अभाज्य गुणनखंड कैलकुलेटर

360 = 2^3 * 3^2 * 5; Ω(360) = 3 + 2 + 1 = 6; d(360) = (3+1) * (2+1) * (1+1) = 24

n

वह संख्या जिसे तोड़ा जा रहा है — 1 से 1000000 तक की कोई पूर्ण संख्या। यह वही दायरा है जो संख्या-सिद्धांत वाला मॉड्यूल हर जगह इस्तेमाल करता है, इसलिए यह गुणनखंड वाले पेज से ठीक मेल खाता है और दोनों के बीच आने-जाने वाले पाठक को वही सिरे मिलते हैं। दशमलव पूर्णांकित करके नहीं लिए जाते बल्कि अस्वीकार किए जाते हैं, और 0 तथा ऋणात्मक संख्याएँ भी अस्वीकार की जाती हैं क्योंकि अभाज्य गुणनखंडन धनात्मक पूर्ण संख्याओं के बारे में एक कथन है

p

एक अभाज्य गुणनखंड — ऐसी अभाज्य संख्या जो n को पूरा-पूरा बाँटती हो। पेज इन्हें बढ़ते क्रम में क्रमिक भाग से ढूँढ़ता है, इसलिए सबसे छोटी अभाज्य संख्या हमेशा पहले निकलती है और छपा हुआ गुणनखंडन हमेशा सबसे छोटी अभाज्य संख्या से सबसे बड़ी तक चलता है। 360 के लिए अभाज्य संख्याएँ 2, 3 और 5 हैं, और कोई चौथी अभाज्य संख्या उसे नहीं बाँटती

e

किसी अभाज्य संख्या पर लगी घात — यानी वह उस गुणनफल में कितनी बार आती है। 360 है 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5, इसलिए 2 तीन बार आता है और 3 दो बार। जो अभाज्य संख्या एक ही बार आए उसके साथ कोई घात नहीं छपती: 360 का 5 सादा 5 लिखा जाता है, 5^1 नहीं, यही आम परंपरा है और इससे छोटे गुणनखंडन पढ़ने लायक़ बने रहते हैं

2^3 * 3^2 * 5

360 का गुणनखंडन जैसा वह छपता है, और यही डिफ़ॉल्ट इनपुट है। ^ चिह्न घात के लिए खड़ा है और * चिह्न गुणा के लिए, इसलिए पूरी चीज़ किसी सादे पाठ-ख़ाने या खोज-पट्टी में कॉपी करने पर भी बनी रहती है। 1 से बड़ी हर पूर्ण संख्या के लिए ऐसा व्यंजक ठीक एक ही होता है, और यही इसे छापने लायक़ बनाता है: 360 को अभाज्य संख्याओं के किसी दूसरे गुणनफल की तरह भी नहीं लिखा जा सकता

Ω(360) = 3 + 2 + 1 = 6

दोहराव समेत गिने गए अभाज्य गुणनखंडों की संख्या: तीन 2, दो 3 और एक 5, कुल छह। यही वह गिनती है जो लोगों को चौंकाती है, क्योंकि 360 तीन अभाज्य संख्याओं से बना लगता है, छह से नहीं। तरीक़ा यह है कि घातों को जोड़ा जाए, अलग-अलग अभाज्य संख्याएँ न गिनी जाएँ, और जब कभी कोई घात 1 से बड़ी हो तो दोनों उत्तर अलग पड़ते हैं

d(360) = (3+1) * (2+1) * (1+1) = 24

धनात्मक भाजकों की संख्या, जो उन्हीं घातों से हर एक में एक जोड़कर और सबको गुणा करके निकाली जाती है। सूची है 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180 और 360 — कुल चौबीस। यह ऊपर वाले सवाल से अलग सवाल है: यह उन संख्याओं को गिनता है जो 360 को बाँटती हैं, उन अभाज्य संख्याओं को नहीं जो उसे बनाती हैं

