दीर्घ भाग कैलकुलेटर

1234 ÷ 12 → 1/12 = 0 r 1; 12/12 = 1 r 0; 3/12 = 0 r 3; 34/12 = 2 r 10 ⇒ भागफल 102, शेषफल 10, और 12 × 102 + 10 = 1234

1234

भाज्य, यानी वह संख्या जिसे बाँटा जा रहा है — 0 से 1000000000 तक की कोई पूर्ण संख्या। शून्य भी चलेगा और उसका भागफल तथा शेषफल दोनों 0 आते हैं। ऋणात्मक संख्याएँ और दशमलव अस्वीकार किए जाते हैं, क्योंकि नीचे दी गई लिखित विधि अंकों पर चलती है और यह पेज चिह्न का कोई नियम नहीं बताता

12

भाजक, यानी वह संख्या जिससे बाँटा जा रहा है — 1 से 1000000000 तक की कोई पूर्ण संख्या। यह 0 नहीं हो सकता: किसी चीज़ को शून्य हिस्सों में नहीं बाँटा जा सकता और तब जाँच को पूरा करने वाला कोई भागफल नहीं बचेगा। यह भाज्य से बड़ा भी हो सकता है, और तब भागफल 0 तथा शेषफल भाज्य के बराबर होता है

1, 2, 3, 4

भाज्य के अंक, बाईं ओर से एक-एक करके। हर चरण अगले अंक को पिछले चरण के शेषफल के साथ जोड़ता है, और अंक नीचे लाने का मतलब ठीक यही है। चरणों की संख्या भाज्य के अंकों की संख्या के बराबर होती है, इसलिए 1234 पर चार चरण लगते हैं और 1000000000 पर दस

0, 1, 0, 2

हर चरण में बना भागफल का अंक: उस चरण की संख्या में भाजक कितनी पूरी बार समाता है। जिस चरण की संख्या भाजक से छोटी हो वहाँ अंक 0 आता है, और ये शून्य उत्तर का हिस्सा हैं — 102 के बीच में एक 0 है और उसे हटा दें तो 12 बचेगा

1, 0, 3, 10

हर चरण में बचा शेषफल, हमेशा ऋणात्मक-रहित वाला। इनमें आख़िरी वाला पूरे भाग का शेषफल है; इससे पहले वाले बीच के हैं और अगला अंक नीचे आते ही मिट जाते हैं। यहाँ कुछ भी कभी ऋणात्मक नहीं होता, इसीलिए ऋणात्मक भाज्य का मामला शेषफल के नियम वाले पेज पर जाता है

भाज्य = भाजक × भागफल + शेषफल

जाँच वाला आउटपुट, और यह कोई अतिरिक्त नतीजा नहीं बल्कि पूरी क्रिया की परिभाषा है: 1234 ÷ 12 पर यह 12 × 102 + 10 = 1234 पढ़ता है। यह पंक्ति सही हो तो भागफल और शेषफल परिभाषा से ही सही हैं, और ग़लत हो तो इस पेज की बाक़ी किसी बात पर भरोसा नहीं किया जा सकता

यह विधि ख़ुद है, इसलिए जिन्हें इसकी ज़रूरत है वे इसे सीख रहे हैं। चरणों की डोरी वही काम है जो वरना काग़ज़ पर दिखाया जाता, और जब उत्तर मेल न खाए तो उसे अपनी पंक्तियों से एक-एक करके मिलाना फ़ायदेमंद है — जहाँ दोनों अलग पड़ें वहीं ग़लती है, और यह बताए जाने से कि सही संख्या क्या है, कहीं ज़्यादा काम की बात है। जाँच वाली पंक्ति उसी की दूसरी आधी है: भाजक गुणा भागफल धन शेषफल बराबर भाज्य, और जिसके पास भागफल तथा शेषफल हैं वह पूरा दीर्घ भाग दोबारा किए बिना उन्हें जाँच सकता है। पढ़ाई के बाहर भी यही टूट-फूट वहाँ काम आती है जहाँ पूर्ण संख्याएँ बराबर नहीं बँटतीं — 1234 चीज़ों को 12-12 के समूहों में बाँटें तो 102 पूरे समूह बनते हैं और 10 बच जाती हैं, और यही शेषफल वह हिस्सा है जो बाँटा नहीं जा सकता। शेषफल 0 होने का मतलब है कि बँटवारा बराबर हो गया। यही विधि दशमलव विस्तार का स्रोत भी है: दशमलव बिंदु के आगे काम बढ़ाते जाइए और हर बार शेषफल के साथ एक 0 जोड़िए, तो भागफल के दशमलव निकलते हैं, और जब कोई शेषफल दोहराने लगे तो दशमलव भी दोहराता है — 1 ÷ 7 वही छह शेषफल हमेशा दोहराता है, इसीलिए 1/7 में छह अंकों का दोहरने वाला पैटर्न है। प्रोग्रामिंग की भाषाओं में ऋणात्मक भाज्य संभालने के दो आम तरीक़े हैं, ट्रंकेशन और फ़्लोरिंग, और दोनों अलग उत्तर देते हैं; यहाँ जो ऋणात्मक-रहित शेषफल छपता है वह फ़्लोरिंग वाला है, और शेषफल का पेज दोनों को साथ-साथ दिखाता है।

