Kalkulator Teorema Pythagoras
Hasil
Sisi yang belum diketahui
- Luas
- 6,00 cm²
- Keliling
- 12,00 cm
Kalkulator teorema Pythagoras ini menyelesaikan sebuah segitiga siku-siku dari dua sisi mana pun di antara ketiganya. Isi dua dari tiga kotak yang tersedia dan sisi ketiganya muncul kembali, bersama luas dan kelilingnya. Mencari sisi yang belum diketahui itulah seluruh tugas halaman ini. Hubungan yang mendasarinya pendek: di dalam segitiga siku-siku, kuadrat kedua sisi yang lebih pendek kalau dijumlahkan sama dengan kuadrat sisi terpanjangnya, yaitu sisi yang berhadapan dengan sudut siku-siku dan disebut sisi miring. Ditulis sebagai rumus, kedua sisi tegak yang dikuadratkan lalu dijumlahkan menghasilkan kuadrat sisi miring. Satu baris itu memuat tiga penyelesai sekaligus. Berikan kedua sisi tegaknya dan Anda menjumlahkan lalu menarik akar kuadrat; berikan sisi miring dan satu sisi tegak dan Anda mengurangkannya. Kedua arah itu berbeda hanya pada satu tanda, dan bisa membedakannya adalah sebagian besar dari yang dikerjakan halaman ini untuk Anda. Dua dari tiga kotak harus terisi, dan itu aturan sungguhan dan bukan formalitas: ketiga sisinya tidak saling bebas, sehingga mengisi ketiganya entah mengulang apa yang sudah dikatakan teoremanya atau bertentangan dengannya, sedangkan mengisi satu saja meninggalkan bentuknya tanpa kepastian. Luas dan kelilingnya ikut muncul karena keduanya hampir gratis begitu segitiganya lengkap, dan karena keduanya justru sering menjadi alasan pengukurannya dilakukan sejak awal. Teorema ini jauh lebih tua daripada namanya: hubungan ini sudah dipakai dalam perhitungan Babilonia lebih dari seribu tahun sebelum Pythagoras, muncul dalam naskah pembangunan altar India kuno, dan dibuktikan dengan argumen pemotongan dalam naskah matematika Tiongkok. Yang hari ini menyandang nama Pythagoras adalah pernyataan yang dicapai beberapa peradaban, bukan penemuan satu orang. Tiga hal tentang jawabannya layak diketahui sebelum Anda memakainya. Sisi yang belum diketahui hampir selalu bilangan irasional. Segitiga siku-siku dengan ketiga sisi bilangan bulat memang ada — tiga dan empat memberi lima, dan itu yang terkecil — tetapi justru itu pengecualiannya, sehingga dua angka desimal di layar adalah tempat angkanya berhenti dan bukan tempat bilangannya berakhir. Semuanya dilaporkan dalam sentimeter dan sentimeter persegi apa pun pilihan pada menu satuannya, dan di halaman ini pengubahan satuannya terjadi sebelum penyelesaian dan bukan sesudahnya, yang penting karena menguadratkan bukan operasi linier: segitiga tiga-empat-lima yang diisikan dalam inci tidak lagi menjadi tiga-empat-lima dalam sentimeter. Ia tidak memberi tahu Anda apakah sisi-sisi yang Anda punya membentuk tripel bilangan bulat, apakah segitiganya sama kaki atau termasuk keluarga istimewa lain, atau apakah sudut di hadapan sebuah sisi lancip atau tumpul.
