पूर्णांकन कैलकुलेटर

1234.5678 निकटतम पूर्ण संख्या तक ⇒ आधा ऊपर 1235, ट्रंकेटेड 1234; 2.5 ⇒ 3 या 2; 1567 दो सार्थक अंकों तक ⇒ 1600

1234.5678

वह मान जिसे पूर्णांकित करना है — −1000000000 से 1000000000 तक कोई भी संख्या, दशमलव समेत। नीचे की संदर्भ तालिका भी इसी संख्या से बनी है, इसलिए उसकी सात पंक्तियाँ उसी मान के सात स्थान हैं जो पहले से स्क्रीन पर बैठा है

p0, pm2, s2

कहाँ तक पूर्णांकित करना है, जो एक ही सूची के तेरह विकल्पों में से चुना जाता है। p से शुरू होने वाले विकल्प दशमलव स्थान बताते हैं: p3 निकटतम हज़ार, p0 निकटतम पूर्ण संख्या, pm2 निकटतम शतांश। s वाले विकल्प सार्थक अंकों की गिनती बताते हैं, s1 से s6 तक, जो पहले ग़ैर-शून्य अंक से शुरू होती है

आधा ऊपर

ठीक बीच में बैठे मान का नियम: दो उम्मीदवारों के ठीक बीच का मान शून्य से दूर जाता है, इसलिए 2.5 से 3 बनता है और −2.5 से −3। यही स्कूलों में पढ़ाया जाने वाला नियम है। यह वह भी है जो .5 वाले मानों की लंबी क़तार जोड़ने पर ग़लती जैसा दिखता है, क्योंकि उनमें से हर एक को एक ही दिशा में धकेला जाता है

ट्रंकेटेड

दूसरा नतीजा, और आधे वाले सवाल का दूसरा आधा: वही मान उसी स्थान पर, बस अतिरिक्त अंक पूर्णांकित होने के बजाय गिरा दिए जाते हैं, जिससे मान हमेशा शून्य की तरफ़ जाता है। 2.5 कटकर 2 बनता है और −2.5 कटकर −2। इसे पूर्णांकित मान के बग़ल छापना ही नियम को दिखाई देने लायक़ बनाता है, क्योंकि ज़्यादातर इनपुट पर दोनों नतीजे एक जैसे ही होते हैं

1567 → 1600

सार्थक अंक काम करते हुए। गिनती पहले ग़ैर-शून्य अंक से शुरू होती है, इसलिए 1567 को दो सार्थक अंकों तक लिखने पर 1 और 5 बचते हैं और बाक़ी पूर्णांकित हो जाता है, जिससे 1600 मिलता है। पीछे के शून्य रह जाते हैं: उत्तर दो सार्थक अंकों का दावा करता है, और 1600 को 1600 लिखना ही वह एक तरीक़ा है जिससे पाठक को वह दावा दिख सके

1.005 → 1.01

अंकगणित फ़्लोटिंग पॉइंट में गुणा-भाग करके नहीं बल्कि दशमलव अंकों पर क्यों किया जाता है। 1.005 असल में 1.005 से ज़रा-सा कम के रूप में रखा जाता है, इसलिए गुणा-भाग वाला आम रास्ता उसे नीचे की ओर पूर्णांकित करके 1.00 बना देता है; अंकों पर काम करने से वह उत्तर मिलता है जिसकी आदमी उम्मीद करता है, 1.01। नीचे का उदाहरण इसी मामले को पकड़ता है

