मूल कैलकुलेटर

ⁿ√x ⁿ√(mⁿ · r) = m · ⁿ√r ⁿ√x = x^(1/n)

x

करणीय (√ के नीचे की संख्या), यानी वह मान जिसका मूल चाहिए। यह 0 से 1000000000 तक किसी भी दिशा में जा सकता है, और विषम घातांक पर ऋणात्मक भी हो सकता है। दशमलव भी चल जाता है: 2.5 का वर्गमूल ठीक √2.5 ही रहता है और उसका दशमलव मान 1.581139 आता है — यानी यह पेज दशमलव करणीय को भिन्न में नहीं बदलता, वह काम वर्गमूल वाले पेज का है जो अलग सीमा के साथ अलग तरह से सरल करता है

n

मूल का घातांक (n), 2 से 12 तक। 1 का घातांक तत्समक है — किसी भी संख्या का पहला मूल वह ख़ुद — और 0 का घातांक परिभाषित ही नहीं, इसलिए दोनों जवाब देने के बजाय ठुकरा दिए जाते हैं। 12 पर रुकने की वजह व्यावहारिक है: सटीक रूप करणीय को बाँटने वाली सबसे बड़ी पूर्ण nवीं घात ढूँढ़कर बनता है, और वे ऊपर जाते-जाते क़रीब-क़रीब ख़त्म हो जाती हैं, इसलिए 12 के बाद उस कॉलम में ज़्यादातर एक बड़ी संख्या के बग़ल ख़ाली करणी ही रह जाती

ⁿ√x

मूल दशमलव के रूप में, यानी मुख्य पाठ, जो ठीक-ठीक न निकलने पर छह दशमलव तक छपता है। यही वह मान है जिससे आगे हिसाब किया जाता है, और यही वह है जिसमें जानकारी खोती है: 8.485281 यह नहीं बताता कि वह √72 से आया है या √71.9999 से, और बग़ल खड़ा सटीक रूप यही बताता है

m · ⁿ√r

सटीक रूप: करणीय को बाँटने वाली जो भी सबसे बड़ी पूर्ण nवीं घात हो, उसे करणी से बाहर निकालकर छोटी करणी के आगे गुणांक बना दिया जाता है। √72 के लिए यह 6√2 बनता है, क्योंकि 72 = 36 × 2 और 36 पूर्ण वर्ग है — 72 का वर्गमूल 8.485281 नहीं, 6√2। जब करणीय ख़ुद कोई पूर्ण घात हो तो नीचे कुछ बचता ही नहीं, करणी पूरी ग़ायब हो जाती है, और जवाब पूर्ण संख्या के रूप में लिखा जाता है — ठीक इसी तरह पेज बताता है कि मूल बिना शेष निकला

x^(1/n)

वही मूल घात के रूप में, और गणना इसी रूप से होती है। दोनों लिखतें एक ही क्रिया हैं और यह जान लेना काम का है: घातांक 1/n ही वह वजह है कि भिन्न घात मूल होती है, कोई अनजानी चीज़ नहीं। घात कैलकुलेटर यही रूप सीधे लेता है, और जब करणीय दशमलव हो या घातांक भिन्न हो तो वही पेज सही जगह है

√

बिना घातांक लिखा मूल चिह्न हमेशा वर्गमूल का मतलब रखता है, इसीलिए पेज घातांक 2 पर सादा √ और 3 पर ∛ छापता है। 12 के बाद एक-अक्षर वाली लिखतें ख़त्म हो जाती हैं, इसलिए ऊँचे घातांक चिह्न के आगे अंक लगाकर लिखे जाते हैं, और चार या उससे ऊपर के घातांक पर पेज गुणांक और घातांक के बीच गुणा का निशान डाल देता है — 2 × 4√2 — क्योंकि 24√2 को चौबीस गुणा दो का वर्गमूल पढ़ा जाएगा

