म.स.प. कैलकुलेटर

24 = 2³ × 3, 36 = 2² × 3², 60 = 2² × 3 × 5 ⇒ gcf(24, 36, 60) = 2² × 3 = 12, और तीनों के सामान्य भाजक हैं 1, 2, 3, 4, 6, 12

24, 36, 60

वे संख्याएँ जिनकी तुलना करनी है, दो से दस, हर एक 1 से 1000000 तक की पूर्ण संख्या। इन्हें स्पेस, अल्पविराम या अर्धविराम से अलग किया जाता है, इसलिए 24 36 60 और 24, 36, 60 एक ही इनपुट हैं। दशमलव बिंदु या भिन्न की रेखा गोल करने के बजाय ठुकरा दी जाती है, और 0 भी — gcd(0, 0) की कोई एक परिपाटी नहीं है, और यह पेज आपके लिए कोई एक नहीं चुनेगा

2³ × 3

24 का अभाज्य गुणनखंडन: दो के तीन गुणक और तीन का एक गुणक। 1 से बड़ी हर पूर्ण संख्या का ऐसा ठीक एक ही टूटना होता है, और यही बात दूसरे तरीक़े को काम करने देती है

2² × 3

वह हिस्सा जिस पर तीनों गुणनखंडन सहमत हैं: दो दो और एक तीन, यानी 4 × 3 = 12। नियम यह है कि हर साझा अभाज्य की सबसे «छोटी» घात ली जाती है, सबसे बड़ी नहीं — भाजक को सब संख्याओं को बाँटना है, इसलिए वह उससे ज़्यादा कभी नहीं हो सकता जितना सबसे कंजूस संख्या देती है

1, 2, 3, 4, 6, 12

हर सामान्य भाजक, बढ़ते क्रम में। आख़िरी वाला ही महत्तम समापवर्तक है, और यह सूची ही जाँच है: 12, 24, 36 और 60 को बिना कुछ बचे बाँट देता है, और उससे अगला भाजक 18 सिर्फ़ 36 को बाँटता है

gcf(a, b, c) = gcf(gcf(a, b), c)

दो से ज़्यादा संख्याओं को कैसे सँभाला जाता है: दो-दो करके, चलता हुआ जवाब अगली संख्या में पिरोते जाते हुए। यह कोई अलग तरीक़ा नहीं, वही दो-संख्या वाला तरीक़ा बार-बार लगाया हुआ है — इसीलिए पेज तीन संख्याओं के लिए वही जवाब देता है जो किसी भी शुरुआती जोड़े से मिलता

सहअभाज्य

ऐसे जोड़े का नाम जिसका अकेला सामान्य भाजक 1 हो, यानी महत्तम समापवर्तक 1। 9 और 20 सहअभाज्य हैं, हालाँकि इनमें से कोई भी अभाज्य नहीं है, और कोई भी दो लगातार पूर्ण संख्याएँ हमेशा सहअभाज्य होती हैं

भिन्न को न्यूनतम रूप में लाना रोज़मर्रा का इस्तेमाल है: 24/36, दोनों हिस्सों को 12 से भाग देने पर 2/3 बन जाता है, और यही क़दम यहाँ के हर भिन्न वाले पेज की पहली चीज़ है। किसी व्यंजन या नक़्शे को उसके सबसे छोटे पूर्ण-संख्या अनुपात तक उतारना वही क्रिया है, बस दूसरे कपड़ों में — जो मिश्रण 24 : 36 : 60 लिखा हो वह 2 : 3 : 5 वाला ही मिश्रण है, और दूसरा रूप ही है जो लेबल पर बैठता है। अंकगणित के कोर्सवर्क में यह भाजक सीधे पूछा जाता है, और छपी हुई सामान्य-भाजक सूची ही पूरा हल है: वह दिखाती है कि जवाब भाजकों की तुलना से निकला है, अंदाज़े से नहीं। यह दो और जगह आता है। किसी आयत को सबसे बड़ी मुमकिन वर्गाकार टाइलों से भरना भेस बदला हुआ महत्तम-समापवर्तक का सवाल है, और जवाब वही टाइल का नाप है। और संख्या सिद्धांत में, दो संख्याओं का सहअभाज्य होना वह शर्त है जिस पर कई और नतीजे टिके हैं, उनमें वह भी जिस पर RSA एन्क्रिप्शन खड़ा है — कोई मापांक तभी सुरक्षित रहता है जब वह उस घातांक से सहअभाज्य हो जिसके साथ वह इस्तेमाल होता है। जब संख्याएँ बेढब हों — जैसे 1071 और 462 — तब हाथ से गुणनखंड करना ठीक नहीं रहता और यूक्लिड एल्गोरिदम सँभाल लेता है; इस पेज के उदाहरण दिखाते हैं कि दोनों रास्ते वही 21 देते हैं।

