Lewati ke konten utama
CalcMax

Kalkulator Pembagian Bersusun

Rentang: 0 – 1.000.000.000

Rentang: 1 – 1.000.000.000

Hasil

102

Hasil bagi

Sisa
10
Langkah demi langkah
1 / 12 = 0 r 1; 12 / 12 = 1 r 0; 3 / 12 = 0 r 3; 34 / 12 = 2 r 10
Pemeriksaan
12 * 102 + 10 = 1234

Pembagian bersusun adalah cara tertulis untuk membagi satu bilangan bulat dengan bilangan bulat lain ketika hasilnya tidak keluar rata, dan halaman ini mencetak setiap langkahnya. Untuk 1.234 ÷ 12 pengerjaannya empat baris. Bagi 1 dengan 12: terlalu kecil, jadi angka hasil baginya 0 dan sisanya 1. Turunkan angka berikutnya sehingga nilainya menjadi 12, bagi dengan 12: angkanya 1 dan sisanya 0. Turunkan angka 3 sehingga nilainya 3, bagi dengan 12: angkanya 0 dan sisanya 3. Turunkan angka 4 sehingga nilainya 34, bagi dengan 12: angkanya 2 dan sisanya 10. Angka-angka hasil bagi itu berurutan 1, 0, 2 — jadi 1.234 ÷ 12 adalah 102 dengan sisa 10, dan sisa terakhirlah yang bertahan. Setiap baris algoritmanya berbentuk sama: ambil nilai yang sudah tersusun sejauh itu, cari berapa kali pembagi masuk ke dalamnya secara utuh, catat hitungan itu sebagai satu angka jawaban, lalu simpan sisanya untuk digabungkan dengan angka berikutnya. Karena itulah hasil baginya selalu berakhir dengan jumlah angka yang sama dengan bilangan yang dibagi, dan karena itulah angka nol bisa menjadi angka jawaban yang sepenuhnya sah — angka 0 di tengah bilangan 102 sedang melakukan pekerjaan yang nyata. Sisa di halaman ini selalu sisa yang tidak negatif, yaitu kesepakatan ketika 0 adalah nilai terkecil yang bisa diambilnya. Untuk bilangan negatif kedua kesepakatan itu memberi jawaban yang berbeda, dan kasus itu tempatnya di halaman sisa. Keluaran terakhir adalah pemeriksaannya: pembagi dikali hasil bagi ditambah sisa sama dengan bilangan yang dibagi, dan itu bukan perhitungan tambahan melainkan definisi dari apa arti hasil bagi dan sisa. 12 × 102 + 10 adalah 1.234, jadi ketiga bilangan itu saling konsisten. Dua kasus istimewa sering muncul. Bilangan yang dibagi lebih kecil daripada pembaginya memberi hasil bagi 0 dan sisa yang sama dengan bilangan yang dibagi itu sendiri, karena pembaginya tidak masuk bahkan sekali pun. Dan pembagi bernilai 1 memberi hasil bagi yang sama dengan bilangan yang dibagi dengan sisa 0, dengan satu baris untuk setiap angkanya. Angka-angka hasil bagi itu juga tempat asal mula pecahan desimal: ketika pengerjaannya mulai berulang, seperti pada 1 ÷ 7, desimalnya ikut berulang.

5.432 ÷ 17 ditulis terbuka, satu kolom untuk setiap bagian dari sebuah langkah

langkahnilaipembagiangkasisa
151705
2541733
33317116
41621799

Baca melintang sepanjang satu baris dan Anda mendapatkan satu baris pengerjaannya: nilai yang sedang dibagi, pembagi yang menjadi pembandingnya, angka hasil bagi yang dihasilkan, dan apa yang tersisa. Baris pertama adalah 5 terhadap 17, yang berarti 0 kali dengan sisa 5, jadi angkanya 0. Baris berikutnya menurunkan angka 4 sehingga nilainya menjadi 54, dan 54 ÷ 17 adalah 3 dengan sisa 3. Pola yang perlu diperhatikan ada di kolom nilai: setiap isinya adalah sisa sebelumnya dengan satu angka tambahan dari bilangan yang dibagi di belakangnya, dan itulah arti menurunkan sebuah angka, serta itulah satu-satunya hal yang berpindah dari satu baris ke baris berikutnya. Kolom angka berkumpul menjadi jawabannya, 0 3 1 9, yang berarti 319, sedangkan isi terakhir kolom sisa, yaitu 9, adalah sisa dari keseluruhan pembagiannya. Jalankan pemeriksaannya: 17 × 319 + 9 = 5.432. Perhatikan bahwa angka nol di awal kolom angka dibuang dari jawabannya sedangkan angka nol di tengah tidak akan dibuang — angka hasil bagi yang bernilai nol berarti pembaginya tidak masuk ke dalam nilai langkah itu, dan itu adalah keterangan, sedangkan angka nol di depan memang tidak ditulis. Tabel ini tetap memakai 5.432 ÷ 17 dan tidak mengikuti apa yang Anda ketik; panel di atas mengerjakan keempat kolom yang sama untuk bilangan Anda, satu baris untuk setiap angka.

