Kalkulator Pertumbuhan Eksponensial

N = N₀ × (1 + r)^t faktor pertumbuhan = 1 + r perubahan total = ((1 + r)^t − 1) × 100%

N₀

Jumlah awalnya, apa pun yang ada sebelum pertumbuhannya mulai. Ia harus positif, karena kolom persentase membaginya dan jumlah awal nol akan membuat perubahan totalnya menjadi pembagian nol dengan nol alih-alih bilangan yang besar. Ia tidak membawa satuan: perhitungan yang sama mencakup orang, barang, bakteri, dan poin indeks

r

Laju pertumbuhan per periode, dalam persen. Ia diketik sebagai 5 untuk lima persen, bukan sebagai 0,05, dan boleh negatif — laju −20 persen berarti besarannya kehilangan seperlima dirinya tiap periode, dan itu peluruhan, bukan perhitungan yang lain. Ia tidak boleh di bawah −100 persen: tepat pada −100 besarannya mencapai nol, dan di bawahnya faktor per periodenya berubah menjadi negatif sehingga tandanya berganti tiap periode, dan itu bukan lagi gambaran sebuah besaran

t

Jumlah periodenya. Apa yang dianggap satu periode terserah Anda — tahun, bulan, hari, generasi — asalkan lajunya dinyatakan untuk periode yang sama. Ia boleh pecahan: setengah periode adalah masukan yang sepenuhnya wajar dan mengalikan dengan akar kuadrat faktor satu periode penuh, bukan dengan setengahnya. Nilai negatif ditolak, sebab menghitung mundur ke jumlah sebelum titik awalnya adalah pertanyaan yang berbeda dari yang dijawab panel ini

(1 + r)^t

Faktor total yang sudah mengalikan besarannya sampai akhir. Bagian inilah yang membuat pertumbuhannya eksponensial dan bukan penjumlahan biasa: tiap periode mengalikan seluruh yang sudah ada, sehingga kenaikan pada periode kesepuluh bukan kenaikan pada periode pertama melainkan jauh lebih besar. Ia juga persis operasi kalkulator eksponen — basisnya satu ditambah laju dan eksponennya jumlah periode

1 + r

Faktor pertumbuhan per periode, bacaan yang di tengah. Untuk laju 5 persen ia 1,05, yang berarti besarannya dikalikan dengan sedikit lebih dari satu tiap periode. Ia dicetak terpisah karena inilah angka yang dicari begitu pertanyaannya berubah: faktor 1,05 yang dipangkatkan empat periode, laju yang sama yang digandakan menjadi 10 persen, atau jumlah awal yang berbeda, semuanya menjadi satu perkalian saja jaraknya begitu faktor ini terlihat

((1 + r)^t − 1) × 100%

Perubahan total sepanjang rentangnya, sebagai persentase dari titik awalnya. Laju 5 persen selama sepuluh periode memberi 62,889 persen dan bukan 50, karena lima persen tiap periode diambil dari jumlah yang lebih besar daripada periode sebelumnya. Pengurangan satu itulah yang mengubah faktor menjadi perubahan: faktor 1,6289 adalah perubahan 62,89 persen, dan faktor di bawah satu memberi perubahan negatif, dan begitulah peluruhan dilaporkan

r = −100%

Batas bawahnya, dan satu-satunya laju yang membawa jumlahnya tepat ke nol. Ia diterima karena ia adalah batas dari besaran yang menyusut: pada −100 persen faktor pertumbuhannya nol dan setiap periode setelah yang pertama mengalikan nol dengan nol. Di bawahnya faktornya negatif, besarannya berganti tanda tiap periode, dan modelnya berhenti menggambarkan apa pun yang fisik — dan itulah sebabnya masukan itu ditolak alih-alih dihitung

Pakai halaman ini setiap kali sebuah besaran dikalikan dengan faktor yang sama berulang-ulang dan Anda ingin tahu di mana ia berakhir atau berapa seluruh rentangnya: pertumbuhan majemuk pada sebuah saldo, populasi yang tumbuh pada laju tetap, indeks harga yang naik selama puluhan tahun, biakan yang berlipat dua, pasar yang menyusut dengan persentase tetap tiap tahun. Kolom perubahan total itulah yang layak dikutip dalam tulisan — 'kenaikan 62,9 persen selama sepuluh periode' lebih banyak bicara kepada pembaca daripada angka akhirnya, dan itulah angka yang tidak diberikan oleh laju pertumbuhannya saja. Halaman ini juga tempat mengubah laju menjadi faktor, dan langkah itu dibutuhkan setiap soal bunga majemuk sebelum bisa dihitung sama sekali. Pakai kalkulator waktu paruh kalau besarannya meluruh dengan terbagi dua dan lajunya dinyatakan sebagai waktu alih-alih persentase, sebab halaman itu menerima waktu paruhnya langsung dan sekaligus melaporkan jumlah periodenya. Pakai kalkulator eksponen kalau basisnya bilangan yang sudah Anda punya dan bukan yang diturunkan dari sebuah laju; operasinya sama, hanya tanpa persen di depannya. Pakai kalkulator bunga majemuk kalau perkaliannya berlangsung menurut jadwal dan pertanyaannya menyangkut setoran atau frekuensi pemajemukan, karena itu dimensi khusus uang yang tidak dibawa halaman ini.

