Kalkulator Segitiga

c = √(a² + b² − 2ab × cos C) L = ½ × a × b × sin C A + B + C = 180°

a, b

Kedua sisi yang Anda ketahui, dalam sentimeter. Keduanya bisa bertukar tempat — halaman ini tidak peduli mana yang Anda sebut a dan mana yang b, dan menukarnya hanya menukar kedua sudut yang dicetaknya. Keduanya harus lebih besar dari nol, karena sisi yang bernilai nol tidak menyisakan segitiga sama sekali

C

Sudut apit antara kedua sisi yang diketahui itu, dalam derajat, radian, atau gradian. Disebut sudut apit karena diapit oleh kedua sisi yang Anda berikan, dan hanya sudut inilah yang boleh Anda tentukan sendiri di halaman ini. Nilainya boleh berapa pun dari 0 sampai 180 derajat; pada tepat 0 atau 180 segitiganya tergeletak menjadi garis dan halaman ini tetap menjawab, dengan satu sudut 0 dan satu sudut 180

c

Sisi ketiga, dalam sentimeter, yang terletak di hadapan sudut C. Panjangnya berasal dari aturan kosinus, yaitu teorema Pythagoras dengan suku koreksi bagi segitiga yang tidak siku-siku: ketika C sama dengan 90 derajat kosinusnya 0 dan suku itu hilang, sehingga yang tersisa a² + b² = c². Inilah jawaban utama di halaman ini, karena semua bacaan lain bergantung padanya

A, B

Kedua sudut yang tidak Anda berikan, dalam derajat. Masing-masing berasal dari aturan kosinus yang diterapkan sekali lagi pada segitiga yang kini seluruh sisinya diketahui, dengan sisi ketiganya dipakai sebelum dibulatkan, dan keduanya lalu berjumlah 180 bersama C sampai angka desimal terakhir. Segitiga yang hampir siku-siku masih bisa keluar tepat 90 setelah ketiga sudutnya dibulatkan ke dua angka desimal dan dilaporkan sebagai segitiga siku-siku — klasifikasinya dibuat dari angka yang dicetak halaman ini, bukan dari angka yang ada di belakangnya

½ × a × b × sin C

Luasnya dalam sentimeter persegi: setengah hasil kali kedua sisi yang diketahui dengan sinus sudut apitnya. Inilah rumus luas yang disusutkan ke kasus ketika sudutnya diketahui, karena tinggi yang sebaliknya harus Anda cari sama dengan b × sin C — dan itulah sebabnya 3 dan 4 yang sama memberi luas 6 pada sudut siku-siku tetapi hanya 5,1962 pada 60 derajat, dengan kedua sisinya tidak berubah

A + B + C = 180°

Jumlah ketiga sudut, dan inilah yang memungkinkan adanya klasifikasi: karena ketiga sudutnya diketahui, sudut yang terbesar menentukan apakah segitiganya lancip, siku-siku, atau tumpul, dan sudut terbesar selalu terletak di hadapan sisi terpanjang. Klasifikasi itu membaca kedua sudut yang dicetak halaman ini dan mengambil sudut ketiga sebagai 180 dikurangi keduanya, sehingga lencananya menilai angka yang ada di layar — pembulatannya sekalian — dan tidak mungkin berselisih dengan angka itu karena soal pembulatan

