Kalkulator Eksponen

bⁿ = b × b × … × b (n faktor) b⁻ⁿ = 1 ÷ (b × b × … × b)

b

Basis, yaitu bilangan yang dikalikan berulang dengan dirinya sendiri. Ia bilangan biasa tanpa satuan, dan boleh negatif, desimal, maupun nol — masing-masing punya aturannya sendiri di bawah. Basis negatif hanya sah dengan eksponen bilangan bulat, karena akar berpangkat genap dari bilangan negatif bukan bilangan nyata

n

Eksponen, yaitu berapa kali basisnya muncul di dalam perkalian itu. Di halaman ini ia bilangan nyata, bukan hanya bilangan bulat: pecahan berarti akar (eksponen 0,5 adalah akar kuadrat, eksponen 0,3333 mendekati akar pangkat tiga), sedangkan tanda negatif berarti kebalikan dari pangkat positifnya

bⁿ

Pangkatnya sendiri, bacaan utamanya. Ia dicetak dalam notasi ilmiah begitu keluar dari rentang 0,001 sampai satu juta, sehingga 2 pangkat 64 tampil sebagai mantisa dan eksponen sepuluh alih-alih sebagai bilangan bulat dua puluh angka. Tidak ada pemotongan di sini — satu-satunya langit-langitnya adalah sejauh mana bilangan presisi ganda sanggup menyimpannya

b × b × … × b

Bentuk uraian, yaitu ungkapan yang sama ditulis sebagai perkalian berulang. Hasil kali yang lebih dari enam faktor disingkat dengan elipsis; di bawah itu semuanya ditulis penuh, dan itulah sebabnya 3 pangkat 4 menampilkan empat faktor sedangkan 2 pangkat 10 tidak menampilkan sepuluh faktor

b⁻ⁿ = 1 ÷ (b × b × … × b)

Apa yang dilakukan eksponen negatif: ia mengambil kebalikan dari pangkat positifnya, satu dibagi hasil kalinya. 2 pangkat −3 adalah 1 ÷ 8, bukan −8. Inilah salah baca notasi yang paling sering terjadi, dan itulah alasan bentuk uraiannya layak dicetak — kebalikannya terlihat di situ dan tidak terlihat di bagian lain halaman ini

b⁰ = 1

Setiap basis yang bukan nol dipangkatkan nol hasilnya 1, dan bentuk uraiannya mengatakan hal itu dengan mencetak angka 1 telanjang alih-alih hasil kali yang kosong. Aturan turunnya yang memaksanya — tiap pembagian dengan basis harus tetap masuk akal ketika eksponennya berkurang satu, dan b ÷ b adalah 1 — jadi 7 pangkat 0 sama dengan 1 bukan kesepakatan yang dipilih halaman ini. Nol pangkat nol satu-satunya kasus yang tidak bisa diputuskan aturan itu, dan ia ditolak

0,5 sebagai eksponen

Eksponen pecahan adalah akar: memangkatkan sebuah bilangan dengan 0,5 berarti akar kuadratnya, dengan sepertiga berarti akar pangkat tiganya. Inilah yang membuat halaman ini menolak basis negatif berpasangan dengan eksponen pecahan — akar pangkat tiga dari bilangan negatif sepenuhnya nyata, tetapi menghitungnya lewat jalan ini tidak, dan kalkulator akar adalah halaman yang tahu bedanya

Pakai halaman ini setiap kali sebuah bilangan dikalikan dengan dirinya sendiri sebanyak jumlah yang tetap dan jawabannya yang Anda kejar: pertumbuhan berbunga-bunga yang ditulis sebagai satu faktor alih-alih rangkaian perkalian, penggandaan yang diulang sejumlah kali, faktor skala yang diterapkan berulang-ulang, peluang kejadian yang sama terjadi berturut-turut, ukuran satuan penyimpanan sebagai pangkat dua. Halaman ini juga tempat untuk dua penulisan yang sering tertukar — hasil kali yang ditulis panjang dan pangkat yang ditulis pendek — karena keduanya dicetak sekaligus: bentuk uraian adalah definisinya dan pangkat adalah nilainya, dan melihat keduanya berdampingan itulah yang membuat eksponen negatif bisa dibaca. Pakai kalkulator akar kalau eksponennya yang menjadi pertanyaan dan akar yang dicari, sebab aturan untuk kasus negatif dan pecahan di sana punya ketentuan sendiri. Pakai kalkulator pertumbuhan eksponensial kalau basisnya tetap dan diturunkan dari sebuah laju, karena begitulah bentuk setiap soal bunga dan populasi. Pakai kalkulator logaritma kalau pangkatnya diketahui dan eksponennya yang Anda mau; itu hubungan yang sama dibaca dari arah sebaliknya.