1. 100 yang tumbuh 5 persen selama 10 periode

   1. Faktor pertumbuhannya: 1 + 0,05 = 1,05
   2. Faktor totalnya: 1,05¹⁰ = 1,628894627…
   3. Jumlah akhirnya: 100 × 1,628894627… = 162,889463
   4. Perubahan totalnya: (1,628894627… − 1) × 100 = 62,889463 persen

   Kasus bawaan halaman ini, dan kasus yang memperlihatkan mengapa kolom perubahan total perlu ada. Sepuluh periode pada lima persen terdengar seperti lima puluh persen, sementara panelnya mengatakan 62,89 — kelebihannya datang karena lima persen tiap periode diambil dari jumlah yang lebih besar daripada periode sebelumnya. Pembaca yang hanya mengutip angka akhirnya sudah menyebutkan saldonya tetapi belum menyebutkan ceritanya; bagian yang dikutip orang adalah persentasenya.

2. 100 yang menyusut 20 persen selama 3 periode

   1. Faktor pertumbuhannya: 1 + (−0,20) = 0,8
   2. Faktor totalnya: 0,8³ = 0,512
   3. Jumlah akhirnya: 100 × 0,512 = 51,2
   4. Perubahan totalnya: (0,512 − 1) × 100 = −48,8 persen

   Halaman yang sama sedang melakukan peluruhan, dan itulah gunanya menerima laju negatif alih-alih membuat alat kedua. Tiga periode dua puluh persen adalah kehilangan 48,8 persen dan bukan 60, dengan alasan yang sama seperti pada kasus pertumbuhan yang melampaui tebakan: tiap periode mengambil seperlimanya dari apa yang tersisa. Faktor pertumbuhan di bawah satu juga isyarat paling jelas bahwa aturan tandanya bekerja.

3. 100 yang berlipat dua tiap periode selama 5 periode

   1. Laju 100 persen berarti besarannya bertambah sebanyak dirinya sendiri, jadi faktornya 2
   2. Faktor totalnya: 2⁵ = 32
   3. Jumlah akhirnya: 100 × 32 = 3.200
   4. Perubahan totalnya: (32 − 1) × 100 = 3.100 persen

   Penggandaan, yaitu kasus ketika aritmetikanya cukup mudah diperiksa di kepala sementara kolom persentasenya tidak. Besarannya sudah dikalikan 32, dan halaman ini melaporkannya sebagai kenaikan 3.100 persen — angka yang terdengar mengada-ada di sebelah '32 kali lipat' padahal pernyataannya persis sama. Inilah gambaran paling jelas mengapa kolom terakhir mengurangkan satu lebih dulu sebelum menyebutnya perubahan.

4. 100 yang tumbuh 5 persen selama setengah periode

   1. Faktor pertumbuhannya tetap 1,05, karena ia didefinisikan per periode
   2. Faktor totalnya: 1,05 pangkat 0,5 = 1,024695076…, yaitu akar kuadrat dari 1,05
   3. Jumlah akhirnya: 100 × 1,024695076… = 102,469508
   4. Perubahan totalnya: 2,469508 persen

   Periode pecahan, dan kasus yang paling jelas memisahkan kedua bacaan itu. Faktor pertumbuhannya tetap 1,05 karena ia besaran per periode dan setengah periode tidak mengubahnya; faktor totalnya adalah akar kuadratnya, sehingga setengah periode pertumbuhan lima persen bernilai 2,47 persen dan bukan 2,5. Memakai setengah dari lajunya akan salah, dan baris inilah yang memperlihatkannya.

5. 2,5 yang tumbuh 12 persen selama 4 periode

   1. Faktor pertumbuhannya: 1 + 0,12 = 1,12
   2. Faktor totalnya: 1,12⁴ = 1,57351936
   3. Jumlah akhirnya: 2,5 × 1,57351936 = 3,933798
   4. Perubahan totalnya: 57,351936 persen

   Jumlah awal yang bukan bilangan bulat, dan itu tidak mengubah apa pun: kolom faktornya sama sekali tidak bergantung pada titik awal besarannya, dan 2,5 tumbuh sebesar 57,35 persen yang persis sama dengan yang akan dialami 250. Dua kolom yang menjawab 'seberapa besar' itulah yang dibaca ketika membandingkan dua skenario, karena hanya keduanya yang tidak bergerak ketika jumlah awalnya bergerak.