1. 24, 36 और 60 का महत्तम समापवर्तक

   1. 24 के भाजक: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
   2. 36 के भाजक: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
   3. 60 के भाजक: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60
   4. जो तीनों सूचियों में हैं वही रखिए: 1, 2, 3, 4, 6, 12
   5. इनमें सबसे बड़ा 12 है, इसलिए महत्तम समापवर्तक 12 है

   यही डिफ़ॉल्ट इनपुट है, और वही जिसे नीचे की तालिका पूरा खोलती है। इसके बजाय अभाज्य गुणनखंडन से कीजिए: 24 = 2³ × 3, 36 = 2² × 3², 60 = 2² × 3 × 5, तीनों में 2² और एक 3 साझा है, और 2² × 3 = 12। सामान्य भाजकों की सूची ही रखने लायक हिस्सा है — यह अकेला ऐसा नतीजा है जो दिखाता है कि जवाब सबसे बड़ा है, केवल कोई साझा भाजक नहीं, क्योंकि 8 और 9 तीनों में से दो-दो को बाँटते हैं, सबको नहीं।

2. बेढब संख्याएँ: 1071 और 462

   1. 1071 ÷ 462 = 2, शेषफल 147
   2. 462 ÷ 147 = 3, शेषफल 21
   3. 147 ÷ 21 = 7, शेषफल 0 — शेषफल शून्य पर पहुँच गया, इसलिए रुक जाइए
   4. आख़िरी ग़ैर-शून्य शेषफल 21 है, इसलिए महत्तम समापवर्तक 21 है
   5. दोनों का गुणनखंड करके जाँचिए: 1071 = 3 × 7 × 51 और 462 = 2 × 3 × 7 × 11, इसलिए साझा हिस्सा 3 × 7 है

   इसी जोड़ी की वजह से यूक्लिड एल्गोरिदम इस पेज पर मौजूद है: दोनों में से कोई भी संख्या देखते ही नहीं टूटती, और हाथ से भाजक गिनना धीमा भी होगा और ग़लती भरा भी। चार भाग इसे तय कर देते हैं। जवाब 21 दोनों को बाँटने वाली सबसे बड़ी संख्या भी है, और साझा सूची छोटी है — 1, 3, 7, 21 — जो आम तौर पर यह संकेत होता है कि दो संख्याओं में बहुत कम साझा है।

3. सहअभाज्य संख्याएँ: 9 और 20

   1. 9 के भाजक: 1, 3, 9
   2. 20 के भाजक: 1, 2, 4, 5, 10, 20
   3. दोनों सूचियों में साझा सिर्फ़ 1 है
   4. इसलिए महत्तम समापवर्तक 1 है

   1 आना असली जवाब है, कोई नाकामी नहीं — ये दोनों संख्याएँ सहअभाज्य हैं। ऐसा तब होता है जब संख्याओं में कोई अभाज्य साझा ही न हो, और यह आम है: कोई भी दो लगातार पूर्ण संख्याएँ हमेशा सहअभाज्य होती हैं, और कोई भी अभाज्य ऐसी किसी संख्या के साथ भी जो उसका गुणज न हो। इस पेज पर सहअभाज्य जोड़ी सबसे छोटी मुमकिन सामान्य-भाजक सूची लेकर लौटती है, बस एक 1।