Rumus

1.234 ÷ 12 → 1/12 = 0 sisa 1; 12/12 = 1 sisa 0; 3/12 = 0 sisa 3; 34/12 = 2 sisa 10 ⇒ hasil bagi 102, sisa 10, dan 12 × 102 + 10 = 1.234

1.234
Bilangan yang dibagi, yaitu bilangan yang sedang dibagi, sebuah bilangan bulat dari 0 sampai 1.000.000.000. Nol diperbolehkan dan memberi hasil bagi serta sisa bernilai 0. Bilangan negatif dan bilangan desimal ditolak, karena algoritma tertulis di bawah ini bekerja pada angka-angka dan halaman ini tidak menetapkan kesepakatan tanda apa pun
12
Pembagi, yaitu bilangan yang membaginya, sebuah bilangan bulat dari 1 sampai 1.000.000.000. Ia tidak boleh bernilai 0: tidak ada yang bisa dibagi menjadi nol bagian, dan tidak ada hasil bagi yang akan memenuhi pemeriksaannya. Ia boleh lebih besar daripada bilangan yang dibagi, dan dalam hal itu hasil baginya 0 sedangkan sisanya adalah bilangan yang dibagi itu sendiri
1, 2, 3, 4
Angka-angka penyusun bilangan yang dibagi, diambil satu per satu dari kiri. Setiap langkah menambahkan angka berikutnya pada sisa dari langkah sebelumnya, dan itulah arti menurunkan sebuah angka. Banyaknya langkah sama dengan banyaknya angka pada bilangan yang dibagi, sehingga 1.234 memerlukan empat langkah dan 1.000.000.000 memerlukan sepuluh langkah
0, 1, 0, 2
Angka hasil bagi yang dihasilkan setiap langkah: berapa kali pembagi masuk secara utuh ke dalam nilai langkah itu. Langkah yang nilainya lebih kecil daripada pembaginya menyumbang angka 0, dan angka nol itu bagian dari jawabannya — 102 punya satu angka nol di tengahnya, dan membuangnya akan memberi 12
1, 0, 3, 10
Sisa yang tertinggal pada setiap langkah, selalu sisa yang tidak negatif. Yang terakhir di antaranya adalah sisa dari keseluruhan pembagiannya; yang lebih awal bersifat sementara dan hilang begitu angka berikutnya diturunkan. Tidak ada satu pun yang bernilai negatif, dan itulah sebabnya bilangan yang dibagi bernilai negatif tempatnya di halaman kesepakatan sisa
yang dibagi = pembagi × hasil bagi + sisa
Keluaran pemeriksaan, sekaligus definisi dari seluruh operasinya dan bukan hasil tambahan: untuk 1.234 ÷ 12 ia berbunyi 12 × 102 + 10 = 1.234. Kalau baris itu benar, hasil bagi dan sisanya benar berdasarkan definisi, dan kalau baris itu salah, tidak ada hal lain di halaman ini yang bisa dipercaya