Laju dan jumlah periode harus dinyatakan atas dasar yang sama, dan halaman ini tidak punya cara memeriksanya: lima persen per tahun selama sepuluh bulan memberi jawaban yang salah namun terlihat sepenuhnya normal. Satu periode itu terserah Anda — setahun, sebulan, sehari, satu generasi — dan halaman ini tidak pernah menanyakannya. Pertumbuhannya dimodelkan sebagai perkalian dengan faktor yang sama setiap periode, dan itulah arti pertumbuhan majemuk sekaligus alasan model ini tidak berlaku untuk semua yang tumbuh: populasi yang menabrak batas daya dukung, pasar yang jenuh, atau laju yang berubah sendiri semuanya di luar model ini. Lajunya tidak boleh di bawah −100 persen, sebab di situlah besarannya mencapai nol dan di bawahnya tandanya berganti tiap periode; batas atas 1.000 persen dan batas periode 1.000 ada supaya luapan jarang terjadi, bukan untuk menyatakan batas matematis. Jumlah awalnya harus positif, yang berarti besaran yang menyeberang dari negatif ke positif tidak bisa diwakili. Pemajemukannya terjadi sekali per periode dan bukan terus-menerus: laju 5 persen per tahun yang dimajemukkan dua kali setahun dengan 2,5 persen tiap kali memberi hasil yang berbeda, dan perhitungan itu milik halaman bunga majemuk yang membawa frekuensi pemajemukan. Tidak ada apa pun di sini yang memodelkan setoran, penarikan, atau iuran — besarannya dibiarkan tumbuh sendiri. Terakhir, keluarannya dibulatkan ke enam angka desimal, dan itu berarti ketika angkanya membesar.

Mengapa perubahan totalnya lebih besar daripada laju dikali jumlah periode?

Karena persentase tiap periode diambil dari jumlah yang lebih besar daripada periode sebelumnya. Sepuluh periode pada lima persen bukan lima puluh persen melainkan 62,89, sebab lima persen pada periode kedua dikenakan pada jumlah yang sudah tumbuh. Pemajemukan itulah seluruh perbedaan antara pertumbuhan eksponensial dan pertumbuhan penjumlahan, dan kolom perubahan total adalah tempat hal itu terlihat: angka akhirnya saja tidak memperlihatkannya.

Bisakah saya memakai laju pertumbuhan negatif?

Bisa — laju negatif adalah peluruhan dan dihitung oleh halaman yang sama. Laju −20 persen berarti besarannya kehilangan seperlima dirinya tiap periode, sehingga 100 menjadi 51,2 setelah tiga periode. Lajunya tidak boleh di bawah −100 persen: tepat pada −100 besarannya mencapai nol dan berhenti di situ, sedangkan di bawahnya faktor per periodenya menjadi negatif dan besarannya berganti tanda setiap periode, dan itu bukan lagi gambaran sebuah besaran.

Apa yang dianggap satu periode?

Terserah Anda, asalkan lajunya dinyatakan atas dasar yang sama. Lima persen per tahun dengan jumlah periode sepuluh berarti sepuluh tahun; laju yang sama per bulan dengan hitungan sepuluh berarti sepuluh bulan, dan kedua jawaban itu menjawab pertanyaan yang berbeda. Halaman ini tidak bisa memeriksa pasangannya, jadi laju yang dinyatakan per tahun dengan jumlah periode dalam bulan memberi jawaban salah yang tampak sepenuhnya normal.

Apa bedanya faktor pertumbuhan dengan perubahan total?

Faktor pertumbuhan adalah apa yang mengalikan besarannya selama satu periode; perubahan total adalah hasil seluruh rentangnya. Laju 5 persen memberi faktor pertumbuhan 1,05 — angka per periode yang sama saja apakah dijalankan satu periode atau seratus — sedangkan sepuluh periode memberi perubahan total 62,89 persen, yaitu faktor yang sudah dimajemukkan. Ketika pertanyaannya 'berapa kali lebih cepat pilihan ini', faktor pertumbuhannya yang dibandingkan.

Bisakah jumlah periodenya berupa pecahan?

Bisa, dan setengah periode adalah masukan yang lazim. Setengah periode pertumbuhan lima persen bukan 2,5 persen — melainkan akar kuadrat dari 1,05, yaitu 2,47 persen. Itulah yang membuat periode pecahan bermakna dan bukan sekadar kemudahan pembulatan: besarannya tumbuh mulus sepanjang periode itu alih-alih melonjak sekali di ujungnya, dan mengambil akarnya adalah cara menyatakan kesinambungan tersebut.

Apa bedanya dengan kalkulator bunga majemuk?

Rumusnya sama, pokok bahasannya berbeda. Halaman ini menerima laju dan jumlah periode lalu bekerja dengan besaran apa pun; kalkulator bunga majemuk menambahkan hal-hal yang dimiliki uang dan tidak dimiliki populasi — frekuensi pemajemukan, setoran berkala, dan pokok utang yang bisa diangsur. Kalau pertanyaannya menyangkut uang yang masuk atau keluar dari saldo, atau bunga yang dimajemukkan bulanan alih-alih sekali setahun, halaman itu yang membawa dimensi tambahannya dan halaman ini tidak.

• Exponential Growth — the law this page evaluates, with the growth rate and the number of periods as its two parameters — Wolfram MathWorld (United States)
• Compound Interest — the same formula applied to money, including the compounding-frequency distinction that separates that calculation from this one — Wolfram MathWorld (United States)
• Exponential Decay — the negative-rate half of the same law, where the factor per period is below one and the quantity approaches zero — Wolfram MathWorld (United States)