1. 2 pangkat 10

   1. Basisnya 2 dan eksponennya 10, jadi sepuluh faktor angka 2 dikalikan bersama-sama
   2. Secara berpasangan: 2 × 2 = 4, lalu 4 × 4 = 16, lalu 16 × 16 = 256, dan itu sudah delapan faktor
   3. Tersisa dua faktor: 256 × 2 × 2 = 1.024
   4. Hasil kalinya lebih dari enam faktor, jadi bentuk uraiannya disingkat menjadi 2 × 2 × … × 2

   Baris terakhir tabel rujukan di halaman ini, dan satu-satunya angka di halaman ini yang layak dihafal: satu kilobyte berisi 1.024 bita karena baris ini. Singkatan di bacaan kedua bukan karena kekurangan tempat — sepuluh faktor ditambah elipsis membawa keterangan yang persis sama dengan sepuluh faktor yang ditulis penuh, dan jumlah faktornya sudah ada di eksponen yang Anda ketik sendiri.

2. 2 pangkat −3

   1. Eksponennya negatif, jadi jawabannya kebalikan dari pangkat positifnya
   2. Pangkat positifnya lebih dulu: 2 × 2 × 2 = 8
   3. Kebalikan dari 8 adalah 1 ÷ 8 = 0,125
   4. Bentuk uraiannya mencetak pembagian itu sendiri, sehingga pembagiannya terlihat: 1 ÷ (2 × 2 × 2)

   Kasus yang membuat bentuk uraian ini pantas ada. Pembaca yang mengira tanda minus berarti jawaban negatif akan mengharapkan −8 lalu mendapat 0,125; bacaan 1 ÷ (2 × 2 × 2) itulah yang membuat sifat kebalikannya terlihat jelas alih-alih harus diingat-ingat. Itu juga bacaan yang langsung mengatakan bahwa jawabannya wajib lebih kecil dari 1, sebab membagi satu dengan bilangan di atas satu tidak mungkin berbuat lain.

3. 1,05 pangkat 4

   1. Empat faktor 1,05 dikalikan bersama-sama, dan itu berarti empat tahun pertumbuhan lima persen
   2. Dua faktor: 1,05 × 1,05 = 1,1025
   3. Empat faktor: 1,1025 × 1,1025 = 1,21550625
   4. Pangkatnya dicetak sampai enam angka desimal, jadi bacaannya 1,215506

   Bentuk yang paling sering dipakai di luar ruang kelas: basis desimal sedikit di atas 1 dengan eksponen yang menghitung periode. Empat faktor memberi 1,2155, dan itu sama dengan mengatakan besarannya tumbuh 21,55 persen selama empat periode itu — laju pertumbuhannya sendiri yang diturunkan menjadi basis oleh kalkulator pertumbuhan eksponensial, dan di sana persentasenya dilaporkan langsung alih-alih menyisakan pengurangan satu untuk Anda kerjakan.

4. 7 pangkat 0

   1. Eksponen nol berarti hasil kalinya kosong — tidak ada satu pun faktor angka 7 yang dikalikan
   2. Hasil kali yang kosong bernilai 1, yaitu unsur identitas pada perkalian: mengalikan dengan angka itu tidak mengubah apa pun
   3. Aturan turunnya setuju: 7¹ ÷ 7 = 1, dan 7⁰ ÷ 7 = 7⁻¹, jadi 7⁰ harus 1 supaya polanya tetap utuh
   4. Bentuk uraiannya mencetak angka 1 telanjang, bukan perkalian yang kosong

   Entri yang paling sering diharapkan bernilai 0 dan paling sering diduga begitu. Tidak ada yang dikalikan, jadi tidak ada yang bisa keluar darinya — tetapi 1 adalah nilai yang menjaga setiap pangkat di sekitarnya tetap benar, dan itulah sebabnya definisinya adalah hasil kali yang kosong alih-alih mengandalkan dugaan. Tabel rujukan di bawah juga dibuka dengan 2⁰ = 1 karena alasan yang sama.

5. −2 pangkat 3

   1. Basisnya negatif dan eksponennya bilangan bulat, dan itulah paduan yang diperbolehkan
   2. −2 × −2 = 4, sebab mengalikan dua bilangan negatif memberi bilangan positif
   3. 4 × −2 = −8
   4. Banyaknya faktor negatif ganjil, jadi tanda jawabannya negatif

   Basis negatif tidak ditolak — yang ditolak hanya basis negatif dengan eksponen pecahan, karena di sanalah jawabannya berhenti menjadi bilangan nyata. Tanda hasilnya mengikuti ganjil-genapnya eksponen, dan bentuk uraiannya membuat hal itu bisa dihitung: tiga faktor −2 berpasangan sekali lalu menyisakan satu faktor negatif. Ubah eksponennya menjadi 4 dan jawabannya +16.

