Kalkulator Rumus Heron

s = (a + b + c) ÷ 2 A = √(s(s − a)(s − b)(s − c)) P = a + b + c

Sisi a

Sisi pertama dari ketiga panjang sisi, dalam sentimeter. Ketiga kotaknya bisa ditukar — menukar mana yang Anda sebut a dan mana yang Anda sebut b tidak mengubah hasilnya — jadi isikan sesuai urutan Anda mengukurnya

Sisi b

Sisi kedua, dalam sentimeter. Bersama dua sisi lainnya ia harus memenuhi ketidaksamaan segitiga: setiap sisi harus lebih pendek daripada jumlah dua sisi lainnya, kalau tidak ketiga panjang itu tidak bisa bertemu membentuk segitiga sama sekali

Sisi c

Sisi ketiga, dalam sentimeter. Ada gunanya menaruh sisi terpanjang di kotak mana pun lalu membaca setengah kelilingnya: setengah keliling harus lebih besar darinya, dan satu perbandingan itu lebih cepat daripada menghitung ulang ketiga penjumlahan

Setengah keliling

Setengah dari jarak mengelilingi segitiga, dalam sentimeter: ketiga sisi dijumlah lalu dibagi dua. Ia dicetak sebagai jawaban, bukan disimpan sebagai langkah kerja, karena ia besaran yang memberi nama rumus ini dan karena ia sekaligus berfungsi sebagai pemeriksa apakah ketiga sisi bisa bertemu

Luas

Ruang yang ditutup segitiga, dalam sentimeter persegi, dari akar kuadrat setengah keliling dikali ketiga selisih antara dirinya dan setiap sisi. Ini satu-satunya keluaran yang membutuhkan ketiga masukan: keliling hanya menjumlahkannya dan setengah keliling hanya membagi duanya

Keliling

Jarak mengelilingi seluruh segitiga, dalam sentimeter: ketiga sisi dijumlahkan. Ia ada di sini karena keduanya mudah tertukar ketika yang satu menjadi langkah di dalam yang lain, dan karena keliling adalah besaran yang Anda pakai untuk membeli lis, karet, atau bingkai

√

Akar kuadrat, dikenakan pada hasil kali keempat faktor. Hampir setiap segitiga memberi luas berupa bilangan irasional, jadi tiga panjang sisi yang menghasilkan bilangan bulat — 3, 4, dan 5 yang memberi 6, misalnya — adalah pengecualian yang layak diperhatikan, bukan aturannya

Pakai halaman ini setiap kali yang Anda punya adalah ketiga sisi dan bukan tingginya, dan dalam praktik itu justru keadaan yang paling sering. Tanah adalah contoh klasiknya: sebidang lahan dengan batas lurus diukur dengan merantai sisinya, dan luasnya langsung mengikuti dari situ — pecah lahan yang tidak beraturan menjadi beberapa segitiga, ukur ketiga sisi tiap segitiga, lalu jumlahkan hasilnya. Tiga sisi juga yang Anda dapat saat memeriksa pekerjaan orang lain, atau saat hanya ada gambar berskala dan bukan bangunannya. Sebaliknya, kalau Anda sudah punya alas dan tinggi, halaman luas segitiga yang Anda cari; halaman ini tidak lebih buruk, hanya menuntut masukan yang berbeda. Selalu isikan ketiga sisi dalam satuan yang sama: mencampur sentimeter dengan inci menghasilkan angka yang lolos dari penjaga tapi salah sebagai luas.

1. Sisi 3, 4, dan 5

   1. Keliling: 3 + 4 + 5 = 12
   2. Setengah keliling: 12 ÷ 2 = 6
   3. Ketiga selisihnya: 6 − 3 = 3, 6 − 4 = 2, 6 − 5 = 1
   4. Luas: √(6 × 3 × 2 × 1) = √36 = 6

   Segitiga 3-4-5, segitiga yang dipakai memasang siku pada hampir setiap pekerjaan bangunan, dan contoh paling jelas yang hasilnya bilangan bulat. Ia juga titik temu antara halaman ini dan halaman luas segitiga: alas 3 dengan tinggi 4 memberi 6 di sana, dan ketiga sisinya memberi 6 di sini. Segitiga yang sama, dua set masukan, satu luas. Akar yang keluar tepat habis adalah sifat tiga bilangan ini, bukan sifat rumusnya — hampir semua tiga sisi lain meninggalkan bilangan irasional.

2. Sisi 6, 5, dan 5

   1. Keliling: 6 + 5 + 5 = 16
   2. Setengah keliling: 16 ÷ 2 = 8
   3. Ketiga selisihnya: 8 − 6 = 2, 8 − 5 = 3, 8 − 5 = 3
   4. Luas: √(8 × 2 × 3 × 3) = √144 = 12

   Segitiga sama kaki dengan alas 6 dan dua sisi 5 — persis bentuk yang dimuat halaman segitiga sama kaki di sebelah, dan hasilnya pun sama: luas 12 dan keliling 16. Inilah pemeriksaan silang kedua di halaman ini: halaman sebelah sampai ke luasnya dari alas dan sisi tegak, halaman ini dari ketiga sisinya, dan keduanya bertemu di angka yang sama. Perhatikan juga bahwa setengah keliling 8 masih lapang di atas sisi terpanjang 6, dan itulah tanda ketiga panjang ini memang bisa bertemu.

