Kalkulator Faktor Prima

360 = 2^3 * 3^2 * 5; Omega(360) = 3 + 2 + 1 = 6; d(360) = (3+1) * (2+1) * (1+1) = 24

n

Bilangan yang sedang diuraikan: bilangan bulat dari 1 sampai 1.000.000. Rentang itu adalah rentang yang dipakai modul teori bilangan di seluruh situs ini, sehingga cocok persis dengan halaman faktor dan pembaca yang berpindah di antara keduanya menemukan batas yang sama. Bilangan pecahan ditolak dan tidak dibulatkan, sedangkan 0 dan bilangan negatif ditolak karena faktorisasi prima adalah pernyataan tentang bilangan bulat positif

p

Faktor prima, yaitu bilangan prima yang membagi n dengan pas. Halaman ini menemukannya dengan pembagian percobaan secara menaik, sehingga prima terkecil selalu dikeluarkan lebih dulu dan faktorisasi yang tercetak selalu berjalan dari prima terkecil ke prima terbesar. Untuk 360 primanya adalah 2, 3, dan 5, dan tidak ada prima lain yang membaginya

e

Eksponen sebuah prima, yaitu berapa kali prima itu muncul di dalam hasil kalinya. 360 adalah 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5, jadi 2 muncul tiga kali dan 3 muncul dua kali. Prima yang muncul sekali dicetak tanpa eksponen sama sekali: angka 5 pada 360 ditulis sebagai 5 polos dan bukan sebagai 5^1, dan itu kesepakatan yang lazim serta menjaga faktorisasi yang pendek tetap enak dibaca

2^3 * 3^2 * 5

Faktorisasi 360 seperti yang dicetak halaman ini, sekaligus masukan bawahannya. Tanda ^ mewakili eksponen dan tanda * mewakili perkalian, sehingga seluruhnya tetap utuh ketika disalin ke kolom teks biasa atau ke kotak pencarian. Hanya ada satu ungkapan seperti ini untuk setiap bilangan bulat di atas 1, dan itulah yang membuatnya layak dicetak: 360 tidak bisa juga ditulis sebagai hasil kali bilangan prima yang lain

Omega(360) = 3 + 2 + 1 = 6

Jumlah faktor prima dengan pengulangannya ikut dihitung: tiga angka 2, dua angka 3, dan satu angka 5 menjadi enam. Inilah hitungan yang mengejutkan banyak orang, karena 360 terasa dibangun dari tiga prima dan bukan dari enam. Resepnya adalah menjumlahkan eksponennya, bukan mencacah prima yang berbeda-beda, dan kedua jawaban itu berbeda setiap kali ada eksponen yang lebih besar daripada 1

d(360) = (3+1) * (2+1) * (1+1) = 24

Jumlah pembagi positif, dihitung dari eksponen yang sama dengan menambahkan satu pada setiap eksponen lalu mengalikannya. Daftarnya adalah 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180, dan 360 — dua puluh empat bilangan. Ini pertanyaan yang berbeda dari pertanyaan di atas: ia mencacah bilangan yang membagi 360, bukan prima yang membangunnya

Faktorisasi adalah yang Anda inginkan ketika pertanyaannya menyangkut struktur perkalian sebuah bilangan dan bukan besar kecilnya. Menyederhanakan pecahan atau bentuk akar adalah kasus sehari-harinya: akar dari 72 disederhanakan menjadi 6√2 karena 72 = 2³ × 3², dan eksponen setiap primanya memberi tahu Anda berapa banyak yang bisa keluar dari bawah tanda akar — itu faktorisasi yang sama yang dibaca halaman bentuk akar. Mencari faktor persekutuan terbesar atau kelipatan persekutuan terkecil dari dua bilangan juga pekerjaan ini, dilakukan sekali untuk masing-masing bilangan: prima yang sama dipakai pada eksponen yang lebih kecil untuk yang pertama, dan semua prima pada eksponen yang lebih besar untuk yang kedua. Pertanyaan keterbagian dijawab dengan cara yang sama, sebab sebuah bilangan membagi bilangan lain dengan pas tepat ketika prima dan eksponennya semuanya tersedia pada bilangan yang lain itu. Di teori bilangan, faktorisasi menentukan apakah sebuah bilangan prima, berapa banyak pembaginya, apakah ia kuadrat sempurna kalau semua eksponennya genap, dan apakah ia kubus sempurna. Batas kemampuan cara ini juga layak diketahui: pembagian percobaan itu cepat pada satu juta tetapi tidak ada harapan pada bilangan seratus digit, dan jarak antara mudah dan mustahil itulah yang menjadi fondasi kriptografi kunci publik. Ketika pertanyaannya bilangan mana yang membagi bilangan Anda dan bukan prima mana yang membangunnya, halaman faktor yang mencantumkannya; ketika pertanyaannya apakah bilangan itu prima sama sekali, halaman bilangan prima menjawabnya langsung.