Segitiga siku-siku yang diselesaikan dari setiap pasangan sisi awal
| Diketahui | Sisi tegak a (cm) | Sisi tegak b (cm) | Sisi miring (cm) | Luas (cm²) | Keliling (cm) |
|---|---|---|---|---|---|
| a, b | 3 | 4 | 5 | 6 | 12 |
| a, b | 5 | 12 | 13 | 30 | 30 |
| a, b | 8 | 15 | 17 | 60 | 40 |
| a, c | 6 | 8 | 10 | 24 | 24 |
| b, c | 5 | 12 | 13 | 30 | 30 |
| a, b | 1 | 1 | 1.41 | 0.5 | 3.41 |
| a, b | 0.5 | 1.2 | 1.3 | 0.3 | 3 |
| a, c | 9 | 12 | 15 | 54 | 36 |
Delapan segitiga, dan kolom pertama menyebutkan dua sisi yang menjadi titik awal setiap baris — a, b untuk kedua sisi tegaknya, a, c atau b, c untuk satu sisi tegak dengan sisi miringnya. Kolom itu ada karena ketiga sisinya tercetak begitu segitiganya selesai, sehingga tanpa kolom itu Anda tidak bisa tahu mana yang menjadi jawabannya. Baris pertama adalah masukan yang dimuat halaman ini, yaitu segitiga siku-siku bilangan bulat yang terkecil, dan baris kedua adalah yang berikutnya. Baris kedua dan baris kelima adalah segitiga yang sama yang dicapai dengan dua cara berbeda: lima-dua-belas-tiga belas yang diselesaikan dari kedua sisi tegaknya, lalu dari satu sisi tegak dengan sisi miringnya, dan keduanya sepakat pada setiap kolom, dan itulah halaman ini memeriksa dirinya sendiri di kedua cabang aritmetikanya. Baris keempat adalah cabang pengurangan, enam dan sepuluh memberi delapan, dan ia adalah segitiga tiga-empat-lima yang digandakan. Baris pertama dan baris kedelapan juga segitiga yang sama pada skala berbeda — sembilan, dua belas, dan lima belas adalah tiga-empat-lima dengan setiap sisi dikalikan tiga, sehingga luasnya sembilan kali lebih besar dan kelilingnya tiga kali. Baris kedua dan baris ketujuh memperlihatkan penskalaan yang sama ke arah sebaliknya: setengah, satu koma dua, dan satu koma tiga adalah lima-dua-belas-tiga belas yang dibagi sepuluh, dan itulah sebabnya angka desimal di situ eksak dan bukan hasil pembulatan. Baris ketiga adalah tripel bilangan bulat lain, delapan-lima belas-tujuh belas, dan baris keenam adalah kasus sama kaki, tempat sisi miringnya akar dua dan dua angka desimal yang ditampilkan merupakan penghampiran. Semua angka di sini dihitung ulang dari kedua sisi awalnya saat halaman dibangun, dalam sentimeter, dan lebar desimalnya sama dengan yang dipakai panel hasil. Tabel ini memakai titik sebagai pemisah desimal, sesuai standar sistem.
Rumus
a² + b² = c² c = √(a² + b²) a = √(c² − b²) b = √(c² − a²) Luas = ab ÷ 2 Keliling = a + b + c
- a
- Salah satu dari kedua sisi tegak, yaitu sisi-sisi yang bertemu di sudut siku-siku. Sisi tegak mana pun boleh disebut a, jadi kedua kotak sisi tegaknya bisa ditukar — memindahkan angkanya dari satu ke yang lain tidak mengubah jawabannya
- b
- Sisi tegak yang lain. Sisi tegak mana yang Anda isikan dan mana yang Anda biarkan kosong tidak berpengaruh pada segitiganya; kotak berlabel b hanyalah kotak yang tidak Anda pakai untuk a
- c
- Sisi miring, yaitu sisi yang berhadapan dengan sudut siku-siku dan yang terpanjang di antara ketiganya. Inilah satu-satunya kotak tempat kesalahan mudah terjadi, karena bentuknya sama seperti kotak sisi lain — kalau halaman ini mengatakan sisi miring harus lebih panjang daripada sisi tegak yang Anda berikan, kedua angka itu tertukar
- Sisi yang belum diketahui
- Satu sisi yang Anda biarkan kosong, dihitung dari kedua sisi lainnya dan ditampilkan paling depan karena itulah pertanyaan yang Anda ajukan. Perhatikan bahwa ia bisa berupa sisi tegak maupun sisi miring, tergantung kotak mana yang Anda kosongkan
- Luas
- Setengah hasil kali kedua sisi tegaknya, dalam sentimeter persegi. Ia hanya memakai sisi tegaknya: sisi miring tidak pernah masuk ke luas segitiga siku-siku, dan itu hal yang berguna diingat saat memeriksanya