3. Sisi 6, 6, dan 6

   1. Keliling: 6 + 6 + 6 = 18
   2. Setengah keliling: 18 ÷ 2 = 9
   3. Ketiga selisihnya: 9 − 6 = 3, ketiganya sama
   4. Luas: √(9 × 3 × 3 × 3) = √243 = 15,588457…, dibulatkan ke 15,5885

   Kasus sama sisi, dan jalan ketiga menuju angka 15,5885: halaman segitiga sama sisi mendapatkannya dari satu sisi 6, halaman segitiga sama kaki dari alas 6 dengan kaki 6, dan halaman ini dari tiga sisi 6. Tiga halaman, tiga cara menyebut segitiga yang sama, satu luas. √243 sama dengan 9√3, dan di situlah akar tiga yang dibawa halaman segitiga sama sisi sebagai konstanta muncul lagi di sini.

4. Sisi 5, 12, dan 13

   1. Keliling: 5 + 12 + 13 = 30
   2. Setengah keliling: 30 ÷ 2 = 15
   3. Ketiga selisihnya: 15 − 5 = 10, 15 − 12 = 3, 15 − 13 = 2
   4. Luas: √(15 × 10 × 3 × 2) = √900 = 30

   Baris yang paling menarik dilihat: luasnya 30 dan kelilingnya 30. Keduanya bukan besaran yang sama dan satuannya pun berbeda — yang satu sentimeter persegi, yang lain sentimeter — kebetulan saja segitiga ini memberi angka yang sama dua kali. 5-12-13 adalah tripel Pythagoras, jadi segitiganya siku-siku, dan segitiga siku-siku memang paling sering mendarat di bilangan bulat karena kuadrat sisi-sisinya juga bilangan bulat.

5. Sisi 9, 10, dan 17

   1. Keliling: 9 + 10 + 17 = 36
   2. Setengah keliling: 36 ÷ 2 = 18
   3. Ketiga selisihnya: 18 − 9 = 9, 18 − 10 = 8, 18 − 17 = 1
   4. Luas: √(18 × 9 × 8 × 1) = √1.296 = 36

   Baris kedua yang luas dan kelilingnya tercetak sama, dan yang ini bukan segitiga siku-siku: 9 kuadrat ditambah 10 kuadrat adalah 181, sedangkan 17 kuadrat adalah 289. Jadi kesamaan 36 dan 36 di sini tidak datang dari sudut siku, dan justru itu yang membuatnya layak ditunjuk. Dua baris dalam satu tabel yang melakukannya adalah tepat alasan baris pertama tadi terlihat seperti aturan, dan baris ini buktinya bahwa ia bukan aturan.

6. Sisi 1, 1, dan 2

   1. Keliling: 1 + 1 + 2 = 4
   2. Setengah keliling: 4 ÷ 2 = 2
   3. Ketiga selisihnya: 2 − 1 = 1, 2 − 1 = 1, 2 − 2 = 0
   4. Luas: √(2 × 1 × 1 × 0) = √0 = 0

   Kasus batas yang tepat, dan ia diloloskan, bukan ditolak: 1 ditambah 1 tepat sama dengan 2, jadi segitiganya sudah rata menjadi garis lurus dengan kedua sisi pendeknya bersambung ujung ke ujung. Luasnya benar-benar nol dan kelilingnya benar-benar 4, jadi jawaban nol di sini adalah jawaban yang benar, bukan tanda kegagalan. Geser sisi ketiganya ke 2,1 dan halaman ini menolak, karena kedua sisi pendeknya tidak akan bisa saling mencapai dan segitiganya tidak ada.

Ketiga angkanya harus bisa membentuk segitiga: setiap sisi lebih pendek daripada jumlah dua sisi lainnya. Kalau tidak, halaman ini berhenti dan mengatakannya, bukan mengembalikan angka, karena rumusnya akan menuntut akar kuadrat dari bilangan negatif. Kasus tepat ketika sisi terpanjang sama dengan jumlah dua sisi lainnya diloloskan dan memberi luas nol, dan itu jawaban yang jujur untuk segitiga yang sudah rata menjadi garis. Pilihannya tiga sisi, bukan alas dan tinggi, jadi gambar yang hanya mencantumkan alas dan tinggi harus diubah dulu dengan Pythagoras pada separuh alasnya. Keluarannya selalu dalam sentimeter dan sentimeter persegi, apa pun pilihan pada menu satuan: sisi yang diisikan dalam inci atau kaki tetap kembali sebagai angka sentimeter, dan Anda sendiri yang harus mengubahnya. Empat angka desimal adalah lebar tampilan, bukan klaim tentang ketelitian: dengan tiga sisi hasil pengukuran, galat setiap sisi ikut masuk ke luasnya, dan segitiga yang diukur sampai milimeter terdekat bisa saja luasnya sudah tidak pasti pada angka desimal ketiga — jadi angka terakhir yang tercetak jangan dibaca sebagai batas ketelitian. Rumusnya sendiri tepat untuk semua segitiga, tetapi ia tidak memberi tahu Anda mana sudut yang tumpul atau sisi mana yang terpanjang; yang terakhir itu bisa Anda periksa sendiri dari setengah keliling.

