Kalkulator Bentuk Akar

c√r → (c × m)√(r ÷ m²), dengan m² adalah kuadrat terbesar yang membagi r suku sejenis: k₁√r + k₂√r = (k₁ + k₂)√r

√r

Bentuk akarnya: akar kuadrat dari bilangan bulat r. Setiap suku di halaman ini adalah kelipatan dari salah satu bentuk itu, dan dua suku sejenis tepat ketika nilai r-nya sama — yang dijumlahkan adalah koefisien di depannya

c

Koefisien: bilangan bulat yang mengalikan bentuk akarnya, bernilai 1 ketika tidak ada angka yang dituliskan. Angka itu menghitung berapa banyak salinan √r yang sedang dijumlahkan, jadi 3√2 ditambah 2√2 adalah lima salinannya, sedangkan 3√2 dikurangi 3√2 menyisakan nol

r

Radikan: bilangan yang berada di bawah tanda akar. Menyederhanakan satu bentuk akar berarti mencari kuadrat terbesar m² yang membagi r lalu memindahkan m ke luar, dan radikannya pun menyusut. Radikan terkecil yang bisa dicapai sebuah suku adalah 1, dan √1 tidak lain adalah 1

m²

Kuadrat terbesar yang membagi radikannya — 36 untuk 72, 25 untuk 50, 4 untuk 8. Mengambil yang terbesar itulah yang membuat jawabannya menjadi bentuk akar paling sederhana alih-alih sekadar bentuk yang lebih kecil: 72 dibagi 4 memberi 18, dan 18 masih menyisakan faktor kuadrat di dalamnya

suku sejenis

Suku-suku yang radikannya sama setelah disederhanakan. Menjumlahkan bentuk akar tidak pernah lain daripada menjumlahkan suku sejenis: radikannya adalah satuan yang sedang dihitung, dan satuan itu tidak pernah berubah ketika dua di antaranya dijumlahkan. Itulah sebabnya menggabungkan 6√2 dengan 3√2 menghasilkan 9√2, bukan 9√4

Pakai cara ini ketika sebuah bentuk akar — yaitu penjumlahan akar kuadrat — harus dituliskan dalam bentuk akar paling sederhana: memeriksa pekerjaan rumah, merapikan jawaban sebelum dimasukkan ke dalam rumus, atau melihat apakah dua bentuk akar yang tampak berbeda sebenarnya bilangan yang sama di dalamnya. Pemeriksaan yang menyertainya adalah menguadratkan koefisiennya lalu mengalikannya kembali ke dalam akar: 6√2 adalah 36 × 2 = 72, jadi 6√2 dan √72 memang bilangan yang sama.

1. √72 + 3√2 - √8

   1. √72: 72 = 36 × 2, jadi faktor kuadrat terbesarnya, yaitu 36, keluar sebagai 6 dan menyisakan 6√2
   2. 3√2: radikannya, yaitu 2, tidak punya faktor kuadrat, jadi suku ini sudah dalam bentuk paling sederhana
   3. √8: 8 = 4 × 2, jadi 4 keluar sebagai 2 dan menyisakan −2√2
   4. Ketiga sukunya kini 6√2 + 3√2 − 2√2 — semuanya kelipatan √2, jadi radikannya tetap dan koefisiennya dijumlahkan
   5. 6 + 3 − 2 = 7, jadi jumlahnya 7√2
   6. 7√2 sama dengan 9,899495 sampai enam angka

   Kasus bawaannya, sekaligus alasan halaman ini ada alih-alih tiga penyederhanaan terpisah: ketiga bentuk akarnya mula-mula tampak tidak berhubungan (72; 2; 8) dan ternyata merupakan bentuk akar yang sama yang dihitung 6; 3; dan 2 kali. Radikannya tidak pernah berubah selama ketiganya dijumlahkan — yang berubah hanya hitungan di depannya.

2. √50 + 5 - √18

   1. √50: 50 = 25 × 2, jadi 25 keluar sebagai 5 dan menyisakan 5√2
   2. √18: 18 = 9 × 2, jadi 9 keluar sebagai 3 dan menyisakan −3√2
   3. 5 sudah berupa bilangan bulat — tidak ada apa pun di bawah tanda akar yang perlu disederhanakan
   4. Suku bentuk akarnya adalah 5√2 − 3√2 = 2√2
   5. Bilangan bulatnya tetap di tempatnya, jadi jawabannya 5 + 2√2
   6. 5 + 2√2 sama dengan 7,828427 sampai enam angka

   Bilangan bulat dan bentuk akar bukan suku sejenis, jadi keduanya berdampingan alih-alih dijumlahkan menjadi satu angka. Urutannya tetap dicetak dalam susunan yang pasti, bilangan bulat lebih dulu, dan itulah yang membuat 5 + 2√2 menjadi jawaban di sini sedangkan 2√2 + 5 menjadi jawaban bagi penjumlahan yang sama bila dituliskan terbalik.

