Kalkulator Rumus Kuadrat

x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a Δ = b² − 4ac x₁ + x₂ = −b ÷ a x₁ · x₂ = c ÷ a

a

Koefisien x². Nilainya tidak boleh nol: dengan a sama dengan nol persamaannya berubah menjadi garis lurus yang menyamar, akarnya satu dan bukan dua, sedangkan rumus jumlah maupun hasil kali akar sama-sama membagi dengan a. Halaman ini menolak masukan itu dan menyebutkan mana yang kurang, bukan menjawab pertanyaan yang lain

b

Koefisien x. Tandanya menentukan bagaimana lambang plus-minus pada rumus dibaca, dan di sinilah risiko pemotongan angka bersembunyi: ketika b besar sementara kedua akar berjauhan, mengurangkan satu akar kuadrat dari akar kuadrat yang lain membuang beberapa digit sekaligus. Halaman ini menghindari pengurangan itu alih-alih berharap pengaruhnya tidak terasa

c

Suku konstanta. Nilainya sama dengan hasil kali kedua akar dikalikan a, dan itulah pemeriksaan tercepat yang bisa dilakukan tanpa kalkulator: kalau dua akar yang Anda perkirakan tidak menghasilkan c ÷ a saat dikalikan, ada yang salah di langkah sebelumnya. Ketika c bernilai nol, salah satu akarnya nol dan yang lain −b ÷ a — keduanya keluar dari rumus tanpa aturan khusus

Δ = b² − 4ac

Diskriminan, satu bilangan yang menentukan bentuk jawabannya. Positif berarti dua akar real yang berbeda, nol berarti satu akar real berulang, negatif berarti akarnya kompleks dan datang sebagai pasangan konjugat. Halaman ini memakainya dua kali — sekali untuk memilih akar mana yang dihitung, sekali untuk memilih lencana di atas hasil — dan kedua bacaan itu berasal dari nilai yang sama, sehingga tidak mungkin berselisih

x = (−b ± √Δ) ÷ 2a

Rumus kuadrat itu sendiri. Lambang plus-minus menghasilkan kedua akar dari satu ungkapan, sedangkan akar kuadrat adalah satu-satunya langkah yang bisa gagal di bilangan real: Δ yang negatif tidak punya akar kuadrat real, dan justru kasus itulah yang tetap dijawab halaman ini, dalam bilangan kompleks. Pembagian dengan 2a adalah alasan a tidak boleh bernilai nol

x₁ + x₂ = −b ÷ a

Jumlah kedua akar, salah satu rumus Vieta. Ia layak dicetak karena tetap berlaku utuh pada kasus kompleks: akar dari x² − 2x + 5 adalah 1 + 2i dan 1 - 2i, dan keduanya tetap berjumlah 2. Siapa pun yang menduga halaman ini mengarang jawaban ketika diskriminannya negatif bisa memeriksa kolom itu dan mendapatinya konsisten dengan persamaan yang ia tulis sendiri

x₁ · x₂ = c ÷ a

Hasil kali kedua akar, rumus Vieta yang kedua, dan pemeriksaan yang menangkap salah tanda pada suku konstanta. Untuk persamaan yang a-nya satu, hasil kalinya adalah c itu sendiri: x² − 3x + 2 terfaktor sebagai (x − 1)(x − 2), jadi kedua akarnya berjumlah 3 dan berkali 2. Seperti jumlah akar, nilainya tidak berubah ketika akarnya kompleks

b² − 4ac = 0

Kasus batas, tempat kedua akar melebur menjadi satu dan halaman ini mencetak nilai yang sama di kedua barisnya. Ini bukan kejadian langka: itulah syarat sebuah trinomial kuadrat sempurna, sehingga ia muncul di hampir setiap latihan pemfaktoran. Lencana di atas hasil berganti untuk menyatakannya, dan itulah satu-satunya tempat di halaman ini yang menyebut banyaknya akar dengan kata-kata