Kenapa memakai halaman ini daripada setengah kali alas kali tinggi?

Karena tinggi sulit diukur dan ketiga sisi mudah. Tinggi adalah garis tegak lurus dari sebuah sudut ke sisi di depannya, jadi mengukurnya berarti menyandarkan siku pada segitiga dan mencari titik jatuhnya di sisi seberang; pada segitiga yang digambar di kertas atau dipatok di tanah, itu pekerjaan yang mudah salah. Meteran yang ditarik dari sudut ke sudut hanya memberi sisi, bukan tinggi, dan rumus ini memang dibuat untuk keadaan tersebut: dengan ketiga sisi saja, luasnya keluar.

Apa itu setengah keliling dan kenapa ditampilkan?

Setengah keliling adalah keliling dibagi dua, yaitu jumlah ketiga sisi dibagi dua, dan ia ditampilkan karena rumus ini ditulis mengelilinginya: luas adalah akar dari s kali s kurang a kali s kurang b kali s kurang c. Ia juga berguna sebagai pemeriksa cepat — setengah keliling harus lebih besar daripada sisi terpanjang, dan kalau tidak, ketiga panjang yang Anda isikan tidak bisa membentuk segitiga.

Apa yang terjadi kalau ketiga sisinya tidak bisa membentuk segitiga?

Halaman ini berhenti dan memberi tahu Anda, bukan mengembalikan angka. Tiga panjang hanya bisa bertemu kalau masing-masing lebih pendek daripada jumlah dua lainnya; kalau tidak, salah satu faktor di dalam akar menjadi negatif, dan akar dari bilangan negatif bukan luas. Kasus batas ketika sisi terpanjang tepat sama dengan jumlah dua sisi lainnya tetap diloloskan, karena di situ segitiganya rata menjadi garis dan luasnya nol — jawaban yang sah, bukan galat.

Dari mana nama rumus ini berasal?

Dari Heron dari Aleksandria, yang mencatatnya pada abad pertama, sehingga ia termasuk hasil matematika tertua yang masih dipakai sehari-hari. Rumus ini ditulis untuk keperluan pengukuran tanah, tempat yang tersedia justru ketiga sisi bidang, dan sejak itu ia bertahan karena tidak menuntut apa pun selain panjang sisi. Di banyak buku ia juga disebut rumus Heron dari Aleksandria untuk membedakannya dari tokoh lain bernama sama.

Luas dan keliling kadang keluar sebagai angka yang sama. Itu suatu aturan?

Bukan, dan tabel di bawah menunjukkan alasannya. Segitiga 5-12-13 punya luas 30 dan keliling 30, begitu juga segitiga 9-10-17 dengan 36 dan 36 — tetapi keduanya besaran yang berbeda, satu sentimeter persegi dan satu sentimeter, dan kebetulan angkanya sama. Yang membuat kebetulan itu mudah disalahpahami adalah karena ia muncul dua kali di satu tabel; segitiga 9-10-17 yang bukan siku-siku adalah buktinya bahwa ini bukan aturan.

Seberapa teliti luasnya kalau sisinya saya ukur dengan meteran?

Tidak seteliti empat angka desimal yang tercetak, dan galatnya membesar pada segitiga yang tipis. Setiap sisi yang diukur membawa ketidakpastiannya sendiri ke keempat faktor, dan pada segitiga yang sangat rata — misalnya 1, 1, dan 1,9 — selisih kecil pada salah satu sisi mengubah luasnya cukup banyak. Empat angka desimal itu lebar tampilan, bukan janji presisi; kalau sisi Anda diukur sampai milimeter, anggap angka desimal ketiga sebagai batas yang masuk akal.

• Heron's formula — the area of a triangle from its three side lengths by way of the semiperimeter, which is the whole of what this page computes, including the proof and the note on the degenerate case — Wolfram MathWorld (United States)
• Triangle — the general case, with the triangle inequality that decides whether three lengths can close, and the base-and-height area formula that the triangle area page beside this one uses — Wolfram MathWorld (United States)
• Semiperimeter — the half-sum of the sides that Heron's formula is written around, and which doubles as the cheapest test of whether three lengths form a triangle at all — Wolfram MathWorld (United States)