3. √2 + √3, ketika tidak ada yang bisa digabungkan

   1. √2: radikannya, yaitu 2, tidak punya faktor kuadrat selain 1, jadi tidak ada yang keluar
   2. √3: 3 juga tidak punya faktor kuadrat, jadi tidak ada yang keluar
   3. Kedua radikannya adalah 2 dan 3 — tidak sama, jadi kedua sukunya bukan suku sejenis
   4. Jumlahnya dituliskan apa adanya, √2 + √3
   5. √2 + √3 sama dengan 3,146264 sampai enam angka

   Tidak ada yang dikerjakan di sini, dan itulah jawabannya: bentuk akar yang radikannya berbeda tidak bisa dijumlahkan menjadi satu bentuk akar, karena tidak ada bilangan yang kuadratnya 5 yang bisa menggantikan √2 + √3. Bilangan desimalnya tetap diberikan, sebab nilainya terdefinisi dengan sempurna — hanya saja nilai itu tidak punya bentuk eksak yang lebih pendek.

Hanya akar kuadrat. Akar pangkat tiga dan akar pangkat yang lebih tinggi digabungkan dengan aturan yang sama persis — radikannya dibandingkan dan koefisiennya dijumlahkan — tetapi menuliskannya membutuhkan lambang yang membawa pangkat akarnya, sedangkan notasi halaman ini tidak punya ruang untuk itu; kalkulator akar menangani pangkat yang lebih tinggi, satu suku setiap kali. Hanya bilangan bulat yang diterima, baik pada koefisien maupun di bawah tanda akarnya: bentuk eksak dari 2,5√2 adalah (5√2)/2, yang membutuhkan pecahan, dan √2,5 sama dengan √10 ÷ 2 dengan alasan yang sama. Radikan negatif ditolak karena tidak ada bilangan nyata yang kuadratnya negatif. Suku yang diterima paling banyak delapan, dan setiap koefisien serta radikannya dibatasi pada satu juta. Bilangan desimal pada jawabannya dibulatkan sampai enam angka, jadi angka itu adalah penghampiran dari sebuah nilai eksak dan bukan nilainya sendiri.

Apa artinya menyederhanakan bentuk akar?

Memindahkan setiap faktor kuadrat keluar dari bawah tanda akar lalu menuliskannya di depan sebagai koefisien. √72 menjadi 6√2 karena 72 = 36 × 2 dan 36 adalah kuadrat sempurna. Nilainya tidak berubah — 6√2 adalah 8,485281 dan √72 juga begitu — tetapi bentuk itulah yang bisa dipakai perhitungan berikutnya.

Kapan dua bentuk akar disebut suku sejenis?

Ketika bilangan di bawah tanda akarnya sama setelah disederhanakan. 6√2 dan 3√2 adalah suku sejenis dan berjumlah 9√2; √2 dan √3 bukan, dan jumlah keduanya tidak bisa dituliskan sebagai satu bentuk akar. Yang dijumlahkan hanya koefisiennya — radikannya adalah satuan yang sedang dihitung, jadi ia tetap di tempatnya.

Mengapa jawabannya diberikan sebagai bentuk eksak alih-alih bilangan desimal?

Karena sebagian besar bentuk akar adalah bilangan irasional, dan bilangan desimal hanya bisa menghampirinya. 7√2 adalah nilai eksaknya; 9,899495 adalah bilangan yang sama yang dibulatkan sampai enam angka dan sudah keliru pada angka ketujuh. Menjaga bentuk eksaknya itulah yang membuat jawabannya bisa dipakai pada langkah berikutnya tanpa pembulatannya menumpuk.

Bisakah saya memasukkan akar pangkat tiga?

Tidak di halaman ini. ∛8 + ∛2 digabungkan dengan aturan yang sama persis seperti akar kuadrat, tetapi notasinya membutuhkan pangkat akar yang dituliskan pada lambang akarnya, sedangkan halaman ini mencetak tanda akar biasa. Pakailah kalkulator akar untuk satu suku setiap kali dengan pangkat berapa pun dari 2 sampai 12.

Mengapa bilangan bulat diperbolehkan berdampingan dengan bentuk akar?

Karena bilangan bulat adalah bentuk akar yang radikannya sudah turun menjadi 1 — √25 adalah 5, dan 5 adalah 5√1. Memperlakukannya begitu membuat bilangan bulat dan bentuk akar digabungkan oleh satu aturan yang sama, sekaligus memberi urutan tetap pada jawabannya: 5 + √2, dengan bilangan bulatnya lebih dulu.

Bagaimana cara memeriksa jawabannya?

Kuadratkan koefisiennya lalu kalikan kembali ke dalam tanda akarnya. 7√2 diperiksa sebagai 49 × 2 = 98, dan itu bukan jumlah asalnya — jadi periksalah suku demi suku: 6√2 adalah 36 × 2 = 72, 3√2 adalah 18, dan 2√2 adalah 8, sehingga 72 + 18 − 8 = 82. Itu adalah jumlah radikannya sebagaimana tertulis, dan itulah sebabnya pemeriksaannya harus dilakukan sebelum suku-sukunya digabungkan.

• Quadratic Surd — the canonical form a√b with b square-free, which is exactly what the simplified radicand column is — Wolfram MathWorld (United States)
• Radical — the radical sign and the operation it names, including why two radicals can only be added when their radicands agree — Wolfram MathWorld (United States)
• Like terms — what makes two terms addable, which for radicals is decided by the number under the root — SplashLearn (United States)