- Keliling
- Ketiga sisinya dijumlahkan, dalam sentimeter. Ia dihitung dari panjang yang belum dibulatkan, jadi menjumlahkan sendiri kedua angka yang Anda ketik dengan sisi yang tercetak bisa berbeda darinya pada angka terakhir
- Dua angka desimal
- Lebar penulisan ketiga keluarannya. Sisi yang keluar dari akar kuadrat bersifat irasional kecuali segitiganya kebetulan tripel bilangan bulat, sehingga untuk sebagian besar masukan kedua angka itu adalah potongan dan bukan akhir bilangan
Halaman ini yang tepat setiap kali ada sudut siku-siku dan ada satu panjang yang hilang. Tangga yang bersandar pada dinding, tempat kedua sisi yang bisa Anda ukur adalah dinding dan tanahnya sedangkan tangganya adalah sisi miring. Sawah atau pekarangan persegi panjang, tempat diagonalnya diperlukan untuk memasang pagar sedangkan kedua sisinya sudah diketahui. Atap, tempat kenaikan dan bentangannya diketahui sedangkan panjang kasau tidak. Layar, tempat diagonalnya yang disebutkan dan kedua sisinya tidak. Apa pun yang bisa disederhanakan menjadi persegi panjang beserta diagonalnya adalah pekerjaan untuk halaman ini. Ia juga halaman yang tepat untuk memeriksa jarak yang dihitung pada kisi koordinat: langkah mendatar dan langkah tegak antara dua titik adalah sisi tegaknya, dan jarak lurus di antara keduanya adalah sisi miringnya, dan itulah sebabnya halaman jarak di subkategori yang sama ini membawa aritmetika yang sama dengan pakaian yang berbeda. Dua kebiasaan membuat jawabannya mudah dipercaya. Sisi miring selalu sisi terpanjang, jadi sisi yang belum diketahui yang keluar lebih panjang daripada sisi miring yang Anda isikan adalah tanda bahwa kedua kotaknya tertukar. Dan sisi yang belum diketahui selalu lebih pendek daripada jumlah kedua sisi lainnya, karena garis lurus antara dua titik lebih pendek daripada jalur mana pun yang memutar lewat titik ketiga; hasil yang melanggar salah satu batas itu salah, sekalipun aritmetikanya tampak rapi. Kalau ketiga sisinya sudah lengkap, luasnya layak dilirik sebagai pemeriksaan akal sehat — segitiga dengan sisi tegak tiga dan empat menutup enam satuan persegi, dan yang menutup enam puluh berarti ada titik desimal yang salah tempat.
Contoh hitungan
Sisi tegak tiga dan empat
- Sisi miringnya yang belum diketahui, jadi jumlahkan: 3² + 4² = 9 + 16 = 25
- Tarik akar kuadratnya: √25 = 5
- Luas: (3 × 4) ÷ 2 = 6
- Keliling: 3 + 4 + 5 = 12
Masukan yang dimuat halaman ini dan segitiga siku-siku terkecil yang ketiga sisinya bilangan bulat. Setiap angkanya eksak, dan itulah yang menjadikannya patokan: tiga, empat, lima, luas enam, dan keliling dua belas, tanpa satu pun pembulatan. Kalau Anda hanya mengingat satu segitiga siku-siku, ingatlah yang ini, karena ia cara tercepat memeriksa jawaban lain dalam satuan yang sama — sembilan ditambah enam belas adalah dua puluh lima, dan hasil yang tidak mengarah ke situ telah salah di suatu tempat.
Sisi tegak lima dan dua belas
- Sisi miring: 25 + 144 = 169
- Akar kuadrat: √169 = 13
- Luas: (5 × 12) ÷ 2 = 30
- Keliling: 5 + 12 + 13 = 30
Tripel bilangan bulat berikutnya, dengan kebetulan yang layak diperhatikan dan bukan disalahartikan sebagai galat: luas dan kelilingnya sama-sama tiga puluh. Itu sifat segitiga ini dan bukan aturan, dan mudah dibuktikan pada diri sendiri bahwa ia bukan aturan — segitiga tiga-empat-lima di atas punya luas enam dan keliling dua belas, dan keduanya tidak sama. Luas segitiga siku-siku adalah setengah hasil kali sisi tegaknya sedangkan kelilingnya jumlah ketiganya, dan keduanya hanya bertemu ketika sisi tegaknya kebetulan memenuhi satu persamaan tertentu.
