Kalkulator Kemiringan Garis

m = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁) θ = arctan(m) kemiringan % = m × 100

m

Kemiringannya, atau perubahan y dibagi perubahan x: seberapa banyak garis itu naik untuk setiap satuan yang ditempuhnya ke kanan. Tidak punya satuan, karena ia adalah satu jarak dibagi jarak yang lain. Nilai positif berarti garis naik seiring x bertambah, negatif berarti turun, dan 0 berarti mendatar. Inilah jawaban utama di halaman ini, dan satu-satunya bacaan yang tidak berubah ketika kedua titik Anda tukar, sebab menukarnya membalik perubahan y dan perubahan x sekaligus, dan perbandingan dua bilangan negatif adalah perbandingan yang sama

Δy = y₂ − y₁

Kenaikannya, yaitu selisih antara kedua nilai y dan pembilang dari kemiringan. Tandanya dipertahankan: turun dari y sebesar 5 ke y sebesar 1 memberi perubahan y sebesar −4, dan tanda minus itulah yang membuat kemiringannya negatif. Angka ini sama dengan jarak tegak antara kedua titik bila Anda mengukurnya dengan meteran, dan halaman ini menampilkannya supaya kemiringannya bisa Anda periksa sendiri dengan tangan

Δx = x₂ − x₁

Jarak datarnya, yaitu selisih antara kedua nilai x dan penyebut dari kemiringan. Ia adalah jarak mendatar antara kedua titik, dan tidak seperti kemiringan dan sudutnya, ia tidak pernah negatif dalam pembacaan dari kiri ke kanan, meskipun halaman ini tetap memakai tanda apa pun yang dihasilkan pengurangan itu. Nilainya tidak boleh 0: perubahan x sebesar nol berarti garis tegak, yang tidak punya kemiringan, dan halaman ini berhenti alih-alih membagi dengan nol. Pasangannya penting di sini — x₁ berpasangan dengan y₁ dan x₂ dengan y₂, dan mencampur keempat angka itu menjadi titik yang bukan titik yang Anda ukur akan memberi kemiringan garis yang lain

θ = arctan(m)

Sudut kemiringan dalam derajat, yaitu sudut yang dibentuk garis itu terhadap garis mendatar, ditampilkan sampai dua angka desimal. Ia berasal dari arctan kemiringannya, sehingga nilainya selalu antara −90 dan 90 dan berulang setiap 180 derajat: garis melalui kedua titik itu berlanjut ke dua arah, dan sudutnya menggambarkan arah garis tersebut, bukan satu ruas tertentu. Kemiringan 0,5 memberi 26,57 derajat, kemiringan 1 memberi 45, dan kemiringan terjal 10 memberi 84,29 — sudutnya merapat ke 90 ketika garis mendekati tegak tanpa pernah mencapainya

kemiringan % = m × 100

Kemiringan yang sama yang ditulis sebagai persentase, ditampilkan sampai dua angka desimal: kenaikannya sebagai persentase dari jarak datarnya. Kemiringan 0,5 adalah 50 persen, kemiringan 1 adalah 100 persen, dan garis landai 1 banding 12 adalah 8,33 persen. Persentase ini bukan sudut, dan keduanya mudah tertukar: persentase 100 hanya berarti 45 derajat, karena persentase membandingkan kenaikan dengan jarak datar sementara sudut membandingkannya dengan sisi miring

Pakai halaman ini ketika yang Anda punya adalah dua titik, yang dalam praktik berarti koordinat dan bukan hasil pengukuran: dua posisi hasil pengukuran pada gambar denah, dua bacaan dari sebuah grafik, dua sudut yang Anda ambil dari sebuah gambar teknik, dua baris data dalam tabel nilai x dan y. Halaman ini menjawab pertanyaan yang muncul tepat setelah jarak antara dua titik, dan menjawabnya dalam bentuk yang dipakai matematika untuk menggambarkan sebuah garis — kemiringannya, yang dari situ persamaan garisnya langsung bisa disusun. Halaman ini juga jujur untuk garis yang menurun, karena tanda kemiringannya ditampilkan dan bukan dibuang. Pakailah Kalkulator Kemiringan Tanah ketika kenaikan dan jarak datarnya sudah diukur sebagai dua jarak terpisah dan pertanyaannya adalah pertanyaan yang ditulis di lapangan — penurunan satu inci per kaki, kenaikan dua sentimeter per meter — karena halaman itu melewati pengurangan koordinat dan langsung menerima kedua angka tersebut. Pakailah Kalkulator Jarak ketika yang Anda inginkan adalah panjang antara kedua titik dan bukan arah garis yang melewatinya; Kalkulator Titik Tengah untuk titik di tengah-tengah ruas garis itu; dan Kalkulator Titik Ujung ketika Anda punya titik tengah dan salah satu ujung ruas dan ingin mengetahui ujung yang lain. Keempatnya bersama-sama menggambarkan ruas yang sama — panjangnya, posisinya, arahnya, dan di mana ruas itu berakhir.