गुणनखंडन तब चाहिए जब सवाल किसी संख्या के आकार का नहीं बल्कि उसकी गुणात्मक बनावट का हो। किसी भिन्न या वर्गमूल को सरल करना रोज़मर्रा का मामला है: 72 का वर्गमूल 6√2 बन जाता है क्योंकि 72 = 2³ × 3², और हर अभाज्य संख्या की घात बताती है कि उसमें से कितना कुछ करणी के बाहर निकल सकता है — वर्गमूल वाला पेज ठीक यही गुणनखंडन पढ़ता है। दो संख्याओं का महत्तम समापवर्तक या लघुत्तम समापवर्त्य निकालना भी यही है, हर संख्या के लिए एक बार किया हुआ: साझी अभाज्य संख्याएँ अपनी छोटी घातों के साथ पहला देती हैं, और सारी अभाज्य संख्याएँ अपनी बड़ी घातों के साथ दूसरा। विभाज्यता के सवाल भी इसी तरह हल होते हैं, क्योंकि कोई संख्या दूसरी को ठीक तभी बाँटती है जब उसके सारे अभाज्य गुणनखंड और घातें दूसरी में मौजूद हों। संख्या-सिद्धांत में गुणनखंडन यह तय कर देता है कि कोई संख्या अभाज्य है या नहीं, उसके कितने भाजक हैं, वह पूर्ण वर्ग है या नहीं (हर घात सम हो तो हाँ), और पूर्ण घन है या नहीं। इस तरीक़े की सीमाएँ भी जानने लायक़ हैं: क्रमिक भाग दस लाख पर तेज़ है पर सौ अंकों की संख्या पर बेकार, और आसान तथा मुश्किल के बीच यही खाई ही वह चीज़ है जिस पर सार्वजनिक कुंजी वाली क्रिप्टोग्राफ़ी खड़ी है। जब सवाल यह हो कि आपकी संख्या को कौन-सी संख्याएँ बाँटती हैं, अभाज्य संख्याएँ नहीं बनातीं, तो गुणनखंड वाला पेज उन्हें गिनाता है; और जब यह हो कि संख्या अभाज्य है ही या नहीं, तो अभाज्य संख्या वाला पेज सीधा उत्तर देता है।

1. डिफ़ॉल्ट मामला: 360

   1. 360 सम है, इसलिए 2 से बाँटिए: 360 / 2 = 180, फिर 180 / 2 = 90, फिर 90 / 2 = 45 — कुल तीन बार
   2. 45 सम नहीं है; अगली अभाज्य संख्या 3 है, और 45 / 3 = 15, फिर 15 / 3 = 5 — दो बार
   3. 5 अभाज्य है, इसलिए गुणनखंडन है 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5, जिसे 2^3 * 3^2 * 5 लिखा जाता है
   4. दोहराव समेत अभाज्य गुणनखंड गिनिए: 3 + 2 + 1 = 6
   5. घातों से भाजक गिनिए: (3 + 1) × (2 + 1) × (1 + 1) = 4 × 3 × 2 = 24

   डिफ़ॉल्ट इनपुट, और वही जो दिखाता है कि दोनों गिनतियाँ छपती क्यों हैं। छह और चौबीस एक-दूसरे के बग़ल बैठे हैं और जो पाठक उन्हें बराबर होने की उम्मीद करेगा वह सोचेगा कि एक टूटी हुई है। वे टूटी नहीं हैं: छह यह बताता है कि हर दोहराव रखते हुए संख्या कितने अभाज्य टुकड़ों से बनी है, और चौबीस यह कि उसे कितनी संख्याएँ बाँटती हैं। दोनों के बीच का फ़ासला घातों से आता है — अभाज्य संख्या का हर दोहराव भाजकों की गिनती को गुणा कर देता है जबकि टुकड़ों की गिनती में सिर्फ़ एक जोड़ता है। किसी एक को हाथ से जाँचिए, अंकगणित छोटा है; दोनों को जाँचिए, और याद रह जाएगा कि कौन क्या है।