Satu sisi tegak dan sisi miring, dengan sisi tegaknya yang hilang
- Sisi yang belum diketahui adalah sisi tegak, jadi kurangkan: 10² − 6² = 100 − 36 = 64
- Tarik akar kuadratnya: √64 = 8
- Luas: (6 × 8) ÷ 2 = 24
- Keliling: 6 + 8 + 10 = 24
Arah yang memakai pengurangan, dan arah yang paling sering menjebak orang karena kedua caranya berbeda hanya pada satu tanda. Ini segitiga tiga-empat-lima yang digandakan, dan itulah sebabnya luas serta kelilingnya kembali mendarat di angka yang sama — menggandakan setiap sisi membuat luasnya menjadi empat kali dan kelilingnya dua kali, dan di sini keduanya bersilangan. Membaca jawabannya dari halaman: sisi yang belum diketahui bernilai 8, lebih pendek daripada sisi miring 10 dan lebih panjang daripada sisi tegak 6, dan di situlah seharusnya ia berada.
Sisi tegak yang lain, dari pasangan yang berbeda
- Sisi yang belum diketahui adalah sisi tegak, jadi kurangkan: 169 − 144 = 25
- Akar kuadrat: √25 = 5
- Luas: (5 × 12) ÷ 2 = 30
- Keliling: 5 + 12 + 13 = 30
Segitiga yang sama dengan contoh kedua, dicapai dari pasangan kotak yang berbeda, dan sekaligus pemeriksaan halaman ini terhadap dirinya sendiri. Segitiga lima-dua-belas-tiga belas bisa diselesaikan dari kedua sisi tegaknya, yang merupakan contoh kedua, atau dari satu sisi tegak dan sisi miringnya, yang merupakan contoh ini, dan kedua jalan itu harus menghasilkan ketiga sisi yang sama. Perhatikan bahwa kotak yang dikosongkan di sini berbeda — jawabannya kembali berupa sisi tegak, tetapi kali ini sisi tegak a dan bukan sisi tegak b, sehingga kedua angka di kotak masukannya bertukar posisi dibanding contoh di atasnya.
Kedua sisi tegaknya sama
- Sisi miring: 1 + 1 = 2
- Akar kuadrat: √2 = 1,4142135…, dibulatkan ke 1,41
- Luas: (1 × 1) ÷ 2 = 0,5
- Keliling: 1 + 1 + 1,41421 = 3,41421…, dibulatkan ke 3,41
Segitiga siku-siku sama kaki yang terkecil, dan peragaan baku bahwa jawabannya biasanya bukan bilangan bulat. Sisi miring sebuah persegi bersisi satu adalah akar dua, bilangan yang tidak pernah berhenti dan tidak pernah berulang, dan tidak ada segitiga bilangan bulat yang perbandingan sisinya satu banding satu banding akar dua — dan justru itulah sebabnya jawaban teorema ini harus dibulatkan. Kelilingnya angka yang paling menarik di sini: ia satu-satunya keluaran yang bergantung pada sisi miring yang belum dibulatkan, dan menjumlahkan sendiri kedua angka yang tercetak dengan angka 1,41 yang tercetak memberi nilai yang sama pada masukan ini, meskipun tidak pada setiap masukan.
Sisi tegak setengah dan satu koma dua
- Sisi miring: 0,25 + 1,44 = 1,69
- Akar kuadrat: √1,69 = 1,3
- Luas: (0,5 × 1,2) ÷ 2 = 0,3
- Keliling: 0,5 + 1,2 + 1,3 = 3
Tripel bilangan bulat yang menyamar: setengah, satu koma dua, dan satu koma tiga adalah segitiga lima-dua-belas-tiga belas yang setiap sisinya dibagi sepuluh, jadi jawabannya eksak dan bukan hasil pembulatan meskipun ada angka desimalnya. Tripel bisa diperbesar dan diperkecil, yang berarti jumlahnya tak terhingga dan sekaligus berarti segitiga siku-siku dengan sisi desimal yang tampak tidak rapi bisa tetap keluar bersih. Ia juga menunjukkan bahwa jawaban desimal tidak sama dengan jawaban yang dibulatkan — angka 1,3 di sini eksak sedangkan 1,41 pada contoh di atas tidak, dan halaman ini tidak punya cara memberi tahu Anda sedang melihat yang mana.