1. Titik (0, 0) dan (4, 2)

   1. Perubahan y: 2 − 0 = 2
   2. Perubahan x: 4 − 0 = 4
   3. Kemiringan: 2 ÷ 4 = 0,5
   4. Sudut kemiringan: arctan(0,5) = 26,565…° → 26,57
   5. Persentase: 0,5 × 100 = 50%

   Baris bawaan dan baris yang paling mudah diperiksa dengan tangan, karena mulai dari titik asal membuat perubahan y sama dengan y titik kedua dan perubahan x sama dengan x-nya. Kemiringan 0,5 berarti naik setengah satuan untuk setiap satuan ke samping, cukup landai untuk dilewati tanpa terasa — sebuah ram aksesibilitas berkisar 1 banding 12, seperenam dari ini. Ketiga bacaan itu saling cocok seperti yang dimaksud halaman ini: 0,5, 26,57 derajat, dan 50 persen adalah kemiringan yang sama yang ditulis dengan tiga cara, dan perubahan x sebesar 4 adalah satu-satunya di antaranya yang bisa Anda ukur dengan meteran.

2. Titik (1, 2) dan (5, 8)

   1. Perubahan y: 8 − 2 = 6
   2. Perubahan x: 5 − 1 = 4
   3. Kemiringan: 6 ÷ 4 = 1,5
   4. Sudut kemiringan: arctan(1,5) = 56,309…° → 56,31
   5. Persentase: 1,5 × 100 = 150%

   Kedua titiknya tidak ada yang di titik asal, dan itulah kasus yang biasa terjadi sekaligus yang menunjukkan mengapa halaman ini mengurangi koordinat alih-alih membacanya langsung: kedua titik berada di kanan atas titik asal, dan tidak ada satu pun koordinat yang dengan sendirinya merupakan perubahan y atau perubahan x. Persentase 150 adalah bacaan yang mengagetkan banyak orang, karena angka di atas 100 terdengar mustahil — padahal tidak, dan itu cuma berarti garisnya naik lebih jauh daripada jarak datar yang ditempuhnya. Sudut kemiringan 56,31 derajat adalah pemeriksanya: apa pun yang kemiringannya di atas 1 lebih terjal daripada 45 derajat, dan yang di bawahnya lebih landai.

3. Titik (0, 0) dan (12, 1)

   1. Perubahan y: 1 − 0 = 1
   2. Perubahan x: 12 − 0 = 12
   3. Kemiringan: 1 ÷ 12 = 0,08333… → 0,0833
   4. Sudut kemiringan: arctan(0,08333…) = 4,763…° → 4,76
   5. Persentase: 0,08333… × 100 = 8,33%

   Kemiringan yang landai, dan baris yang bertemu dengan Kalkulator Kemiringan Tanah pada angka yang sama: di sini kenaikan satu untuk jarak datar dua belas adalah 8,33 persen, dan di sana kenaikan satu inci per kaki jarak datar juga 8,33 persen — satu perbandingan yang ditulis dengan dua cara, sekali dari dua titik dan sekali dari dua jarak hasil pengukuran. Perbandingan itu adalah batas maksimum standar untuk ram aksesibilitas pada banyak peraturan bangunan, dan membacanya sebagai kemiringan 0,0833 atau sudut 4,76 derajat adalah tambahan yang diberikan halaman ini — sudutnya kecil, dan justru itulah sebabnya kemiringannya dinyatakan sebagai persentase: 4,76 derajat sulit dibidik, sedangkan 1 banding 12 mudah diukur.