Pakailah untuk persamaan apa pun yang memuat suku x² dan akarnya ingin Anda ketahui — dalam praktiknya ada tiga keadaan: latihan yang pemfaktorannya tidak kelihatan, model fisik yang koefisiennya berasal dari pengukuran sehingga tidak ada pemfaktoran yang tersedia, dan kasus yang jawabannya sudah diketahui kompleks sehingga perlakuan yang hanya mengakui akar real akan menyisakan tangan kosong. Halaman ini juga alat untuk memeriksa pemfaktoran yang sudah Anda kerjakan: jumlah dan hasil kali akarnya dicetak, sehingga (x − 1)(x − 2) bisa dipastikan tanpa menjabarkannya kembali. Beralihlah ke kalkulator kemiringan ketika a ternyata nol — itu garis lurus, dan halaman yang menangani bentuk ax + by = c adalah halaman yang menjawabnya. Beralihlah ke kalkulator akar ketika operasi yang sebenarnya Anda butuhkan hanyalah akar kuadrat, sebab diskriminan di bawah tanda akar adalah akar kuadrat seperti akar kuadrat lainnya dan aturan untuk akar pangkat yang lebih tinggi ada di sana. Beralihlah ke kalkulator eksponen ketika x² sedang dihitung dan bukan diselesaikan — itulah bedanya mengevaluasi sebuah kuadrat dengan mencari di mana nilainya nol.

1. x² − 3x + 2 = 0

   1. Diskriminannya: Δ = (−3)² − 4 × 1 × 2 = 9 − 8 = 1
   2. Δ positif, jadi yang muncul dua akar real yang berbeda
   3. √Δ = 1, sehingga akarnya adalah (3 + 1) ÷ 2 = 2 dan (3 − 1) ÷ 2 = 1
   4. Urutan menurun menempatkan 2 di baris pertama, dan pemeriksaannya cocok: 2 + 1 = 3 serta 2 × 1 = 2

   Persamaan yang paling sering dibawa pembaca ke halaman ini, dan yang terfaktor rapi sebagai (x − 1)(x − 2) — sehingga setiap angka di panel bisa dipastikan dengan menjabarkan faktornya kembali. Ini juga kasus yang jawabannya terlihat terlalu mudah untuk perlu kalkulator, dan justru itu intinya: panel ini memperlihatkan langkah-langkahnya pada soal yang jawabannya sudah Anda tahu, dan lima baris yang sama akan kembali untuk soal yang belum Anda tahu.

2. x² − x − 1 = 0

   1. Diskriminannya: Δ = (−1)² − 4 × 1 × (−1) = 1 + 4 = 5
   2. Δ positif tetapi bukan kuadrat sempurna, jadi kedua akarnya irasional
   3. √5 = 2,2360679…, sehingga akarnya adalah (1 + 2,2360679…) ÷ 2 dan (1 − 2,2360679…) ÷ 2
   4. Dicetak sampai enam angka desimal: 1,618034 dan −0,618034

   Rasio emas, dan kasus yang memperlihatkan mengapa halaman ini hanya mencetak pecahan ketika pecahannya eksak. Tidak ada pecahan yang sama dengan (1 + √5) ÷ 2, jadi jawabannya berupa desimal — dan pembaca yang melihat 1,618034 tahu angka itu dibulatkan, sedangkan angka yang sama bila ditulis sebagai pecahan akan tampak eksak. Kedua akarnya juga berkali tepat −1, sejenis kebetulan yang mengonfirmasi aritmetikanya dan bukan masukannya.

3. 2x² + 3x − 2 = 0

   1. Diskriminannya: Δ = 3² − 4 × 2 × (−2) = 9 + 16 = 25
   2. √Δ = 5, sehingga akarnya adalah (−3 + 5) ÷ 4 = 1/2 dan (−3 − 5) ÷ 4 = −2
   3. Akar pertama eksak sebagai pecahan, jadi dicetak 1/2 dan bukan 0,5
   4. Pemeriksaannya: 1/2 + (−2) = −1,5 dan 1/2 × (−2) = −1

   Kasus yang menentukan cara halaman ini mencetak akar. Kedua akarnya eksak, dan yang lebih kecil berupa bilangan bulat sementara yang lebih besar berupa pecahan — sehingga pembaca yang mengira 'akar selalu dicetak sebagai desimal' akan keliru di baris pertama dan benar di baris kedua. Jumlah dan hasil kali akar itulah yang membuat pecahannya terbaca: −1,5 tidak serta-merta terlihat sebagai jumlah dari 1/2 dan −2 sampai Anda menghitungnya, dan menghitungnya hanya perlu satu baris.

