their factor count is always odd — Wolfram MathWorld (United States)