शेषफल कैलकुलेटर

47 = 5 × 9 + 2 ⇒ भागफल 9, शेषफल 2; और −47 = 5 × −10 + 3 यूक्लिडीय में, बनाम −47 = 5 × −9 + −2 ट्रंकेटेड में

47

भाज्य, यानी वह संख्या जिसे बाँटा जा रहा है — −1000000000 से 1000000000 तक कोई पूर्ण संख्या। ऋणात्मक मान मान्य हैं और नीचे वाला शेषफल का नियम वाले फ़ील्ड इसी वजह से मौजूद है। दशमलव पूर्णांकित करके नहीं लिए जाते बल्कि अस्वीकार किए जाते हैं, क्योंकि शेषफल पूर्ण संख्याओं के बारे में एक कथन है

5

भाजक — −1000000000 से 1000000000 तक कोई पूर्ण संख्या। यह 0 नहीं हो सकता: तब कोई भागफल जाँच पर खरा नहीं उतरता। यह ऋणात्मक भी हो सकता है, और ऋणात्मक भाजक दोनों नियमों में भागफल का चिह्न पलट देता है — उसे सीधा रखने का काम जाँच वाली पंक्ति करती है

ट्रंकेटेड

वह नियम जो ठीक भागफल का दशमलव हिस्सा गिरा देता है और उसे शून्य की तरफ़ खिसका देता है: −47 ÷ 5 में −9 आता है क्योंकि −9.4 को काटकर −9 कर दिया जाता है। तब शेषफल भाज्य का चिह्न ले लेता है और ऋणात्मक हो सकता है। ज़्यादातर प्रोग्रामिंग भाषाएँ यही देती हैं और यही यहाँ डिफ़ॉल्ट है

यूक्लिडीय

वह नियम जो भागफल को अगली पूर्ण संख्या तक नीचे ले जाता है, जिससे शेषफल कभी ऋणात्मक नहीं होता: −47 ÷ 5 में −10 आता है और शेषफल 3 रहता है। संख्या-सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित को यही चाहिए, क्योंकि किसी चक्र में जगह बताने वाला ऋणात्मक शेषफल निरर्थक है। जब दोनों संख्याएँ धनात्मक हों तो दोनों नियम एक ही उत्तर देते हैं

भागफल 9

भाजक कितनी पूरी बार समाता है। ट्रंकेटेड में यह ठीक भागफल है जिसका दशमलव हिस्सा गिरा दिया गया; यूक्लिडीय में यह ठीक भागफल को नीचे की ओर पूर्णांकित करके निकाला जाता है। जब चिह्नों की वजह से शेषफल ऋणात्मक हो जाए तो दोनों में ठीक 1 का अंतर आता है, और बाक़ी कभी नहीं

शेषफल 2

जो बच जाता है, और पूरा पेज जिसके बारे में है। यह हमेशा भाजक से छोटा होता है, निरपेक्ष मान में, और जब भाग पूरा-पूरा चुक जाए तो 0 होता है। इसका चिह्न ही दोनों नियमों का पूरा अंतर है: ट्रंकेटेड में यह भाज्य के पीछे चलता है, यूक्लिडीय में यह कभी 0 से नीचे नहीं जाता

चीज़ों को समूहों में बाँटना रोज़मर्रा का मामला है, और यही वह मामला है जहाँ नियम से कोई फ़र्क़ नहीं पड़ता: 47 चीज़ों को 5-5 के समूहों में बाँटने पर 9 पूरे समूह बनते हैं और 2 बचती हैं, और कोई नहीं कहेगा कि उत्तर −9 है और −2 बची हैं। नियम की अहमियत उसी क्षण शुरू होती है जब संख्याएँ ऋणात्मक हो सकती हों, और ऐसा दिखने से कहीं ज़्यादा बार होता है। प्रोग्रामिंग में पूर्णांक भाग सबसे आम मामला है — ज़्यादातर भाषाएँ ट्रंकेट करती हैं, इसलिए −47 / 5 का भागफल −9 और शेषफल −2 आता है, और जो कोड शेषफल को कभी ऋणात्मक न मानकर चलता है वह ऋणात्मक इनपुट पर टूट जाता है। मॉड्यूलर अंकगणित इसका दूसरा पक्ष है: घड़ी का समय, कैलेंडर की तारीख़ें, किसी सूची में चक्कर लगाना, और तय चौड़ाई के पूर्णांकों पर कंप्यूटर की अंकगणित — सबको यूक्लिडीय वाला रूप चाहिए, क्योंकि यहाँ से तीन क़दम पीछे का मतलब है चक्र की कोई असली जगह पर पहुँचना। पढ़ाई में दीर्घ भाग के साथ ट्रंकेटेड वाला शेषफल ही पढ़ाया जाता है, ऋणात्मक संख्याएँ या तो छोड़ दी जाती हैं या उसी शेषफल-भाज्य-के-चिह्न वाले नियम से निपटाई जाती हैं। इन सब जगहों पर जाँच वाली पंक्ति काम की है, क्योंकि दोनों नियम ऐसे भागफल देते हैं जिनमें 1 का अंतर होता है और ऐसे शेषफल जिनमें भाजक का, और दोनों जोड़े परिभाषा पर खरे उतरते हैं — जो जोड़ा उस पर खरा न उतरे वह ग़लती है, चाहे मन में कोई भी नियम रहा हो।

