Kalkulator Akar

ⁿ√x ⁿ√(mⁿ · r) = m · ⁿ√r ⁿ√x = x^(1/n)

x

Bilangan yang diakar, yaitu bilangan yang dicari akarnya. Di halaman ini ia harus bilangan bulat, dan ia boleh negatif asalkan indeksnya ganjil. Syarat bilangan bulat itu soal bentuk eksak, bukan soal aritmetikanya: akar kuadrat dari 2,5 adalah bilangan yang sepenuhnya wajar, tetapi bentuk eksaknya berupa pecahan yang memuat tanda akar, dan itu bentuk jawaban yang berbeda dari yang dicetak kolom ini

n

Indeks akar, dari 2 sampai 12. Indeks 1 adalah identitas — akar pertama dari apa pun adalah bilangan itu sendiri — dan indeks 0 tidak terdefinisi, jadi keduanya ditolak alih-alih dijawab. Batas atas 12 bersifat praktis: bentuk eksak bekerja dengan mencari pangkat ke-n sempurna terbesar yang membagi bilangan yang diakar, dan bilangan-bilangan itu makin jarang dengan cepat, sehingga di atas 12 kolom itu hampir selalu berisi tanda akar kosong di samping bilangan yang sangat besar

ⁿ√x

Akar sebagai bilangan desimal, bacaan utamanya, dicetak sampai enam angka desimal bila tidak eksak. Inilah nilai yang dipakai untuk menghitung, dan justru inilah yang kehilangan informasi: 8,485281 tidak memberi tahu bahwa ia berasal dari √72 dan bukan dari √71,9999, sedangkan bentuk eksak di sebelahnya yang memberitahu

m · ⁿ√r

Bentuk eksak: pangkat ke-n sempurna yang membagi bilangan yang diakar dikeluarkan dari tanda akar dan ditulis sebagai koefisien di depan tanda akar yang lebih kecil. Untuk √72 hasilnya 6√2, karena 72 adalah 36 × 2 dan 36 adalah kuadrat sempurna. Ketika bilangan yang diakar sendiri merupakan pangkat sempurna, tidak ada sisa, tanda akarnya hilang seluruhnya, dan jawabannya ditulis sebagai bilangan bulat — begitulah halaman ini melaporkan bahwa akarnya keluar dengan rata

x^(1/n)

Akar yang sama yang ditulis sebagai pangkat, dan begitulah ia dihitung. Kedua notasi itu operasi yang sama dan perlu diketahui bahwa memang sama: pangkat 1/n adalah alasan mengapa pangkat pecahan merupakan sebuah akar dan bukan sesuatu yang asing. Kalkulator eksponen menerima bentuk itu secara langsung, dan itulah halaman yang dipakai ketika bilangan yang diakar bukan bilangan bulat atau indeksnya bukan bilangan bulat

√

Tanda akar tanpa angka indeks selalu berarti akar kuadrat, dan itulah sebabnya halaman ini mencetak √ biasa untuk indeks 2 dan ∛ untuk indeks 3. Di atas 12 notasi ini kehabisan karakter tunggal, jadi indeks yang lebih tinggi ditulis dengan angka di depan tandanya, dan halaman ini menyisipkan tanda kali antara koefisien dan indeks 4 atau lebih — 2 × 4√2 — karena 24√2 akan terbaca sebagai dua puluh empat kali akar kuadrat dari dua

Pakai halaman ini ketika sebuah akar harus disederhanakan dan bukan sekadar dihitung nilainya, dan itulah yang membedakannya dari perkakas akar kuadrat yang hanya memberi desimal: menyederhanakan √72 menjadi 6√2, memeriksa apakah suatu bilangan kuadrat sempurna, mengerjakan soal yang jawabannya diharapkan dalam bentuk eksak. Halaman ini juga tempat dua pertanyaan umum seputar akar dijawab — berapa akar pangkat tiga dari bilangan negatif (bilangan real, untuk indeks ganjil), dan berapa akar keempat dari sesuatu. Beralihlah ke kalkulator eksponen ketika indeksnya bukan bilangan bulat, karena pangkat pecahan adalah operasi yang sama yang ditulis sebagai pangkat dan halaman itu menerimanya langsung. Beralihlah ke kalkulator rumus kuadrat ketika tanda akar muncul di dalam sebuah rumus dan bukan berdiri sendiri, karena diskriminan itu sebuah akar kuadrat dan halaman tersebut membaca tandanya sekaligus nilainya. Beralihlah ke kalkulator akar kuadrat atau kalkulator akar pangkat tiga ketika hanya salah satu dari kedua indeks itu yang dibutuhkan, karena masing-masing membawa materi khusus untuk kasusnya sendiri.

1. Akar kuadrat dari 16

   1. Indeks 2, bilangan yang diakar 16 — sebuah akar kuadrat
   2. 16 adalah 4 × 4, jadi ia kuadrat sempurna dan seluruhnya keluar
   3. Akarnya 4, dan itu eksak, bukan hasil pembulatan
   4. Bentuk eksaknya bilangan bulat 4 begitu saja, tanpa tanda akar yang tersisa

   Kasus yang paling sering membuka halaman ini, sekaligus yang memperlihatkan cara kolom bentuk eksak melaporkan keberhasilan: tidak ada tanda akar, tidak ada desimal, hanya bilangan bulatnya. Pembaca yang cuma ingin tahu apakah 16 kuadrat sempurna sudah mendapat jawabannya di kolom kedua tanpa perlu membaca kolom pertama.

