Kalkulator Waktu Penggandaan

t = ln(2) ÷ ln(1 + r) t ≈ 72 ÷ R

r

Laju pertumbuhan untuk satu periode, ditulis sebagai pecahan desimal dan bukan sebagai persentase: laju 5 persen per periode masuk ke rumus sebagai 0,05. Lajunya harus positif, karena besaran yang tidak tumbuh tidak akan pernah berlipat dua, dan di kolom masukan ia diketik sebagai persentase. Yang dihitung di sini adalah pertumbuhan berbunga-bunga — tiap periode dikenakan pada keseluruhan termasuk semua yang tumbuh sebelumnya, dan itulah yang membuat waktu penggandaannya berhingga alih-alih tidak terhingga

ln 2

Logaritma natural dari dua, kira-kira 0,693147, dan satu-satunya tetapan di rumus tepatnya. Ia muncul karena berlipat dua berarti faktor pertumbuhannya tepat mencapai dua, sehingga pertanyaannya menjadi berapa kali perkalian dengan (1 + r) diperlukan untuk mengubah satu menjadi dua — dan logaritma adalah operasi yang menjawabnya

t

Waktu penggandaan, dalam satuan periode, dicetak sampai tiga angka desimal. Ia tidak membawa satuan sendiri: kalau laju yang Anda masukkan adalah laju bulanan, t adalah jumlah bulan; kalau laju tahunan, t adalah jumlah tahun. Penggandaan terakhirnya hanya sebagian, dan itulah sebabnya t bukan bilangan bulat — setelah 14 periode pada laju 5 persen, besarannya sedikit kurang dari dua kali, lalu melewatinya di tengah periode kelima belas

R

Laju yang sama, tetapi sebagai persentase, yaitu angka yang diketik di kolom masukan. Aturan 72 adalah pendekatan yang membagi 72 dengan R, dan itu bacaan kedua di panel hasil. Ia paling tepat di sekitar 8 persen, meleset ke atas pada laju rendah dan meleset ke bawah pada laju tinggi, dan ia ada karena membagi dengan bilangan bulat jauh lebih mudah dikerjakan di kepala daripada logaritma

Pakai halaman ini ketika laju pertumbuhannya sudah diketahui dan yang Anda cari adalah waktunya. Kalkulator pertumbuhan eksponensial menjalankan model yang sama ke arah sebaliknya, mulai dari jumlah awal dan jumlah periode; kalkulator waktu paruh adalah cerminnya, dengan faktor setengah sebagai ganti dua; sedangkan kalkulator aturan 72 memakai aritmetika yang sama dalam urusan uang, dengan patokan kasar sebagai judulnya dan bukan jawaban tepat. Kalau yang Anda kejar justru nilai akhir dari sebuah tabungan berbunga majemuk, pertumbuhan eksponensial yang Anda mau.

1. Lima persen per periode

   1. Lajunya sebagai desimal adalah 0,05, jadi tiap periode mengalikan besaran dengan 1,05
   2. Jawaban tepatnya ln 2 ÷ ln 1,05 = 0,693147 ÷ 0,048790 = 14,207 periode
   3. Aturan 72 memberi 72 ÷ 5 = 14,4 periode
   4. Keduanya berbeda sekitar sepersekian periode, dan sebesar itulah jarak biasa antara patokan kasar dan nilai sebenarnya

   Memeriksa jawabannya mudah: 1,05 pangkat 14 adalah 1,98, sedikit di bawah dua, dan pangkat 15 adalah 2,08, sedikit di atasnya. Jadi titik lewatnya berada di antara periode keempat belas dan kelima belas, persis di tempat 14,207 menunjuk. Pemeriksaan itu layak dilakukan sekali, karena ia memperlihatkan bahwa angka desimal itu memang posisi pada garis waktu, bukan sisa hitungan.

2. Satu persen per periode

   1. Jawaban tepatnya ln 2 ÷ ln 1,01 = 0,693147 ÷ 0,009950 = 69,661 periode
   2. Aturan 72 memberi 72 ÷ 1 = 72 periode
   3. Patokan kasarnya meleset 2,3 periode di sini, dan pada laju satu persen itu berarti lebih dari dua periode penantian ekstra
   4. Galatnya sistematis, bukan acak: aturan 72 disetel untuk laju sekitar 8 persen dan melenceng di ujung yang rendah

   Jarak pada laju rendah inilah alasan kedua bacaan ditampilkan berdampingan alih-alih salah satunya menggantikan yang lain. Patokan kasar yang meleset dua periode sepanjang umur pemajemukan adalah selisih yang nyata, dan melihat kedua angkanya sekaligus itulah yang memberi tahu Anda mana yang layak dipercaya untuk laju Anda sendiri.