Pakailah halaman ini bila yang Anda punya adalah dua sisi dan sudut apit di antara keduanya, dan itulah kasus yang lazim untuk apa pun yang diukur atau ditentukan di tempat: dua tepi sebidang lahan beserta sudut di antara keduanya, dua batang penyangga yang bertemu pada sudut yang diketahui, usuk atap yang dijelaskan lewat panjang datar dan kemiringannya, sepotong kain yang dipotong dari sudut. Halaman ini juga tepat ketika yang Anda tanyakan adalah bentuk segitiganya dan bukan ukurannya — apakah sebuah sudut benar-benar siku, apakah sebuah segitiga lancip, apakah tiga sisi tertentu bisa membentuk segitiga tumpul sama sekali. Karena halaman ini mencetak jenisnya, halaman ini sekaligus menjawab pemeriksaan yang dilakukan tukang kayu dengan segitiga 3-4-5: masukkan sisi 3 dan 4 dengan sudut 90 dan jawabannya keluar siku-siku; masukkan sisi yang sama dengan sudut 92 dan jawabannya keluar tumpul, dengan sisi ketiga yang sudah terlalu panjang untuk sudut siku-siku. Pakailah kalkulator rumus Heron bila Anda punya tiga sisi tanpa sudut, yaitu keadaan sebaliknya. Pakailah kalkulator luas segitiga bila Anda punya alas dan tinggi tegak lurus, karena halaman itu tidak memerlukan trigonometri. Pakailah kalkulator teorema Pythagoras bila sudutnya sudah diketahui siku-siku dan Anda ingin jalan polos a² + b² = c², atau bila segitiganya siku-siku dan yang Anda punya adalah satu sisi beserta sisi miringnya. Dan pakailah halaman segitiga sama sisi atau sama kaki bila segitiganya bersimetri khusus, karena halaman-halaman itu menerima lebih sedikit angka dan memberikan sudutnya tanpa bertanya.

1. Sisi 3 dan 4 pada sudut siku-siku

   1. Kosinus 90° adalah 0, sehingga suku koreksinya hilang: c = √(3² + 4²) = √25 = 5
   2. Luas: ½ × 3 × 4 × sin 90° = ½ × 12 × 1 = 6
   3. Keliling: 3 + 4 + 5 = 12
   4. Sudut A, di hadapan sisi 3: cos A = (4² + 5² − 3²) ÷ (2 × 4 × 5) = 32 ÷ 40 = 0,8, sehingga A = 36,87°
   5. Sudut B: 180 − 90 − 36,87 = 53,13°
   6. Sudut terbesarnya 90°, sehingga halaman ini melaporkan segitiga siku-siku

   Segitiga 3-4-5, dan baris yang membuat klasifikasinya berguna: halaman ini mengenali sudut siku-sikunya dan mengatakannya, alih-alih membiarkan Anda memeriksanya sendiri. Kedua sudut 36,87 dan 53,13 adalah pasangan yang muncul di setiap segitiga 3-4-5 dan, di ujung lain hitungan yang sama, pada belah ketupat yang diagonalnya 6 dan 8. Baris ini juga peragaan paling jelas bahwa aturan kosinus memuat teorema Pythagoras: pada 90 derajat suku koreksinya nol dan kedua rumus itu menjadi kalimat yang sama.

2. Sisi 5 dan 5 pada 60 derajat

   1. Kosinus 60° adalah 0,5: c = √(25 + 25 − 2 × 5 × 5 × 0,5) = √(50 − 25) = √25 = 5
   2. Sisi ketiganya keluar sama dengan kedua sisi yang Anda berikan, sehingga ketiga sisinya 5
   3. Luas: ½ × 5 × 5 × sin 60° = 12,5 × 0,866025… = 10,8253
   4. Keliling: 5 + 5 + 5 = 15
   5. Tiga sisi yang sama panjang menyisakan tiga sudut yang sama besar: (180 − 60) ÷ 2 = 60, sehingga halaman ini mencetak 60 untuk kedua sudut yang tersisa
   6. Sudut terbesarnya 60°, sehingga halaman ini melaporkan segitiga lancip

   Dua sisi yang sama panjang dengan sudut 60 derajat adalah satu-satunya kasus ketika sisi ketiga terpaksa menyamai keduanya, dan segitiganya keluar sama sisi — 60 derajat adalah sudut ketika alas sebuah segitiga sama kaki menjadi tepat sepanjang kedua sisi yang sama itu. Kalkulator segitiga sama sisi di subkategori ini mengerjakan bangun yang sama dari satu sisi saja, karena dengan ketiga sisinya sama panjang tidak ada lagi yang perlu dikatakan; yang menarik dari mengerjakannya di sini adalah menyaksikan sisi ketiganya mendarat di 5 alih-alih diberi tahu bahwa memang begitu. Luas 10,8253 adalah angka yang sama yang muncul pada belah ketupat bersisi 5 dengan sudut 60, dan itu bukan kebetulan: belah ketupat itu adalah dua segitiga ini, dan 2 × 10,8253 adalah luasnya, 21,6506 sentimeter persegi.