Halaman ini adalah cara tertulisnya sendiri, jadi orang yang membutuhkannya adalah orang yang sedang mempelajarinya. Daftar langkah itu adalah pengerjaan yang kalau tidak ada di sini akan ditulis di kertas, dan ia layak dibandingkan baris demi baris dengan pengerjaan Anda sendiri ketika jawabannya berbeda — tempat kedua pengerjaan itu bercabang itulah kesalahannya, dan itu jauh lebih berguna daripada sekadar diberi tahu angka yang benar. Baris pemeriksaan adalah separuh lainnya dari hal yang sama: pembagi dikali hasil bagi ditambah sisa sama dengan bilangan yang dibagi, sehingga pembaca yang sudah memegang hasil bagi dan sisanya bisa memastikan keduanya benar tanpa perlu mengulang pembagian bersusunnya. Di luar pelajaran di sekolah, penguraian yang sama itulah cara pembagian ditangani setiap kali bilangan bulat tidak bisa dipotong rata — 1.234 barang yang dibagi ke dalam kelompok berisi 12 menghasilkan 102 kelompok penuh dengan 10 barang tersisa, dan sisa itulah bagian yang tidak bisa dibagikan. Sisa bernilai 0 berarti pembagiannya keluar rata. Algoritma ini juga tempat asal mula pecahan desimal: meneruskan pengerjaannya melewati tanda desimal dengan menambahkan angka nol menghasilkan desimal dari hasil baginya, dan begitu ada sisa yang berulang, desimalnya ikut berulang — 1 ÷ 7 berputar melalui enam sisa yang sama terus-menerus, dan itulah sebabnya 1/7 punya pola berulang enam angka. Bahasa pemrograman punya dua cara lazim untuk menangani bilangan negatif dan keduanya tidak sepakat; sisa tidak negatif yang dicetak halaman ini adalah yang satu itu, dan halaman sisa memperlihatkan keduanya berdampingan.

Contoh hitungan

  1. 1.234 ÷ 12, masukan bawaannya

    1. Turunkan angka 1: 1 ÷ 12 masuk 0 kali, jadi angka hasil bagi yang pertama adalah 0 dan tersisa 1
    2. Turunkan angka 2: nilainya 12, dan 12 ÷ 12 masuk 1 kali tanpa sisa
    3. Turunkan angka 3: nilainya 3, dan 3 ÷ 12 masuk 0 kali sehingga tersisa 3
    4. Turunkan angka 4: nilainya 34, dan 34 ÷ 12 masuk 2 kali dengan sisa 10
    5. Angka-angka hasil baginya berurutan 0, 1, 0, 2 — tanpa angka nol di depan, itu menjadi 102
    6. Sisa terakhirnya 10, dan pemeriksaannya memastikan hal itu: 12 × 102 + 10 = 1.234

    Masukan bawaan, dan contoh yang memperlihatkan mengapa angka nol di dalam hasil bagi itu penting. Langkah ketiga menyumbang angka 0 karena 3 lebih kecil daripada 12, dan angka itu bukan hiasan — jawabannya 102 dan bukan 12. Angka nol di depan dari langkah pertama dibuang, karena menambahkan angka nol di depan sebuah bilangan tidak mengubah nilainya sedikit pun. Baris pemeriksaannya layak dibaca sebagai satu kalimat: pembagi dikali jawabannya ditambah apa yang tersisa menghasilkan bilangan yang Anda mulai tadi.

  2. 5.432 ÷ 17, contoh pada tabel rujukan

    1. Turunkan angka 5: 5 ÷ 17 masuk 0 kali sehingga tersisa 5
    2. Turunkan angka 4: nilainya 54, dan 54 ÷ 17 masuk 3 kali (3 × 17 = 51) dengan sisa 3
    3. Turunkan angka 3: nilainya 33, dan 33 ÷ 17 masuk 1 kali (17) dengan sisa 16
    4. Turunkan angka 2: nilainya 162, dan 162 ÷ 17 masuk 9 kali (9 × 17 = 153) dengan sisa 9
    5. Angka-angka hasil baginya 0, 3, 1, 9, yang berarti 319, dan sisanya 9

    Empat baris yang dituangkan tabel di bawah satu kolom demi satu kolom, dan itulah alasan keduanya layak dibaca: setiap langkah mengalikan pembaginya kembali untuk mencari hasil kali terbesar yang masih masuk — 3 × 17 = 51 terhadap 54, lalu 1 × 17 = 17 terhadap 33, lalu 9 × 17 = 153 terhadap 162 — dan sisanya adalah selisihnya. Selisih di sini adalah 3, 16, dan 9, semuanya lebih kecil daripada pembagi 17, dan itulah invarian yang membuat setiap angka hasil bagi menjadi angka terbesar yang masih bisa dipakai.