1. 1234 ÷ 12, डिफ़ॉल्ट मामला

   1. 1 को नीचे लाइए: 1 ÷ 12 में 0 बार जाता है, इसलिए पहला भागफल अंक 0 है और 1 बचा रहता है
   2. 2 को नीचे लाइए: संख्या 12 बनी, और 12 ÷ 12 एक बार जाता है, कुछ नहीं बचता
   3. 3 को नीचे लाइए: संख्या 3 बनी, और 3 ÷ 12 शून्य बार जाता है, 3 बचा रहता है
   4. 4 को नीचे लाइए: संख्या 34 बनी, और 34 ÷ 12 दो बार जाता है, 10 बचा रहता है
   5. भागफल के अंक क्रम से 0, 1, 0, 2 हैं — आगे का शून्य हटाकर लिखें तो 102
   6. आख़िरी शेषफल 10 है, और जाँच उसकी पुष्टि करती है: 12 × 102 + 10 = 1234

   डिफ़ॉल्ट मामला, और वही जो दिखाता है कि भागफल में शून्य क्यों मायने रखते हैं। तीसरा चरण 0 देता है क्योंकि 3, 12 से छोटा है, और वह अंक सजावट नहीं है — उत्तर 102 है, 12 नहीं। पहले चरण का आगे वाला 0 हटा दिया जाता है, क्योंकि 102 और 0102 एक ही संख्या के दो लिखे रूप हैं। जाँच वाली पंक्ति को एक वाक्य की तरह पढ़िए: भाजक गुणा उत्तर, धन जो बचा था, वापस वही संख्या देता है जिससे आपने शुरू किया था।

2. 5432 ÷ 17, संदर्भ तालिका वाला उदाहरण

   1. 5 को नीचे लाइए: 5 ÷ 17 शून्य बार जाता है, 5 बचा रहता है
   2. 4 को नीचे लाइए: संख्या 54 बनी, और 54 ÷ 17 तीन बार जाता है (3 × 17 = 51), 3 बचा रहता है
   3. 3 को नीचे लाइए: संख्या 33 बनी, और 33 ÷ 17 एक बार जाता है (17), 16 बचा रहता है
   4. 2 को नीचे लाइए: संख्या 162 बनी, और 162 ÷ 17 नौ बार जाता है (9 × 17 = 153), 9 बचा रहता है
   5. भागफल के अंक 0, 3, 1, 9 हैं, यानी 319, और शेषफल 9 है

   नीचे की तालिका जिन चार पंक्तियों को एक-एक स्तंभ में खोलती है, यही वे हैं — और दोनों को पढ़ना इसलिए काम का है कि हर चरण भाजक को वापस गुणा करके वह सबसे बड़ा गुणनफल ढूँढ़ता है जो अब भी समा जाए: 54 के सामने 3 × 17 = 51, फिर 33 के सामने 1 × 17 = 17, फिर 162 के सामने 9 × 17 = 153, और शेषफल वही अंतर है। यहाँ अंतर 3, 16 और 9 हैं, सबके सब भाजक 17 से छोटे, और यही वह अपरिवर्तनीय नियम है जिससे हर भागफल अंक सबसे बड़ा मुमकिन अंक बनता है।

3. दोहराता शेषफल: 1000000000 ÷ 7

   1. 1 को नीचे लाइए: 1 ÷ 7 शून्य बार जाता है, 1 बचा रहता है
   2. बारी-बारी हर 0 को नीचे लाइए, जिससे 10, 30, 20, 60, 40, 50 और फिर दोबारा 10 बनते हैं
   3. भागफल के अंक 1, 4, 2, 8, 5, 7 हैं और फिर 1, 4, 2, 8 दोहराते हैं
   4. सातवें चरण के बाद शेषफल फिर 1 पर लौट आता है, इसलिए पूरा चक्र दोबारा शुरू हो जाता है
   5. भागफल 142857142 है और आख़िरी शेषफल 6

