Kalkulator Penyebut Bersama

3/4, 5/6, 7/10 ⇒ lcd = kpk(4, 6, 10) = 60 ⇒ 45/60, 50/60, 42/60

3/4, 5/6, 7/10

Pecahan yang akan diolah, dua sampai sepuluh buah, masing-masing ditulis sebagai pembilang/penyebut dengan kedua bagiannya bilangan bulat dari 1 sampai 1.000.000, dipisahkan spasi, koma, atau titik koma. Bilangan bulat seperti 2 diterima dan dibaca sebagai 2/1. Setiap pecahan disederhanakan lebih dulu sebelum penyebutnya dipakai, dan itulah langkah yang menjaga jawabannya tidak keluar terlalu besar

4, 6, 10

Penyebut setelah disederhanakan. Menyederhanakan lebih dulu itulah yang membuat penyebutnya menjadi 4, 6, dan 10 dan bukan bilangan yang lebih besar — 6/8 akan menyumbang 8 kalau ia tidak disederhanakan menjadi 3/4. Setelah titik ini semuanya hanya bekerja pada bilangan-bilangan tersebut; pembilangnya sama sekali tidak memengaruhi jawaban

lcd = kpk(4, 6, 10)

Seluruh perhitungannya dalam satu baris: penyebut persekutuan terkecil adalah kelipatan persekutuan terkecil dari penyebut-penyebut yang sudah disederhanakan. Angka 4 adalah 2², 6 adalah 2 × 3, dan 10 adalah 2 × 5, jadi faktor prima yang dibutuhkan adalah 2², 3, dan 5, sehingga hasilnya 4 × 3 × 5 = 60. Kalau pecahannya lebih dari dua, kelipatannya dilipat dua-dua: 4 dan 6 memberi 12, lalu 12 dan 10 memberi 60

60

Jawabannya. Setiap penyebut yang sudah disederhanakan membagi habis bilangan ini, dan tidak ada bilangan yang lebih kecil yang bisa melakukannya — itulah yang membuatnya menjadi yang terkecil dan bukan sekadar penyebut bersama

n × (60 ÷ d)

Cara setiap pecahan ditulis ulang: kalikan pembilangnya dengan jawaban dibagi penyebut pecahan itu sendiri. Untuk 3/4 hasilnya 3 × 15 = 45, sehingga 3/4 menjadi 45/60. Nilai pecahannya tidak berubah — pembilang dan penyebutnya dikalikan dengan bilangan yang sama, dan itulah arti pecahan senilai

45/60, 50/60, 42/60

Pecahan yang sudah ditulis ulang, semuanya di atas penyebut bersama. Bilangan bulat pada masukan muncul di sini dengan penyebutnya masih menempel dan tidak dikembalikan ke bentuk bulat: 2 kembali sebagai 4/2 ketika jawabannya 2, karena satu baris yang dicetak sebagai bilangan bulat telanjang di kolom ini akan terbaca sebagai baris yang dilewati

Menjumlahkan pecahan berpenyebut berbeda dimulai dari sini: 3/4 dan 5/6 belum bisa digabungkan sebelum keduanya berada di atas 12, dan penyebut persekutuan terkecil adalah baris pertama dari pekerjaan itu. Membandingkan pecahan memerlukan langkah yang sama — Anda tidak bisa memastikan apakah 5/6 lebih besar daripada 7/10 hanya dengan melihatnya, tetapi 50/60 melawan 42/60 langsung menyelesaikannya, karena penyebutnya sudah sama dan tinggal pembilangnya yang perlu dibaca. Pengurangan menuntut hal yang sama. Di luar pelajaran aritmetika, setiap kali kuantitas dicatat dalam satuan pecahan yang berbeda, penyebut bersama itulah yang membuatnya bisa dijumlahkan. Tabel di bawah adalah cara mengerjakannya dengan tangan: kelipatan setiap penyebut yang sudah disederhanakan, dan bilangan pertama yang muncul di setiap kolom. Dua jalan pintas menghemat sebagian besar pekerjaannya, dan keduanya sering berguna: penyebut yang merupakan kelipatan penyebut lain boleh diabaikan, dan penyebut yang tidak berbagi faktor prima sama sekali — 6 dan 5, misalnya — cukup dikalikan untuk langsung memberi jawabannya. Ketika sebuah pecahan belum berbentuk paling sederhana, penyederhanaannya bukan pilihan, dan lebih baik dikerjakan pertama daripada terakhir, karena langkah itulah satu-satunya yang kalau dilewatkan menghasilkan jawaban yang terlihat sepenuhnya masuk akal.