  3. Sisa yang berulang: 1.000.000.000 ÷ 7

    1. Turunkan angka 1: 1 ÷ 7 masuk 0 kali sehingga tersisa 1
    2. Turunkan setiap angka nol berikutnya satu per satu, sehingga nilainya menjadi 10, 30, 20, 60, 40, 50, lalu 10 lagi
    3. Angka-angka hasil baginya adalah 1, 4, 2, 8, 5, 7 lalu 1, 4, 2, 8 yang berulang
    4. Setelah langkah ketujuh sisanya kembali menjadi 1, sehingga seluruh putarannya mulai lagi dari awal
    5. Hasil baginya 142.857.142 dan sisa terakhirnya 6

    Sisa di sini berjalan 1, 3, 2, 6, 4, 5 lalu kembali ke 1 — putaran dari 1/7, dan itulah sebabnya angka-angka hasil baginya berulang sebagai 142857. Pengulangan itu bukan keanehan bilangan yang dibagi ini: setiap kali sebuah sisa berulang, semua yang sesudahnya ikut berulang, karena langkah berikutnya hanya bergantung pada nilai yang diturunkan ke dalamnya. Itu juga alasan sebuah pecahan dalam bentuk desimal pasti berakhir atau berulang, dan alasan 1/7 punya blok berulang sepanjang enam angka.

  4. Ketika pembaginya lebih besar daripada bilangan yang dibagi: 7 ÷ 999.999.999

    1. Hanya ada satu angka yang bisa diturunkan, yaitu angka 7
    2. 7 ÷ 999.999.999 masuk 0 kali, karena 999.999.999 jauh lebih besar daripada 7
    3. Angka hasil baginya 0 dan seluruh bilangan yang dibagi itu tersisa
    4. Hasil baginya 0 dan sisanya 7

    Hasil bagi bernilai 0 adalah jawaban yang nyata dan bukan kegagalan. Ketika pembaginya tidak masuk bahkan sekali pun, tidak ada yang diambil, sehingga sisanya adalah seluruh bilangan yang dibagi itu dan pemeriksaannya berbunyi 999.999.999 × 0 + 7 = 7. Daftar langkahnya hanya satu baris karena bilangan yang dibagi itu hanya punya satu angka — banyaknya langkah selalu sama dengan banyaknya angka yang sedang dibagi, tidak pernah ditentukan oleh besarnya pembagi.

Batasan

Kedua bilangan harus bilangan bulat. Bilangan yang dibagi bernilai dari 0 sampai 1.000.000.000, dan pembaginya dari 1 sampai 1.000.000.000. Pembagi bernilai 0 ditolak: tidak ada bilangan yang kalau dikalikan 0 menghasilkan bilangan yang dibagi yang bukan nol, sehingga tidak ada hasil bagi dan sisa yang bisa memenuhi pemeriksaannya. Bilangan negatif ditolak dan tidak ditangani dengan aturan tanda, karena algoritma tertulis yang diperlihatkan di sini bekerja pada angka-angka sedangkan kedua kesepakatan untuk pembagian bilangan negatif tidak sepakat — halaman ini mencetak sisa yang tidak negatif, dan kasus ketika hal itu menjadi penting tempatnya di halaman sisa, yang memperlihatkan kedua kesepakatan berdampingan. Bilangan desimal ditolak: algoritmanya bisa diperpanjang melewati tanda desimal dengan menambahkan angka nol, tetapi itu prosedur yang berbeda dan halaman ini tidak mengerjakannya, walaupun sisa yang berulang pada contoh di atas justru asal mula desimal tersebut. Nol sebagai bilangan yang dibagi diterima dan memberi hasil bagi 0 dengan sisa 0. Daftar langkahnya punya satu baris untuk setiap angka pada bilangan yang dibagi, jadi bilangan yang dibagi sepuluh angka menghasilkan sepuluh baris dan panelnya memang panjang — itu pengerjaannya, bukan ringkasannya. Tabel rujukan di bawah tetap memakai 5.432 ÷ 17 dan tidak mengikuti masukan Anda; panel di atas yang menjawab bilangan Anda, dan tabel itu ada untuk memperlihatkan apa arti setiap kolom pada satu langkah. Semuanya eksak dan tidak ada yang dibulatkan.