2. वह छोटा मामला जो फ़ासला दिखाता है: 12

   1. 12 / 2 = 6, और 6 / 2 = 3, इसलिए 2 दो बार आता है
   2. 3 अभाज्य है, इसलिए गुणनखंडन है 2^2 * 3
   3. दोहराव समेत अभाज्य गुणनखंड गिनिए: 2 + 1 = 3, यानी 2, 2 और 3
   4. भाजक गिनिए: 1, 2, 3, 4, 6, 12 — कुल छह
   5. तरीक़े से जाँचिए: (2 + 1) × (1 + 1) = 3 × 2 = 6, जो सूची से मेल खाता है

   इस पेज की जिस उलझन के इर्द-गिर्द यह बना है उसका सबसे साफ़ छोटा उदाहरण, क्योंकि दोनों गिनतियाँ इतनी छोटी हैं कि कुछ सेकंड में हाथ से जाँची जा सकें। बारह तीन अभाज्य संख्याओं से बना है — 2, 2 और 3 — और उसे छह संख्याएँ बाँटती हैं। नतीजे को तीन भाजक या छह अभाज्य गुणनखंड पढ़ना दोनों कानों को ठीक लगते हैं और दोनों ग़लत हैं। भाजकों की सूची वह जोड़ीदारी भी दिखाती है जिससे छह एक सम गिनती बनती है: 1 का 12 के साथ, 2 का 6 के साथ, 3 का 4 के साथ। बारह पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए कोई भाजक अपने आप के साथ जोड़ा नहीं बनाता, और इसीलिए गिनती सम है।

3. अटपटा मामला: 1

   1. 1 किसी भी अभाज्य संख्या से विभाज्य नहीं है — 2, 3, 5 या किसी और से बाँटने पर भिन्न बचता है
   2. इसलिए कोई अभाज्य गुणनखंड है ही नहीं, और उनकी गिनती 0 है
   3. 1 को बाँटने वाली इकलौती धनात्मक संख्या 1 ख़ुद है, इसलिए भाजकों की गिनती 1 है
   4. गुणनखंडन अकेला अंक 1 बनकर छपता है, ख़ाली ख़ाने की तरह नहीं

   यह वह मामला है जिसे निकाला नहीं जाता बल्कि तय किया जाता है, और फ़ैसला यह है कि 1 छापा जाए। गुणनखंडन को ख़ाली छोड़ देना गणना की नाकामी जैसा पढ़ा जाता, और नतीजे के पैनल को कभी भी ऐसा नहीं दिखना चाहिए। इसके बाद दोनों गिनतियाँ ईमानदारी से निकल आती हैं: कोई अभाज्य संख्या नहीं, और एक भाजक। एक न अभाज्य है न भाज्य संख्या — यह गुणा का तत्समक है, वह संख्या जिससे गुणा करने पर कुछ नहीं बदलता — और पेज इसके उलट कुछ नहीं दिखाता। इसे अस्वीकार करने के बजाय स्वीकार इसलिए किया जाता है कि इनपुट का दायरा 1 से शुरू होता है, और जो दायरा अपने ही निचले सिरे को बाहर कर दे वह समझाने में और भी अटपटा होता।