इस पेज पर तब आइए जब मूल को सिर्फ़ निकालना नहीं, सरल करना हो — यही बात इसे सिर्फ़ दशमलव देने वाले वर्गमूल टूल से अलग करती है: √72 को 6√2 बनाना, यह जाँचना कि कोई संख्या पूर्ण वर्ग है या नहीं, और ऐसा सवाल हल करना जहाँ जवाब सटीक रूप में माँगा गया हो। मूलों के इर्द-गिर्द उठने वाले दो आम सवालों के लिए भी यही पेज है — ऋणात्मक संख्या का घनमूल क्या होता है (विषम घातांक पर वास्तविक संख्या), और किसी चीज़ का चौथा मूल क्या होता है। जब घातांक पूर्ण संख्या न हो तो घात कैलकुलेटर पर जाइए, क्योंकि भिन्न घात वही क्रिया है जो घात के रूप में लिखी गई हो और वह पेज उसे सीधे ले लेता है। जब करणी किसी सूत्र के भीतर आए, अपने आप खड़ी न हो — जैसे द्विघात सूत्र में विविक्तकर एक वर्गमूल ही होता है — तो वहाँ का पेज उसका चिह्न भी पढ़ता है, केवल मान नहीं। और जब सिर्फ़ एक ही घातांक चाहिए तो वर्गमूल या घनमूल वाला पेज लीजिए, क्योंकि उनमें से हर एक अपने मामले की ख़ास सामग्री साथ रखता है।

1. 16 का वर्गमूल

   1. घातांक 2, करणीय 16 — यानी वर्गमूल
   2. 16 = 4 × 4, इसलिए वह पूर्ण वर्ग है और पूरा बाहर निकल आता है
   3. मूल 4 है, और वह गोल किया हुआ नहीं, ठीक-ठीक है
   4. सटीक रूप सादी पूर्ण संख्या 4 है, कोई करणी बची ही नहीं

   यही वह मामला है जिसके लिए यह पेज सबसे ज़्यादा खोला जाता है, और यही दिखाता है कि सटीक कॉलम सफलता कैसे बताता है: न करणी, न दशमलव, बस पूर्णांक। जिस पाठक को सिर्फ़ यह जानना था कि 16 पूर्ण वर्ग है या नहीं, उसे दूसरे कॉलम में जवाब मिल गया, पहला पढ़ने की ज़रूरत ही नहीं पड़ी।

2. 72 का वर्गमूल

   1. 72 पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए उसका मूल अपरिमेय है
   2. 72 को बाँटने वाला सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग 36 है, क्योंकि 72 = 36 × 2
   3. 36 को करणी से बाहर निकालने पर 6 आगे आ जाता है: √72 = 6√2
   4. दशमलव मान छह स्थानों तक 8.485281 है, और 6√2 असली मान है

   यही उदाहरण पूरे पेज को जायज़ ठहराता है। 8.485281 एक अनुमान है और पैनल यह बात बग़ल में सटीक रूप छापकर बता देता है; जो मुक़ाबला करने वाला पेज सिर्फ़ दशमलव दिखाता है, वह पाठक के हाथ में वह संख्या छोड़ देता है जो 72 का वर्गमूल नहीं है। करणी के नीचे बचा हुआ 2 भी हालत पढ़ने का सबसे तेज़ तरीक़ा है — भीतर अब भी कुछ है, इसलिए कुछ भी ठीक-ठीक बाहर नहीं निकला।

3. 54 का घनमूल

   1. घातांक 3, करणीय 54 — यानी घनमूल
   2. 54 पूर्ण घन नहीं है, पर 27 उसे बाँटता है: 54 = 27 × 2
   3. 27 बाहर निकालने पर करणी के आगे 3 आ जाता है: ∛54 = 3∛2
   4. दशमलव मान 3.779763 है

   वही सरलीकरण, बस दूसरे घातांक के साथ — और यह भी दिखाता है कि पेज दो टूल नहीं, एक है। जो क़दम हाथ से करना पड़ता है वह है 54 से नीचे का सबसे बड़ा पूर्ण घन ढूँढ़ना — 27, 8 नहीं — और इस पेज की संदर्भ तालिका ठीक वही सूची है जो यह खोज एक पल में करा देती है: तीन का घन 27 है, चार का 64, और 64 बहुत बड़ा है।

4. 32 का चौथा मूल

   1. 32 = 16 × 2, और 16 चौथी घात है, क्योंकि 16 = 2⁴
   2. 16 को करणी से बाहर निकालने पर 2 बाहर आ जाता है: ⁴√32 = 2 × ⁴√2
   3. गुणा का निशान इसलिए लिखा जाता है कि घातांक 4 के लिए एक-अक्षर करणी चिह्न नहीं है
   4. दशमलव मान 2.378414 है

