Kalkulator Akar Kuadrat

√x = √(m² · r) = m · √r √(n ÷ d) = √(n · d) ÷ d

x

Bilangan yang diakar, yaitu bilangan di bawah tanda akar. Nilainya tidak boleh negatif: bilangan yang diakar negatif tidak punya akar kuadrat real, dan menguadratkan bilangan real mana pun memberi hasil yang tidak negatif, jadi halaman ini menolaknya dan mengarahkan ke akar berindeks ganjil di kalkulator akar yang umum. Nol tidak masalah — akar kuadrat dari 0 adalah 0.

m²

Kuadrat sempurna terbesar yang membagi bilangan yang diakar: 4, 9, 16, 25, 36, dan seterusnya. Menemukannya adalah keseluruhan penyederhanaannya, dan halaman ini mencari dari atas ke bawah supaya faktor pertama yang ditemukannya adalah yang terbesar. Untuk 72 faktor itu adalah 36, yang menyisakan 2 di belakang di dalam tanda akar.

m

Akar kuadrat dari kuadrat sempurna itu, yang keluar ke depan tanda akar: 6 pada kasus 72. Ketika koefisiennya bilangan bulat lain, ia dicetak apa adanya, sehingga bentuk eksaknya berbunyi 6√2. Ketika koefisiennya 1, angka itu dibuang alih-alih dicetak, karena 1√2 bukan cara bilangan itu dituliskan.

r

Apa pun yang tersisa di dalam tanda akar setelah setiap faktor kuadrat ditarik keluar. Sisa itu bebas kuadrat, artinya tidak ada kuadrat sempurna yang membaginya, dan itulah yang membuat bentuknya final. Kalau tidak ada yang tersisa — kalau bilangan yang diakarnya memang kuadrat sempurna sejak awal — tanda akarnya hilang seluruhnya dan bentuk eksaknya hanya sebuah bilangan, seperti pada akar kuadrat dari 144.

√x

Nilai desimalnya, dilaporkan sampai enam angka. Bilangan itu sama dengan bentuk eksaknya yang dihitung — 6√2 adalah 8,485281 — dan ia dicetak di sampingnya, bukan sebagai gantinya, karena keduanya menjawab pertanyaan yang berbeda. Desimalnya yang dipakai pembaca untuk mengukur; bentuk eksaknya yang dipakai pembaca untuk membuktikan.

1. Menyederhanakan akar kuadrat dari 72

   1. Cari kuadrat sempurna terbesar yang membagi 72
   2. 36 membaginya: 72 ÷ 36 = 2, jadi 72 = 36 × 2
   3. Akar kuadrat dari 36 adalah 6, yang keluar ke depan: √72 = 6√2
   4. Menghitung bentuk eksaknya memberi 8,485281

   Kasus yang membuat tata letak dua kolom ini layak ada. Sebagai desimal, √72 adalah 8,485281 dan tidak ada lagi yang bisa dikatakan tentangnya; sebagai bentuk eksak ia adalah 6√2, yang sekali lihat menunjukkan bahwa menguadratkannya mengembalikan 72 dengan tepat. Pemeriksaannya satu baris: 6√2 dikuadratkan adalah 36 × 2, yaitu 72.

2. Bilangan yang diakar dengan satu angka desimal

   1. Bilangan yang diakar berupa desimal diubah lebih dulu menjadi pecahan: 1,5 = 3/2
   2. Pecah akarnya ke pembilang dan penyebut dengan √(n ÷ d) = √(n · d) ÷ d
   3. Hasilnya √(3 × 2) ÷ 2 = √6 ÷ 2
   4. Nilai desimalnya 1,224745

   Bentuk eksaknya memakai tanda bagi dan bukan garis miring dengan sengaja. Ditulis sebagai √6/2, baris itu ambigu — sama mudahnya terbaca sebagai akar kuadrat dari enam per dua, yang nilainya √3. Halaman ini mencetak √6 ÷ 2 supaya hanya ada satu bacaan. Inilah kasus yang dengan sengaja tidak diterima kalkulator akar yang umum, karena halaman itu mensyaratkan bilangan yang diakar berupa bilangan bulat.

3. Desimal yang ternyata kuadrat sempurna

   1. 2,25 sebagai pecahan adalah 9/4
   2. Kedua bagiannya kuadrat sempurna: √9 = 3 dan √4 = 2
   3. Tidak ada yang tersisa di dalam tanda akar, jadi bentuk eksaknya adalah pecahan 3/2
   4. Sebagai desimal nilainya 1,5

   Ketika tanda akarnya kosong, bentuk eksaknya berhenti menjadi bentuk akar sama sekali — ia menjadi pecahan biasa, dan itulah tanda bahwa bilangan yang diakarnya kuadrat sempurna. Bentuk eksak 3/2 layak diutamakan daripada 1,5 pada aritmetika berikutnya, karena mengalikan dengan 3 lalu membagi dengan 2 menjaga semuanya tetap eksak sedangkan desimalnya tidak.

