Kalkulator Modulo

-47 ÷ 5 = -9 sisa -2 (terpotong); -2 + 5 = 3, jadi -47 mod 5 = 3 dan -47 ≡ 3 (mod 5)

a

Bilangan yang dibagi, yaitu bilangan yang sedang diperkecil. Ia boleh negatif, dan itulah kasus yang layak diuji: a mod n harus keluar tidak negatif walaupun a negatif, sehingga -47 harus mendarat di 3 dan bukan di -2. Bilangan bulat dari -1.000.000.000 sampai 1.000.000.000 diterima, dan 0 adalah bilangan yang dibagi yang sepenuhnya sah dan sisanya selalu 0

n

Modulus, yaitu bilangan yang membaginya. Ia boleh negatif juga, dan sisanya tidak berubah karenanya: 47 mod -5 dan 47 mod 5 keduanya bernilai 2, karena pernyataan bahwa n membagi a - r dan pernyataan bahwa -n membagi a - r adalah dua cara mengatakan hal yang sama. Nol adalah satu-satunya nilai yang ditolak, dan halaman ini mencetak n persis seperti yang Anda ketik dan tidak menggantinya dengan besarnya

r

Sisanya, dan itulah jawabannya. Ia adalah bilangan tidak negatif terkecil yang bisa diambil dari a dan menyisakan kelipatan n. Dua syarat memakukannya dengan pasti: r paling sedikit 0, dan r lebih kecil daripada besar n. -47 mod 5 memberi 3 karena 3 adalah nilai tidak negatif terkecil yang membuat -47 - 3 = -50 merupakan kelipatan 5

((a mod n) + |n|) mod |n|

Resep dua langkah yang diikuti halaman ini, sekaligus alasan langkah keduanya ada. Langkah pertama adalah yang dihitung sebagian besar bahasa pemrograman dan ia bisa mengembalikan jawaban negatif; langkah kedua menambahkan besar modulus lalu mereduksinya lagi, dan itu mendorong hasilnya masuk ke selang tidak negatif tanpa mengubah kelipatan n mana yang menjadi patokannya. Memakai besar n dan bukan n itu sendiri itulah yang membuat modulus bernilai negatif bisa lewat tanpa diubah

a ≡ r (mod n)

Kongruensinya, dan itulah baris pertama pada panel hasil. Ia menyatakan bahwa n membagi a - r dengan pas, dan ia adalah pernyataan yang sama dengan sisa yang ditulis sendirian, hanya saja bilangan yang dibagi dan modulusnya disebutkan di sampingnya. Lambang ≡ dan kata kunci mod adalah notasi dan bukan kata, sehingga keduanya dicetak sama persis di setiap bahasa di situs ini, dan tidak ada pemisah ribuan yang disisipkan ke dalam bilangan-bilangan itu

-47 ≡ 3 (mod 5)

Masukan bawaan yang ditulis lengkap. Inilah kasus yang memisahkan halaman ini dari kalkulator sisa: dua bilangan yang sama memberi -9 dengan sisa -2 menurut kesepakatan terpotong yang dipakai kalkulator empat operasi, sedangkan di sini memberi -47 ≡ 3 (mod 5). Memberi 47 sebagai ganti -47 menghasilkan 2 dan bukan 3, sehingga satu tanda minus saja sudah menggeser jawabannya satu langkah penuh mengelilingi putarannya

Pakai halaman ini setiap kali jawabannya harus berputar kembali dan bukan berhenti. Aritmetika jam adalah contoh tertuanya: pukul 10 ditambah 5 jam adalah pukul 3, yaitu 15 mod 12, dan sifat sisa yang tidak pernah negatif itulah tepatnya yang menjaga permukaan jam tetap terbaca. Pekerjaan kalender berbentuk sama — hari ke-100 dalam setahun, atau hari apa sebuah tanggal jatuh, adalah sisa modulo 7. Di dunia pemrograman, modulo adalah cara memeriksa apakah satu bilangan membagi bilangan lain (a mod n bernilai 0 ketika n masuk dengan pas), cara melipat indeks kembali ke dalam rentangnya pada penyangga melingkar atau tabel hash, cara menjaga penghitung yang berulang tetap di dalam batas yang tetap, dan cara memilih satu unsur dari daftar secara bergiliran. Kriptografi dibangun di atasnya: RSA dan Diffie-Hellman adalah aritmetika modular pada bilangan yang sangat besar, dan alasan sisa didefinisikan sebagai tidak negatif adalah karena jawaban bertanda akan menjadi aritmetika yang ambigu untuk dijadikan fondasi. Angka pemeriksa, dari nomor rekening bank sampai ISBN, adalah sisa modulo 9, 10, atau 11. Ketika pertanyaannya justru berapa kali pembaginya masuk dan apa yang tersisa menurut kesepakatan kalkulator saya, halaman sisa yang lebih tepat karena ia meletakkan kedua kesepakatan berdampingan; sedangkan ketika pertanyaannya apa yang dimiliki bersama oleh kedua bilangan itu, halaman faktor persekutuan terbesar menjawabnya langsung.

