Kalkulator Bentuk Puncak

y = ax² + bx + c → h = -b / (2a) → k = c - b² / (4a) → y = a(x - h)² + k

a

Peregangan sekaligus arahnya. Bilangan ini sama dengan yang ada di bentuk standar — bentuk puncak tidak mengubahnya — dan sekarang duduk di depan kurung. Positif berarti terbuka ke atas, negatif berarti terbuka ke bawah, dan besarnya menentukan sempit atau lebarnya parabola: |a| lebih dari 1 lebih sempit daripada x² biasa, kurang dari 1 lebih lebar.

h

Koordinat x dari titik puncak, yaitu hal yang menjadi pusat penyusunan kurungnya. Tandanya berbalik ketika masuk ke dalam kurung: titik puncak di x = -3 ditulis (x + 3). Nilai ini sekaligus menjadi sumbu simetrinya, dan titik tertinggi atau terendah kurvanya duduk pada garis tegak x = h.

k

Koordinat y dari titik puncak: nilai yang diambil kurvanya di sana, jadi nilai terkecil yang dicapainya ketika terbuka ke atas, atau terbesar ketika terbuka ke bawah. Ia adalah sisa setelah kuadratnya menyerap bagian yang lain, dan k = 0 adalah keadaan khusus tempat titik puncaknya mendarat tepat di sumbu x.

x, y

Kedua peubah pada persamaan jadinya. Pasangan mana pun yang memenuhinya duduk pada kurva itu, jadi bentuk puncak adalah pemerian lengkap parabolanya — pemerian yang sama dengan bentuk standar, hanya ditata supaya titik yang menarik adalah titik yang bisa dibaca.

Pakai halaman ini ketika Anda memegang persamaan kuadrat dalam bentuk standar dan yang ingin diketahui adalah di mana kurvanya berbalik arah — laba maksimum, biaya minimum, titik tertinggi bola yang dilempar — atau ketika Anda perlu membuat sketsanya, karena titik puncak ditambah arah terbukanya sudah merupakan sebagian besar bentuknya. Bentuk ini juga yang dituju ketika titik puncaknya justru yang sudah diketahui dan bentuk standar yang diinginkan, dibaca terbalik. Setiap persamaan kuadrat punya bentuk puncak, dan ketiga koefisiennya sudah cukup untuk menemukannya.

1. y = 2x² - 4x + 1 — koefisien utama bukan 1

   1. Titik puncak x: h = -b / (2a) = 4 / 4 = 1
   2. Titik puncak y: k = c - b² / (4a) = 1 - 16 / 8 = 1 - 2 = -1
   3. Kurungnya disusun di sekitar h = 1, jadi bunyinya (x - 1)
   4. Koefisien utama 2 diletakkan di depan kurung: y = 2(x - 1)² - 1

   Pemeriksaannya adalah menjabarkannya kembali: 2(x - 1)² = 2x² - 4x + 2, dan menambahkan -1 mengembalikan 2x² - 4x + 1, yaitu titik keberangkatannya. Itulah yang membuat ini penulisan ulang dan bukan kurva yang lain — parabola yang sama, diperikan lewat titik baliknya alih-alih lewat koefisiennya. Angka 2 di depan benar-benar bekerja dan tidak hilang; hanya koefisien utama 1 yang membiarkan kurungnya berdiri sendiri.

2. y = -x² + 4 — terbuka ke bawah, tanpa suku x sama sekali

   1. Titik puncak x: h = -0 / (2 × -1) = 0
   2. Titik puncak y: k = 4 - 0 = 4
   3. Dengan h = 0 kurungnya akan berbunyi (x - 0), jadi ia runtuh menjadi x² telanjang
   4. Koefisien utama -1 ditulis sebagai satu tanda minus: y = -x² + 4

   Inilah keadaan ketika bentuk puncak dan bentuk standar berupa rangkaian karakter yang sama, dan itulah intinya: ketika b bernilai nol, titik puncaknya sudah duduk di sumbu y, sehingga tidak ada yang perlu digeser dan tidak ada yang perlu dilengkapi. Bacalah jawabannya sebagai pemerian, bukan sebagai perubahan — kurvanya terbuka ke bawah dan berbalik arah di (0, 4), yaitu empat satuan di atas titik asal.

3. y = 0,5x² + 3x + 0,5 — koefisien utama berupa pecahan

   1. Titik puncak x: h = -3 / (2 × 0,5) = -3
   2. Titik puncak y: k = 0,5 - 9 / 2 = 0,5 - 4,5 = -4
   3. Kurungnya disusun di sekitar h = -3, jadi bunyinya (x + 3) — tandanya berbalik
   4. Setengah dicetak sebagai pecahan dan diberi kurung, karena 1/2(x + 3)² akan terbaca sebagai 1 dibagi 2(x + 3)²: y = (1/2)(x + 3)² - 4

   Penjabarannya memastikan hal yang sama: (1/2)(x + 3)² = 0,5x² + 3x + 4,5, dan 4,5 - 4 mengembalikan konstantanya ke 0,5. Pecahannya muncul karena koefisiennya memang pecahan, bukan karena ada yang dihampiri — 1/2 eksak sedangkan 0,5 adalah bilangan yang sama, dan bentuk yang tercetak adalah bentuk yang ditulis orang dengan tangan.