1. Kasus bawaan: 360

   1. 360 genap, jadi bagi dengan 2: 360 / 2 = 180, lalu 180 / 2 = 90, lalu 90 / 2 = 45 — tiga kali seluruhnya
   2. 45 tidak genap; prima berikutnya adalah 3, dan 45 / 3 = 15, lalu 15 / 3 = 5 — dua kali
   3. 5 sudah prima, jadi faktorisasinya 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5, yang ditulis 2^3 * 3^2 * 5
   4. Hitung faktor primanya dengan pengulangan: 3 + 2 + 1 = 6
   5. Hitung pembaginya dari eksponen: (3 + 1) × (2 + 1) × (1 + 1) = 4 × 3 × 2 = 24

   Masukan bawaan, dan sekaligus contoh yang menjelaskan mengapa kedua hitungan itu dicetak. Enam dan dua puluh empat berdiri berdampingan, dan pembaca yang mengira keduanya seharusnya sama akan menyangka salah satunya rusak. Keduanya tidak: enam adalah banyaknya keping prima yang menyusun bilangan itu ketika setiap pengulangan dipertahankan, sedangkan dua puluh empat adalah banyaknya bilangan yang membaginya. Jarak di antara keduanya berasal dari eksponennya — setiap pengulangan sebuah prima mengalikan jumlah pembagi tanpa banyak menambah jumlah kepingnya. Periksa salah satunya dengan tangan dan aritmetikanya pendek; periksa keduanya dan Anda akan mengingat mana yang mana.

2. Kasus kecil yang memperlihatkan jaraknya: 12

   1. 12 / 2 = 6, dan 6 / 2 = 3, jadi angka 2 muncul dua kali
   2. 3 sudah prima, jadi faktorisasinya 2^2 * 3
   3. Hitung faktor primanya dengan pengulangan: 2 + 1 = 3, yaitu 2, 2, dan 3
   4. Cantumkan pembaginya: 1, 2, 3, 4, 6, 12 — ada enam
   5. Periksa dengan resepnya: (2 + 1) × (1 + 1) = 3 × 2 = 6, dan itu cocok dengan daftarnya

   Contoh kecil yang paling jelas untuk kekeliruan yang menjadi alasan halaman ini dibuat, karena kedua hitungannya cukup kecil untuk diperiksa dengan tangan dalam hitungan detik. Dua belas tersusun dari tiga bilangan prima — 2, 2, dan 3 — dan ada enam bilangan yang membaginya. Membaca keluarannya sebagai '3 pembagi' atau '6 faktor prima' keduanya terdengar masuk akal dan keduanya salah. Daftar pembaginya juga memperlihatkan pasangan yang membuat enam menjadi genap: 1 berpasangan dengan 12, 2 dengan 6, 3 dengan 4. Dua belas bukan kuadrat sempurna, jadi tidak ada pembagi yang berpasangan dengan dirinya sendiri, dan itulah sebabnya hitungannya genap.