1. Tiga pecahan: 3/4, 5/6, dan 7/10

   1. Ketiganya sudah berbentuk paling sederhana, jadi penyebut yang harus digabungkan adalah 4, 6, dan 10
   2. Kelipatan 4: 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28; 32; 36; 40; 44; 48; 52; 56; 60
   3. Kelipatan 6: 6; 12; 18; 24; 30; 36; 42; 48; 54; 60
   4. Kelipatan 10: 10; 20; 30; 40; 50; 60
   5. Bilangan pertama yang muncul di ketiga daftar itu adalah 60, jadi penyebut persekutuan terkecilnya 60
   6. 3/4 menjadi 45/60 karena 60 ÷ 4 = 15 dan 3 × 15 = 45
   7. 5/6 menjadi 50/60 karena 60 ÷ 6 = 10 dan 5 × 10 = 50
   8. 7/10 menjadi 42/60 karena 60 ÷ 10 = 6 dan 7 × 6 = 42

   Masukan bawaan, sekaligus rute yang paling mudah diperiksa dengan tangan. Rute melipat lebih pendek daripada daftarnya: 4 dan 6 memberi 12, lalu 12 dengan 10 memberi 60. Kolom hasil yang ditulis ulang adalah pemeriksaan yang paling berguna, karena masing-masing dari ketiga pecahan baru itu harus bernilai sama dengan pecahan yang digantikannya — 45/60 adalah 3/4, 50/60 adalah 5/6, dan 42/60 adalah 7/10, dan kalau ada satu yang tidak sama, pengalinya hanya dikenakan pada salah satu bagian pecahan itu.

2. Mengapa pecahannya disederhanakan lebih dulu: 6/8 dan 10/12

   1. 6/8 dan 10/12 belum berbentuk paling sederhana
   2. Bagi kedua bagian 6/8 dengan 2: pecahan itu menjadi 3/4, penyebutnya 4
   3. Bagi kedua bagian 10/12 dengan 2: pecahan itu menjadi 5/6, penyebutnya 6
   4. Kelipatan persekutuan terkecil dari 4 dan 6 adalah 12, jadi penyebut persekutuan terkecilnya 12
   5. 3/4 menjadi 9/12 dan 5/6 menjadi 10/12
   6. Membaca penyebut yang belum disederhanakan akan memberi 8 dan 12, dan kelipatan persekutuan terkecil keduanya adalah 24

   Jawaban yang membuat halaman ini ada. Nilai 24 bukan penyebut bersama yang salah — 6/8 dan 10/12 memang bisa keduanya ditulis di atas 24 — ia hanya bukan yang terkecil, dan panel yang menampilkan 24 akan terlihat sepenuhnya normal. Menyederhanakan lebih dulu itulah yang memisahkan keduanya, dan itulah sebabnya kolom masukan menyederhanakan setiap pecahan sebelum penyebutnya dibaca.

3. Bilangan bulat di antara pecahan: 1/2, 2, dan 3

   1. 2 dan 3 dibaca sebagai 2/1 dan 3/1, dengan penyebut 1
   2. Penyebut yang harus digabungkan adalah 2, 1, dan 1
   3. Setiap bilangan bulat adalah kelipatan 1, jadi angka 1 tidak menyumbang apa pun pada jawabannya
   4. Kelipatan persekutuan terkecil dari 2, 1, dan 1 adalah 2
   5. 1/2 tetap 1/2, sedangkan 2 menjadi 4/2 dan 3 menjadi 6/2

   Bentuk 4/2 dan 6/2 disengaja dan bukan kegagalan menyederhanakan. Halaman ini menampilkan kolom pecahan dengan penyebut yang sama, dan setiap baris di kolom itu harus membawa penyebut tersebut; kalau tidak, satu baris yang tercetak sebagai angka 2 telanjang akan terbaca sebagai baris yang dibiarkan apa adanya. Nilainya tetap sama — 4/2 adalah 2 — dan inilah satu-satunya tempat di halaman ini ketika hasil yang terlihat belum disederhanakan memang disengaja.

