Kalkulator Jarak

Jarak = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²) Perubahan x = x₂ − x₁ Perubahan y = y₂ − y₁

Titik pertama

Sebuah x dan sebuah y, yaitu titik tempat Anda mulai mengukur. Koordinatnya angka biasa, jadi boleh negatif, boleh pecahan, boleh nol, dan tidak ada satuan yang perlu dipilih

Titik kedua

Titik yang menjadi tujuan pengukuran, dengan aturan yang sama. Letaknya boleh di arah mana pun dari titik pertama, termasuk tepat di atas, di bawah, di kiri, atau di kanan

Perubahan x

x pertama dikurangkan dari x kedua, sehingga nilainya perpindahan mendatar dari satu titik ke titik lain. Nilai negatif berarti titik kedua berada di kiri titik pertama, dan angka inilah yang dipakai perhitungan kemiringan sebagai jarak datarnya

Perubahan y

y pertama dikurangkan dari y kedua, yaitu perpindahan tegak antara kedua titik. Nilai negatif berarti titik kedua lebih rendah. Bersama perubahan x, keduanya membentuk segitiga siku-siku yang sisi miring dari segitiga itu adalah jaraknya

Jarak

Akar dari jumlah kuadrat kedua perubahan itu. Nilainya tidak pernah negatif, hanya nol bila kedua titik berimpit, dan karena hampir selalu berupa akar, angkanya dibulatkan ke empat angka desimal

Pakai halaman ini setiap kali Anda punya dua titik dan ingin tahu jarak antara keduanya tanpa mempedulikan arahnya. Berapa jauh dua acuan peta terpisah, berapa panjang pagar di antara dua tiang, berapa kabel yang dibutuhkan untuk menarik garis diagonal melintasi sebuah ruangan, berapa jauh sebuah pengiriman dari gudang kalau rutenya garis lurus dan bukan jalan raya. Halaman ini juga pemeriksaan yang tepat ketika sebuah hitungan panjang menjadi keliru: dua hasil apa pun yang bisa Anda letakkan pada sebuah bidang dapat diukur satu terhadap yang lain, dan jarak yang keluar berbeda satu orde besar adalah tanda ada kesalahan di suatu tempat sebelumnya. Kedua perubahan itu berguna untuk pekerjaan yang lain lagi. Kalau Anda perlu tahu berapa banyak perpindahannya ke samping dan berapa banyak ke atas, keduanya menjawab langsung, dan jawabannya bertanda, sehingga keduanya memberi tahu arah dan sekaligus besarnya. Itu persis yang Anda butuhkan sebelum menghitung kemiringan, sudut, atau haluan — halaman ini tidak memberi Anda satu pun dari ketiganya, tetapi ia menyerahkan dua angka yang menjadi bahan semuanya. Satu kebiasaan yang layak dipelihara: kuadratkan kedua perubahan di kepala Anda sebelum membaca jawabannya. Sembilan ditambah enam belas adalah dua puluh lima, jadi jarak 5 itu benar, sementara jarak 50 berarti ada titik desimal yang salah tempat dan bukan hasil yang mengejutkan.

1. Tiga ke samping dan empat ke atas

   1. Perubahan x: 3 − 0 = 3
   2. Perubahan y: 4 − 0 = 4
   3. Kuadratkan keduanya: 9 dan 16
   4. Jumlahkan lalu ambil akarnya: √25 = 5

   Pasangan yang sudah terisi saat halaman dibuka, sekaligus segitiga siku-siku terkecil yang ketiga sisinya bilangan bulat. Ada dua hal yang layak diperhatikan. Kedua perubahannya persis angka yang Anda ketik, dan itu hanya terjadi ketika salah satu titiknya titik asal, serta jaraknya eksak dan bukan akar yang dibulatkan, dan itu jarang terjadi di halaman ini. Pakai masukan ini sebagai kalibrasi: kalau halaman mengembalikan 5 di sini, aritmetikanya sehat dan jawaban aneh di tempat lain adalah sifat masukannya, bukan kerusakan.

2. Diagonal dengan jarak berupa akar yang dibulatkan

   1. Perubahan x: 5 − 1 = 4
   2. Perubahan y: 8 − 2 = 6
   3. Kuadratkan keduanya: 16 dan 36
   4. Jumlahkan: 52, lalu ambil akarnya, yaitu 7,21110255… yang dibulatkan menjadi 7,2111

   Kasus yang biasa dan bukan kasus yang rapi. Lima puluh dua bukan kuadrat sempurna, jadi jawabannya irasional dan empat angka yang tercetak adalah awalnya, bukan keseluruhannya. Satu pemeriksaan yang tidak memakan biaya: jaraknya harus lebih panjang daripada salah satu perubahan, sehingga 7,2111 dengan perubahan 4 dan 6 itu masuk akal, sementara jarak yang lebih pendek daripada perubahan yang lebih besar berarti akarnya dikenakan pada besaran yang salah.