इनपुट 1 से 1000000 तक की पूर्ण संख्या होनी चाहिए। शून्य अस्वीकार किया जाता है: शून्य को हर अभाज्य संख्या बाँटती है, इसलिए गुणनफल अनंत होना पड़ता। ऋणात्मक संख्याएँ इसी से जुड़ी वजह से अस्वीकार की जाती हैं — अभाज्य संख्याएँ उन्हें भी बाँटती हैं, पर चिह्न अलग से ढोना पड़ता है और अद्वितीय गुणनखंडन वाला कथन धनात्मक संख्याओं के बारे में है। दशमलव पूर्णांकित करके नहीं लिए जाते बल्कि अस्वीकार किए जाते हैं, क्योंकि पूर्णांकन चुपचाप किसी और संख्या के बारे में उत्तर दे देगा। दस लाख की छत साझा संख्या-सिद्धांत मॉड्यूल से आती है और शुद्धता की नहीं बल्कि ख़र्च की बात है: हर अभाज्य संख्या से वर्गमूल तक क्रमिक भाग दस लाख पर तेज़ है और बीस अंकों की संख्या पर बेकार। यह इस तरीक़े की असली सीमा है, और यही सीमा सार्वजनिक कुंजी वाली क्रिप्टोग्राफ़ी को काम करने देती है। पेज गुणनखंडन और दो गिनतियाँ बताता है, और कुछ नहीं: यह भाजक ख़ुद नहीं गिनाता, कई संख्याओं का महत्तम समापवर्तक या लघुत्तम समापवर्त्य नहीं निकालता, और करणी या भिन्न सरल नहीं करता। 1 की घात कभी नहीं छपती, इसलिए जो अभाज्य संख्या एक ही बार आए वह सादी संख्या बनकर दिखती है, और गुणा का चिह्न हर जगह तारा है, जिसका मतलब है कि नतीजा सादा ASCII है और उसमें हज़ार का कोई विभाजक नहीं। और नीचे की संदर्भ तालिका चार तय संख्याएँ दिखाती है, आपके इनपुट का पीछा नहीं करती।

इस पेज की दोनों गिनतियों में क्या अंतर है?

पहली अभाज्य गुणनखंडों को दोहराव समेत गिनती है, दूसरी भाजकों को। 12 पर उत्तर 3 और 6 हैं, और दोनों सही हैं। बारह है 2 × 2 × 3, इसलिए वह तीन अभाज्य टुकड़ों से बना है; और 1, 2, 3, 4, 6 तथा 12 सब उसे बाँटते हैं, इसलिए उसके छह भाजक हैं। उलझन स्वाभाविक है क्योंकि छोटे इनपुट पर दोनों संख्याएँ पास-पास होती हैं। पहली का तरीक़ा घातों को जोड़ना है; दूसरी का तरीक़ा हर घात में एक जोड़कर गुणा करना है। यही गुणा वजह है कि दूसरी गिनती इतनी तेज़ी से भागती है — अभाज्य संख्या का हर अतिरिक्त दोहराव भाजकों की गिनती को गुणा कर देता है जबकि पहली में सिर्फ़ एक जोड़ता है।

क्या किसी संख्या का अभाज्य गुणनखंडन एक ही होता है?

हाँ, और यह परंपरा नहीं बल्कि एक प्रमेय है — अंकगणित का मूल प्रमेय। 1 से बड़ी हर पूर्ण संख्या अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में लिखी जा सकती है, और क्रम को अनदेखा कर दें तो लिखने का तरीक़ा ठीक एक ही है। तीन सौ साठ कभी सिर्फ़ 2³ × 3² × 5 ही होता है; वह अभाज्य संख्याओं का कोई दूसरा गुणनफल भी नहीं है। इसी प्रमेय के बिना गुणनखंडन छापना उत्तर नहीं बल्कि एक जिज्ञासा होता। और इसीलिए पेज सबसे छोटी अभाज्य संख्या पहले छाप सकता है और निश्चिंत रह सकता है कि यही मानक रूप है — क्रम पढ़ने की सुविधा के लिए चुना गया है, और उसे तय कर देने से कुछ नहीं बिगड़ता।

पेज 1 के साथ क्या करता है?

वह गुणनखंडन के रूप में 1 छापता है, शून्य अभाज्य गुणनखंड और एक भाजक के साथ। एक न अभाज्य है न भाज्य संख्या: सामान्य अर्थ में उसका कोई अभाज्य गुणनखंडन नहीं है, और ऊपर वाला प्रमेय इसीलिए 1 से बड़ी संख्याओं के लिए कहा गया है। पर ख़ाली नतीजा पैनल गणना की नाकामी जैसा पढ़ा जाता, इसलिए पेज अंक छाप देता है और दोनों गिनतियाँ ईमानदारी से बताता है। 1 के भाजकों की गिनती सचमुच 1 है, क्योंकि 1 को बाँटने वाली इकलौती धनात्मक संख्या 1 ख़ुद है, और अभाज्य गुणनखंडों की गिनती सचमुच 0 है। एक को अस्वीकार करने के बजाय स्वीकार इसलिए किया जाता है कि इनपुट का दायरा 1 से शुरू होता है, और अपने ही दायरे के निचले सिरे को ठुकराना समझाने में ज़्यादा मुश्किल है।

यह दस लाख पर क्यों रुक जाता है?