   यहाँ शेषफल 1, 3, 2, 6, 4, 5 चलते हैं और फिर 1 पर लौट आते हैं — यही 1/7 का चक्र है, और इसीलिए भागफल के अंक 142857 दोहराते हैं। यह दोहराव इस भाज्य की कोई विचित्रता नहीं: जब भी कोई शेषफल लौटकर आता है, उसके बाद का सब कुछ भी दोहराता है, क्योंकि अगला चरण सिर्फ़ इस बात पर निर्भर है कि नीचे क्या लाया गया। यही वजह है कि दशमलव रूप में लिखा कोई भिन्न या तो समाप्त होता है या दोहराता है, और यही वजह है कि 1/7 में छह अंकों का दोहरने वाला खंड है।

4. जब भाजक भाज्य से बड़ा हो: 7 ÷ 999999999

   1. नीचे लाने के लिए एक ही अंक है, 7
   2. 7 ÷ 999999999 शून्य बार जाता है, क्योंकि 999999999, 7 से बहुत बड़ा है
   3. भागफल का अंक 0 है और पूरा भाज्य बचा रह जाता है
   4. भागफल 0 है और शेषफल 7

   भागफल 0 एक असली उत्तर है, कोई नाकामी नहीं। जब भाजक एक बार भी न समाए तो कुछ घटाया नहीं जाता, इसलिए शेषफल पूरा भाज्य रह जाता है और जाँच 999999999 × 0 + 7 = 7 पढ़ती है। चरणों की सूची एक ही पंक्ति की है क्योंकि भाज्य में एक ही अंक है — चरणों की संख्या हमेशा बाँटे जा रहे अंकों की संख्या के बराबर होती है, भाजक के आकार के बराबर कभी नहीं।

दोनों संख्याएँ पूर्ण होनी चाहिए। भाज्य 0 से 1000000000 तक (दोनों सिरे शामिल) और भाजक 1 से 1000000000 तक (दोनों सिरे शामिल)। भाजक 0 अस्वीकार किया जाता है: ऐसी कोई संख्या नहीं जो 0 से गुणा करने पर ग़ैर-शून्य भाज्य वापस दे, इसलिए जाँच को पूरा करने वाला कोई भागफल और शेषफल मुमकिन ही नहीं। ऋणात्मक संख्याएँ चिह्न के किसी नियम से नहीं निपटाई जातीं बल्कि अस्वीकार की जातीं हैं, क्योंकि यहाँ दिखाई गई लिखित विधि अंकों पर चलती है और ऋणात्मक भाग के दोनों नियम अलग-अलग उत्तर देते हैं — यह पेज ऋणात्मक-रहित शेषफल छापता है, और जहाँ वह मायने रखता है वह मामला शेषफल वाले पेज का है जो दोनों नियम साथ-साथ दिखाता है। दशमलव अस्वीकार किए जाते हैं: विधि को दशमलव बिंदु के आगे शून्य जोड़कर बढ़ाया जा सकता है, पर वह अलग प्रक्रिया है और यह पेज उसे नहीं करता, हालाँकि ऊपर के दोहराते शेषफल ही उन दशमलवों का स्रोत हैं। भाज्य के रूप में शून्य स्वीकार किया जाता है और उसका भागफल 0 तथा शेषफल 0 आता है। चरणों की सूची में भाज्य के हर अंक के लिए एक पंक्ति होती है, इसलिए दस अंकों का भाज्य दस पंक्तियाँ बनाता है और पैनल जान-बूझकर लंबा हो जाता है — वह काम है, उसका सारांश नहीं। नीचे की संदर्भ तालिका 5432 ÷ 17 पर स्थिर है और आपके इनपुट का पीछा नहीं करती; ऊपर का पैनल आपकी संख्याओं का उत्तर देता है, और तालिका यह बताने के लिए है कि किसी चरण का हर स्तंभ क्या कहता है। हर मान सटीक है और कुछ भी पूर्णांकित नहीं होता।

दीर्घ भाग चरण दर चरण कैसे करें?