3. Dua titik yang sama, diukur dari arah sebaliknya

   1. Perubahan x: 0 − 3 = −3
   2. Perubahan y: 0 − 4 = −4
   3. Kuadratkan keduanya: 9 dan 16, karena pengkuadratan menghapus tandanya
   4. Jumlahkan lalu ambil akarnya: √25 = 5

   Ruas tiga-empat-lima dengan kedua ujungnya ditukar, dan peragaan paling jelas untuk dua sifat sekaligus. Kedua perubahannya menjadi negatif karena kedua selisihnya sekarang diukur ke arah yang berlawanan, sementara jaraknya tetap 5, karena pengkuadratan membuang tandanya sebelum tandanya sempat merusak apa pun. Itulah seluruh alasan jarak selalu positif: ia sebuah panjang, dan arah pengukurannya tidak pernah masuk ke dalam hitungan.

4. Jarak dalam orde juta

   1. Perubahan x: 6.000.000 − 0 = 6.000.000
   2. Perubahan y: 8.000.000 − 0 = 8.000.000
   3. Kuadratkan keduanya lalu jumlahkan: 3,6 × 10¹³ ditambah 6,4 × 10¹³ adalah 10¹⁴
   4. Ambil akarnya: 10.000.000

   Segitiga tiga-empat-lima yang diperbesar dua juta kali, dan itulah yang terjadi kalau koordinat yang sama dipakai untuk grid peta terproyeksi dalam satuan meter alih-alih untuk grafik di atas kertas. Tidak ada yang berubah di halaman ini karena besarnya angka — kedua perubahannya setepat masukannya dan jaraknya keluar bulat — dan baris ini ada untuk menegaskan itu, karena pembaca yang menduga koordinat besar akan memunculkan pembulatan akan mengira jawaban eksak itu mencurigakan.

5. Dua titik yang sebenarnya satu titik

   1. Perubahan x: 2,5 − 2,5 = 0
   2. Perubahan y: ((−1,5) − (−1,5)) = 0
   3. Kuadratkan keduanya: 0 dan 0
   4. Jumlahkan lalu ambil akarnya: √0 = 0

   Jarak nol adalah jawaban yang benar untuk sebuah titik dan dirinya sendiri, dan itu satu-satunya masukan yang bisa menghasilkannya, karena jumlah dua kuadrat hanya nol bila kedua kuadratnya nol. Halaman ini tidak akan memperlakukannya sebagai hasil kosong. Layak dilihat sekali supaya angka nol di kolom pertama tidak terbaca sebagai isian yang gagal terisi.

Halaman ini mengukur pada bidang datar dan hanya pada bidang datar. Tidak ada kotak untuk koordinat ketiga, sehingga jarak antara dua titik di ruang tiga dimensi tidak terjangkau: Anda masih memerlukan selisih pada sumbu ketiga, dan halaman ini tidak punya tempat untuk menaruhnya. Halaman dengan isian z opsional pernah dipertimbangkan dan ditolak, karena satu titik yang punya z dan titik lain yang tidak punya tidak memiliki jawaban yang masuk akal, dan dua halaman koordinat tetangganya lalu harus menumbuhkan isian yang sama agar tetap sejalan. Koordinatnya tanpa satuan, jadi jawabannya mengikuti satuan yang Anda pakai, dan halaman ini tidak bisa mengenali pasangan yang tercampur — kalau satu titik dalam meter dan titik lain dalam milimeter, aritmetikanya akan berjalan dengan gembira dan mengembalikan angka yang salah, dan tidak ada apa pun di halaman ini yang akan mengatakannya. Kedua perubahan itu selisih berarah dan bukan jarak, jadi perubahan yang tercetak negatif adalah benar dan bukan kesalahan yang perlu diperbaiki. Jaraknya sendiri dibulatkan ke empat angka desimal dan biasanya irasional, sehingga angka yang tercetak adalah tempat angkanya berhenti dan bukan jawaban utuhnya. Koordinat dibatasi plus minus satu miliar, jauh melampaui grafik mana pun tetapi masih di dalam jangkauan sebagian sistem koordinat terproyeksi yang diukur dalam meter, dan halaman ini akan menolak angka sebesar itu alih-alih menghitungnya. Akhirnya, ini jarak garis lurus dan bukan jarak tempuh: kalau Anda harus mengikuti jalan, dinding, atau garis pantai, angka di sini adalah jalur terpendek yang mungkin dan akan selalu lebih pendek daripada jalur yang benar-benar bisa Anda lalui.

