करणी कैलकुलेटर

c√r → (c × m)√(r ÷ m²), जहाँ m² वह सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग है जो r को पूरा-पूरा बाँटता है सजातीय पद: k₁√r + k₂√r = (k₁ + k₂)√r

√r

करणी: किसी पूर्ण संख्या r का वर्गमूल। इस पेज का हर पद इन्हीं में से किसी एक का गुणज होता है, और दो पद ठीक तभी सजातीय होते हैं जब उनका r एक ही हो — जोड़ा आगे लिखा गुणांक जाता है।

c

गुणांक: करणी को गुणा करने वाली पूर्ण संख्या, और जब कुछ न लिखा हो तो 1। यह गिनता है कि √r की कितनी प्रतियाँ जोड़ी जा रही हैं, इसलिए 3√2 और 2√2 मिलकर पाँच बनते हैं, और 3√2 में से 3√2 घटाने पर कुछ नहीं बचता।

r

करणीय: करणी के अंदर की संख्या। किसी अकेली करणी को सरल करने का मतलब है वह सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग m² खोजना जो r को बाँटता हो और m को बाहर ले आना, जिससे पीछे छोटा करणीय रह जाता है। किसी पद का करणीय घटकर 1 तक पहुँच सकता है, और √1 बस 1 है।

m²

करणीय को बाँटने वाला सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग — 72 के लिए 36, 50 के लिए 25, 8 के लिए 4। सबसे बड़ा ही लेने से जवाब सरलतम रूप बनता है, सिर्फ़ थोड़ा छोटा रूप नहीं: 72 को 4 से बाँटने पर 18 बचता है, और 18 में अब भी एक वर्ग गुणक पड़ा रह जाता है।

सजातीय पद

वे पद जिनके करणीय सरल करने के बाद एक जैसे हो जाते हैं। करणियों का जोड़ हमेशा सजातीय पदों का ही जोड़ होता है: यहाँ गिनी जाने वाली इकाई करणीय है, और दो पद जोड़ने पर वह कभी नहीं बदलता। इसीलिए 6√2 और 3√2 मिलकर 9√4 नहीं, 9√2 बनते हैं।

यह तब काम आता है जब किसी करणी व्यंजक — वर्गमूलों के जोड़ — को उसके सरलतम करणी रूप में लिखना हो: गृहकार्य जाँचते समय, किसी जवाब को सूत्र में डालने से पहले सँवारते समय, या यह देखते समय कि दिखने में अलग दो करणियाँ असल में नीचे एक ही संख्या हैं या नहीं। इसके साथ चलने वाली जाँच यह है कि गुणांक का वर्ग करके उसे करणी के अंदर वापस गुणा कर दीजिए: 6√2 यानी 36 × 2 = 72, इसलिए 6√2 और √72 सचमुच एक ही हैं।

1. √72 + 3√2 - √8

   1. √72: 72 = 36 × 2, इसलिए सबसे बड़ा वर्ग गुणक 36 बाहर निकलकर 6 बनता है और 6√2 बचता है
   2. 3√2: करणीय 2 में कोई वर्ग गुणक नहीं है, इसलिए यह पद पहले से सरलतम रूप में है
   3. √8: 8 = 4 × 2, इसलिए 4 बाहर निकलकर 2 बनता है और -2√2 बचता है
   4. अब तीनों पद 6√2 + 3√2 - 2√2 हैं — सब √2 के गुणज, इसलिए करणीय वही रहता है और गुणांक जुड़ जाते हैं
   5. 6 + 3 - 2 = 7, इसलिए जोड़ 7√2 है
   6. 7√2 छह स्थानों तक 9.899495 है

   यह डिफ़ॉल्ट हाल है, और यही वजह है कि यह पेज तीन अलग-अलग सरलीकरणों के बजाय एक पेज है: तीनों करणियाँ शुरू में बेतुकी लगती हैं (72, 2 और 8) और अंत में वही एक करणी निकलती हैं जिसे 6, 3 और 2 बार गिना गया है। जोड़ते समय करणीय में कोई बदलाव नहीं आता — बदलता है तो सिर्फ़ आगे का गिनती वाला गुणांक।