3. Dua puluh persen per periode

   1. Jawaban tepatnya ln 2 ÷ ln 1,2 = 0,693147 ÷ 0,182322 = 3,802 periode
   2. Aturan 72 memberi 72 ÷ 20 = 3,6 periode
   3. Kali ini patokannya justru meleset ke bawah, dan begitulah perilakunya di atas 8 persen
   4. Pemeriksaannya: 1,2 pangkat 3 adalah 1,728 dan 1,2 pangkat 4 adalah 2,074, jadi titik lewatnya ada di antara periode ketiga dan keempat

   Antara contoh ini dan contoh satu persen tadi, arah galat aturan 72 berubah tanda — meleset ke atas pada laju rendah, meleset ke bawah pada laju tinggi — dan itu bentuk pendekatannya, bukan kesalahan di dalamnya. Laju yang membuat kedua bacaan paling berdekatan ada di sekitar 8 persen: patokannya memberi 9, sedangkan jawaban tepatnya 9,006.

Waktu penggandaan tidak punya satuan sendiri. Ia diukur dalam periode yang sama dengan periode lajunya, jadi 14,207 berarti tahun kalau lajunya tahunan, bulan kalau bulanan, dan menit kalau yang Anda amati bakteri. Halaman ini tidak bisa tahu yang mana, dan ia tidak akan menebak. Lajunya harus positif dan terletak antara 0,1 dan 1.000 persen per periode; nol ditolak karena kedua rumus tidak punya jawaban untuknya, sedangkan laju negatif menggambarkan besaran yang menyusut — tidak akan pernah berlipat dua, dan tempatnya di kalkulator waktu paruh. Konstantanya tetap 2: halaman ini mencari waktu untuk menjadi dua kali, dan tidak bisa dimintai waktu untuk menjadi tiga kali atau kelipatan lain. Pertumbuhannya dianggap mulus dan tetap, diterapkan terus-menerus alih-alih dalam langkah-langkah tahunan, dan itu model yang lazim tetapi bukan yang benar-benar dilakukan bank. Bacaan aturan 72 adalah pendekatan sejak dirancang dan ditampilkan sebagai pembanding, bukan sebagai jawaban, dan tidak ada analisis galat antara kedua bacaan itu di sini.

Bagaimana cara menghitung waktu penggandaan?

Bagi logaritma natural 2 dengan logaritma natural satu ditambah lajunya. Pada laju 5 persen per periode hasilnya 0,693147 ÷ 0,048790, yaitu 14,207 periode. Logaritma yang berperan di situ karena berlipat dua adalah perkalian yang diulang sebanyak yang belum diketahui, dan logaritma itulah yang mengubahnya menjadi pembagian.

Apa itu aturan 72 dan seberapa akurat ia?

Aturan 72 adalah jalan pintas yang membagi 72 dengan laju dalam persen, jadi laju 5 persen berlipat dua dalam sekitar 14,4 periode. Ia tepat dalam beberapa persen di sekitar laju 8 persen, meleset ke atas pada laju rendah — pada 1 persen ia bilang 72 padahal yang benar 69,661 — dan meleset ke bawah pada laju tinggi, di mana 20 persen memberi 3,6 padahal yang benar 3,802. Halaman ini menampilkan kedua angkanya supaya jarak itu terlihat pada laju Anda sendiri.

Apakah waktu penggandaan diukur dalam tahun?

Hanya kalau laju pertumbuhan yang Anda masukkan tahunan. Lajunya per periode, dan periodenya terserah Anda: laju bulanan memberi jawaban dalam bulan, laju harian dalam hari, dan biakan bakteri yang berlipat dua tiap dua puluh menit memberi jawaban dalam satuan dua puluh menit. Halaman ini sengaja tidak melabeli keluarannya, karena ia tidak mungkin tahu yang mana yang Anda maksud.

Mengapa laju nol atau negatif ditolak?

Karena tidak ada yang berlipat dua. Pada laju nol besarannya tetap di tempatnya selamanya dan aturan 72 membagi dengan nol; pada laju negatif besarannya menyusut dan pertanyaan yang jujur bukan lagi waktu penggandaan, melainkan waktu paruh. Laju di bawah 0,1 persen per periode ditolak karena alasan praktis yang sama, dan kalkulator waktu paruh yang menangani kasus menyusut itu.

Apa bedanya dengan kalkulator pertumbuhan eksponensial?

Arahnya. Halaman ini mulai dari laju pertumbuhan lalu mengembalikan waktu; kalkulator pertumbuhan eksponensial mulai dari laju dan jumlah periode lalu mengembalikan besaran akhirnya. Model di bawahnya sama, sehingga waktu penggandaan 14,207 periode pada laju 5 persen persis berarti faktor pertumbuhannya mencapai 2 di titik itu pada kurva eksponensialnya.

• Exponential Growth — growth at a rate proportional to the current quantity, and the doubling time that follows from it — Wolfram MathWorld (United States)
• Exponential Function — the base e, the natural logarithm that undoes it, and why ln 2 appears in every doubling formula — Wolfram MathWorld (United States)
• Compound Interest — the same growth factor applied period after period, which is where the doubling time is usually met first — Wolfram MathWorld (United States)