   यहाँ लिखत को सँभलकर लिखना पड़ता है। इसे 24√2 लिखने पर ज़्यादातर लोग चौबीस गुणा दो का वर्गमूल पढ़ेंगे, इसलिए घातांक 4 या उससे ऊपर होने पर पेज गुणा का निशान बीच में डाल देता है — गुणांक और घातांक दोनों संख्याएँ हैं और उन्हें अलग करने के लिए कुछ तो चाहिए। √ और ∛ के साथ यह दिक़्क़त नहीं है, इसीलिए वह निशान छठे घातांक से नीचे कहीं नहीं दिखता।

5. -54 का घनमूल

   1. करणीय ऋणात्मक है और घातांक विषम, इसलिए मूल वास्तविक संख्या है
   2. परिमाण पहले की तरह ही सरल होता है: ∛54 = 3∛2
   3. चिह्न बाहर आ जाता है और सटीक रूप उसे सबसे आगे छापता है: -3∛2
   4. दशमलव मान -3.779763 है

   ऋणात्मक मामला, और वह अकेली जगह जहाँ सटीक रूप का अपना नियम है: ऋण चिह्न पूरे व्यंजक के आगे लगता है, करणी के भीतर नहीं। घात कैलकुलेटर भी लोगों को यहीं भेजता है — वह पेज ऋणात्मक आधार के साथ भिन्न घात ठुकरा देता है क्योंकि उसके पीछे का हिसाब लघुगणक से होकर जाता है, और यहाँ वही सवाल मूल निकालकर हल हो जाता है।

करणीय का मान 0 से 1000000000 के बीच किसी भी दिशा में जा सकता है, और दशमलव भी चल जाता है। यह बात साफ़ कर देना ज़रूरी है क्योंकि इस पेज पर एक भ्रम बना हुआ है: करणीय पूर्ण संख्या होनी ज़रूरी नहीं, और सिर्फ़ दशमलव दिखाकर सटीक जवाब चुपचाप गिरा देना इस पेज का काम नहीं है। 2.5 डालिए तो सटीक रूप √2.5 ही रहता है — वह दशमलव मूल चिह्न के नीचे ही बना रहता है और उसे भिन्न में नहीं बदला जाता — और उसका दशमलव मान 1.581139 आता है। जो पाठक इस अंतर की तलाश में है वह ध्यान दे: करणीय को भिन्न में बदलकर सरल करने वाला पेज सिर्फ़ वर्गमूल वाला है, और वही 1.5 को √6 ÷ 2 बनाता है। ऋणात्मक करणीय सिर्फ़ विषम घातांक पर स्वीकार होता है: -8 का घनमूल -2 है, पर -4 का वर्गमूल वास्तविक संख्या नहीं और पेज उसे सम्मिश्र मान छापने के बजाय ठुकरा देता है। घातांक 2 से 12 के बीच पूर्ण संख्या है; 1 का घातांक तत्समक है और 0 का परिभाषित नहीं, इसलिए दोनों नहीं लिए जाते, और भिन्न घातांक घात कैलकुलेटर पर भिन्न घात की तरह जाते हैं। जो मूल ठीक-ठीक नहीं निकलते वे छह दशमलव तक छपते हैं, जो प्रदर्शन की सीमा है, परिशुद्धता की नहीं — भीतर का हिसाब पूरी द्विगुण परिशुद्धता से होता है। सटीक रूप पूर्ण घातें बाहर निकालने तक सरल किया जाता है, जो सरल करणी का मानक रूप है, और यहाँ कोई हर का परिमेयकरण नहीं होता: भिन्न के नीचे बैठी करणी पाठक के हिस्से की चीज़ है। नीचे की संदर्भ तालिका 1 से 12 तक स्थिर है और आपके टाइप किए मान का पीछा नहीं करती; पैनल आपकी संख्या का जवाब देता है और तालिका यह दिखाती है कि जवाब पढ़ा कैसे जाता है।

सटीक रूप और दशमलव में क्या फ़र्क़ है?