किसी माप को रिपोर्ट करना सबसे पुराना मामला है, और सार्थक अंक यहीं से आते हैं: किसी फ़ुटे या पैमाने से निकटतम मिलीमीटर तक पढ़ी गई लंबाई को छह दशमलव तक नहीं बताना चाहिए, क्योंकि अतिरिक्त अंक ऐसी परिशुद्धता का दावा करते हैं जो उस यंत्र में कभी थी ही नहीं। सार्थक अंक वही संकेतन हैं जो उस दावे को ईमानदार रखते हैं, और इसीलिए किसी माप को पूर्णांकित करना किसी पहेली की संख्या को पूर्णांकित करने जैसा नहीं है। पैसा दशमलव स्थान का रोज़मर्रा वाला रूप है — दाम निकटतम शतांश तक पूर्णांकित किए जाते हैं, और आधे वाला नियम एक असली नीति का सवाल है क्योंकि वह तय करता है कि सेंट का टुकड़ा किस तरफ़ जाएगा, और बहुत सारे लेन-देन में जो नियम हमेशा एक ही दिशा में धकेलता है वह दिखाई देने लायक़ बहाव पैदा करता है। सांख्यिकी और रिपोर्टिंग पढ़ने में आसानी के लिए पूर्णांकित करती हैं: प्रतिशत एक दशमलव तक, जनसंख्या निकटतम हज़ार तक, औसत उतनी ही परिशुद्धता तक जितनी उसके इनपुट की है। ट्रंकेटेड के भी अपने इस्तेमाल हैं, और इसीलिए इसे यहाँ छोड़ने के बजाय छापा जाता है: शून्य की तरफ़ काटना वही है जो बहुत सारी प्रोग्रामिंग भाषाएँ अपने आप करती हैं, और वही सामने आता है जब कोई मान तय परिशुद्धता वाले ढाँचे में रखा जाता है। इन सब जगहों पर याद रखने लायक़ नियम यह है कि दो बार पूर्णांकित करना एक बार करने जैसा नहीं होता, और यह कि पूर्णांकित संख्या मूल को लिखने का छोटा तरीक़ा नहीं बल्कि परिशुद्धता के बारे में एक दावा है। पूर्णांकित मानों पर की गई अंकगणित इस फ़र्क़ को चढ़ाती जाती है, और इसीलिए उस समस्या का सार्थक-अंक वाला रूप इस पेज से अलग एक औज़ार है।

1. 1234.5678 निकटतम पूर्ण संख्या तक

   1. 1234.5678 के दोनों ओर के उम्मीदवार 1234 और 1235 हैं
   2. फ़ैसला करने वाला अंक पहला दशमलव है, 5
   3. आधा ऊपर 5 को शून्य से दूर जाने की वजह मानता है, इसलिए मान ऊपर की ओर पूर्णांकित होकर 1235 बनता है
   4. उसके बाद आने वाला .5678 इसे नहीं बदलता — पूर्णांकन वाली जगह का अंक ही फ़ैसला करता है, और उसके बाद का सब कुछ सिर्फ़ बराबरी तोड़ता है
   5. ट्रंकेटेड इसके बजाय दशमलव हिस्सा गिरा देता है, जिससे 1234 मिलता है

   डिफ़ॉल्ट, और वही नमूना जिससे नीचे की संदर्भ तालिका बनी है। पहले दशमलव की 5 ही सारा काम कर रही है: उसके बाद के 6, 7 और 8 बेमतलब हैं, और 1234.5001 भी बिल्कुल इसी तरह पूर्णांकित होता। यहाँ दोनों नतीजे अलग हैं, और यही सुविधाजनक मामला है — ज़्यादातर इनपुट पर आधा ऊपर और ट्रंकेटेड सहमत रहते हैं, और संख्याओं का यह जोड़ा ही बताता है कि बीच में आधे वाला नियम आया था या नहीं।

2. आधे वाला मामला: 2.5 निकटतम पूर्ण संख्या तक

   1. 2.5 ठीक 2 और 3 के बीच में बैठता है
   2. आधा ऊपर शून्य से दूर जाता है, इसलिए पूर्णांकित मान 3 है
   3. ट्रंकेटेड शून्य की तरफ़ जाता है, इसलिए काटा गया मान 2 है
   4. दोनों में से कोई ग़लती नहीं है; एक ही इनपुट के लिए ये दो नियम हैं