भाज्य के बाईं ओर से शुरू कीजिए, एक-एक अंक लेकर। अब तक बनी संख्या को भाजक से बाँटिए, देखिए कि वह कितनी पूरी बार समाता है, उसे उत्तर का अगला अंक लिखिए, और बचा हुआ हिस्सा रख लीजिए। फिर अगला अंक नीचे लाइए — उसे बचे हुए के साथ जोड़ दीजिए — और अंक ख़त्म होने तक यही दोहराइए। 1234 ÷ 12 पर इससे अंक 0, 1, 0, 2 बनते हैं और आख़िरी शेषफल 10 आता है, यानी उत्तर 102 शेषफल 10 है।

भागफल और शेषफल में क्या अंतर है?

भागफल यह बताता है कि भाजक भाज्य में कितनी पूरी बार समाता है, और शेषफल वह है जो समाना बंद होने पर बच जाता है। दोनों परिभाषा से जुड़े हैं: भाज्य बराबर भाजक गुणा भागफल धन शेषफल। 1234 ÷ 12 पर भागफल 102 और शेषफल 10 है, और 12 × 102 + 10 वापस 1234 देता है। शेषफल हमेशा भाजक से छोटा रहता है, और यही बात भागफल को सबसे बड़ी पूर्ण संख्या बनाती है जो काम करती है।

यहाँ शेषफल ऋणात्मक क्यों नहीं होता?

क्योंकि यह पेज वह नियम अपनाता है जिसमें शेषफल ऋणात्मक-रहित होता है — भाजक का वह सबसे बड़ा गुणज घटाया जाता है जो भाज्य से ज़्यादा न हो, और जो बचता है वह 0 और भाजक के बीच रहता है। प्रोग्रामिंग की भाषाएँ अक्सर ट्रंकेशन करती हैं, जिसमें शेषफल ऋणात्मक रह सकता है: -1 को 2 से बाँटने पर ट्रंकेशन में शेषफल -1 आता है और इस नियम में 1। शेषफल का पेज दोनों साथ-साथ दिखाता है। यहाँ ऋणात्मक भाज्य को चुपचाप किसी एक नियम से निपटाने के बजाय अस्वीकार किया जाता है।

क्या उत्तर में शून्य आ सकता है?

हाँ, और वह शून्य उत्तर का हिस्सा होता है। जिस चरण की संख्या भाजक से छोटी हो वहाँ शून्य अंक आता है, इसलिए 1234 ÷ 12 से अंक 0, 1, 0, 2 बनते हैं — बीच वाला शून्य हटाया नहीं जा सकता, क्योंकि 102 और 12 अलग-अलग संख्याएँ हैं। सिर्फ़ आगे वाला शून्य छोड़ा जाता है, क्योंकि 0102 और 102 एक ही संख्या हैं।

भाज्य भाजक से छोटा हो तो क्या होता है?

भागफल 0 होता है और शेषफल पूरा भाज्य। 7 ÷ 999999999 में भाजक शून्य बार जाता है, इसलिए कुछ घटाया नहीं जाता और पूरा 7 बचा रह जाता है; जाँच 999999999 × 0 + 7 = 7 पढ़ती है। चरणों की सूची में एक ही पंक्ति होती है, क्योंकि चरणों की संख्या हमेशा भाज्य के अंकों की संख्या के बराबर होती है, भाजक से जुड़ी किसी बात के बराबर नहीं।

शेषफल दोहराने क्यों लगते हैं?

क्योंकि हर चरण सिर्फ़ उसी संख्या पर निर्भर है जो उसमें आई, इसलिए जैसे ही कोई शेषफल लौटकर आता है, उसके बाद का पूरा क्रम भी दोहराता है। 1000000000 को 7 से बाँटने पर शेषफल 1, 3, 2, 6, 4, 5 और फिर दोबारा 1 आते हैं, इसलिए भागफल के अंक 142857 दोहराते हैं। दोहराते दशमलव यहीं से आते हैं: इसी काम को दशमलव बिंदु के आगे शून्य जोड़ते हुए बढ़ाने पर वही चक्र 1/7 का दोहरने वाला खंड बन जाता है।

• Long division — the written algorithm, including the notation and the digit-by-digit procedure this page prints one line at a time — Wolfram MathWorld (United States)
• Division — the dividend, divisor, quotient and remainder, and the identity that relates them — Wolfram MathWorld (United States)
• Quotient — what a quotient is, and the distinction between the exact quotient and the whole-number part that long division produces — Wolfram MathWorld (United States)