1. Jebakan tandanya: -47 mod 5

   1. Bagi seperti biasa lalu buang pecahannya: -47 ÷ 5 = -9,4, jadi hasil bagi terpotongnya -9
   2. -9 × 5 = -45, dan -47 - (-45) = -2, jadi sisa terpotongnya -2
   3. Sisanya harus paling sedikit 0, jadi tambahkan besar modulusnya: -2 + 5 = 3
   4. Periksa apakah hasilnya berada di dalam rentang: 0 ≤ 3 < 5, jadi tidak perlu penyesuaian lagi
   5. Baca kongruensinya: -47 ≡ 3 (mod 5), yang berarti 5 membagi -47 - 3 = -50 dengan pas

   Masukan bawaan, sekaligus contoh yang menjelaskan mengapa halaman ini ada. Kalkulator empat operasi, dan sebagian besar bahasa pemrograman, akan melaporkan -9 dengan sisa -2 untuk pembagian ini; jawaban itu tidak salah, ia hanya sedang menjawab pertanyaan yang dirumuskan berbeda. Sisa di sini adalah 3 karena 3 adalah nilai tidak negatif terkecil yang menyisakan kelipatan 5. Perhatikan bahwa 47 mod 5 bernilai 2, bukan -3 dan bukan 3 — menggeser bilangan yang dibagi satu langkah penuh mengelilingi putarannya menggeser sisanya satu langkah, sehingga kedua sisa itu berselisih tepat 1 dan bukan 5.

2. Modulus yang negatif: 47 mod -5

   1. 47 ÷ 5 = 9,4, jadi angka 5 masuk sembilan kali dan 9 × 5 = 45
   2. 47 - 45 = 2, dan nilai itu sudah berada di dalam selang 0 ≤ 2 < 5
   3. Modulusnya negatif, tetapi sifat terbagi tidak peduli pada tanda: -5 membagi 45 dengan pas, jadi ia juga membagi 47 - 2 dengan pas
   4. Kongruensinya ditulis dengan modulus seperti yang dimasukkan: 47 ≡ 2 (mod -5)

   Kasus yang memperlihatkan bahwa sisa tidak terpengaruh oleh tanda modulusnya. Mengganti -5 dengan 5 tidak mengubah apa pun pada jawabannya, karena -5 membagi sebuah bilangan dengan pas tepat ketika 5 juga membaginya. Halaman ini mempertahankan tanda minus itu pada kongruensi yang dicetak dan tidak membuangnya diam-diam; menulis ulang -5 menjadi 5 akan terlihat seperti masukan Anda dibuang. Bandingkan kedua baris pada tabel rujukan yang modulusnya -5 dengan baris yang modulusnya 5: hanya tanda pada bilangan yang dibagi yang pernah menggeser sisanya.

3. Kasus biasa: 1.234 mod 12

   1. 12 × 100 = 1.200, dan 1.234 - 1.200 = 34, jadi lanjutkan: 12 × 2 = 24 menyisakan 34 - 24 = 10
   2. 12 × 3 = 36 akan melewati 34, jadi hasil baginya 102 dan yang tersisa 10
   3. Angka 10 paling sedikit 0 dan lebih kecil daripada 12, jadi ia sudah merupakan sisanya
   4. Baca kongruensinya seperti yang tercetak di panel: bilangan yang dibagi, sisanya, dan modulusnya disebutkan berdampingan dalam satu pernyataan