4. संख्या अपने ही साथ: 36 और 36

   1. 36 के भाजक: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
   2. सूची की दोनों प्रविष्टियाँ एक ही संख्या हैं, इसलिए दोनों भाजक-सूचियाँ बिलकुल एक जैसी हैं
   3. सबसे बड़ा साझा भाजक 36 ख़ुद है

   जवाब जितना बड़ा हो सकता है, उसका ऊपरी सिरा: किसी सूची का महत्तम समापवर्तक उसमें पड़ी सबसे छोटी संख्या से कभी बड़ा नहीं हो सकता, और वह इस छत तक ठीक तभी पहुँचता है जब सबसे छोटी संख्या बाक़ी सबको बाँट दे। इनपुट में कोई संख्या दोहराने से कुछ नहीं बदलता — 36 और 36 का भाजक 36 है, वही जो एक संख्या की सूची का होता।

हर संख्या 1 से 1000000 तक की पूर्ण संख्या होनी चाहिए, और उनकी गिनती दो से दस के बीच। शून्य ठुकरा दिया जाता है, और यह कोई चूक नहीं, एक फ़ैसला है: gcd(0, 5) एक आम परिपाटी में 5 है और दूसरी में अपरिभाषित, और gcd(0, 0) कुछ किताबों में 0 है और बाक़ी में परिभाषित ही नहीं। इनमें से कोई भी जवाब छापना उस पाठक के लिए ग़लत होगा जो किसी और परिपाटी पर चल रहा हो, इसलिए पेज इसके बजाय धनात्मक संख्याएँ माँगता है। ऋणात्मक संख्याएँ भी इसी तरह की वजह से ठुकरा दी जाती हैं — ज़्यादातर जगह −24 और 36 का भाजक 12 होता है, पर चिह्नों के नियम एक अलग परिपाटी हैं जो यह पेज कहीं नहीं लिखता। दशमलव और भिन्न गोल करने के बजाय ठुकरा दिए जाते हैं: महत्तम समापवर्तक इस बात का कथन है कि पूर्ण संख्याएँ पूर्ण संख्याओं को बाँटती हैं, और 2.5 ÷ 1.25 में कुछ नहीं बचता, जिससे जवाब का कोई मतलब ही नहीं रह जाता। विभाजक स्पेस, अल्पविराम या अर्धविराम हो सकते हैं, मिले-जुले भी; इसके अलावा कुछ भी संख्या का हिस्सा मान लिया जाता है और इनपुट पढ़ा ही नहीं जा सकता। नीचे की संदर्भ तालिका 24, 36 और 60 पर स्थिर है और आपने जो टाइप किया उसका पीछा नहीं करती — पैनल आपकी संख्याओं का जवाब देता है, तालिका तरीक़ा दिखाती है। दोहराई गई प्रविष्टियाँ चलती हैं और कुछ नहीं बदलतीं। जवाब ठीक-ठीक होता है, कभी गोल नहीं: इस पेज का हर मान ऐसी पूर्ण संख्या है जो उस दायरे के काफ़ी भीतर है जिसे मशीन ठीक-ठीक रखती है।

महत्तम समापवर्तक हाथ से कैसे निकालूँ?

हर संख्या के भाजक गिन लीजिए और उनमें सबसे बड़ा साझा वाला ले लीजिए। 24, 36 और 60 की सूचियाँ 12 पर जाकर मिलती हैं, इसलिए महत्तम समापवर्तक 12 है। बड़ी संख्याओं के लिए तेज़ रास्ता यूक्लिड एल्गोरिदम है: बड़ी को छोटी से भाग दीजिए, बड़ी की जगह शेषफल रख दीजिए, और शेषफल शून्य होने तक दोहराइए — 1071 और 462 के लिए यह चार भाग हैं और जवाब 21 है। दोनों रास्ते वही संख्या देते हैं, और ऊपर के उदाहरणों में दोनों दिखाए गए हैं।

म.स.प. 1 आने का क्या मतलब है?