Halaman ini memangkatkan sebuah bilangan dan tidak melakukan apa pun selain itu. Ia tidak menjumlahkan pangkat, tidak mengalikannya, dan tidak menggabungkan dua pangkat — hukum-hukum eksponen dinyatakan di blok rumus dan diterapkan dengan tangan, dan itu disengaja, sebab halaman ini tidak punya basis kedua untuk menerapkannya. Ia juga tidak mengambil logaritma: kalau pangkat dan basisnya diketahui lalu eksponennya yang dicari, itu pertanyaan yang arahnya terbalik dan tempatnya di kalkulator logaritma. Basis negatif hanya diterima dengan eksponen bilangan bulat, dan penolakan itu bukan ketidakmampuan menghitung — akar pangkat tiga dari −8 memang −2 — melainkan keputusan pengarahan, karena aritmetika yang akan menghasilkannya adalah akar dan bukan pangkat, dan kalkulator akar adalah halaman yang memuat aturan tersebut. Hasilnya dihitung dalam presisi ganda dan hanya tepat sejauh presisi ganda memang tepat: bilangan bulat tersimpan persis sampai 2 pangkat 53, dan di atas itu sebuah bilangan bulat kembali dengan bilangan-bilangan di sekitarnya yang tidak bisa dibedakan lagi darinya. Eksponennya dibatasi ±64 dan basisnya satu juta, dan keduanya rentang tampilan dan bukan batas matematis — langit-langit yang sebenarnya adalah titik ketika hasilnya berhenti menjadi bilangan yang bisa diwakili, dan mencapainya memunculkan galat alih-alih mencetak nilai tak hingga. Bentuk uraiannya disingkat di atas enam faktor, jadi ia bacaan atas perkaliannya dan bukan salinan lengkapnya.

Apa arti eksponen negatif?

Ia berarti kebalikan dari pangkat positifnya, bukan bilangan negatif. 2 dengan eksponen −3 adalah 1 ÷ (2 × 2 × 2), yaitu 0,125 — jawabannya lebih kecil dari 1, bukan di bawah nol. Bentuk uraian di halaman ini mencetak pembagiannya dan bukan hanya hasilnya, karena tanda minus itulah satu-satunya bagian notasi ini yang rutin dibaca terbalik.

Mengapa bilangan apa pun yang dipangkatkan nol hasilnya 1?

Karena eksponen nol berarti hasil kalinya kosong, dan hasil kali yang kosong adalah unsur identitas pada perkalian, yaitu 1. Aturan turunnya mengatakan hal yang sama: tiap kali eksponennya berkurang satu nilainya dibagi dengan basisnya, dan menurunkan 7¹ = 7 satu langkah memberi 7 ÷ 7 = 1. Hasilnya tidak pernah 0 — tidak ada yang dikalikan, jadi tidak ada yang bisa keluar darinya.

Berapa hasil dari nol pangkat nol?

Nilainya tidak terdefinisi, dan halaman ini mengatakan demikian alih-alih mencetak salah satu angka. Dua aturan bertabrakan di situ: setiap basis bukan nol yang dipangkatkan nol bernilai 1, sedangkan nol yang dipangkatkan eksponen positif apa pun bernilai 0. JavaScript mengembalikan 1 untuk ungkapan ini, tetapi itu keputusan bahasa pemrograman demi konsistensi di antara operasinya sendiri dan bukan hasil matematika, dan itulah sebabnya halaman ini menolaknya alih-alih diam-diam menyetujuinya.

Bisakah saya memakai eksponen pecahan seperti 0,5?

Bisa, asalkan basisnya positif — eksponen 0,5 adalah akar kuadrat, jadi 2 pangkat 0,5 sama dengan 1,414214. Basis negatif dengan eksponen pecahan ditolak, karena jawabannya bukan bilangan nyata: aritmetika di balik pangkat pecahan melewati logaritma, dan logaritma bilangan negatif tidak ada dalam bilangan nyata. Akar ganjil dari bilangan negatif justru nyata, dan kalkulator akar adalah halaman yang tahu bedanya.

Mengapa bentuk uraiannya berhenti di enam faktor?

Karena di atas itu elipsisnya membawa keterangan yang sama banyaknya dengan hasil kali yang ditulis penuh. 2 pangkat 64 kalau ditulis panjang menjadi lebih dari seratus karakter faktor yang sama berulang, sedangkan jumlah faktornya sudah ada di eksponen yang Anda ketik, jadi menyingkatnya menjadi 2 × 2 × … × 2 tidak kehilangan apa pun. Di bawah enam faktor perkaliannya ditulis penuh, dan itulah sebabnya 3 pangkat 4 menampilkan keempat faktornya.

Kapan jawabannya berpindah ke notasi ilmiah?

Ketika ia keluar dari rentang 0,001 sampai satu juta. Di dalam rentang itu bilangan dicetak sebagai desimal biasa, karena pembaca menangkap 9.375 dalam sekali lihat dan harus menerjemahkan 9,375 × 10³ lebih dulu. Di luarnya mantisa dan eksponen sepuluhnya sama-sama ditampilkan, sehingga 2 pangkat 64 terbaca sebagai 1,844674 × 10¹⁹ alih-alih sebagai bilangan bulat dua puluh angka yang besar kecilnya tidak terlihat.

• Power — the definition of a power as repeated multiplication, together with the rules for negative and fractional exponents — Wolfram MathWorld (United States)
• Exponentiation — the operation itself, including the reciprocal rule for negative exponents and the treatment of the indeterminate case 0⁰ — Wolfram MathWorld (United States)
• Exponentiation — the arithmetic of powers across number systems, and the reason a negative base with a non-integer exponent has no real value — Wikipedia