3. Kasus yang janggal: 1

   1. 1 tidak bisa dibagi habis oleh prima mana pun — dibagi 2, 3, 5, atau prima lain, hasilnya pecahan
   2. Jadi tidak ada faktor primanya, dan jumlahnya 0
   3. Satu-satunya bilangan positif yang membagi 1 adalah 1 itu sendiri, jadi jumlah pembaginya 1
   4. Faktorisasinya tetap dicetak sebagai angka 1 dan bukan sebagai ruas yang kosong

   Kasus yang harus diputuskan dan bukan diturunkan, dan keputusannya adalah mencetak 1. Membiarkan faktorisasinya kosong akan terbaca sebagai kegagalan menghitung, dan itu satu hal yang tidak boleh terjadi pada panel hasil. Kedua hitungannya lalu keluar dengan jujur: tidak ada prima sama sekali, dan ada satu pembagi. Satu bukan bilangan prima dan bukan bilangan komposit — ia unsur identitas perkalian, bilangan yang tidak mengubah apa pun ketika dikalikan — dan halaman ini tidak berpura-pura sebaliknya. Ia diterima dan bukan ditolak karena rentang masukannya dimulai dari 1, dan rentang yang mengeluarkan nilai terkecilnya sendiri akan lebih aneh lagi untuk dijelaskan.

Masukannya harus bilangan bulat dari 1 sampai 1.000.000. Nol ditolak: setiap prima membagi nol, sehingga hasil kalinya harus tak hingga. Bilangan negatif ditolak dengan alasan yang berkerabat — primanya tetap membaginya, tetapi tandanya harus dibawa terpisah dan pernyataan faktorisasi tunggal itu tentang bilangan positif. Bilangan pecahan ditolak dan tidak dibulatkan, karena pembulatan akan diam-diam menjawab pertanyaan tentang bilangan yang berbeda. Batas satu juta berasal dari modul teori bilangan bersama dan itu soal biaya, bukan soal kebenaran: pembagian percobaan oleh setiap prima sampai akar kuadratnya cepat pada satu juta dan tidak ada harapan pada bilangan dua puluh digit. Itu batas nyata dari cara ini, dan batas yang sama itulah yang membuat kriptografi kunci publik bekerja. Halaman ini melaporkan faktorisasinya dan dua hitungan, dan tidak lebih: ia tidak mencantumkan pembaginya sendiri, tidak menghitung faktor persekutuan terbesar atau kelipatan persekutuan terkecil dari beberapa bilangan, dan tidak menyederhanakan bentuk akar atau pecahan. Eksponen bernilai 1 tidak pernah dicetak, sehingga prima yang muncul sekali tampil sebagai bilangan polos, dan tanda kalinya adalah tanda bintang sepanjang keluarannya, yang berarti keluarannya ASCII biasa tanpa pemisah ribuan. Terakhir, tabel rujukan di bawah memperlihatkan empat bilangan tetap dan tidak mengikuti masukan Anda.

Apa bedanya kedua hitungan pada halaman ini?

Yang pertama menghitung faktor prima dengan pengulangannya dipertahankan, yang kedua menghitung pembagi. Untuk 12 jawabannya 3 dan 6, dan keduanya benar. Dua belas adalah 2 × 2 × 3, jadi ia tersusun dari tiga keping prima; dan 1, 2, 3, 4, 6, serta 12 semuanya membaginya, jadi ia punya enam pembagi. Kekeliruan itu wajar karena kedua bilangan tersebut berdekatan pada masukan yang kecil. Resep untuk yang pertama adalah menjumlahkan eksponennya; resep untuk yang kedua adalah menambahkan satu pada setiap eksponen lalu mengalikannya. Perkalian itulah sebabnya hitungan kedua melesat jauh lebih cepat — setiap pengulangan tambahan sebuah prima mengalikan jumlah pembagi sementara ia hanya menambah satu pada hitungan yang pertama.

Apakah faktorisasi prima sebuah bilangan hanya ada satu?

Ya, dan itu sebuah teorema dan bukan kesepakatan. Setiap bilangan bulat di atas 1 bisa ditulis sebagai hasil kali bilangan prima, dan hanya ada satu cara untuk melakukannya setelah urutannya diabaikan. Tiga ratus enam puluh tidak pernah menjadi apa pun selain 2³ × 3² × 5; ia tidak juga merupakan hasil kali bilangan prima yang lain. Hasil itu disebut teorema dasar aritmetika, dan tanpa teorema itu mencetak sebuah faktorisasi hanya akan menjadi keunikan dan bukan jawaban. Itu juga sebabnya halaman ini bisa mencetak prima terkecil lebih dulu dan yakin bahwa itulah bentuk bakunya — urutannya dipilih demi keterbacaan, dan tidak ada yang hilang dengan menetapkannya.