Batasan
Halaman ini menyelesaikan sisi yang belum diketahui lalu memberi luas dan kelilingnya. Ia tidak memberi tahu apakah sisi-sisinya membentuk tripel bilangan bulat, apakah segitiganya sama kaki, atau apa pun tentang jenis segitiganya, dan itu keputusan dan bukan kelalaian. Pertanyaan apakah sekumpulan sisi merupakan tripel Pythagoras tidak bisa dijawab dengan andal dari dalam halaman ini, karena angka yang diterima penyelesainya sudah diubah lebih dulu menjadi sentimeter: sisi tiga dan empat inci tiba sebagai 7,62 dan 10,16, dan keterangan apakah tiga-empat-lima aslinya tripel bilangan bulat sudah dibuang oleh pengubahan satuan itu. Penilaian yang jawabannya berubah tergantung satuan yang dipilih pengguna akan lebih buruk daripada tidak ada penilaian sama sekali, jadi halaman ini diam dan alat terpisah adalah tempat yang tepat untuknya. Semuanya dilaporkan dalam sentimeter dan sentimeter persegi apa pun pilihan pada menu satuannya, dan pengubahannya terjadi sebelum segitiganya diselesaikan dan bukan sesudahnya. Menguadratkan bukan operasi linier, jadi ini tidak sama dengan menyelesaikan dalam satuan aslinya lalu mengubah jawabannya, dan tripel bilangan bulat yang diketik dalam inci tidak akan menghasilkan sentimeter bilangan bulat. Sisi yang belum diketahui keluar dari akar kuadrat dan irasional untuk hampir semua masukan, sehingga dua angka desimal adalah potongan dan bukan jawaban lengkap, meskipun masukannya sendiri bisa eksak. Keliling dan luasnya dihitung dari panjang yang belum dibulatkan, jadi membangunnya kembali dari angka yang tercetak di layar bisa berbeda pada angka terakhir. Tepat dua dari tiga kotak harus terisi: mengisi satu ditolak karena bentuknya tidak tertentu, dan mengisi ketiganya ditolak karena ketiga sisinya saling mengikat dan himpunan yang tidak cocok tidak menggambarkan segitiga sama sekali. Sisi bernilai nol tidak diterima, berbeda dari radius di halaman lingkaran di sebelah — segitiga dengan sisi sepanjang nol tidak ada, dan luas serta kelilingnya tidak akan bermakna. Sisi miringnya harus benar-benar lebih panjang daripada sisi tegak yang diberikan bersamanya, dan kalau tidak, halaman ini meminta Anda menukar kedua angkanya alih-alih melaporkan kode galat; pesan itu berarti kedua kotaknya terisi terbalik, yaitu kesalahan yang paling sering dipancing bentuk ini. Akhirnya, ini segitiga bidang datar yang punya sudut siku-siku, jadi segitiga sembarang dan segitiga yang digambar pada permukaan bola berada di luar apa yang dikatakan teoremanya.
Pertanyaan yang sering diajukan
- Kotak mana yang harus saya isi?
- Dua dari tiga kotak, mana pun. Kedua sisi tegaknya, atau satu sisi tegak dan sisi miringnya — keduanya bisa, dan halaman ini tahu kasus mana yang sedang terjadi dengan melihat kotak mana yang Anda kosongkan. Yang tidak diterimanya adalah satu kotak saja atau ketiganya sekaligus. Satu sisi tidak menentukan segitiga siku-siku, jadi tidak ada yang bisa diselesaikan, sedangkan ketiganya sekaligus justru berlebihan, karena dua sisi mana pun sudah memastikan sisi ketiganya dan himpunan yang tidak cocok tidak punya segitiga di belakangnya.
- Bagaimana saya tahu harus menjumlah atau mengurang?
- Tergantung kotak mana yang Anda kosongkan. Kalau sisi miringnya yang hilang, Anda menjumlahkan kuadrat kedua sisi tegaknya lalu menarik akar kuadratnya. Kalau sisi tegaknya yang hilang, Anda mengurangkan kuadrat sisi tegak yang diketahui dari kuadrat sisi miringnya lalu menarik akar kuadrat dari sisanya. Halaman ini yang memutuskan untuk Anda dari bentuk masukannya, dan itulah alasan utama memakainya alih-alih kalkulator biasa: kedua kasusnya berbeda hanya pada satu tanda, dan tertukar adalah cara baku mendapat jawaban salah yang tampak masuk akal.