2. Akar kuadrat dari 72

   1. 72 bukan kuadrat sempurna, jadi akarnya irasional
   2. Kuadrat sempurna terbesar yang membagi 72 adalah 36, karena 72 = 36 × 2
   3. Mengeluarkan 36 dari tanda akar memberi 6 di luarnya: √72 = 6√2
   4. Nilai desimalnya 8,485281 sampai enam angka desimal, dan 6√2 adalah nilai tepatnya

   Contoh yang membenarkan keberadaan seluruh halaman ini. 8,485281 adalah hampiran, dan panel mengatakannya dengan mencetak bentuk eksak di sebelahnya; halaman pesaing yang hanya menampilkan desimal telah meninggalkan pembaca dengan bilangan yang bukan akar kuadrat dari 72. Sisa 2 di dalam tanda akar juga merupakan bacaan tercepat untuk situasi ini — masih ada sesuatu di dalam sana, jadi tidak ada yang keluar dengan rata.

3. Akar pangkat tiga dari 54

   1. Indeks 3, bilangan yang diakar 54 — sebuah akar pangkat tiga
   2. 54 bukan kubik sempurna, tetapi 27 membaginya: 54 = 27 × 2
   3. Mengeluarkan 27 memberi 3 di luar tanda akar: ∛54 = 3∛2
   4. Nilai desimalnya 3,779763

   Penyederhanaan yang sama dengan indeks berbeda, dan kasus yang menunjukkan bahwa halaman ini satu perkakas dan bukan dua. Langkah yang harus dikerjakan dengan tangan adalah menemukan kubik sempurna terbesar di bawah 54 — 27, bukan 8 — dan tabel rujukan di halaman ini persis daftar yang membuat pencarian itu cepat: tiga pangkat tiga adalah 27, empat pangkat tiga adalah 64, dan 64 terlalu besar.

4. Akar keempat dari 32

   1. 32 adalah 16 × 2, dan 16 merupakan pangkat empat, sebab 16 = 2⁴
   2. Mengeluarkan 16 dari tanda akar menyisakan 2 di luarnya: ⁴√32 = 2 × ⁴√2
   3. Tanda kali ditulis karena indeks 4 tidak punya tanda akar berkarakter tunggal
   4. Nilai desimalnya 2,378414

   Tempat notasi harus berhati-hati. Menuliskan ini sebagai 24√2 akan dibaca kebanyakan orang sebagai dua puluh empat kali akar kuadrat dari dua, jadi halaman ini menyisipkan tanda kali setiap kali indeksnya 4 atau lebih — koefisien dan indeks sama-sama angka, dan sesuatu harus memisahkan keduanya. Baik √ maupun ∛ tidak punya masalah ini, dan itulah sebabnya tanda kali baru muncul mulai indeks 4 ke atas.

5. Akar pangkat tiga dari −54

   1. Bilangan yang diakar negatif dan indeksnya ganjil, jadi akarnya bilangan real
   2. Nilai mutlaknya disederhanakan persis seperti sebelumnya: ∛54 = 3∛2
   3. Tandanya dibawa ke luar, dan bentuk eksak mencetaknya di paling depan: −3∛2
   4. Nilai desimalnya −3,779763

   Kasus negatif, dan satu-satunya tempat bentuk eksak punya aturan sendiri: tanda minus diletakkan di depan seluruh ungkapan, bukan di dalam tanda akar. Ini juga titik masuk yang dituju kalkulator eksponen — halaman itu menolak bilangan pokok negatif dengan pangkat pecahan karena aritmetika di belakangnya melewati logaritma, dan halaman inilah yang menangani pertanyaan yang sama dengan menarik akar.

Bilangan yang diakar harus bilangan bulat. Akar kuadrat dari 2,5 adalah bilangan real dan halaman ini tidak akan menerimanya, karena bentuk eksak dari akar itu adalah pecahan yang memuat tanda akar — bentuk yang tidak punya tempat di kolom bentuk eksak — dan mencetak desimalnya saja akan menyembunyikan fakta bahwa jawaban eksaknya telah dibuang. Bilangan yang diakar berupa pecahan atau desimal sebaiknya dimasukkan ke kalkulator eksponen sebagai pangkat pecahan. Bilangan yang diakar boleh negatif hanya untuk indeks ganjil: akar pangkat tiga dari −8 adalah −2, tetapi akar kuadrat dari −4 bukan bilangan real dan halaman ini menolaknya alih-alih mencetak bilangan kompleks. Indeks akar adalah bilangan bulat antara 2 dan 12; indeks 1 adalah identitas dan indeks 0 tidak terdefinisi, jadi keduanya tidak diterima, sedangkan indeks pecahan menuju kalkulator eksponen sebagai pangkat pecahan. Akar yang tidak keluar dengan rata dicetak sampai enam angka desimal, dan itu batas tampilan dan bukan batas presisi — aritmetika di belakangnya berjalan pada presisi ganda penuh. Bentuk eksak disederhanakan sejauh mengeluarkan pangkat sempurna, yaitu bentuk baku dari akar yang disederhanakan, dan tidak ada yang merasionalkan penyebut di sini: akar yang berada di bawah sebuah pecahan menjadi urusan pembaca. Bilangan yang diakar dibatasi pada satu miliar, dan batas itu soal biaya dan bukan soal matematika — penyederhanaannya bekerja dengan pembagian percobaan, dan bilangan yang lebih besar akan membuat halaman lambat menanggapi pengetikan, bukan menjadi salah.