Apa itu rumus jarak?

Rumus jarak adalah teorema Pythagoras yang diberi koordinat. Ambil selisih kedua nilai x dan selisih kedua nilai y, kuadratkan masing-masing, jumlahkan, lalu ambil akarnya. Kedua selisih itu adalah dua sisi tegak sebuah segitiga siku-siku dan jaraknya adalah sisi miringnya, jadi rumus ini bukan aturan hafalan yang terpisah — ia aturan segitiga yang diterapkan pada perpindahan antara kedua titik. Untuk (0, 0) dan (3, 4) hasilnya √(9 + 16), yaitu 5.

Mengapa dua kolom tambahannya kadang negatif?

Karena keduanya perpindahan berarah dan bukan jarak, dan sebuah perpindahan punya arah. Perubahan x adalah x pertama dikurangkan dari x kedua, jadi nilainya negatif tepat ketika titik kedua berada di kiri titik pertama; perubahan y negatif ketika titik kedua lebih rendah. Halaman ini mempertahankan tandanya dengan sengaja. Tanda itulah satu-satunya hal yang mengatakan ke arah mana titik kedua berada, itulah yang dibutuhkan perhitungan kemiringan atau haluan selanjutnya, dan jaraknya sendiri mengabaikan tanda itu sepenuhnya karena pengkuadratan menghapusnya.

Apakah ini berlaku untuk titik di ruang tiga dimensi?

Tidak, dan halaman ini tidak berpura-pura sebaliknya — tidak ada kotak koordinat ketiga yang bisa diisi. Jarak tiga dimensi memerlukan selisih pada sumbu ketiga juga, ditambahkan pada jumlah kuadrat sebelum akarnya diambil, dan dengan hanya dua koordinat yang tersedia halaman ini harus mengandaikan nilai untuk sumbu ketiga. Kalau titik Anda berada di ruang tiga dimensi, jarak dua dimensinya bisa dihitung di sini lalu Anda gabungkan sendiri dengan selisih tingginya, tetapi halaman ini tidak akan mengerjakan langkah itu untuk Anda.

Koordinatnya dalam meter, sentimeter, atau apa?

Terserah Anda menyebutnya apa. Halaman ini memperlakukan koordinat sebagai angka biasa, tidak menempelkan satuan pada jawabannya, dan tidak menyediakan menu untuk memilih satuan, dan itu memang disengaja: pasangan koordinat dari sebuah grafik atau grid peta tidak datang dengan satuan sampai Anda memutuskan grid itu digambar dalam apa. Kalau angka Anda dalam meter, jaraknya dalam meter; kalau angkanya derajat bujur, jaraknya dalam derajat, dan yang terakhir itu tidak bisa diubah ke kilometer tanpa mengetahui posisi Anda di bola bumi.

Bisakah jaraknya negatif atau nol?

Nilainya tidak bisa negatif, karena pengkuadratan kedua perubahan itu menghapus tandanya sebelum dijumlahkan, dan akar dari bilangan tak negatif tidak pernah negatif. Nilainya nol hanya ketika kedua perubahannya nol, yang berarti kedua titik itu titik yang sama — jawaban yang sah dan bukan hitungan yang gagal. Setiap pasangan titik berbeda lainnya memberi jarak positif, sedekat apa pun keduanya.

Bagaimana memeriksa jawabannya tanpa kalkulator?

Kuadratkan kedua perubahan lalu jumlahkan, kemudian tanyakan bilangan apa yang kuadratnya sama dengan jumlah itu. Empat dan enam memberi 16 ditambah 36, yaitu 52, dan 7,2111 dikuadratkan mendekati 52 — jadi jawabannya berada di wilayah yang benar meskipun 52 bukan kuadrat sempurna. Dua sifat membuat pemeriksaan ini cepat: jaraknya selalu lebih panjang daripada salah satu perubahan, karena sisi miring dari segitiga siku-siku adalah sisi terpanjangnya, dan selalu lebih pendek daripada jumlah kedua perubahannya. Apa pun di luar batas itu salah.

• Distance — the distance between two points in the plane, given as the square root of the sum of the squared coordinate differences, which is the formula this page evaluates — Wolfram MathWorld (United States)
• Cartesian coordinates — the coordinate system in which a point is named by its perpendicular distances from a pair of axes, and the setting in which the two legs here are horizontal and vertical — Wolfram MathWorld (United States)
• Pythagorean theorem — the relation between the legs of a right triangle and its hypotenuse, which is what the distance formula is, since the two coordinate differences are the legs and the distance is the hypotenuse — Wolfram MathWorld (United States)