4. Di dekat batas atas: 1/1000 dan 2/999983

   1. 1.000 adalah 2³ × 5³ dan 999.983 adalah bilangan prima, jadi kedua penyebut itu tidak berbagi faktor prima
   2. Kalau tidak ada yang dibagi bersama, kelipatan persekutuan terkecilnya adalah hasil kalinya: 1.000 × 999.983 = 999.983.000
   3. 1/1000 menjadi 999983/999983000 karena 999.983.000 ÷ 1.000 = 999.983
   4. 2/999983 menjadi 2000/999983000 karena 999.983.000 ÷ 999.983 = 1.000 dan 2 × 1.000 = 2.000

   Dua penyebut yang tidak berbagi faktor prima sama sekali adalah kasus ketika jawabannya menjadi sebesar mungkin untuk sepasang bilangan, dan contoh ini duduk persis di bawah batas tempat halaman ini berhenti. Pembilangnya tetap eksak di sini — 999.983 adalah bilangan enam digit dan masih berada di dalam rentang yang bisa dipegang mesin secara tepat — tetapi pecahan dengan pembilang yang lebih besar akan mendorong hasil kalinya melewati rentang itu, dan itulah sebabnya halaman ini menolak di atas penyebut tertentu daripada mencetak hasil yang sudah dibulatkan. Perhatikan juga bahwa penyebut yang besar bukan berarti bilangan yang rumit: 1.000 punya empat faktor prima sedangkan 999.983 tidak punya sama sekali, dan justru karena itulah hasil kalinya sebesar itu.

Setiap pecahan ditulis sebagai pembilang/penyebut dengan kedua bagiannya bilangan bulat dari 1 sampai 1.000.000, dan jumlahnya harus antara dua dan sepuluh buah. Bilangan desimal ditolak dan tidak dikonversi: 0,75 bukan pecahan yang ditulis sebagai pecahan, dan mengubahnya menjadi 3/4 berarti menebak apa yang dimaksud penulisnya. Tanda minus hanya diterima di depan pembilang — 3/-4 ditolak, karena tanda sebuah pecahan hanya boleh berada di satu tempat dan halaman ini tidak akan memilihkannya untuk Anda. Penyebut nol ditolak, karena tidak ada yang bisa dibagi menjadi nol bagian. Ada satu batas atas, dan batas itu tidak berada pada masukan melainkan pada jawabannya: penyebut persekutuan terkecil harus tetap berada pada atau di bawah 1.000.000.000, dan di atas itu halaman ini menolak daripada mencetak pecahan hasil penulisannya. Alasannya, setiap pembilang hasil penulisan adalah pembilang asli dikalikan jawaban dibagi penyebutnya sendiri, sehingga penyebut bersama yang besar dikalikan pembilang yang besar berhenti bersifat eksak — dan hasil penulisan yang tidak eksak akan terlihat sama saja dengan baris mana pun yang lain. Dua pecahan adalah jumlah minimum, karena satu pecahan tidak punya apa pun untuk dibagi. Pecahan yang diulang di dalam daftar tidak mengubah apa pun, dan penyebut yang merupakan kelipatan penyebut lain hanya berlebihan. Tabel di bawah tetap memakai 1/2, 2/3, dan 3/4 dan tidak mengikuti masukan Anda; panel di atas yang menjawab pecahan Anda, tabel itu memperlihatkan caranya beserta tiga baris hasil penulisannya. Jawabannya eksak dan tidak pernah dibulatkan.