Bilangan yang diakar tidak boleh negatif: akar kuadrat dari bilangan negatif bukan bilangan real, dan menguadratkan bilangan real tidak pernah menghasilkannya. Nol diterima dan memberi nol. Bilangan yang diakar dibatasi dua angka desimal, dan angka desimal ketiga ditolak alih-alih dibulatkan — penyederhanaannya bekerja dengan mengubah desimal menjadi pecahan lalu membagi secara percobaan, dan setiap angka desimal tambahan mengalikan pekerjaannya dengan sepuluh, jadi halaman ini menyatakan batasnya alih-alih diam-diam mencetak bentuk sederhana yang sebenarnya milik bilangan lain yang sedikit berbeda. Bentuk eksaknya adalah notasi, bukan bilangan: ia ditulis dengan cara yang sama di setiap bahasa, karena tanda akar dan tanda bagi tidak membawa kata apa pun. Sebaliknya, nilai desimalnya dibulatkan ke enam angka, dan itu batas tampilan dan bukan batas presisi. Indeks halaman ini tetap dua — ia hanya menyederhanakan akar kuadrat. Akar pangkat tiga, akar keempat, dan indeks lain apa pun, termasuk akar berindeks ganjil dari bilangan negatif, menjadi urusan kalkulator akar yang umum dan tertaut di halaman ini.

Apa sebenarnya yang dilakukan menyederhanakan akar kuadrat?

Ia memindahkan kuadrat sempurna terbesar keluar dari bawah tanda akar. Akar kuadrat dari 72 adalah bilangan yang sama dengan 6√2 — tidak ada yang dihampiri atau dibulatkan — tetapi 6√2 adalah cara yang lebih rapi untuk menuliskannya, dan itulah bentuk yang tetap eksak ketika dipakai pada aritmetika berikutnya. Menyederhanakan tidak pernah mengubah nilainya, hanya ejaannya.

Dari mana saya tahu sebuah akar kuadrat sudah sederhana sepenuhnya?

Ketika tidak ada lagi yang tersisa di dalam tanda akar yang bisa dibagi kuadrat sempurna. Pada 6√2, angka 2 itu bebas kuadrat: 4 tidak membaginya, 9 tidak, dan kuadrat yang lebih besar pun tidak, jadi bentuknya sudah final. Begitulah pula halaman ini memutuskan kapan berhenti — ia mencari faktor kuadrat terbesar, dari atas ke bawah, dan berhenti pada yang pertama ditemukannya.

Mengapa bentuk eksaknya ditulis dengan tanda bagi?

Karena garis miring akan ambigu. √6/2 terbaca entah sebagai akar kuadrat dari enam lalu dibagi dua, entah sebagai akar kuadrat dari enam per dua, dan keduanya bilangan yang berbeda — yang kedua adalah √3. Mencetak √6 ÷ 2 menyisakan satu bacaan saja. Itu alasan yang sama mengapa koefisiennya dibuang ketika bernilai 1: notasinya dipilih supaya tidak bisa salah dibaca, bukan supaya pendek.

Bisakah saya memasukkan bilangan yang diakar berupa desimal?

Bisa, sampai dua angka desimal. Halaman ini mengubah desimalnya kembali menjadi pecahan, lalu menarik akar pembilang dan penyebutnya secara terpisah memakai √(n ÷ d) = √(n · d) ÷ d. Akar kuadrat dari 1,5 adalah √6 ÷ 2, dan akar kuadrat dari 2,25 tepatnya 3/2. Angka desimal ketiga ditolak, karena setiap angka tambahan mengalikan pembagian percobaannya dengan sepuluh.

Mengapa akar kuadrat dari sebuah desimal kadang keluar sebagai pecahan?

Ketika bilangan yang diakarnya sendiri merupakan kuadrat sempurna dari sebuah pecahan, tidak ada yang tersisa di dalam tanda akar dan bentuk eksaknya menyusut menjadi pecahan biasa — akar kuadrat dari 2,25 adalah 3/2. Aturannya sama dengan bilangan bulat yang kuadrat sempurna, yang bentuk eksaknya menyusut menjadi bilangan bulat biasa; kalau tanda akarnya kosong, tidak ada lagi yang bisa dituliskan di sekelilingnya.

Mengapa bilangan yang diakar negatif ditolak di sini?

Tidak ada bilangan real yang kuadratnya bernilai negatif, jadi akar kuadrat dari bilangan yang diakar negatif sama sekali bukan bilangan real. Setiap akar kuadrat di halaman ini berindeks tetap dua, jadi tidak ada separuh berindeks ganjil tempat bilangan negatif diizinkan. Kalkulator akar yang umum memang menerima akar pangkat tiga dari bilangan negatif, karena pangkat ganjil dari bilangan negatif tetap negatif, dan halaman ini mengarahkan ke sana.

• Square Root — the definition, the principal root, and the rule for pulling square factors out of a radicand — Wolfram MathWorld (United States)
• Radical — the radical sign, the radicand, and the convention that the principal square root is the non-negative one — Wolfram MathWorld (United States)
• Square Number — the perfect squares the simplification searches for, from 4 up to whatever the radicand allows — Wolfram MathWorld (United States)