4. x² − 2x + 5 = 0

   1. Diskriminannya: Δ = (−2)² − 4 × 1 × 5 = 4 − 20 = −16
   2. Δ negatif, jadi yang muncul sepasang akar kompleks konjugat
   3. Bagian realnya −b ÷ 2a = 1 dan bagian imajinernya √16 ÷ 2 = 2
   4. Kedua akar tetap dicetak, dan rumus Vieta masih berlaku: keduanya berjumlah 2 dan berkali 5

   Di sinilah halaman ini berpisah jalan dengan halaman-halaman yang mencetak 'tidak ada akar real' lalu berhenti. Kedua akar itu bilangan yang sama sekali tertentu, dan dua kolom pemeriksa membuktikannya: 2 dan 5 adalah jumlah dan hasil kali yang diminta persamaan itu, dan nilai yang sama akan kembali seandainya akarnya real. Pembaca yang pernah diberi tahu bahwa persamaan semacam ini tidak punya jawaban sebaiknya membaca dua baris terakhir contoh ini sebelum mempercayainya.

5. x² − 4x + 4 = 0

   1. Diskriminannya: Δ = (−4)² − 4 × 1 × 4 = 16 − 16 = 0
   2. Δ tepat nol, jadi yang muncul satu akar real berulang
   3. Akar berulang itu adalah −b ÷ 2a = 4 ÷ 2 = 2
   4. Halaman ini mencetak 2 di kedua baris, dan jumlah akarnya 4 karena akar itu dihitung dua kali

   Kasus batas yang membuat lencana itu ada. Persamaannya adalah (x − 2)², jadi kedua barisnya berbunyi 2 dan tidak ada yang tampak keliru — padahal pembaca yang menghitung baris akan menyimpulkan ada dua akar, sementara akarnya hanya satu. Lencana di atas hasil menyatakan satu akar real berulang, dan jumlah akar yang bernilai 4 dan bukan 2 adalah aritmetikanya yang menyetujui putusan itu.

Halaman ini menyelesaikan persamaan kuadrat dan berhenti di situ. Persamaan pangkat tiga, pangkat empat, dan persamaan bersuku x⁴ punya metode sendiri serta halaman sendiri di tempat lain; tidak ada bagian di sini yang menjangkaunya. Koefisien utama yang bernilai nol ditolak alih-alih diam-diam diperlakukan sebagai persamaan linear, sehingga bx + c = 0 harus dibawa ke kalkulator kemiringan yang menangani bentuk itu. Ketika diskriminannya negatif, kedua akarnya dicetak sebagai bilangan kompleks dalam bentuk a ± bi — cukup untuk dibaca dan diperiksa, tetapi bukan alat aritmetika kompleks yang lengkap: mengalikan dua bilangan semacam itu dengan tangan tetap tugas Anda. Akar dicetak sampai enam angka desimal ketika nilainya irasional, dan itu batas tampilan, bukan batas presisi; perhitungan di belakangnya berjalan pada presisi ganda penuh dan pembulatannya hanya terjadi saat keluar. Urutan kedua akar ditetapkan oleh kesepakatan dan bukan oleh rumus, jadi halaman atau buku yang mendaftarnya dengan urutan sebaliknya tidak sedang menyalahkan halaman ini, hanya mengurutkannya secara berbeda. Ketiga koefisien dibatasi satu juta pada nilai mutlaknya, dan itu rentang tampilan, bukan rentang matematis. Terakhir, jumlah dan hasil kali akar dicetak dengan enam angka desimal yang sama seperti bagian lain, sehingga jumlah eksak sepertiga akan kembali sebagai 0,333333 dan bukan sebagai pecahan — kolom akar mendapat perlakuan pecahan, dua kolom ini tidak.