1. 47 ÷ 5, जहाँ दोनों नियम एक ही उत्तर देते हैं

   1. 5, 47 में नौ बार जाता है: 5 × 9 = 45
   2. 47 − 45 = 2, इसलिए 2 बचता है
   3. ठीक भागफल 9.4 है, और उसे काटने पर 9 मिलता है
   4. 9.4 को नीचे की ओर पूर्णांकित करने पर भी 9 ही मिलता है, इसलिए यहाँ दोनों नियम सहमत हैं
   5. जाँच: 5 × 9 + 2 = 47

   डिफ़ॉल्ट, और वह मामला जहाँ शेषफल का नियम वाले फ़ील्ड से कोई फ़र्क़ नहीं पड़ता। जब भाज्य और भाजक का चिह्न एक ही हो तो दोनों नियम सहमत रहते हैं, और इसमें धनात्मक संख्याओं का हर जोड़ा शामिल है — चुनाव तभी दिखता है जब इनमें से एक ऋणात्मक हो। जाँच को वाक्य की तरह पढ़ना ही वह आदत है जो बनाने लायक़ है: भाजक गुणा भागफल धन शेषफल, ठीक भाज्य देना चाहिए।

2. −47 ÷ 5 ट्रंकेटेड: शेषफल ऋणात्मक हो जाता है

   1. ठीक भागफल है −47 ÷ 5 = −9.4
   2. ट्रंकेटेड दशमलव हिस्सा गिरा देता है और भागफल को शून्य की तरफ़ ले जाता है: −9
   3. 5 × −9 = −45, जो −47 से 2 ज़्यादा है, इसलिए 2 वापस लेना पड़ेगा: शेषफल −2
   4. शेषफल भाज्य का चिह्न लेता है, और यही उसे यहाँ ऋणात्मक बनाता है
   5. जाँच: 5 × −9 + −2 = −47

   भागफल −9 है, −10 नहीं, और शेषफल −2 है, 3 नहीं। यह जोड़ा और अगला जोड़ा, दोनों एक ही परिभाषा पर खरे उतरते हैं, और यही पेज का मुद्दा है: −9 के साथ शेषफल −2 और −10 के साथ शेषफल 3, दोनों −47 के सही टुकड़े हैं, और नियम तय करता है कि आपको कौन-सा मिलेगा। ज़्यादातर प्रोग्रामिंग भाषाएँ यहीं उतरती हैं, इसलिए जो कोड मान लेता है कि शेषफल कभी ऋणात्मक नहीं होता, वह इस पंक्ति पर चौंक जाएगा।

3. −47 ÷ 5 यूक्लिडीय: शेषफल ऋणात्मक नहीं रहता

   1. ठीक भागफल अब भी −47 ÷ 5 = −9.4 है
   2. नीचे की ओर पूर्णांकित करना उसे शून्य की तरफ़ नहीं बल्कि अगली पूर्ण संख्या तक ले जाता है: −10
   3. 5 × −10 = −50, जो −47 से 3 नीचे है, इसलिए 3 बचता है: शेषफल 3
   4. शेषफल ऋणात्मक नहीं है, और यही इस नियम की गारंटी है
   5. जाँच: 5 × −10 + 3 = −47