3. Sisi 7 dan 8 pada 60 derajat

   1. Kosinus 60° adalah 0,5: c = √(49 + 64 − 2 × 7 × 8 × 0,5) = √(113 − 56) = √57 = 7,549834… → 7,5498
   2. Luas: ½ × 7 × 8 × sin 60° = 28 × 0,866025… = 24,2487
   3. Keliling: 7 + 8 + 7,5498 = 22,5498
   4. Sudut A, di hadapan sisi 7: cos A = (64 + 57 − 49) ÷ (2 × 8 × 7,5498) = 72 ÷ 120,797 = 0,596, sehingga A = 53,41°
   5. Sudut B: 180 − 60 − 53,41 = 66,59°
   6. Sudut terbesarnya 66,59°, sehingga halaman ini melaporkan segitiga lancip

   Kasus yang biasa, dan yang paling layak dibaca bila Anda ingin melihat apa yang dilakukan halaman ini ketika tidak ada yang istimewa: dua sisi yang panjangnya berbeda, sudut 60 derajat, dan tiga jawaban yang bukan bilangan bulat. Sisi ketiga 7,5498 lebih panjang dari 7 dan lebih pendek dari 8, dan itulah satu-satunya hal yang bisa Anda katakan sebelumnya — sisi di hadapan sudut 60 derajat terletak di antara kedua sisi yang mengapitnya, dan kedua sudut yang tidak Anda berikan membagi sisa 120 derajat sebanding dengan sisi di hadapannya masing-masing: sisi yang lebih pendek, 7, mendapat bagian yang lebih kecil, 53,41 berbanding 66,59. Luas 24,2487 hampir sama dengan 24 sentimeter persegi yang dicapai halaman trapesium dari empat sisi yang lain, tetapi tidak sama, dan hampir-sama itu mengingatkan bahwa bilangan bulat datang dari masukannya, bukan dari rumusnya.

4. Sisi 10 dan 10 pada 120 derajat

   1. Kosinus 120° adalah −0,5: c = √(100 + 100 − 2 × 10 × 10 × (−0,5)) = √(100 + 100 + 100) = √300 = 17,320508… → 17,3205
   2. Luas: ½ × 10 × 10 × sin 120° = 50 × 0,866025… = 43,3013
   3. Keliling: 10 + 10 + 17,3205 = 37,3205
   4. Kedua sisi yang sama panjang menyisakan dua sudut yang sama besar: (180 − 120) ÷ 2 = 30 untuk masing-masing
   5. Sudut terbesarnya 120°, sehingga halaman ini melaporkan segitiga tumpul

   Segitiga tumpul, dan kasus ketika suku koreksi di aturan kosinus bertambah besar alih-alih menyusut: kosinus 120 derajat bernilai negatif, sehingga menguranginya justru menambah jumlahnya dan sisi ketiganya keluar lebih panjang daripada kedua sisi yang Anda berikan — 17,3205 berbanding 10. Itulah tanda sudut di atas 90 derajat, dan tepat itulah yang dibaca oleh klasifikasinya. Luasnya, 43,3013, lebih kecil daripada 50 sentimeter persegi yang dicakup kedua sisi yang sama pada sudut siku-siku, jadi melebarkan sudut melewati 90 derajat membeli panjang pada sisi di hadapannya dengan mengorbankan luas — pertukaran yang sama yang dilakukan halaman belah ketupat ketika dimiringkan, dan alasan halaman ini melaporkan jenisnya alih-alih membiarkan Anda menyimpulkannya sendiri dari angkanya.

