Kalkulator Aturan 72

Aturan 72: tahun untuk berlipat dua ≈ 72 ÷ suku bunga tahunan; eksak: tahun = ln(2) ÷ ln(1 + suku bunga tahunan ÷ 100)

Suku bunga tahunan

Laju per tahun dalam persen — 8 berarti delapan persen — dan harus di atas nol karena kedua rumus membagi dengan sesuatu yang hilang di titik itu

72

Pembilang jalan pintasnya, dipilih supaya pembagiannya mudah dihitung di kepala pada laju yang paling sering ditemui orang

ln(2)

Logaritma natural dari dua, sekitar 0,6931, yang muncul karena berlipat dua berarti menyelesaikan (1 + r) pangkat n sama dengan 2

Tahun untuk berlipat dua

Berapa lama uang berlipat dua pada laju yang dimajemukkan; jawaban jalan pintas dan jawaban eksak dikutip berdampingan

Galat

Jawaban jalan pintas dikurangi jawaban eksak, yang positif pada laju rendah dan negatif pada laju tinggi

Kelipatan pada jawaban aturan

Apa yang sebenarnya menjadi milik Anda kalau Anda menunggu tepat selama yang dikatakan jalan pintas, yang di hampir setiap laju sedikit di bawah dua

Pakai jalan pintasnya ketika Anda butuh jawaban di kepala dalam sebuah percakapan, dan pakai angka eksaknya ketika jawabannya akan dituliskan. Karena keduanya sangat dekat di rentang tempat sebagian besar laju biasa berada, jalan pintas ini paling baik untuk perencanaan kasar pada lima sampai sepuluh persen, dan paling buruk di kedua ujungnya: di bawah sekitar tiga persen ia melebih-lebihkan masa tunggunya dengan parah, dan di atas sekitar lima belas persen ia meremehkannya. Keluaran kelipatannya menjawab pertanyaan yang dimunculkan angka galat tetapi tidak diselesaikannya, yaitu apakah meleset seperlima tahun benar-benar merugikan Anda. Pada dua puluh persen, menunggu 3,6 tahun menurut aturan alih-alih 3,802 tahun yang eksak menyisakan 1,93 kali uang Anda alih-alih 2 — kekurangan sekitar tujuh persen dari keuntungan yang Anda harapkan, dan itu layak diketahui sebelum memakai jalan pintas pada laju yang tinggi.

1. Delapan persen: laju ketika aturannya nyaris eksak

   1. Aturannya: 72 ÷ 8 = 9,00 tahun
   2. Jawaban eksaknya: ln(2) ÷ ln(1,08) = 0,693147 ÷ 0,076961 = 9,006 tahun
   3. Galat: 9,00 − 9,006 = −0,006 tahun, sekitar dua hari
   4. Tumbuh pada 8% selama tepat 9 tahun: 1,08⁹ = 1,9990

   Ini nilai bawaan halaman karena inilah kasus terbaik aturan tersebut, dan ada baiknya melihat seberapa bagus kasus terbaiknya: jalan pintasnya meleset sekitar dua hari dari sembilan tahun. Keluaran kelipatannya adalah tanda bahwa bahkan di sini aturannya tidak eksak — sembilan tahun pada delapan persen secara majemuk memberi 1,9990 kali uang Anda, bukan 2, dan butuh beberapa hari lagi untuk menutup seperseribu terakhir itu.

2. Satu persen: aturannya melebih-lebihkan masa tunggu lebih dari dua tahun

   1. Aturannya: 72 ÷ 1 = 72,00 tahun
   2. Jawaban eksaknya: ln(2) ÷ ln(1,01) = 0,693147 ÷ 0,009950 = 69,661 tahun
   3. Galat: 72,00 − 69,661 = +2,339 tahun
   4. Tumbuh pada 1% selama 72 tahun: 1,01⁷² = 2,0471

   Pada laju sekelas rekening deposito, jalan pintasnya bermurah hati soal berapa lama Anda menunggu, dan arahnya berlawanan dengan yang biasanya diduga orang. Angka kelipatannya membuatnya konkret: menunggu 72 tahun menurut aturan pada satu persen menyisakan 2,0471 kali uang Anda alih-alih 2, jadi dua tahun lebih itu tidak terbuang, hanya melewati target. Ini galat terbesar di dalam tabel.

3. Dua puluh persen: sekarang aturannya justru meremehkan masa tunggu

   1. Aturannya: 72 ÷ 20 = 3,60 tahun
   2. Jawaban eksaknya: ln(2) ÷ ln(1,2) = 0,693147 ÷ 0,182322 = 3,802 tahun
   3. Galat: 3,60 − 3,802 = −0,202 tahun
   4. Tumbuh pada 20% selama 3,6 tahun: 1,2^3,6 = 1,9278

   Bandingkan dengan kasus satu persen dan inti halaman ini langsung terlihat: galatnya sudah berubah tanda. Aturannya sekarang menjanjikan penggandaan seperlima tahun terlalu cepat, dan kalau Anda mengandalkannya Anda mendapat 1,9278 kali uang Anda alih-alih 2 — sekitar tujuh persen dari keuntungan yang Anda harapkan. Kedua kasus ini sengaja dibuat berjauhan dalam hal laju dan berdekatan dalam hal besarnya galat tahunan, dan itulah sebabnya galat dalam satuan tahun adalah penuntun yang buruk kalau berdiri sendiri, dan kelipatannya dicetak di sebelahnya.