   वही भाज्य, वही भाजक, अलग उत्तर — और यह पिछले उदाहरण का सुधार नहीं है। नीचे की ओर पूर्णांकन वही है जो मॉड्यूलर अंकगणित को चाहिए, क्योंकि चक्र में जगह बताने वाला शेषफल ऋणात्मक नहीं हो सकता; उस दुनिया में −47 मॉड्यूलो 5 का मान 3 है, और किसी भी मॉड्यूलो क्रिया का नतीजा 0 और भाजक के बीच गिरने की उम्मीद की जाती है। भागफल ट्रंकेटेड से एक कम है और शेषफल ठीक भाजक के बराबर बड़ा, और दोनों नियमों के बीच यही तय रिश्ता है।

4. सीमा के पास एक ऋणात्मक भाजक: 1000000000 ÷ −999999999

   1. भाजक ऋणात्मक है, इसलिए ठीक भागफल भी ऋणात्मक है: लगभग −1.000000001
   2. शून्य की तरफ़ काटने पर −1 मिलता है
   3. −999999999 × −1 = 999999999, जो 1000000000 से 1 कम है
   4. शेषफल 1 है, और यह भाज्य का चिह्न लेता है, जो धनात्मक है
   5. जाँच: −999999999 × −1 + 1 = 1000000000

   दोनों संख्याएँ पेज जितना स्वीकार करता है उसके किनारे पर बैठी हैं, और भागफल −1 आता है क्योंकि निरपेक्ष मान में भाजक भाज्य से बस थोड़ा-सा ही बड़ा है। जाँच वाली पंक्ति ही पढ़ने लायक़ हिस्सा है: दो ऋणात्मक संख्याओं का गुणनफल धनात्मक बनता है, और उसमें 1 जोड़ने पर ठीक भाज्य पर पहुँच जाता है। ऋणात्मक भाजक दोनों नियमों में भागफल का चिह्न पलट देता है, जबकि शेषफल फिर भी भाज्य के पीछे चलता है।

भाज्य और भाजक दोनों −1000000000 से 1000000000 तक की पूर्ण संख्याएँ होनी चाहिए, दोनों सिरे समेत, और भाजक किसी भी नियम में 0 नहीं हो सकता — ऐसी कोई संख्या नहीं जो 0 से गुणा करने पर कोई ग़ैर-शून्य भाज्य लौटाए, इसलिए कोई भागफल और शेषफल जाँच पर खरा नहीं उतर सकता। दशमलव पूर्णांकित करके नहीं लिए जाते बल्कि अस्वीकार किए जाते हैं: शेषफल पूर्ण संख्याओं को पूर्ण संख्याओं से बाँटने के बारे में एक कथन है। शेषफल का नियम फ़ील्ड दो में से एक मान लेता है, ट्रंकेटेड या यूक्लिडीय, और दोनों हमेशा उपलब्ध हैं; कोई तीसरा विकल्प नहीं है, और पेज यह अनुमान नहीं लगाता कि आपका मतलब कौन-सा था। दोनों संख्याएँ धनात्मक हों तो चुनाव से कोई फ़र्क़ नहीं पड़ता, और दोनों नियम शेषफल के चिह्न तथा 1 के अंतर वाले भागफल के अलावा किसी बात पर कभी नहीं लड़ते। ट्रंकेटेड में शेषफल ऋणात्मक हो सकता है, और वह नियम का व्यवहार है, कोई ग़लती नहीं। नीचे की संदर्भ तालिका ±47 और ±5 पर तय है और आपके इनपुट का पीछा नहीं करती: वह चारों चिह्न-संयोजन एक साथ रखती है ताकि दोनों नियम आमने-सामने देखे जा सकें, और ऊपर का पैनल आपके टाइप किए हुए का जवाब देता है। हर मान ठीक है — चारों संख्याएँ ऐसी पूर्ण संख्याएँ हैं जिन्हें मशीन बिना किसी नुक़सान के रख लेती है — इसलिए यहाँ कुछ भी पूर्णांकित नहीं होता।

एक ही भाग के दो उत्तर क्यों होते हैं?