Halaman ini menyelesaikan satu segitiga dari dua sisi dan sudut apit di antara keduanya, dan tidak menyelesaikan satu pun dari lima gabungan tiga bagian yang lain. Berikan tiga sisi dan tidak ada yang bisa diolah halaman ini; kalkulator rumus Heron menerima ketiganya dan memberi luasnya, sedangkan sudutnya harus dicari lewat langkah kedua yang tidak dikerjakan halaman ini. Berikan dua sudut dan sebuah sisi dan halaman ini juga tidak menolong, walaupun di dalam ia menghitung tepat hal itu. Halaman ini tidak bekerja mundur: tidak ada jalan dari sebuah luas atau keliling menuju segitiga yang menghasilkannya, dan segitiga dengan luas tertentu memiliki bentuk yang tak terhingga banyaknya. Keluarannya dalam sentimeter dan sentimeter persegi apa pun satuan yang dipakai saat memasukkan, dan kedua sudutnya selalu dicetak dalam derajat meskipun Anda mengetik radian atau gradian — pemilih satuan mengubah cara sudut Anda dibaca, bukan cara jawabannya ditulis. Pemilih itu juga satu-satunya jebakan yang layak disebut namanya: 60 radian bukan 60 derajat, dan halaman ini akan menghitung segitiganya menurut satuan yang sedang dipilih alih-alih melaporkan bahwa angkanya jauh terlalu besar untuk sebuah sudut. Kedua sisinya harus lebih besar dari nol, sehingga segitiga bersisi nol ditolak; tetapi sudut tepat 0 atau 180 derajat diterima dan menghasilkan segitiga rata dengan sudut 0, 180, dan 0, yang diklasifikasikan halaman ini sebagai tumpul — konsisten secara aritmetika dan hampir tidak pernah yang diinginkan orang, dan halaman ini tidak memperingatkan bahwa bangunnya sudah runtuh. Segitiga dengan dua sisi sama panjang dan sudut 0 derajat ditolak alih-alih dijawab, karena sisi ketiganya akan bernilai nol dan tidak ada segitiga yang tersisa. Jenis yang dicetak di bawah jawabannya ditentukan dari ketiga sudut sebagaimana tercetak, dibulatkan ke dua angka desimal, sehingga segitiga dengan sudut terbesar 89,999 derajat dilaporkan sebagai siku-siku — pembacaan yang jujur atas angka yang ada di layar, sekaligus pengingat bahwa klasifikasi ini seteliti tampilannya dan tidak lebih. Halaman ini tidak memeriksa apakah ketiga angka Anda benar-benar menggambarkan sebuah segitiga, di luar rentang sudutnya, karena dua sisi positif dan sudut apa pun yang berada di rentang itu selalu menggambarkannya. Empat angka desimal pada panjang dan dua pada sudut adalah lebar tampilan yang dipakai bersama sisa subkategori ini, bukan klaim tentang ketelitian. Tidak ada di sini yang memperhitungkan bahan terbuang atau lebar potongan.

Bagaimana mencari sisi ketiga segitiga dari dua sisi dan sebuah sudut?

Pakai aturan kosinus: sisi ketiganya adalah akar dari a² + b² − 2ab × cos C, dengan C adalah sudut apit antara kedua sisi yang Anda ketahui. Untuk sisi 3 dan 4 dengan sudut siku-siku di antaranya, kosinusnya 0 dan jawabannya √25 = 5. Pada 60 derajat kosinusnya 0,5, suku koreksinya 12, dan sisi ketiganya √13, yaitu sekitar 3,6056 — jauh lebih pendek, dari kedua sisi yang sama.

Bagaimana halaman ini memutuskan segitiganya lancip, siku-siku, atau tumpul?