Aturan 72 adalah pendekatan dan halaman ini tidak berpura-pura sebaliknya; yang dilakukannya adalah memberi tahu Anda seberapa besar pendekatan itu pada laju Anda. Ia mengandaikan lajunya dimajemukkan, dan bahwa laju itu tetap sepanjang periode — laju yang berubah di tengah jalan tidak punya satu waktu berlipat dua, dan aturan ini tidak punya cara untuk menyatakannya. Ia hanya bekerja pada laju di atas nol, karena pembagiannya maupun logaritmanya gagal di nol, dan itulah sebabnya kolom ini tidak menerima laju di bawah sepersepuluh persen. Ia tidak mengatakan apa pun tentang pajak atau inflasi, sehingga waktu berlipat dua yang dilaporkannya adalah dalam uang nominal: pada inflasi tiga persen, saldo yang berlipat dua dalam dua puluh empat tahun belum berlipat dua dalam hal daya belinya — dan itu berlaku baik untuk deposito berjangka maupun untuk reksa dana. Dan ia menggambarkan satu jumlah uang tunggal yang dibiarkan sendiri, sehingga ia tidak berlaku untuk rangkaian setoran, yang aritmetikanya berbeda dan jawabannya lebih singkat. Terakhir, jalan pintas ini adalah aturan tentang angka 72, bukan tentang investasi Anda — jawaban eksaknya yang dipakai ketika angkanya penting, dan jalan pintasnya yang dipakai ketika Anda sedang berbicara.

Bagaimana cara kerja aturan 72?

Bagi 72 dengan suku bunga tahunannya, dan hasilnya kira-kira berapa tahun uang itu butuh untuk berlipat dua. Pada delapan persen hasilnya 9,00 tahun sementara jawaban eksaknya 9,006 tahun, jadi jalan pintasnya nyaris sempurna; pada satu persen ia mengatakan 72 tahun padahal jawaban eksaknya 69,661, dan pada dua puluh persen ia mengatakan 3,60 padahal jawaban eksaknya 3,802. Jalan pintas ini alat aritmetika mental, dan halaman ini menampilkan waktu berlipat dua yang eksak di sebelahnya.

Mengapa aturan 72 hanya perkiraan?

Karena ia menggantikan sebuah logaritma dengan sebuah pembagian. Waktu berlipat dua yang eksak menyelesaikan persamaan bunga majemuk untuk jumlah periodenya, yang menghasilkan logaritma natural dari dua dibagi logaritma dari satu ditambah lajunya. Jalan pintasnya memakai pembilang tetap, dan pembilang tetap itu hanya cocok pada rentang laju tertentu: kedua jawabannya bersilangan di suatu tempat antara tujuh dan delapan persen lalu menjauh ke arah yang berlawanan di kedua sisi persilangan itu.

Ke arah mana aturan 72 meleset?

Ke dua arah, bergantung pada lajunya, dan itulah bagian yang paling tidak diduga orang. Di bawah titik persilangannya jalan pintasnya memberi jawaban yang terlalu panjang: pada satu persen ia mengatakan 72 tahun terhadap 69,661 yang eksak, melebih-lebihkan masa tunggunya lebih dari dua tahun. Di atasnya jalan pintasnya memberi jawaban yang terlalu pendek: pada dua puluh persen ia mengatakan 3,60 terhadap 3,802 yang eksak. Tanda galatnya berubah di antara tujuh persen, ketika masih positif, dan delapan persen, ketika sudah menjadi negatif.

Apa arti kelipatan pada jawaban aturan itu?

Itu adalah apa yang sebenarnya menjadi milik Anda kalau Anda menunggu tepat selama yang dikatakan jalan pintasnya. Menumbuhkan saldo pada delapan persen selama 9 tahun memberi 1,9990 kali uang Anda alih-alih 2 seperti yang disiratkan aturannya, dan pada dua puluh persen, menunggu 3,60 tahun menurut aturan hanya memberi 1,9278 kali. Keluaran ini mengubah galat dari satuan tahun menjadi satuan uang, yaitu bentuk ketika galat itu benar-benar merugikan Anda.

Bisakah aturan 72 dipakai dengan laju yang rendah?

Bisa, tetapi galatnya bertambah cepat begitu lajunya turun, dan ia bertambah ke arah melebih-lebihkan masa tunggunya. Pada satu persen jalan pintasnya mengatakan 72 tahun sementara waktu berlipat dua yang eksak 69,661 tahun, selisih lebih dari dua tahun, dan saldo yang ditumbuhkan pada satu persen selama 72 tahun berakhir di 2,0471 kali nilai awalnya. Kolom ini sama sekali tidak menerima laju nol atau di bawahnya, karena pembagian maupun logaritmanya rusak di titik itu.

Apakah aturan 72 memperhitungkan inflasi atau pajak?

Tidak, dan angka eksak di halaman ini juga tidak. Keduanya bekerja pada laju yang Anda ketik, jadi kalau laju itu imbal hasil nominal, waktu berlipat duanya dalam uang nominal, dan saldo yang berlipat dua secara nominal dalam dua puluh empat tahun pada inflasi tiga persen belum berlipat dua dalam daya belinya. Hal yang sama berlaku untuk pajak: imbal hasil yang dikenai pajak di sepanjang jalan dimajemukkan pada laju efektif yang lebih rendah, dan waktu berlipat dua untuk laju setelah pajak lebih panjang daripada yang ditampilkan di sini.

• 31 CFR Part 356, Appendix B — Formulas and Tables: the present value factors and the price formula for Treasury notes and bonds — U.S. Department of the Treasury rule, via the Electronic Code of Federal Regulations (United States)
• Compound Interest Calculator — the forward form of the arithmetic, for checking a rate by growing a balance at it — U.S. Securities and Exchange Commission, Investor.gov (United States)
• H.15 Selected Interest Rates — the published benchmark rates a computed rate is compared against — Board of Governors of the Federal Reserve System (United States)