Pertanyaan yang sering diajukan

Bagaimana cara mengerjakan pembagian bersusun langkah demi langkah?
Bekerjalah dari kiri bilangan yang dibagi, satu angka demi satu angka. Bagi nilai yang sudah tersusun sejauh itu dengan pembaginya, tuliskan berapa kali ia masuk secara utuh sebagai angka berikutnya pada jawaban, lalu simpan sisanya. Setelah itu turunkan angka berikutnya — tambahkan ia di belakang sisanya — dan ulangi sampai angka-angkanya habis. Untuk 1.234 ÷ 12 cara itu memberi angka 0, 1, 0, 2 dengan sisa akhir 10, sehingga jawabannya 102 dengan sisa 10.
Apa bedanya hasil bagi dengan sisa?
Hasil bagi adalah berapa kali pembagi masuk secara utuh ke dalam bilangan yang dibagi, sedangkan sisa adalah apa yang tersisa ketika pembaginya sudah tidak masuk lagi. Keduanya diikat oleh definisinya: bilangan yang dibagi sama dengan pembagi dikali hasil bagi ditambah sisa. Untuk 1.234 ÷ 12 hasil baginya 102 dan sisanya 10, dan 12 × 102 + 10 menghasilkan 1.234 kembali. Sisanya selalu lebih kecil daripada pembaginya, dan itulah yang membuat hasil baginya menjadi bilangan bulat terbesar yang masih bisa dipakai.
Mengapa sisanya tidak pernah negatif di sini?
Karena halaman ini memakai kesepakatan sisa yang tidak negatif: kelipatan pembagi terbesar yang tidak melewati bilangan yang dibagi itu dikurangkan, dan yang tersisa berada di antara 0 dan pembaginya. Bahasa pemrograman sering memotong begitu saja, dan pemotongan itu bisa meninggalkan sisa negatif: membagi -1 dengan 2 memberi sisa -1 menurut pemotongan dan 1 menurut kesepakatan halaman ini. Halaman sisa memperlihatkan keduanya berdampingan. Bilangan yang dibagi bernilai negatif ditolak di sini daripada ditangani dengan satu pilihan yang tidak Anda ketahui.
Bisakah jawabannya memuat angka nol?
Bisa, dan angka nol itu bagian dari jawabannya. Angka hasil bagi bernilai nol muncul setiap kali nilai pada langkah tersebut lebih kecil daripada pembaginya, sehingga 1.234 ÷ 12 menghasilkan angka 0, 1, 0, 2 — angka nol di tengahnya tidak boleh dibuang, karena 102 dan 12 adalah bilangan yang berbeda. Hanya angka nol di depan yang dihilangkan, sebab menambahkannya di depan tidak mengubah nilai bilangan itu.
Apa yang terjadi kalau bilangan yang dibagi lebih kecil daripada pembaginya?
Hasil baginya 0 dan sisanya adalah seluruh bilangan yang dibagi itu. 7 ÷ 999.999.999 masuk 0 kali, jadi tidak ada yang dikurangkan dan seluruh angka 7 itu tersisa; pemeriksaannya berbunyi 999.999.999 × 0 + 7 = 7. Daftar langkahnya hanya satu baris, karena banyaknya langkah selalu sama dengan banyaknya angka pada bilangan yang dibagi dan tidak ditentukan oleh pembaginya.
Mengapa sisanya mulai berulang?
Karena setiap langkah hanya bergantung pada nilai yang dibawa masuk ke dalamnya, sehingga begitu sebuah sisa muncul kembali, seluruh urutan sesudahnya ikut berulang. Membagi 1.000.000.000 dengan 7 menghasilkan sisa 1, 3, 2, 6, 4, 5 lalu 1 lagi, sehingga angka-angka hasil baginya berulang sebagai 142857. Dari sinilah desimal berulang berasal: meneruskan pengerjaan yang sama melewati tanda desimal dengan menambahkan angka nol mengubah putaran itu menjadi blok berulang dari 1/7.

Referensi

Kalkulator terkait

Kalkulator Sisa BagiHasil bagi dan sisa, dengan pilihan aturan bilangan negatif.Kalkulator Pecahan ke DesimalUbah pecahan menjadi desimal, tepat atau dibulatkan.Konverter Desimal ke BinerUbah bilangan bulat desimal ke biner, langkah demi langkah.Kalkulator PembulatanBulatkan ke nilai tempat atau angka penting mana pun.