4. Titik (2, 5) dan (7, 1)

   1. Perubahan y: 1 − 5 = −4
   2. Perubahan x: 7 − 2 = 5
   3. Kemiringan: −4 ÷ 5 = −0,8
   4. Sudut kemiringan: arctan(−0,8) = −38,659…° → −38,66
   5. Persentase: −0,8 × 100 = −80%

   Garis yang menurun, dan alasan halaman ini menampilkan perubahan y selain perbandingannya: tanda minus itu berasal dari perubahan y, sehingga pembaca yang hanya melihat −0,8 tidak bisa tahu apakah perubahan x-nya diambil terbalik. Perubahan x tetap positif di angka 5, karena ia adalah jarak ke kanan, dan hanya arah tegak yang membawa tanda. Dibaca dari kiri ke kanan, garis ini turun 80 sentimeter untuk setiap meter ke depan — angka yang biasa dipakai untuk menentukan kemiringan saluran drainase atau tangga, dan angka yang akan menyesatkan bila tandanya dibuang.

Halaman ini menghitung kemiringan sebuah garis lurus dari dua titik, dan tidak lebih dari itu. Ia tidak mencocokkan garis ke lebih dari dua titik, tidak melaporkan di mana garis itu memotong kedua sumbu, dan tidak memberikan persamaan garisnya, meskipun kemiringan yang ditampilkannya adalah separuh pertama dari persamaan itu. Ia juga tidak bekerja mundur: kemiringan saja menggambarkan sebuah arah dan bukan sebuah garis, dan ada tak terhingga banyak garis dengan kemiringan 0,5 — Anda masih perlu satu titik, dan itulah yang dikerjakan Kalkulator Bentuk Kemiringan-Potong dengan angka yang sama yang dihasilkan halaman ini. Keempat koordinat itu bilangan murni dan tidak membawa satuan, sehingga tidak ada yang perlu dikonversi dan tidak ada yang perlu dipilih: bila titik Anda dalam meter, kemiringannya adalah meter per meter dan jarak datarnya dalam meter, dan halaman ini tidak akan memberi label pada keduanya. Itulah pula sebabnya halaman ini tidak bisa memperingatkan Anda soal satuan yang tercampur — isikan x dalam meter dan y dalam sentimeter, dan ia akan tetap membaginya, memberi kemiringan yang seratus kali terlalu besar, tanpa tanda apa pun bahwa ada yang salah. Garis tegak ditolak alih-alih dijawab, karena kemiringan garis tegak tidak ada; bila kedua titik Anda punya x yang sama, periksa apakah keduanya benar-benar dua titik yang berbeda, sebab dua titik yang identik memberi penolakan yang sama. Garis mendatar tetap dijawab, dengan kemiringan dan sudut 0. Menukar kedua titik tidak mengubah kemiringan dan sudutnya, karena kedua selisih itu berganti tanda bersamaan, tetapi memasangkan koordinatnya menjadi titik yang salah — x₁ dengan y₂ — akan diam-diam menggambarkan garis yang berbeda, dan tidak ada pemeriksaan di halaman ini yang bisa menangkapnya karena angka apa pun yang berjumlah empat adalah koordinat dari suatu garis. Tidak ada yang digolongkan di sini: landai dan terjal adalah penilaian yang relatif dan halaman ini tidak membuat satu pun penilaian itu. Kemiringannya ditampilkan sampai empat angka desimal dan sudut serta persentasenya sampai dua, dan lebar tampilan itu dipakai bersama oleh seluruh subkategori ini, bukan klaim tentang ketelitian; kemiringan 0,0833 adalah pembulatan dari 1 banding 12, dan pengukuran yang teliti sampai sentimeter pada jarak datar satu meter tidak akan membenarkan angka desimal terakhirnya. Ganti satuan pada keempat koordinat secara bersamaan tidak mengubah apa pun, karena kemiringan adalah perbandingan dua jarak dengan satuan yang sama.

Bagaimana cara menghitung kemiringan garis dari dua titik?