क्योंकि तरीक़ा क्रमिक भाग है, और उसका ख़र्च संख्या के वर्गमूल के साथ बढ़ता है। दस लाख के आसपास की संख्या के अभाज्य गुणनखंड ढूँढ़ने का मतलब है हज़ार तक के भाजक आज़माना, जो पलक झपकते हो जाता है। बीस अंकों की संख्या के लिए दस अरब तक आज़माना पड़ेगा, जो नहीं होता। यह फ़ासला कार्यान्वयन का ब्यौरा नहीं है — यह समस्या का असली गुण है, और सार्वजनिक कुंजी वाली क्रिप्टोग्राफ़ी इसी मान्यता पर खड़ी है, जहाँ बड़ी संख्याओं का गुणनखंडन मुश्किल होना ही संदेश को निजी रखता है। दस लाख के भीतर हर उत्तर तुरंत आ जाता है, और छत इनपुट में कह दी जाती है, किसी समय-सीमा में छिपाई नहीं जाती।

मुझे गुणनखंडों की सूची के बजाय गुणनखंडन कब चाहिए?

जब सवाल सदस्यता का नहीं बल्कि बनावट का हो। 72 का वर्गमूल सरल करने के लिए 72 = 2³ × 3² चाहिए, क्योंकि घातें बताती हैं कि हर अभाज्य संख्या में से कितना कुछ करणी के बाहर निकल सकता है, जिससे 6√2 मिलता है। दो संख्याओं का महत्तम समापवर्तक निकालने के लिए दोनों गुणनखंडन चाहिए, क्योंकि उत्तर साझी अभाज्य संख्याएँ उनकी छोटी घातों के साथ है। यह जाँचना कि कोई संख्या पूर्ण वर्ग है या नहीं, घातों पर एक नज़र है — सब सम हों तो हाँ। भाजक गिनाना अलग सवाल है, और संख्या के हिसाब से वह उत्तर बहुत लंबा हो सकता है: 720720 के 240 भाजक हैं, जो छापने के लिए बहुत हैं और देखने के लिए कम। जब आपको वही चाहिए हो तो इस साइट का गुणनखंड वाला पेज उन्हें गिनाता है।

एक ही बार आने वाली अभाज्य संख्या पर घात क्यों नहीं छपती?

क्योंकि अकेले 5 के लिए 5^1 लिखना शोर है। गणित की परंपरा है कि घात सिर्फ़ तब छापी जाए जब वह एक से बड़ी हो, इसलिए 360 है 2^3 * 3^2 * 5 और आख़िरी पद सादा रहता है। इसे छोड़ देने से कुछ नहीं जाता: घात का न दिखना साफ़-साफ़ यही मतलब रखता है कि घात एक है, और जो गुणनखंडन पूरा ही अकेली अभाज्य संख्याओं से बना हो — यानी वर्ग-मुक्त संख्या का गुणनखंडन — वह बिना किसी ^ के सादे गुणनफल की तरह पढ़ा जाता है। इसी परंपरा की वजह से 97, जो अभाज्य है, सिर्फ़ 97 बनकर छपता है, 97^1 नहीं।

• Prime Factorization — writing a whole number as a product of primes, and the algorithms that find the primes — Wolfram MathWorld (United States)
• Fundamental Theorem of Arithmetic — the statement that every whole number above 1 has exactly one prime factorization, which is what makes printing it worth doing — Wolfram MathWorld (United States)
• Divisor Function — the count of positive divisors, the formula that builds it from the exponents, and how it behaves on powers of a single prime — Wolfram MathWorld (United States)