दशमलव एक गोल किया हुआ मान है और सटीक रूप मान ख़ुद। 72 का वर्गमूल ठीक-ठीक 6√2 है; 8.485281 वही छह दशमलव में है, इसलिए 8.485281 को ख़ुद से गुणा करने पर 71.99999… आता है, 72 नहीं। पेज दोनों छापता है क्योंकि अकेले में कोई एक भ्रमित करता है: जिससे हिसाब करते हैं वह दशमलव है, और जो बताता है कि मूल बिना शेष निकला या नहीं वह सटीक रूप है।

वर्गमूल हाथ से कैसे सरल करूँ?

वह सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग ढूँढ़िए जो संख्या को बाँट दे, उसका मूल आगे लिखिए, और बाक़ी भीतर छोड़ दीजिए। 72 के लिए वह 36 है, क्योंकि 72 = 36 × 2, इसलिए √72 = 6√2। अगर कोई पूर्ण वर्ग संख्या को न बाँटे — जो 2, 3, 5, 7 और हर उस संख्या के साथ है जिसमें कोई अभाज्य दोहराता नहीं — तो करणी सरल नहीं हो सकती और सटीक रूप बस √2 रहता है।

क्या ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल निकाल सकते हैं?

इस पेज पर नहीं, और कहीं भी वास्तविक संख्या के रूप में नहीं। -4 का वर्गमूल 2i है, यानी एक सम्मिश्र संख्या, और यह पेज वास्तविक संख्याओं का औज़ार है। विषम घातांक का हाल अलग है: -8 का घनमूल -2 है, बिलकुल साधारण वास्तविक संख्या, क्योंकि तीन ऋणात्मक संख्याएँ गुणा होकर ऋणात्मक ही बनती हैं। इसलिए पेज -8 को घातांक 3 के साथ ले लेता है और -4 को घातांक 2 के साथ ठुकरा देता है।

करणीय में दशमलव क्यों नहीं डाल सकते?

डाल सकते हैं — और यही बात इस पेज के बारे में सबसे ज़्यादा ग़लत समझी जाती है। करणीय दशमलव हो तो सटीक रूप में वह दशमलव मूल चिह्न के नीचे ही बना रहता है: 2.5 का सटीक रूप √2.5 है और दशमलव मान 1.581139, और 12.25 का √12.25 है जिसका मान ठीक 3.5 निकलता है। दशमलव को भिन्न में बदलकर सरल करने वाला पेज वर्गमूल वाला है — वह 1.5 को √6 ÷ 2 बनाता है।

मूल चिह्न पर लिखा घातांक क्या बताता है?

वह बताता है कि मूल को ख़ुद से कितनी बार गुणा करने पर करणीय वापस आता है: घातांक 3 का मतलब घनमूल, इसलिए ∛8 = 2 क्योंकि 2 × 2 × 2 = 8। कोई घातांक न लिखा हो तो 2 समझिए, और इसीलिए यह पेज वर्गमूल पर सादा √ और घनमूल पर ∛ छापता है। घातांक 1 संख्या को वैसा ही लौटा देता और घातांक 0 का कोई मतलब नहीं, इसलिए पेज 2 से शुरू होता है।

क्या घनमूल निकालना एक-तिहाई घात लगाने जैसा ही है?

हाँ, और पेज गणना इसी तरह करता है। x का nवाँ मूल x की 1/n घात है, इसलिए 54 का घनमूल 3.779763 है। दोनों लिखतें एक ही क्रिया बताती हैं। फ़र्क़ ऋणात्मक आधार पर पड़ता है: घात वाला रूप लघुगणक से होकर जाता है और -54 को ठुकरा देगा, जबकि उसका विषम मूल निकालना सीधा काम है — इसीलिए घात कैलकुलेटर ऐसे मामले यहाँ भेज देता है।

• nth Root — the definition of an nth root, including the rule that an even root of a negative number has no real value and an odd one does — Wolfram MathWorld (United States)
• Square Root — the index-2 case, with the simplification of radicals and the table of perfect squares this page's reference table extends — Wolfram MathWorld (United States)
• Cube Root — the index-3 case, and the reason a negative radicand has a real cube root where it has no real square root — Wolfram MathWorld (United States)