कि संख्याएँ सहअभाज्य हैं, जो सामान्य जवाब है, कुछ गड़बड़ हो जाने का संकेत नहीं। 9 और 20 में कोई अभाज्य साझा ही नहीं है, इसलिए 1 अकेली संख्या है जो दोनों को बाँटती है। ऐसा अक्सर होता है: कोई भी दो लगातार पूर्ण संख्याएँ सहअभाज्य होती हैं, और कोई भी अभाज्य ऐसी किसी चीज़ के साथ भी जो उसका गुणज न हो। ऐसी स्थिति में सामान्य भाजकों की सूची सिर्फ़ एक 1 लेकर लौटती है।

पेज 0 और ऋणात्मक संख्याएँ क्यों ठुकरा देता है?

क्योंकि जवाब ऐसी परिपाटी पर निर्भर हो जाएगा जो यह पेज नहीं लिखता। gcd(0, 5) बहुत सी किताबों में 5 है और कुछ में अपरिभाषित, और gcd(0, 0) कुछ जगह 0 है और बाक़ी में परिभाषित ही नहीं। ऋणात्मक संख्याएँ चिह्नों के अपने अलग नियम लेकर आती हैं। कोई एक परिपाटी चुनकर चुपचाप छापने के बजाय पेज 1 से ऊपर की पूर्ण संख्याएँ माँगता है, जहाँ हर स्रोत सहमत है।

अभाज्य गुणनखंडन वाला तरीक़ा कैसे काम करता है?

हर संख्या को अभाज्यों में तोड़िए, फिर वे अभाज्य रखिए जो सब संख्याओं में आते हैं, और हर एक की सबसे छोटी घात लीजिए। 24, 36 और 60 के लिए वे 2² और 3 हैं, इसलिए जवाब 12 है। सबसे छोटी घात लेना इसलिए ज़रूरी है कि भाजक को सूची की हर संख्या को बाँटना है: 36 में 3² है पर 24 में एक ही 3, इसलिए दूसरा 3, 24 का भाग तोड़ देगा। बेढब संख्याओं पर गुणनखंडन यूक्लिड एल्गोरिदम से धीमा है, पर वह जवाब समझा देता है।

क्या जवाब सूची की सबसे छोटी संख्या से बड़ा हो सकता है?

नहीं। किसी सूची का सामान्य भाजक उसमें पड़ी सबसे छोटी संख्या को बाँटता है, इसलिए वह उस संख्या से कभी बड़ा नहीं हो सकता, और भाजक ठीक उसी छत तक तभी पहुँचता है जब सबसे छोटी संख्या बाक़ी सबको बाँट दे। 36 और 36 का भाजक 36 है, और 12, 24 तथा 36 का भाजक 12 है। यह 1 से छोटा भी कभी नहीं होता, क्योंकि 1 हर पूर्ण संख्या को बाँटता है।

महत्तम समापवर्तक का इस्तेमाल कहाँ होता है?

भिन्न को न्यूनतम रूप में लाना सबसे आम इस्तेमाल है: 24/36 के दोनों हिस्सों को 12 से भाग देने पर 2/3 मिलता है, वही मान, सबसे छोटे मुमकिन हर के साथ। किसी अनुपात को छोटा करना वही क़दम है — 24 : 36 : 60 वही मिश्रण है जो 2 : 3 : 5। और दो संख्याओं का सहअभाज्य होना, यानी उनका भाजक 1 होना, वह शर्त है जो संख्या सिद्धांत के कई नतीजों को चाहिए, उनमें वह भी जिस पर RSA एन्क्रिप्शन खड़ा है।

• Greatest common divisor — the definition, the Euclidean algorithm, and the prime factorization method — Wolfram MathWorld (United States)
• Divisor — what it means for one whole number to divide another exactly, and how divisors are listed in pairs — Wolfram MathWorld (United States)
• Divisors of n arranged as a triangle — the sequence 1; 1, 2; 1, 3; 1, 2, 4; … that the divisor column of the table below is taken from, catalogued as OEIS A027750 — OEIS Foundation Inc. (United States)