Apa yang dilakukan halaman ini dengan angka 1?

Ia mencetak 1 sebagai faktorisasinya, dengan nol faktor prima dan satu pembagi. Satu bukan bilangan prima dan bukan bilangan komposit: ia tidak punya faktorisasi prima dalam pengertian yang lazim, dan itulah sebabnya teorema di atas dirumuskan untuk bilangan di atas 1. Tetapi panel hasil yang kosong akan terbaca sebagai kegagalan menghitung, jadi halaman ini mencetak angkanya dan melaporkan kedua hitungan itu dengan jujur. Jumlah pembagi 1 memang 1, karena satu-satunya bilangan positif yang membagi 1 adalah 1 itu sendiri, dan jumlah faktor primanya memang 0. Satu diterima dan bukan ditolak karena rentang masukannya dimulai dari 1, dan menolak nilai terbawah dari rentang Anda sendiri lebih repot dijelaskan daripada menjawabnya.

Mengapa berhenti pada satu juta?

Karena cara yang dipakai adalah pembagian percobaan, dan biayanya tumbuh sebanding dengan akar kuadrat bilangan itu. Mencari prima dari bilangan mendekati satu juta berarti menguji pembagi sampai seribu, dan itu seketika. Mencari prima dari bilangan dua puluh digit berarti menguji sampai sepuluh miliar, dan itu tidak seketika. Jarak itu bukan detail pelaksanaan — ia sifat nyata dari persoalannya, dan itulah asumsi yang menjadi fondasi kriptografi kunci publik, ketika sulitnya memfaktorkan bilangan besar itulah yang menjaga sebuah pesan tetap rahasia. Di dalam rentang satu juta setiap jawaban kembali seketika, dan batas atasnya dinyatakan di dalam masukan dan tidak disembunyikan di dalam batas waktu.

Kapan saya perlu faktorisasi dan bukan sekadar daftar faktor?

Ketika pertanyaannya menyangkut struktur dan bukan keanggotaan. Menyederhanakan akar dari 72 memerlukan 72 = 2³ × 3², karena eksponennya memberi tahu Anda berapa banyak setiap prima yang bisa keluar dari bawah tanda akar, sehingga hasilnya 6√2. Mencari faktor persekutuan terbesar dari dua bilangan memerlukan kedua faktorisasinya, sebab jawabannya adalah prima yang sama pada eksponen yang lebih kecil. Memeriksa apakah sebuah bilangan kuadrat sempurna cukup dengan melirik eksponennya — semuanya genap berarti ya. Mencantumkan pembagi adalah pertanyaan yang berbeda, dan bergantung pada bilangannya jawabannya bisa jauh lebih panjang: 720.720 punya 240 pembagi, yang banyak untuk dicetak dan tidak banyak untuk dilihat. Halaman faktor di situs ini mencantumkannya ketika itulah yang Anda butuhkan.

Mengapa tidak ada eksponen yang dicetak ketika sebuah prima muncul sekali?

Karena menuliskan 5^1 untuk satu angka 5 hanyalah gangguan. Kesepakatan dalam matematika adalah mencetak eksponen hanya ketika nilainya lebih besar daripada satu, sehingga 360 ditulis 2^3 * 3^2 * 5 dengan suku terakhirnya polos. Tidak ada yang hilang dengan menghilangkannya: tidak adanya eksponen berarti eksponennya satu, tanpa keraguan, dan faktorisasi yang seluruhnya tersusun dari prima tunggal — yang dimiliki bilangan bebas kuadrat — terbaca sebagai hasil kali biasa tanpa tanda ^ sama sekali. Kesepakatan yang sama juga sebabnya 97, yang prima, dicetak hanya sebagai 97 dan bukan sebagai 97^1.

• Prime Factorization — writing a whole number as a product of primes, and the algorithms that find the primes — Wolfram MathWorld (United States)
• Fundamental Theorem of Arithmetic — the statement that every whole number above 1 has exactly one prime factorization, which is what makes printing it worth doing — Wolfram MathWorld (United States)
• Divisor Function — the count of positive divisors, the formula that builds it from the exponents, and how it behaves on powers of a single prime — Wolfram MathWorld (United States)