Apa bedanya bentuk eksak dengan nilai desimal?

Nilai desimal adalah bilangan hasil pembulatan, sedangkan bentuk eksak adalah nilainya sendiri. Akar kuadrat dari 72 tepatnya adalah 6√2; 8,485281 adalah nilai itu dalam enam angka desimal, sehingga mengalikan 8,485281 dengan dirinya sendiri menghasilkan 71,99999… dan bukan 72. Halaman ini mencetak keduanya karena masing-masing menyesatkan kalau berdiri sendiri: nilai desimal dipakai untuk menghitung, sedangkan bentuk eksak yang memberi tahu apakah jawabannya keluar dengan rata.

Bagaimana cara menyederhanakan akar kuadrat?

Carilah kuadrat sempurna terbesar yang membagi bilangan itu, keluarkan akarnya ke depan, dan sisakan selebihnya di dalam. Untuk 72 bilangan itu adalah 36, karena 72 = 36 × 2, sehingga √72 = 6√2. Kalau tidak ada kuadrat sempurna yang membaginya — itulah keadaan bagi 2, 3, 5, 7 dan setiap bilangan lain yang tidak punya faktor prima berulang — tanda akarnya tidak bisa disederhanakan lagi dan bentuk eksaknya ya √2 itu sendiri.

Bisakah saya menarik akar kuadrat dari bilangan negatif?

Tidak di halaman ini, dan tidak sebagai bilangan real di mana pun. Akar kuadrat dari −4 adalah 2i, sebuah bilangan kompleks, sedangkan halaman ini perkakas bilangan real. Indeks ganjil berbeda: akar pangkat tiga dari −8 adalah −2, bilangan real yang sepenuhnya wajar, karena mengalikan tiga bilangan negatif menghasilkan bilangan negatif. Jadi halaman ini menerima −8 dengan indeks 3 dan menolak −4 dengan indeks 2.

Mengapa bilangan yang diakar tidak boleh berupa desimal?

Karena bentuk eksaknya tidak punya tempat untuk menampungnya. Akar kuadrat dari 2,5 adalah √10 ÷ 2 — pecahan dengan tanda akar di pembilangnya — sedangkan kolom bentuk eksak di halaman ini mencetak koefisien di depan tanda akar, bukan sebuah pecahan. Daripada mencetak desimalnya lalu membuang jawaban eksaknya tanpa pemberitahuan, halaman ini membatasi bilangan yang diakar pada bilangan bulat dan mengatakannya terus terang. Bilangan yang diakar berupa desimal bisa dimasukkan sebagai pangkat pecahan di kalkulator eksponen.

Apa arti angka indeks pada tanda akar?

Angka itu menunjukkan berapa kali akarnya harus dikalikan dengan dirinya sendiri agar menghasilkan bilangan yang diakar kembali: indeks 3 berarti akar pangkat tiga, sehingga ∛8 adalah 2 karena 2 × 2 × 2 = 8. Tanpa angka indeks yang tertulis, maksudnya 2, dan itulah sebabnya halaman ini mencetak √ biasa untuk akar kuadrat dan ∛ untuk akar pangkat tiga. Indeks 1 akan mengembalikan bilangan itu tanpa perubahan dan indeks 0 tidak punya arti, jadi halaman ini mulai dari 2.

Apakah akar pangkat tiga sama dengan pangkat sepertiga?

Ya, dan begitulah halaman ini menghitungnya. Akar ke-n dari x sama dengan x pangkat 1/n, jadi akar pangkat tiga dari 54 adalah 54 pangkat 0,3333… yang bernilai 3,779763. Kedua notasi itu menggambarkan satu operasi. Keduanya baru berpisah pada bilangan pokok negatif: bentuk pangkat melewati logaritma dan akan menolak −54, sedangkan menarik akar ganjil darinya berjalan lancar, dan itulah sebabnya kalkulator eksponen mengirim kasus semacam itu ke mari.

• nth Root — the definition of an nth root, including the rule that an even root of a negative number has no real value and an odd one does — Wolfram MathWorld (United States)
• Square Root — the index-2 case, with the simplification of radicals and the table of perfect squares this page's reference table extends — Wolfram MathWorld (United States)
• Cube Root — the index-3 case, and the reason a negative radicand has a real cube root where it has no real square root — Wolfram MathWorld (United States)