- Halaman ini mengatakan sisi miring harus lebih panjang daripada sisi tegaknya. Apa yang salah?
- Kedua angkanya berada di kotak yang tertukar. Sisi miring adalah sisi yang berhadapan dengan sudut siku-siku dan selalu yang terpanjang di antara ketiganya, jadi ia tidak mungkin lebih pendek daripada sisi tegak atau sama dengannya. Menukar kedua nilai itu akan memperbaikinya. Inilah kesalahan yang paling sering terjadi di halaman ini karena kedua kotaknya tampak serupa — tidak ada apa pun pada kotak teks biasa yang mengatakan kotak mana yang dimaksudkan untuk sisi panjang, dan segitiga bersisi 5, 5, dan 3 memang tidak ada.
- Kenapa sisi yang belum diketahui punya angka desimal padahal saya mengetik bilangan bulat?
- Karena akar kuadrat dari bilangan bulat biasanya bukan bilangan bulat. Segitiga siku-siku bersisi bilangan bulat — tiga-empat-lima, lima-dua-belas-tiga belas, delapan-lima belas-tujuh belas — memang nyata dan jumlahnya tak terhingga, tetapi mereka minoritas kecil di antara seluruh segitiga siku-siku yang ada. Untuk yang lainnya sisi yang belum diketahui adalah bilangan irasional dan dua angka desimal yang ditampilkan adalah tempat ia dipotong. Jawaban 7,62 adalah penghampiran; jawaban 8 adalah eksak.
- Apakah halaman ini memberi tahu saya kalau segitiga saya 3-4-5?
- Tidak, dan itu memang disengaja. Pada saat aritmetikanya berjalan, panjangnya sudah diubah menjadi sentimeter, sehingga segitiga yang diisikan sebagai tiga dan empat inci tiba di penyelesainya sebagai 7,62 dan 10,16 — keterangan apakah sisi aslinya bilangan bulat sudah hilang sebelum pertanyaannya bisa diajukan. Pemeriksaan yang memberi jawaban berbeda tergantung satuan yang dipilih akan lebih buruk daripada tidak ada pemeriksaan, jadi halaman ini menyelesaikan sisinya dan menyerahkan penggolongannya kepada alat terpisah.
- Apakah luasnya sama dengan kelilingnya?
- Hanya kebetulan, dan tabel di halaman ini memang memuat satu kebetulan semacam itu: segitiga lima-dua-belas-tiga belas punya luas tiga puluh sentimeter persegi dan keliling tiga puluh sentimeter. Keduanya jenis besaran yang berbeda dan kesamaannya hanya pada angkanya. Luas segitiga siku-siku adalah setengah hasil kali sisi tegaknya, kelilingnya jumlah ketiga sisinya, dan keduanya kebetulan bertemu untuk segitiga ini dan segelintir segitiga lain. Segitiga tiga-empat-lima dua baris di atasnya punya luas enam dengan keliling dua belas.
- Bisakah salah satu sisinya nol?
- Tidak. Segitiga dengan sisi sepanjang nol bukan segitiga — ketiga titiknya akan segaris atau berimpit, dan luas serta kelilingnya sama-sama kehilangan makna. Ini perbedaan yang sungguh-sungguh dari halaman lingkaran di subkategori yang sama, tempat radius nol adalah masukan yang sah untuk lingkaran yang menyusut menjadi satu titik. Sisi bernilai nol ditolak di halaman ini pada kotaknya sendiri, dan panjang yang bernilai negatif ditolak dengan cara yang sama.
Referensi
- Pythagorean theorem — the relation between the legs and the hypotenuse of a right triangle, with the history the introduction draws on: use in Babylonian calculations more than a millennium before Pythagoras, early Indian and Chinese sources, and the Zhoubi Suanjing dissection argument in which pieces around a central square establish the relation between the three side squares (Dauben 2007, Maor 2007) — Wolfram MathWorld (United States)
- Pythagorean triple — the whole-number side sets such as 3, 4, 5 that the page produces but deliberately does not identify, and the reason they are the exception rather than the rule — Wolfram MathWorld (United States)
- Right triangle — the shape the page solves, with the hypotenuse defined as the side opposite the right angle and therefore the longest of the three — Wolfram MathWorld (United States)