Apa bedanya penyebut bersama dengan penyebut persekutuan terkecil?

Setiap bilangan yang bisa dibagi habis oleh semua penyebut adalah penyebut bersama; yang terkecil adalah bilangan terkecil di antara semuanya. Untuk 4, 6, dan 10, baik 60 maupun 120 adalah penyebut bersama, dan 60 yang terkecil. Hanya yang terkecil yang layak dihitung dengan tangan, karena penyebut yang lebih besar berarti bilangan yang lebih besar pada setiap pecahan hasil penulisan, dan bilangan yang lebih besar adalah tempat kesalahan hitung terjadi. Halaman ini selalu mengembalikan yang terkecil.

Mengapa pecahannya disederhanakan sebelum penyebutnya dibaca?

Karena dua pecahan senilai bisa punya penyebut yang berbeda. 6/8 dan 3/4 sama nilainya, tetapi membangun penyebut bersama dari angka 8 memberi 24 padahal jawaban yang benar adalah 12. Jawaban yang salah itu tidak kelihatan salah — 24 memang penyebut bersama yang sah untuk pecahan-pecahan tersebut — jadi halaman ini menyederhanakan setiap pecahan ke bentuk paling sederhana lebih dulu, dan contoh di atas mengunci kasus itu.

Bagaimana hubungannya dengan KPK?

Keduanya adalah perhitungan yang sama pada masukan yang berbeda. Ambil penyebut dari pecahan-pecahan yang sudah disederhanakan, lalu cari kelipatan persekutuan terkecilnya: itulah penyebut persekutuan terkecilnya. Karena itu halaman ini dan halaman KPK selalu sepakat: 4, 6, dan 10 punya kelipatan persekutuan terkecil 60, dan sekumpulan pecahan dengan penyebut-penyebut itu punya 60 sebagai penyebut persekutuan terkecilnya. Pembilangnya tidak masuk ke dalam jawaban itu sama sekali.

Mengapa bilangan bulat kembali dengan penyebut yang menempel?

Karena bilangan bulat pada masukan dibaca sebagai pecahan berpenyebut 1, sedangkan kolom hasil halaman ini adalah pecahan dengan penyebut yang sama — setiap baris di kolom itu harus membawa penyebut tersebut. Angka 2 menjadi 4/2 ketika jawabannya 2, dan itu nilai yang sama yang ditulis di atas penyebut bersama, bukan kesalahan dalam menyederhanakan. Ini satu-satunya kasus di halaman ini ketika hasil yang terlihat belum disederhanakan memang disengaja.

Berapa jawaban terkecil yang mungkin?

Penyebut terbesar di antara penyebut-penyebut yang sudah disederhanakan, yaitu ketika semua penyebut lain membagi habis bilangan itu. Untuk 1/2, 1/4, dan 3/4 jawabannya 4, karena 2 membagi 4 dan 4 adalah bilangan itu sendiri. Jawabannya tidak mungkin lebih kecil daripada penyebut terbesar, sebab ia harus merupakan kelipatan dari setiap penyebut, dan kelipatan sebuah bilangan tidak pernah lebih kecil daripada bilangan itu.

Bisakah pembilangnya mengubah jawaban?

Tidak. Penyebut persekutuan terkecil dihitung hanya dari penyebutnya, dan 1/4 dengan 3/4 punya jawaban yang sama. Pembilangnya baru muncul pada pecahan hasil penulisan, dan di situ masing-masing dikalikan dengan jawaban dibagi penyebutnya sendiri, sehingga pembilang mengubah apa yang dikatakan setiap baris tetapi tidak pernah mengubah berapa bagian setiap satuannya dipotong.

• Least common denominator — the definition, and the rule that it is the least common multiple of the denominators — Wolfram MathWorld (United States)
• Denominator — the number below the line in a fraction, which is the part a common denominator has to agree on — Wolfram MathWorld (United States)
• Fraction — numerator and denominator, and the rule that multiplying both parts by the same number leaves the value unchanged, which is what makes the rewrite valid — Wolfram MathWorld (United States)