   सबसे छोटा मामला जो यह मतभेद दिखाता है, और याद रखने लायक़ वही है। आधा ऊपर इकलौता चलन नहीं है: बैंकरों वाला पूर्णांकन 2.5 को उसके सम पड़ोसी 2 की ओर भेजता, और यह लंबी माप-सूचियों में मायने रखता है क्योंकि आधों को हमेशा ऊपर की ओर पूर्णांकित करना थोड़ा-सा ऊपरी बहाव डाल देता है। यह पेज आधा ऊपर इस्तेमाल करता है — स्कूल वाला नियम — और यह बात ख़ुद कह देता है, इसे खोजा जाने के लिए नहीं छोड़ता।

3. एक ऋणात्मक आधा मान: −2.5 निकटतम पूर्ण संख्या तक

   1. −2.5 ठीक −3 और −2 के बीच में बैठता है
   2. आधा ऊपर शून्य से दूर जाता है, और ऋणात्मक तरफ़ शून्य से दूर जाने का मतलब है और नीचे, इसलिए उत्तर −3 है
   3. ट्रंकेटेड शून्य की तरफ़ जाता है, जिससे −2 मिलता है
   4. चिह्न को संख्या-रेखा पर दिशा से नहीं बल्कि शून्य से दूरी से निपटाया जाता है

   वह मामला जो आधा ऊपर को हमेशा-ऊपर से अलग करता है। यहाँ दोनों मान एक ही नियम से हिलते हैं — शून्य से दूर — पर संख्या-रेखा पर वे उलटी दिशाओं में जाते हैं, क्योंकि शून्य बीच में है। जो भी कोड या नियम बिना शर्त 'ऊपर की ओर पूर्णांकित करता है' कहा जाए वह ठीक इसी वजह से दोअर्थी है, और संदर्भ तालिका की ऋणात्मक पंक्तियाँ बाक़ी स्थानों पर वही असर दिखाती हैं।

4. 1.005 दो दशमलव तक

   1. उम्मीदवार 1.00 और 1.01 हैं
   2. फ़ैसला करने वाला अंक तीसरा दशमलव है, 5, जो ठीक आधे वाला मामला है
   3. आधा ऊपर शून्य से दूर जाता है, इसलिए मान 1.01 तक पूर्णांकित होता है
   4. काटने पर 5 गिर जाता है और 1.00 बचता है, पीछे का शून्य इसलिए रखा जाता है कि परिशुद्धता दिखाई दे

   वह उदाहरण जो इस कार्यान्वयन को जायज़ ठहराता है। सीधा रास्ता — 100 से गुणा कीजिए, पूर्णांकित कीजिए, 100 से बाँट दीजिए — 1.00 देता है, क्योंकि 1.005 ठीक-ठीक रखा ही नहीं जा सकता और जो मान रखा जाता है वह 1.005 से ज़रा-सा नीचे है। आदमी जिस उत्तर की उम्मीद करता है वह 1.01 है, और दशमलव अंकों पर काम करने से वही निकलता है। यही बात रोज़मर्रा के बहुत से मानों पर होती है, इसलिए आख़िरी स्थान पर एक से इधर-उधर होने वाला नतीजा आम तौर पर यही होता है, नियम की ग़लती नहीं।

5. 1567 दो सार्थक अंकों तक

   1. पहला सार्थक अंक 1 है, हज़ार के स्थान पर; दूसरा 5 है
   2. दो सार्थक अंकों का मतलब है ये दो अंक रखना और सैकड़े पर पूर्णांकित करना
   3. उनके बाद का अंक 6 है, जो 5 को ऊपर की ओर पूर्णांकित कर देता है, इसलिए मान 1600 बन जाता है
   4. पीछे के शून्य रह जाते हैं, क्योंकि वही दर्ज करते हैं कि दो सार्थक अंक रखे गए थे
   5. उसी स्थान पर काटने पर 1500 मिलता है