Kurangi nilai y untuk mendapat perubahan y, kurangi nilai x untuk mendapat perubahan x, lalu bagi: kemiringannya adalah (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁). Titik (0, 0) dan (4, 2) memberi perubahan y sebesar 2 dan perubahan x sebesar 4, jadi kemiringannya 0,5. Tidak jadi soal titik mana yang Anda sebut titik pertama, karena menukarnya membalik kedua selisih itu dan dua tanda negatifnya saling menghapus — tetapi jadi soal bahwa x₁ berpasangan dengan y₁.

Bagaimana mengubah kemiringan menjadi derajat?

Ambil arctan dari kemiringannya. Kemiringan 0,5 memberi 26,57 derajat, kemiringan 1 memberi 45 derajat, dan kemiringan 10 memberi 84,29 derajat. Sudutnya selalu mendarat di antara −90 dan 90, karena arctan tidak membedakan kedua arah garis — garis melalui kedua titik Anda berlanjut ke dua arah, dan sudutnya menggambarkan kecuramannya, bukan menunjuk sepanjang garis itu.

Apa arti kemiringan negatif?

Artinya garis itu menurun saat Anda membacanya dari kiri ke kanan. Titik (2, 5) dan (7, 1) turun sebesar 4 pada jarak datar 5, jadi kemiringannya −0,8 dan sudut kemiringannya −38,66 derajat. Tanda minus itu bukan kesalahan dan halaman ini tidak mengambil nilai mutlaknya: ia adalah pembeda antara ram yang menanjak dan saluran yang menurun, dua detail bangunan yang berlawanan tetapi disusun dari angka yang sama. Perubahan x tetap positif; hanya perubahan y yang membawa tanda.

Apakah persentase 100 sama dengan sudut 90 derajat?

Tidak, dan inilah kekeliruan yang paling sering terjadi soal persentase kemiringan. Persentase 100 berarti kenaikannya sama dengan jarak datarnya, yaitu kemiringan 1 — dan itu 45 derajat, bukan 90. Persentase membandingkan kenaikan dengan jarak datar, sementara sudut membandingkannya dengan jarak meniringnya sendiri. Lebih terjal dari 100 persen sangat mungkin: kemiringan 1,5 adalah 150 persen dan hanya 56,31 derajat, dan sudutnya baru mendekati 90 ketika persentasenya menuju tak hingga.

Bagaimana kalau kedua titik punya x yang sama?

Maka garisnya tegak dan tidak punya kemiringan. Perubahan x-nya 0 dan pembagiannya tidak terdefinisi, jadi halaman ini mengatakannya alih-alih menampilkan nilai tak hingga — kemiringan garis tegak bukanlah bilangan yang sangat besar, melainkan ketiadaan bilangan. Bila yang Anda maksud adalah dua titik yang berbeda, periksa nilai x-nya; bila garisnya memang tegak, Kalkulator Jarak memberi panjang antara keduanya, dan itulah satu hal yang dimiliki garis tegak.

Apa bedanya dengan Kalkulator Kemiringan Tanah?

Keduanya menghitung angka yang sama dari masukan yang berbeda. Halaman ini menerima dua titik dan mengurangi koordinatnya sendiri; Kalkulator Kemiringan Tanah menerima kenaikan dan jarak datar sebagai dua jarak yang sudah Anda ukur, yaitu cara kemiringan ditulis di lapangan — satu inci penurunan per kaki, dua sentimeter kenaikan per meter. Titik (0, 0) dan (12, 1) di sini memberi 8,33 persen, angka yang sama yang diberikan halaman itu untuk kenaikan satu inci per kaki jarak datar. Perhatikan bahwa kedua kolom di sana tidak memakai satuan yang sama — kenaikannya dibaca dalam inci dan jarak datarnya dalam kaki — sehingga perbandingan yang sama diisikan di sana sebagai 1 dan 1, bukan 1 dan 12.

• Slope — the rise over the run, with the sign conventions for lines that fall as well as rise, and the relation between the slope, the angle of inclination and the grade — Wolfram MathWorld (United States)
• Line — the straight line through two points, whose direction is the slope this page computes and whose other properties follow from it — Wolfram MathWorld (United States)
• Point-Slope Form — where the slope from two points is used next: the equation of the line through them, which needs a slope and one point — Wolfram MathWorld (United States)