   Kasus yang paling sederhana dengan dua bilangan positif, ketika sisa di halaman ini dan sisa biasa memberi angka yang sama — dan itulah alasan contoh ini disertakan. Ketika kedua bilangannya positif tidak ada yang perlu didamaikan, dan halaman ini mengerjakan pekerjaan yang sama dengan perkakas sisa mana pun. Baris yang menarik justru baris yang memuat tanda minus. Pasangan ini punya bacaan kedua yang layak diperhatikan: 1.234 mod 12 adalah cara bertanya pukul berapa sebuah durasi mendarat ketika permukaan jamnya berisi dua belas jam, dan 10 adalah pukul yang sepenuhnya masuk akal sedangkan -2 bukan. Perhatikan juga bahwa kongruensinya tercetak tanpa pemisah ribuan, mengikuti notasi halaman ini, sedangkan perhitungan di langkah-langkahnya ditulis dengan pemisah seperti biasa.

Modulusnya tidak boleh bernilai nol. Pembagian dengan nol tidak punya jawaban, sehingga tidak ada sisa yang bisa dilaporkan dan tidak ada sisa tidak negatif terkecil juga; halaman ini menolak masukannya daripada mengembalikan angka pengganti yang terlihat seperti hasil. Kedua bilangan harus bilangan bulat. Modulus berbentuk pecahan punya definisinya sendiri di sebagian cabang matematika, tetapi bukan definisi yang diterapkan halaman ini, sehingga bilangan seperti itu ditolak dan tidak dibulatkan diam-diam lalu dijawab seolah itulah yang Anda minta. Besar setiap bilangan dibatasi satu miliar, dan batas itu menjaga setiap langkah perhitungan tetap berada di rentang ketika bilangan pecahan presisi ganda masih mewakili bilangan bulat dengan tepat; di atas itu aritmetikanya mulai membulatkan dan jawabannya akan terlihat sepenuhnya biasa sambil menjadi salah. Halaman ini melaporkan sebuah sisa dan sebuah kongruensi dan tidak lebih dari itu: ia tidak memberi hasil baginya, tidak mendaftarkan bilangan-bilangan lain yang kongruen dengan bilangan Anda, dan tidak mengerjakan aritmetika modular untuk lebih dari satu pasang bilangan sekaligus. Modulus bernilai negatif diterima dan dicetak seperti yang dimasukkan, dan itu berarti dua kongruensi yang menyatakan hal yang sama bisa terlihat berbeda di halaman ini — 47 ≡ 2 (mod -5) dan 47 ≡ 2 (mod 5) adalah pernyataan yang sama. Terakhir, tabel rujukan di bawah memperlihatkan empat pasangan tetap dan tidak mengikuti masukan Anda; panel hasil itulah bagian yang menjawab apa yang Anda ketik.

Mengapa -47 mod 5 sama dengan 3 dan bukan -2?

Karena sisa didefinisikan sebagai bilangan tidak negatif terkecil yang bisa dikurangkan dari bilangan yang dibagi dan menyisakan kelipatan modulusnya. Baik -2 maupun 3 memenuhi syarat itu dalam arti bahwa -47 - (-2) = -45 dan -47 - 3 = -50 keduanya kelipatan 5, sehingga aritmetikanya sendiri tidak memilih di antara keduanya. Definisinya yang memilih: sisa itu tinggal di selang dari 0 sampai sebelum modulus, dan -2 berada di luar selang itu. Selebihnya mengikuti. Apa yang Anda dapatkan dari sebuah bahasa pemrograman bergantung pada kesepakatan yang dipilihnya, dan JavaScript, C, Java, serta Go memilih yang lain — mereka membiarkan tandanya mengikuti bilangan yang dibagi, sedangkan Python memilih yang ini. Tidak ada bahasa yang rusak; keduanya menjawab pertanyaan yang dirumuskan berbeda.

Bisakah modulusnya negatif?

Bisa, dan sisanya tidak terpengaruh oleh tandanya. Modulus negatif bekerja karena sifat terbagi mengabaikan tanda: -5 membagi sebuah bilangan dengan pas tepat ketika 5 juga membaginya, sehingga himpunan kelipatan -5 sama dengan himpunan kelipatan 5, dan bilangan tidak negatif terkecil di dalam himpunan itu juga sama. Halaman ini mencetak modulus seperti yang Anda masukkan dan tidak mengganti -5 dengan 5, karena menulis ulang masukan Anda akan terlihat seperti tandanya dibuang. Jadi 47 mod -5 bernilai 2 dan 47 mod 5 juga bernilai 2, dan kedua kongruensi yang tercetak hanya berbeda karena yang satu memperlihatkan tanda minus.