क्योंकि परिभाषा इतना ही कहती है कि भागफल गुणा भाजक धन शेषफल, भाज्य देना चाहिए, और ऋणात्मक भाज्य के लिए छोटा भागफल तथा ऋणात्मक शेषफल, या बड़ा भागफल तथा धनात्मक शेषफल — दोनों इस पर खरे उतरते हैं। −47 ÷ 5 तब −9 और शेषफल −2 है जब भागफल को शून्य की तरफ़ काटा जाए, और −10 तथा शेषफल 3 तब जब उसे नीचे की ओर पूर्णांकित किया जाए। दोनों सही हैं, और नियम तय करता है कि आपको कौन-सा मिलेगा।

मुझे कौन-सा नियम चुनना चाहिए?

यहाँ डिफ़ॉल्ट ट्रंकेटेड है क्योंकि ज़्यादातर प्रोग्रामिंग भाषाएँ यही देती हैं और लोग पूर्णांक भाग से यही मतलब लेते हैं — भागफल शून्य की तरफ़ जाता है और शेषफल भाज्य का चिह्न लेता है। यूक्लिडीय तब लीजिए जब शेषफल को ऋणात्मक नहीं होना हो: गणित के अर्थ में मॉड्यूलो, चक्र में जगह, कैलेंडर की अंकगणित, और हर वह जगह जहाँ शेषफल किसी दोहराती सूची का सूचकांक है। दोनों संख्याएँ धनात्मक हों तो चुनाव से ज़रा भी फ़र्क़ नहीं पड़ता।

भाजक ऋणात्मक हो तो शेषफल क्या होता है?

वही नियम चलता है, बस भागफल का चिह्न पलट जाता है। 47 ÷ −5 ट्रंकेटेड में −9 और शेषफल 2 देता है, क्योंकि शेषफल भाजक के बजाय भाज्य के पीछे चलता है। भाजक का ऋणात्मक होना भागफल का चिह्न बदलता है और शेषफल के चिह्न वाले नियम को अकेला छोड़ देता है, और तालिका की दूसरी पंक्ति यही दिखाती है।

क्या यह मॉड्यूलो क्रिया जैसा ही है?

संबंधित है, पर एक जैसा नहीं। मॉड्यूलो सिर्फ़ शेषफल लौटाता है और आम तौर पर ऋणात्मक न होने वाले नतीजे के साथ परिभाषित होता है, यानी यहाँ वाला यूक्लिडीय नियम। फ़र्क़ ऋणात्मक इनपुट पर दिखता है: −47 मॉड्यूलो 5 का मान 3 है, जबकि ट्रंकेटेड पूर्णांक भाग −2 लौटाता है। अगर आप ऋणात्मक न होने वाला नतीजा चाहते हैं तो यूक्लिडीय चुनिए; अगर भागफल शून्य की तरफ़ पूर्णांकित चाहिए तो ट्रंकेटेड।

जब भाग पूरा-पूरा चुक जाए तो शेषफल क्या होता है?

दोनों नियमों में शून्य। जब भाजक पूरी बार समा जाए तो कुछ बचता ही नहीं, और जाँच भाजक गुणा भागफल बराबर भाज्य पढ़ी जाती है, जिसमें तीसरा पद ही नहीं होता। शेषफल 0 एक सामान्य उत्तर है और इसका मतलब है कि भाग पूरा-पूरा चुका, यह नहीं कि नतीजा बिगड़ गया।

भाजक शून्य क्यों नहीं हो सकता?

क्योंकि तब कोई भागफल और शेषफल जाँच पर खरा नहीं उतर सकता। अगर भाजक 0 हो तो 0 गुणा कोई भी भागफल 0 ही होगा, इसलिए जाँच को शेषफल को भाज्य के बराबर भी माँगना पड़ेगा और उसे भाजक से छोटा भी, निरपेक्ष मान में — किसी भी ग़ैर-शून्य भाज्य के लिए यह असंभव है, और भाज्य 0 हो तो उत्तर एक के बजाय हर संख्या एक साथ बन जाएगा। पेज मनमाना कुछ लौटाने के बजाय इनकार कर देता है।

• Remainder — the definition, the identity linking dividend, divisor, quotient and remainder, and the different conventions in use when signs are involved — Wolfram MathWorld (United States)
• Modular arithmetic — where the non-negative remainder convention comes from, and why a negative remainder is not usable as a position in a cycle — Wolfram MathWorld (United States)
• Division — the dividend, divisor and quotient, and the identity restated as the check the page prints — Wolfram MathWorld (United States)