   निकटतम सैकड़े तक पूर्णांकित करने वाला ही उत्तर, बस दूसरे सिरे से पहुँचा हुआ। यह भी देखिए कि नतीजा आपको क्या नहीं बता सकता: 1600 को सादा संख्या की तरह लिखने पर वह 1600 से अलग नहीं दिखता जो निकटतम पूर्ण संख्या तक पूर्णांकित किया गया हो, या जो संयोग से ठीक 1600 निकला कोई माप हो। शून्यों को रखना इस संकेतन के बस की सबसे बड़ी बात है, और सार्थक अंकों को किसी गणना के आर-पार ढोना — जहाँ गिनती को गुणा और भाग से बचकर निकलना होता है — किसी एक मान को पूर्णांकित करने से अलग समस्या है।

मान −1000000000 से 1000000000 के बीच होना चाहिए, दशमलव समेत, और कहाँ तक पूर्णांकित करना है यह तेरह विकल्पों में से चुना जाता है, टाइप नहीं किया जाता, इसलिए उस सूची से बाहर का कोई स्थान माँगा ही नहीं जा सकता। पूर्णांकन मान के दशमलव अंकों पर किया जाता है, फ़्लोटिंग पॉइंट में स्केल करके नहीं, इसलिए नतीजे वही कहते हैं जो अंक कहते हैं — 1.005 दो दशमलव तक यहाँ 1.01 है, जबकि गुणा-बाँट वाला आम रास्ता 1.00 देता है। इसी चुनाव का एक दिखाई देने वाला नतीजा भी है: नतीजे हमेशा दशमलव बिंदु के साथ छपते हैं और कभी हज़ारों के विभाजक के साथ नहीं, इसलिए जिस पाठक ने दशमलव चिह्न की जगह अल्पविराम टाइप किया होगा उसे उत्तर में बिंदु दिखेगा। यह जान-बूझकर है और उन बाक़ी पेजों से मेल खाता है जो पाठ वाले नतीजे छापते हैं। पीछे के शून्य रखे जाते हैं, क्योंकि वे उस परिशुद्धता को दर्ज करते हैं जिसका दावा उत्तर करता है, और इसका मतलब है कि 1234.6 और 1234.60 अलग-अलग स्थानों से आने वाले अलग नतीजे हैं और एक ही तरह नहीं लिखे जाते। ऋणात्मक मान शून्य से दूरी के हिसाब से पूर्णांकित होते हैं, इसलिए ठीक आधा ऋणात्मक मान संख्या-रेखा पर ऊपर की ओर नहीं बल्कि नीचे की ओर जाता है। नीचे की संदर्भ तालिका 1234.5678 पर तय है और आपके इनपुट का पीछा नहीं करती; वह उस एक संख्या पर लगाए गए पहले सात विकल्प दिखाती है, और छहों सार्थक-अंक विकल्प उसकी टिप्पणी में बताए गए हैं, अपनी अलग पंक्तियों में नहीं। यहाँ कोई चलते-फिरते कुल का पूर्णांकन नहीं होता और कुछ जमा नहीं होता: यह पेज एक गणना में एक ही मान पूर्णांकित करता है।

आधा ऊपर का मतलब क्या है?

इसका मतलब है कि दो उम्मीदवारों के ठीक बीच बैठा मान शून्य से दूर जाता है: 2.5 से 3 बनता है और −2.5 से −3। यही नियम स्कूलों में पढ़ाया जाता है और यही यह पेज इस्तेमाल करता है। यह इकलौता चलन नहीं है — बैंकरों वाला पूर्णांकन आधे को सम पड़ोसी की ओर भेजता है, जिससे वह छोटा ऊपरी बहाव बच जाता है जो मानों की लंबी सूची में आधों को हमेशा ऊपर भेजने से पैदा होता है।

दशमलव स्थान और सार्थक अंक में क्या फ़र्क़ है?