Apa yang terjadi kalau saya memasukkan 0 sebagai modulus?

Halaman ini menolaknya. Mod 0 tidak punya nilai untuk dilaporkan: nol hanya membagi nol, sehingga tidak ada kelipatan bulat dari 0 yang bisa dijadikan patokan pengukuran bagi bilangan yang dibagi dan tidak ada sisa yang bisa diambil. Mengembalikan 0, atau mengembalikan bilangan yang dibagi itu sendiri, akan terlihat seperti jawaban dan akan salah untuk setiap masukan. Menolak masukannya adalah hasil yang jujur, dan pembagian dengan nol memang tidak terdefinisi di seluruh aritmetika karena alasan yang sama.

Apakah halaman ini sama dengan kalkulator sisa di situs ini?

Tidak, dan keduanya memberi jawaban yang berbeda untuk penjumlahan yang sama, dan itu cara paling jelas untuk melihat perbedaannya. Halaman sisa memaparkan dua kesepakatan berdampingan dan membiarkan Anda memilih, karena pembagian bersusun memang punya dua kesepakatan yang beredar dan pelajaran di sekolah bisa memakai salah satunya. Halaman ini tidak menawarkan pilihan, karena modulo hanya punya satu bacaan: jawabannya tidak pernah negatif. Untuk -47 dibagi 5, halaman sisa akan memperlihatkan -9 dengan sisa -2 menurut kesepakatan bawaannya, sedangkan halaman ini memperlihatkan kongruensi -47 ≡ 3 (mod 5). Pakai halaman itu untuk melihat bagaimana kedua kesepakatan berbeda pada sepasang bilangan tertentu; pakai halaman ini ketika yang Anda inginkan adalah sisanya sendiri.

Di mana sisa semacam ini benar-benar dipakai?

Di mana pun sebuah hitungan harus berputar kembali dan bukan terus bertambah. Permukaan jam adalah kasus sehari-harinya: dua belas jam pada lempengannya berarti pukul 10 ditambah 5 jam adalah 15 mod 12, yaitu pukul 3. Hari dalam sepekan bekerja dengan cara yang sama, modulo 7. Di dunia pemrograman, modulo menguji sifat terbagi karena a mod n bernilai 0 tepat ketika n membagi rata; ia melipat indeks kembali ke dalam rentangnya pada penyangga melingkar atau tabel hash, ketika indeks yang sudah melewati ujung harus kembali ke awal; dan ia menjaga penghitung yang berulang tetap di dalam batas yang tetap. Kriptografi kunci publik adalah aritmetika modular pada bilangan yang sangat besar, dan itulah sebabnya kesepakatan tidak negatif itu penting — aritmetika yang menghasilkan jawaban bertanda akan ambigu untuk dijadikan fondasi.

Mengapa yang ditampilkan hanya kongruensinya dan bukan hasil baginya?

Karena hasil bagi bukan bagian dari apa yang dinyatakan oleh sebuah sisa. Sebuah kongruensi menyebutkan bilangan yang dibagi, sisanya, dan modulusnya, dan klaim yang dibuatnya adalah bahwa modulus itu membagi selisih antara kedua bilangan yang pertama. Pernyataan itu sudah lengkap tanpa hasil bagi, sebab hasil bagi adalah bilangan yang Anda dapatkan dengan bertanya berapa kali modulusnya masuk secara utuh, dan pertanyaan itu milik pembagian bersusun. Kalau Anda ingin hasil baginya juga, kalkulator sisa dan kalkulator pembagian bersusun keduanya melaporkannya. Sisanya sendiri juga dicetak terpisah, pada baris kedua panel hasil, sehingga pembaca yang hanya menginginkan angkanya tidak perlu membacanya dari dalam kalimat.

• Modular Arithmetic — the arithmetic of remainders, including the convention that the residue is taken in the interval from 0 up to the modulus — Wolfram MathWorld (United States)
• Congruence — the notation a ≡ r (mod n) and what it means for one number to divide the difference of two others exactly — Wolfram MathWorld (United States)
• Remainder (%) — the JavaScript operator whose sign follows the dividend, the behaviour that makes -47 % 5 return -2 and the reason a second step is needed here — MDN Web Docs (Mozilla)