Kalkulator Melengkapkan Kuadrat

ax² + bx + c = a(x − h)² + k h = −b ÷ 2a k = c − b² ÷ 4a

a

Koefisien pemimpin, yang tidak boleh nol: dengan a sama dengan nol tidak ada suku kuadrat, bentuknya menjadi garis lurus dan bukan bentuk kuadrat, dan tidak ada kuadrat yang bisa dilengkapkan. Tanda a menentukan arah bukaan parabolanya — membuka ke atas ketika a positif, ke bawah ketika a negatif — dan besar-kecilnya menentukan seberapa sempit kurvanya

b

Koefisien suku linear. Inilah yang menentukan letak mendatar titik puncaknya: h adalah −b dibagi dua kali a, jadi b yang positif menggeser titik puncaknya ke kiri dan b yang negatif menggesernya ke kanan. Kuadratnya juga masuk ke dalam k, dan itulah sebabnya b yang besar dengan a yang kecil menggeser titik puncaknya sangat jauh secara tegak

c

Suku konstantanya. Ia menggeser seluruh parabolanya ke atas atau ke bawah dan sama sekali tidak menggeser titik puncaknya ke samping — c hanya muncul di k, tidak pernah di h. Ia tetap masukan wajib dan tidak diperlakukan sebagai nol ketika dikosongkan, karena membiarkannya keluar akan membuat nilai k pada bentuk yang dicetak salah tanpa ada apa pun di halaman ini yang menunjukkan bahwa sesuatu telah diasumsikan

h

Koordinat x titik puncak, sama dengan −b ÷ 2a. Inilah nilai x yang membuat suku kuadratnya lenyap, dan itulah arti kata puncak di sini: titik terendah kurvanya ketika a positif dan titik tertinggi ketika a negatif. Pada bentuk yang dicetak, tandanya dilipat ke dalam kurungnya, jadi titik puncak di −3 ditulis (x + 3)² dan bukan (x − (−3))²

k

Koordinat y titik puncak, sama dengan c − b² ÷ 4a. Inilah nilai yang diambil seluruh bentuk itu pada x sama dengan h, jadi ia adalah nilai minimum bentuk kuadrat tersebut ketika a positif dan nilai maksimumnya ketika a negatif. Ketika k ternyata nol, bentuk yang dicetak membuang konstantanya sama sekali — kuadrat sempurna ditulis (x + 3)², bukan (x + 3)² + 0

1. Melengkapkan kuadrat untuk x² + 6x + 5

   1. Bagi dua koefisien x: 6 ÷ 2 = 3, jadi kurungnya adalah (x + 3)
   2. Kuadratkan: (x + 3)² = x² + 6x + 9, yaitu 4 lebih banyak daripada bentuk yang diberikan
   3. Kurangi kelebihannya: (x + 3)² − 4
   4. Titik puncaknya di (−3, −4), dan koefisien pemimpinnya positif sehingga parabolanya membuka ke atas

   Contoh pengerjaan yang baku, dan yang aritmetikanya bisa diperiksa dengan menjabarkan kembali. Kurungnya dipilih supaya kuadratnya menghasilkan tepat dua suku pertama; berapa pun kelebihan yang ditimbulkan kuadrat itu, kelebihan itu dikurangi lagi, dan hasilnya bentuk yang sama dalam wujud berbeda. Dari bentuk ini titik puncaknya terbaca tanpa hitungan sama sekali.

2. Bentuk yang keluar sebagai pecahan

   1. Bagi dua angka 1 untuk mendapatkan kurungnya: (x + 1/2)
   2. Kuadratnya memberi x² + x + 1/4, seperempat lebih banyak daripada x² + x
   3. Kurangi seperempat itu: (x + 1/2)² − 1/4
   4. Titik puncaknya di (−1/2, −1/4), yang dilaporkan kedua kolom bilangan sebagai −0,5 dan −0,25

   Di sinilah pencetakan pecahan berguna. Setengah dari koefisien ganjil adalah pecahan, dan ia tetap pecahan sepanjang perhitungan, jadi bentuk yang dicetak eksak sementara 0,5 dan 0,25 hanyalah dua dari sekian banyak ejaan desimalnya. Kedua kolom bilangan memang harus memakai desimal, karena keduanya memuat bilangan dan bukan notasi — dan di sini masing-masing kolom layak dibaca demi kolom yang lain.

3. Sebuah kuadrat sempurna

   1. Bagi dua angka 6 untuk kurungnya: (x + 3)
   2. Kuadratnya memberi x² + 6x + 9, yang tepat sama dengan bentuknya
   3. Tidak ada sisa, jadi suku konstantanya hilang dari bentuk yang dicetak
   4. Titik puncaknya terletak pada sumbu x, di (−3, 0)

   Kasus yang menunjukkan mengapa konstantanya dibuang alih-alih dicetak sebagai + 0. Ketika bentuknya sudah merupakan kuadrat sempurna, titik puncaknya menyinggung sumbu x, dan bentuk akhirnya memiliki dua suku, bukan tiga. Hilangnya ekor itu sendiri adalah keterangannya: ia memberi tahu bahwa bentuk kuadrat tersebut punya akar kembar, dan itulah yang akan dilaporkan halaman akar sebagai satu jawaban.