Dari sudut terbesar di antara ketiga sudutnya. Di bawah 90 derajat segitiganya lancip, tepat 90 derajat segitiganya siku-siku, dan di atas 90 derajat segitiganya tumpul. Sudut terbesar selalu terletak di hadapan sisi terpanjang, sehingga pemeriksaan yang sama bisa dijalankan pada sisinya: kuadratkan kedua sisi yang lebih pendek lalu bandingkan jumlahnya dengan kuadrat sisi terpanjang — sama berarti siku-siku, lebih besar berarti lancip, lebih kecil berarti tumpul. Sisi 5, 5, dan 8,6603 memberi sudut 120 derajat dan segitiga tumpul.

Mengapa dua sisi dan sudut apitnya sudah menentukan seluruh segitiganya?

Karena kedua sisinya bebas membuka seperti sepasang jangka, dan sudutnya yang memastikan seberapa lebar keduanya membuka. Begitu sudutnya ditetapkan, kedua ujung yang bebas itu hanya punya satu kemungkinan jarak, sehingga sisi ketiganya pasti, dan dengan ketiga sisi yang pasti sudutnya juga pasti. Itulah sebabnya dua sisi saja tidak cukup — 3 dan 4 bisa mencakup apa pun dari hampir 0 sampai 6 sentimeter persegi, dan yang terbesar terjadi pada sudut siku-siku — dan itulah sebabnya tiga sudut saja juga tidak cukup, karena ketiganya memastikan bentuknya tetapi tidak ukurannya.

Rumus luas apa yang dipakai di sini?

Setengah hasil kali kedua sisi yang diketahui dengan sinus sudut apitnya: L = ½ × a × b × sin C. Itulah rumus setengah alas kali tinggi yang biasa dengan tingginya digantikan, karena tinggi di atas salah satu sisinya sama dengan sisi yang lain dikali sinus sudut apitnya. Sisi 3 dan 4 pada sudut siku-siku memberi ½ × 12 × 1 = 6 sentimeter persegi; kedua sisi yang sama pada 60 derajat memberi 5,1962, karena sinus 60 adalah 0,866.

Apa yang terjadi bila sudutnya 0 atau 180 derajat?

Segitiganya runtuh menjadi garis dan halaman ini tetap menjawab: dengan sudut 0 di antara sisi 3 dan 4, sisi ketiganya 1, satu sudutnya 180 derajat dan dua lainnya 0. Klasifikasinya keluar tumpul, dan itu konsisten dengan aturan bahwa apa pun di atas 90 derajat adalah tumpul, walaupun segitiga yang tergeletak rata adalah kasus merosot dan bukan bangun yang sesungguhnya. Satu-satunya gabungan yang ditolak mentah-mentah adalah dua sisi sama panjang dengan sudut 0, ketika sisi ketiganya akan bernilai nol dan tidak ada apa pun yang tersisa.

Bolehkah saya memakai halaman ini untuk segitiga siku-siku?

Boleh, dan halaman ini akan mengatakannya: masukkan 3 dan 4 dengan sudut 90 dan jenisnya keluar siku-siku. Hitungannya menyusut dengan rapi, karena kosinus 90 derajat adalah 0 dan aturan kosinusnya runtuh menjadi a² + b² = c². Bila setiap segitiga yang Anda selesaikan adalah segitiga siku-siku, kalkulator teorema Pythagoras di subkategori ini menerima kedua sisinya secara langsung dan melewati trigonometrinya — tetapi halaman ini yang dipakai ketika Anda tidak yakin sudutnya benar-benar siku.

• Triangle — the three-sided figure this page solves, including the angle sum, the classification into acute, right and obtuse, and the relation between the largest angle and the longest side — Wolfram MathWorld (United States)
• Acute Triangle — the case where all three angles are below a right angle, which is the first of the three grades this page reports — Wolfram MathWorld (United States)
• Obtuse Triangle — the case where one angle is above a right angle, where the correction term in the law of cosines is negative and the third side comes out longer than either of the sides given — Wolfram MathWorld (United States)