Koefisien utamanya tidak boleh nol. Dengan a = 0 tidak ada kuadrat yang bisa dilengkapi dan tidak ada titik puncak yang bisa dilaporkan, karena grafiknya berupa garis lurus: halaman ini menolak masukannya alih-alih mengarang jawaban. Koefisiennya dibatasi satu juta ke arah mana pun, dan a yang sangat kecil digabung b yang sangat besar juga ditolak, sebab titik puncaknya akan terdorong melewati titik ketika bilangannya berhenti berarti apa-apa. Persamaannya dicetak, bukan diselesaikan: halaman ini tidak memberi tahu akar-akarnya, di mana kurvanya memotong sumbu x, atau berapa nilai y pada x yang lain — akar-akarnya menjadi urusan kalkulator rumus kuadrat yang tertaut, dan menjabarkan bentuk puncak kembali menjadi urusan kalkulator FOIL. Bilangan dicetak sebagai pecahan ketika penyebutnya cukup kecil untuk dibaca dan sebagai nilai enam angka desimal kalau tidak, sehingga titik puncak di sepertiga muncul sebagai 0,333333. Tidak ada satuan yang terlibat di mana pun di sini, karena koefisien sebuah persamaan kuadrat adalah bilangan dan bukan hasil pengukuran.

Apa itu bentuk puncak?

Ia adalah y = a(x - h)² + k, cara menuliskan persamaan kuadrat yang menaruh titik puncaknya di tempat yang terlihat jelas: titik balik parabolanya adalah titik (h, k), dan kedua koordinatnya bisa dibaca dari persamaannya tanpa mengerjakan apa pun. Bentuk standar ax² + bx + c memerikan kurva yang sama — keduanya merupakan penataan ulang satu terhadap yang lain, dan a adalah bilangan yang sama pada keduanya.

Apa bedanya dengan kalkulator melengkapkan kuadrat?

Aritmetikanya sama dan titik puncaknya keluar identik, karena kedua halaman menerima ketiga koefisien yang persis sama. Yang berbeda adalah apa yang diserahkan kembali: halaman itu mencetak ekspresi hasil penulisan ulang, a(x - h)² + k, dan menerangkan cara memperolehnya; halaman ini mencetak persamaan parabolanya, y = a(x - h)² + k, dan berbicara tentang membaca grafiknya — di mana ia berbalik, ke arah mana ia terbuka, dan seberapa lebar.

Bagaimana saya tahu parabolanya terbuka ke atas atau ke bawah?

Dari tanda a, bilangan di depan kurung. Positif berarti terbuka ke atas, sehingga titik puncaknya adalah titik terendah pada kurva itu dan k adalah nilai minimumnya; negatif berarti terbuka ke bawah, sehingga titik puncaknya titik tertinggi dan k nilai maksimumnya. Halaman ini tidak mencetak kesimpulan itu, karena tanda a bukan salah satu keluarannya — tetapi ia ada di sana pada persamaannya, di depan kurung.

Di mana letak sumbu simetrinya?

Di x = h, garis tegak yang melalui titik puncaknya — h yang sama yang muncul di dalam kurung. Garis tegak itu adalah sumbu simetri parabolanya, dan itulah sebabnya titik puncaknya menjadi titik balik sama sekali: segala sesuatu di sebelah kirinya adalah pantulan dari sesuatu di sebelah kanannya. Artinya juga kedua akarnya, ketika kurvanya memilikinya, duduk pada jarak yang sama di kedua sisinya, sehingga rata-ratanya adalah h.

Mengapa persamaannya kadang menampilkan pecahan?

Karena nilai eksaknya memang pecahan. Desimal yang berhenti dalam beberapa angka dan berpenyebut kecil dicetak sebagai pecahan — 0,5 sebagai 1/2, 0,25 sebagai 1/4 — sebab begitulah ia akan ditulis dengan tangan, dan karena 1/2 eksak sedangkan 0,5 hanyalah pendekatannya. Yang lebih panjang dicetak sebagai desimal yang dibulatkan ke enam angka, sehingga titik puncak di sepertiga muncul sebagai 0,333333.

Mengapa suku terakhirnya kadang hilang dari jawabannya?

Karena titik puncak y bernilai nol, dan menambahkan sesuatu yang nol ke dalam persamaan hanya akan menambah suku yang selalu bernilai nol. Itu terjadi tepat ketika kurvanya menyentuh sumbu x alih-alih memotongnya — titik puncaknya duduk di sumbu itu, dan persamaan kuadratnya merupakan kuadrat sempurna. Jadi y = (x + 1)² adalah bentuk puncak yang lengkap, bukan bentuk yang terpotong.

• Parabola vertex — the point this page reports, and why the curve turns around there — Wolfram MathWorld (United States)
• Vertex — the same notion for curves in general, of which the parabola's turning point is one case — Wolfram MathWorld (United States)
• Quadratic polynomial — ax² + bx + c and the several ways it can be written, vertex form among them — Wolfram MathWorld (United States)