Koefisien pemimpinnya tidak boleh nol. Dengan a sama dengan nol bentuknya linear, grafiknya garis lurus, dan gagasan melengkapkan kuadrat tidak berlaku — halaman ini menolak masukannya alih-alih membagi nol di tengah jalan menuju h. Ketiga koefisiennya dibatasi pada besaran satu juta, karena koordinat titik puncaknya tumbuh seiring kuadrat b, dan di luar rentang itu kolom k akan menembus ratusan miliar lalu berhenti menjadi bilangan yang bisa dipakai pembaca. Nilai pada bentuk yang dicetak ditampilkan sebagai pecahan ketika penyebutnya habis membagi dan tidak lebih dari seribu, dan sebagai enam angka desimal kalau tidak; kedua kolom bernama selalu memakai desimal, karena keduanya memuat bilangan dan bukan notasi. Halaman ini tidak menyelesaikan bentuk kuadratnya. Ia melaporkan bentuknya dalam wujud kuadrat sempurna beserta koordinat titik puncaknya, sedangkan akar-akarnya — tempat parabolanya memotong sumbu x — dihitung di halaman rumus kuadrat yang tertaut dari sini. Halaman ini juga tidak mencetak apakah parabolanya membuka ke atas atau ke bawah: itu ditentukan oleh tanda koefisien pemimpinnya, dan tandanya terlihat di kolom pertama yang Anda isi, bukan di salah satu dari ketiga hasilnya.

Apa yang dilakukan melengkapkan kuadrat?

Ia menulis ulang sebuah bentuk kuadrat ke bentuk kuadrat sempurna, a(x − h)² + k, tempat titik puncak parabolanya bisa dibaca langsung dari bentuknya alih-alih dihitung. Caranya adalah mengambil setengah koefisien x, menguadratkan kurung yang dihasilkan, lalu mengurangi berapa pun yang ditambahkan oleh kuadrat itu. Nilai bentuknya tidak berubah sama sekali — yang berubah hanya wujudnya.

Mengapa angkanya dicetak sebagai pecahan?

Karena setengah dari koefisien ganjil adalah pecahan, dan pecahan tetap eksak sepanjang sisa pengerjaannya. Menulis 1/2 sebagai 0,5 tampak tidak berbahaya sampai langkah berikutnya mengalikannya, dan pada titik itu desimalnya harus dibulatkan sehingga jawabannya melenceng. Bentuk yang dicetak memakai pecahan bilamana penyebutnya habis membagi dan tidak lebih dari seribu, dan baru jatuh ke enam angka desimal kalau tidak bisa.

Bagaimana saya tahu parabolanya membuka ke atas atau ke bawah?

Dari tanda koefisien pemimpin a: positif membuka ke atas, negatif membuka ke bawah. Halaman ini tidak mencetak kesimpulan itu, karena tanda a tidak muncul di ketiga hasilnya — tandanya terlihat di kolom pertama yang Anda masukkan, dan wujud bentuk kuadrat sempurnanya mencerminkan tanda itu. Ketika a positif, titik puncaknya adalah nilai minimum bentuk kuadrat tersebut, dan ketika a negatif ia nilai maksimumnya.

Apakah halaman ini menyelesaikan bentuk kuadratnya?

Tidak. Halaman ini melaporkan bentuknya dalam wujud kuadrat sempurna beserta koordinat titik puncaknya. Menyelesaikan berarti mencari nilai x yang membuat bentuk itu sama dengan nol, yaitu titik tempat parabolanya memotong sumbu x, dan itulah yang dikerjakan halaman rumus kuadrat yang tertaut di bawah. Kedua halaman menerima tiga koefisien yang sama dan mengembalikan hal yang berbeda: yang satu mengembalikan bentuk, yang lain mengembalikan akar.

Mengapa suku konstantanya kadang hilang dari jawabannya?

Karena nilainya ternyata nol. Ketika bentuk kuadratnya sudah merupakan kuadrat sempurna, titik puncaknya terletak pada sumbu x, dan bentuk yang dicetak membuang konstanta di ekornya alih-alih menulis + 0 — kuadrat dari x + 3 ditulis (x + 3)², bukan (x + 3)² + 0. Ekor yang hilang itu bermakna: ia memberi tahu bahwa bentuk kuadrat tersebut punya akar kembar tepat pada nilai x itu.

Mengapa koefisien pemimpinnya tidak boleh nol?

Karena kalau nol tidak ada suku kuadratnya, sehingga bentuknya garis lurus dan tidak ada yang bisa dilengkapkan. Membagi dengan 2a untuk mencari titik puncaknya juga akan berarti membagi nol, dan titik puncak sebuah garis bukan titik yang terdefinisi dalam pengertian yang sama. Halaman ini menolak masukannya dan menyebutkannya, alih-alih menghasilkan bentuk yang tidak masuk akal.

• Completing the Square — the algebraic procedure, its use in deriving the quadratic formula, and the vertex form it produces — Wolfram MathWorld (United States)
• Quadratic Equation — the equation this page's expression belongs to, and where the roots that this page does not compute come from — Wolfram MathWorld (United States)
• Parabola — the curve the expression draws, with the vertex at the point this page reports — Wolfram MathWorld (United States)