दशमलव स्थान दशमलव बिंदु से गिने जाते हैं; सार्थक अंक पहले ग़ैर-शून्य अंक से। 1567 दो सार्थक अंकों तक 1600 है, जो निकटतम सैकड़े तक पूर्णांकित करने जैसा ही है, जबकि 1567 दो दशमलव स्थानों तक 1567.00 है। मापों के लिए सार्थक अंकों वाला संकेतन इस्तेमाल होता है, क्योंकि वही मात्रा अलग-अलग इकाइयों में लिखने पर भी गिनती नहीं बदलती।

1.005, 1.00 के बजाय 1.01 क्यों पूर्णांकित होता है?

क्योंकि मान ठीक आधे बिंदु पर बैठा है और यह पेज आधों को शून्य से दूर भेजता है, और यह काम फ़्लोटिंग पॉइंट में स्केल करके नहीं बल्कि दशमलव अंकों पर करता है। 100 से गुणा करने, पूर्णांकित करने और 100 से बाँटने वाला आम रास्ता 1.00 देता है, क्योंकि 1.005 असल में 1.005 से ज़रा-सा कम के रूप में रखा जाता है। अंकों पर आधारित उत्तर 1.01 है, जो नियम के मुताबिक़ भी है और वैसा भी जैसा संख्या लिखने वाला कोई व्यक्ति निकालेगा।

ट्रंकेटेड क्या है और उसे दिखाया क्यों जाता है?

ट्रंकेटेड अतिरिक्त अंकों को पूर्णांकित करने के बजाय गिरा देता है, जिससे मान हमेशा शून्य की तरफ़ जाता है: 2.5 से 2 बनता है और −2.5 से −2। इसे उसी स्थान पर पूर्णांकित मान के बग़ल इसलिए छापा जाता है क्योंकि यह जोड़ा ही यह देखने का सबसे साफ़ तरीक़ा है कि आधे वाला नियम बीच में आया था या नहीं — आधे बिंदु से दूर के इनपुट पर दोनों नतीजे एक ही होते हैं, और जहाँ अलग होते हैं वहाँ फ़र्क़ नियम की वजह से पड़ा है।

क्या पीछे के शून्य सार्थक होते हैं?

हाँ, और वे जान-बूझकर रखे जाते हैं। एक दशमलव तक 1234.6 और दो दशमलव तक 1234.57 — ये इस बारे में दो अलग दावे हैं कि मान कितना ठीक-ठीक ज्ञात है, और पीछे का शून्य गिरा देने से वह फ़र्क़ मिट जाता। यही बात सार्थक अंकों तक पूर्णांकित किसी पूर्ण संख्या पर भी लगती है: 1600 अपने शून्य रखता है क्योंकि वही दर्ज करते हैं कि दो सार्थक अंक रखे गए थे।

क्या यह पेज किसी पूरी गणना के आर-पार सार्थक अंक ढोता है?

नहीं। यह एक बार में एक ही मान पूर्णांकित करता है, और किसी अंकगणित की क़तार के आर-पार परिशुद्धता नहीं ढोता, जहाँ नतीजा सबसे कम परिशुद्ध इनपुट से बँधता है और बीच के मानों को आख़िर तक बिना पूर्णांकित रखना पड़ता है। यह किसी एक संख्या को पूर्णांकित करने से अलग समस्या है, क्योंकि इसमें सार्थक अंकों की गिनती को गुणा और भाग से बचकर निकलना होता है, और सादा पूर्णांकित मान उस दावे को ढो ही नहीं सकता।

• Rounding — the definition, the halfway rules including round-half-up and round-half-to-even, and how the choice affects accumulated results — Wolfram MathWorld (United States)
• Significant digits — how the count starts at the first non-zero digit, and why trailing zeros record precision rather than value — Wolfram MathWorld (United States)
• Nearest integer function — the special case of rounding to the nearest whole number, and the tie-breaking conventions defined for it — Wolfram MathWorld (United States)