2. √50 + 5 - √18

   1. √50: 50 = 25 × 2, इसलिए 25 बाहर निकलकर 5 बनता है और 5√2 बचता है
   2. √18: 18 = 9 × 2, इसलिए 9 बाहर निकलकर 3 बनता है और -3√2 बचता है
   3. 5 पहले से पूर्ण संख्या है — करणी के अंदर सरल करने को कुछ है ही नहीं
   4. करणी वाले पद 5√2 - 3√2 = 2√2 बनते हैं
   5. पूर्ण संख्या अपनी जगह पर टिकी रहती है, इसलिए जवाब 5 + 2√2 है
   6. 5 + 2√2 छह स्थानों तक 7.828427 है

   पूर्ण संख्या और करणी सजातीय पद नहीं होते, इसलिए वे जुड़कर एक संख्या बनने के बजाय साथ-साथ बैठते हैं। फिर भी वे एक तय क्रम में छपते हैं, पहले पूर्ण संख्या, और इसीलिए यहाँ जवाब 5 + 2√2 है — वही जोड़ उलटे क्रम में लिखने पर भी 2√2 + 5 नहीं, 5 + 2√2 ही छपता है।

3. √2 + √3, जहाँ कुछ भी नहीं जुड़ता

   1. √2: करणीय 2 में 1 के अलावा कोई वर्ग गुणक नहीं है, इसलिए कुछ बाहर नहीं निकलता
   2. √3: 3 में भी कोई वर्ग गुणक नहीं है, इसलिए कुछ बाहर नहीं निकलता
   3. दोनों करणीय 2 और 3 हैं — बराबर नहीं, इसलिए पद सजातीय नहीं हैं
   4. जोड़ जैसा है वैसा ही लिखा जाता है, √2 + √3
   5. √2 + √3 छह स्थानों तक 3.146264 है

   यहाँ कुछ भी नहीं किया जाता, और वही जवाब है: जिन करणियों के करणीय अलग हों वे एक करणी में नहीं जुड़ सकतीं, क्योंकि ऐसी कोई संख्या नहीं है जिसका वर्ग 5 हो और जो √2 + √3 की जगह खड़ी हो सके। दशमलव फिर भी दिया जाता है, क्योंकि मान पूरी तरह निर्धारित है — उसका कोई छोटा सटीक रूप भर नहीं है।

सिर्फ़ वर्गमूल। घनमूल और ऊँचे मूल ठीक इसी नियम से जुड़ते हैं — करणीय मिलाए जाते हैं और गुणांक जोड़े जाते हैं — पर उन्हें लिखने के लिए ऐसा चिह्न चाहिए जो अपने में मूल की घात ढोए, और इस पेज के संकेतन में उसकी जगह नहीं है; मूल कैलकुलेटर ऊँचे मूल एक-एक पद पर लेता है। सिर्फ़ पूर्ण संख्याएँ ली जाती हैं, गुणांक में भी और करणी के अंदर भी: 2.5√2 का सटीक रूप (5√2)/2 बनता है, जिसके लिए भिन्न चाहिए, और √2.5 उसी वजह से √10 ÷ 2 होता है — दोनों इनपुट की जाँच में ही बाहर हो जाते हैं, यानी दशमलव चुपचाप काटा नहीं जाता बल्कि साफ़ मना किया जाता है। ऋणात्मक करणीय भी शुरुआत में ही ठुकरा दिया जाता है, क्योंकि किसी वास्तविक संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं होता। ज़्यादा से ज़्यादा आठ पद लिए जाते हैं, और हर गुणांक तथा हर करणीय 10,00,000 तक सीमित है। दशमलव मान छह स्थानों तक पूर्णांकित होता है, इसलिए वह सटीक मान का निकटतम रूप है, मान ख़ुद नहीं: √999999 = 3√111111 (क्योंकि 111111 वर्ग-मुक्त है) और उसका छपा हुआ दशमलव 999.999500 है, जबकि असली मान 999.99949999... चलता रहता है — इसीलिए आगे के हिसाब में सटीक रूप ही डालना चाहिए। जो जोड़ शून्य बन जाता है वह 0 छपता है, 0√2 नहीं। पूर्ण संख्या किसी करणी की सजातीय नहीं होती, इसलिए वे जुड़कर एक पद नहीं बनते; जवाब में पूर्ण संख्या पहले छपती है, लिखने का क्रम कोई भी हो। यह पेज करणियों का जोड़ सरल करता है; किसी अकेली करणी का दशमलव मान निकालना वर्गमूल वाले पेज का काम है।

करणी को सरल करने का मतलब क्या है?