Apa yang harus saya lakukan ketika diskriminannya negatif?

Bacalah kedua akar yang tetap dicetak halaman ini. Diskriminan yang negatif berarti solusinya bukan dua bilangan real melainkan sepasang akar kompleks konjugat, dan keduanya tetap bilangan yang tertentu: x² − 2x + 5 berakar 1 + 2i dan 1 - 2i. Banyak buku berhenti pada kalimat 'tidak ada akar real', yang memang benar tetapi belum lengkap — persamaan itu tetap punya dua solusi, dan kolom jumlah serta hasil kali akar di halaman ini membuktikannya.

Akar yang mana yang menjadi akar 1?

Yang lebih besar di antara keduanya. Lambang plus-minus pada rumus tidak mengurutkan akar, jadi halaman ini harus memilih, dan pilihannya adalah urutan menurun — artinya akar 1 tidak pernah lebih kecil daripada akar 2. Ini lebih penting daripada kedengarannya: tanpa urutan tetap, membalik tanda b akan menukar kedua baris, dan pembaca yang membandingkan dua perhitungan akan menyangka jawabannya berubah.

Mengapa sebuah akar kadang dicetak sebagai pecahan dan kadang sebagai desimal?

Pecahan dicetak ketika nilainya eksak dan penyebutnya kecil, desimal untuk selebihnya. 2x² + 3x − 2 berakar 1/2 dan −2, dan 1/2 eksak sekaligus pendek, jadi ia ditulis sebagai pecahan — mencetak 0,5 di situ akan menyiratkan nilai yang sudah dibulatkan. Rasio emas adalah (1 + √5) ÷ 2, yang sama sekali bukan pecahan, jadi ia ditulis 1,618034 dan titik desimalnya memberi tahu Anda bahwa angka itu hampiran.

Apa yang terjadi kalau a bernilai nol?

Halaman ini menolak masukannya alih-alih menyelesaikannya. Dengan a sama dengan nol persamaannya menjadi bx + c = 0, yaitu garis lurus dengan satu akar tunggal −c ÷ b, sementara rumus jumlah dan hasil kali akar sama-sama membagi dengan a dan kehilangan maknanya. Kalkulator kemiringan menangani persamaan berbentuk seperti itu, jadi pesan penolakannya menyebut halaman itu sebagai tempat yang tepat.

Untuk apa diskriminan dipakai?

Ia satu bilangan yang memberi tahu Anda sedang berada di kasus yang mana sebelum apa pun dihitung: Δ = b² − 4ac. Positif berarti dua akar real yang berbeda, nol berarti satu akar real berulang, negatif berarti sepasang akar kompleks konjugat. Ia duduk di bawah tanda akar pada rumus, sehingga tandanya persis menjawab pertanyaan 'adakah akar kuadrat real yang bisa diambil'.

Bisakah halaman ini dipakai untuk memeriksa hasil pemfaktoran?

Bisa, dan kolom jumlah serta hasil kali akar memang disediakan untuk itu. Kalau Anda menduga x² − 3x + 2 terfaktor sebagai (x − 1)(x − 2), maka akarnya seharusnya 1 dan 2, jumlahnya 3 dan hasil kalinya 2 — persis yang dicetak panel. Salah tanda pada suku konstanta langsung muncul sebagai hasil kali yang tandanya keliru, dan itu lebih cepat daripada menjabarkan kembali kurungnya.

• Quadratic Equation — the formula, the discriminant and the three cases it distinguishes, including the complex roots this page prints — Wolfram MathWorld (United States)
• Discriminant — how a single combination of the coefficients determines the number and nature of the roots — Wolfram MathWorld (United States)
• Vieta's Formulas — the relations between the coefficients of a polynomial and the sums and products of its roots, which this page prints as a check — Wolfram MathWorld (United States)