करणी के अंदर से हर वर्ग गुणक को बाहर निकालकर उसे गुणांक की तरह आगे लिख देना। √72 से 6√2 बनता है क्योंकि 72 = 36 × 2 और 36 एक पूर्ण वर्ग है। मान नहीं बदलता — 6√2 का दशमलव 8.485281 है और √72 का भी वही — पर रूप वह बन जाता है जिसे आगे के किसी हिसाब में डाला जा सके।

दो करणी पद कब सजातीय होते हैं?

जब सरल करने के बाद उनके करणीय बराबर हो जाएँ। 6√2 और 3√2 सजातीय हैं और मिलकर 9√2 बनते हैं; √2 और √3 सजातीय नहीं हैं, इसलिए उनका जोड़ एक अकेली करणी के रूप में नहीं लिखा जा सकता। जोड़ा सिर्फ़ गुणांकों का जाता है — गिनी जाने वाली इकाई करणीय है, इसलिए वह अपनी जगह टिका रहता है।

जवाब सटीक रूप में क्यों दिया जाता है, दशमलव में क्यों नहीं?

क्योंकि ज़्यादातर करणियाँ अपरिमेय होती हैं, और दशमलव उनका सिर्फ़ निकटतम रूप दे सकता है। 7√2 सटीक मान है; 9.899495 वही संख्या छह स्थानों तक पूर्णांकित है और सातवें स्थान पर ग़लत हो जाती है। सटीक रूप रखने से ही जवाब आगे के क़दम में डाला जा सकता है, वरना पूर्णांकन का ज़ोर जमा होता जाता है।

क्या मैं घनमूल लिख सकता हूँ?

इस पेज पर नहीं। ∛8 + ∛2 वर्गमूलों वाले ठीक उसी नियम से जुड़ता है, पर उसके लिए करणी चिह्न में घात लिखनी पड़ती है, और यह पेज नंगा √ छापता है। एक-एक पद के लिए 2 से 12 तक किसी भी घात के साथ मूल कैलकुलेटर इस्तेमाल कीजिए।

करणी के साथ पूर्ण संख्या क्यों चलती है?

क्योंकि पूर्ण संख्या भी एक करणी ही है जिसका करणीय घटकर 1 हो गया है — √25 यानी 5, और 5 यानी 5√1। इसे इसी तरह देखने पर पूर्ण संख्याएँ और करणियाँ एक ही नियम से जुड़ते हैं, और जवाब का क्रम भी तय हो जाता है: 5 + √2, जिसमें पूर्ण संख्या पहले।

जवाब की जाँच कैसे करें?

हर पद का गुणांक वर्ग करके करणी के अंदर वापस गुणा कीजिए: 6√2 यानी √(36 × 2) = √72, 3√2 यानी √18, और 2√2 यानी √8 — तीनों मूल पद ही निकलते हैं। और जवाब का दशमलव 9.899495 उसी जोड़ के दशमलव से मिलता है। ध्यान रहे, 7√2 को √98 लिखकर उसे 72 + 18 - 8 = 82 से मिलाना काम नहीं करता: घातांक के जोड़ करणीयों के जोड़ नहीं होते, और 98 का 82 से बराबर होना किसी नियम से ज़रूरी नहीं।

• Quadratic Surd — the canonical form a√b with b square-free, which is exactly what the simplified radicand column is — Wolfram MathWorld (United States)
• Radical — the radical sign and the operation it names, including why two radicals can only be added when their radicands agree — Wolfram MathWorld (United States)
• Like terms — what makes two terms addable, which for radicals is decided by the number under the root — SplashLearn (United States)