घनमूल कैलकुलेटर

∛x = ∛(m³ · r) = m · ∛r ∛(n ÷ d) = ∛(n · d²) ÷ d

x

करणीय (√ के नीचे की संख्या), यानी वह मान जिसका घनमूल चाहिए। यह ऋणात्मक हो सकता है, क्योंकि घनमूल विषम घात का मूल है और ऋणात्मक संख्या की विषम घात अब भी ऋणात्मक रहती है: -27 का घनमूल -3 है और -1 का -1। दशमलव भी हो सकता है, तीन स्थानों तक, और उस हाल में पेज पहले उसे भिन्न में बदलता है, फिर सरल करता है। ऊपर-नीचे की हद 1000000 है, और उतने तक तोड़कर देखने का काम सस्ता रहता है

m³

करणीय को बाँटने वाला सबसे बड़ा पूर्ण घन: 8, 27, 64, 125 वग़ैरह। इसे ढूँढ़ लेना ही पूरी सरलीकरण प्रक्रिया है, और पेज ऊपर से नीचे खोजता है ताकि मिलने वाला पहला गुणक सबसे बड़ा ही हो। 72 के लिए वह गुणक 8 है, और मूल चिह्न के नीचे 9 बचता है

m

उस पूर्ण घन का घनमूल, जो मूल चिह्न के आगे आ जाता है। जब वह पूर्ण संख्या हो तो सटीक रूप 2∛9 पढ़ा जाता है; जब वह 1 हो तो गुणांक लिखा ही नहीं जाता और रूप ∛2 रह जाता है, क्योंकि 1∛2 कोई ऐसे नहीं लिखता

r

हर घन गुणक निकाल लेने के बाद मूल चिह्न के नीचे जो बचता है। वह घन-मुक्त होता है, और यही उस रूप को अंतिम बनाता है। जब कुछ भी न बचे — यानी करणीय शुरू से ही पूर्ण घन था — तो मूल चिह्न पूरा ग़ायब हो जाता है और सटीक रूप सादा पूर्णांक रह जाता है, जैसे 27 का घनमूल 3

d²

हर का वर्ग, और यही वजह है कि दशमलव वाला मामला वर्गमूल वाले पेज से सीधे उठा नहीं लिया गया। घनमूल के नीचे से d हर को हटाने के लिए भीतर d का घन चाहिए, इसलिए n ÷ d को (n · d²) ÷ d³ लिखा जाता है और उसका घनमूल ∛(n · d²) ÷ d बनता है। d² के बजाय d लिखने पर भी कोई संख्या निकलती है, बस वह ग़लत होती है

इस पेज पर तब आइए जब घनमूल का सटीक रूप चाहिए, या जब करणीय ऋणात्मक हो। आगे की दिशा — किसी संख्या का घन निकालकर मूल पढ़ लेना — घन वाला पेज सँभालता है, और वह वहाँ दशमलव छापता है जहाँ यह पेज लिखत छापता है। जब घातांक तीन न हो तो सामान्य मूल वाला पेज 2 से 12 तक कोई भी घातांक ले लेता है और उसे इसी तरह सरल करता है। और जब सवाल माप का हो — किसी बक्से का आयतन दिया हो और किनारा चाहिए — तो वहाँ किनारे की लंबाई वाला पेज सही जगह है, क्योंकि वहाँ जवाब इकाई में आता है।

1. 72 के घनमूल को सरल करना

   1. वह सबसे बड़ा पूर्ण घन ढूँढ़िए जो 72 को बाँट दे
   2. 8 बाँट देता है: 72 ÷ 8 = 9, इसलिए 72 = 8 × 9
   3. 8 का घनमूल 2 है, जो आगे आ जाता है: ∛72 = 2∛9
   4. उस सटीक रूप को हल करने पर 4.160168 मिलता है

   जाँच एक पंक्ति की है: 2∛9 का घन 2³ × 9 यानी 8 × 9 यानी 72। दशमलव वाले कॉलम से यह जाँच नहीं होती — 4.160168 का घन 71.99999 और कुछ लौटाता है — और सटीक रूप को बग़ल में छापने की पूरी दलील यही है।

2. पूर्ण घन एक पूर्णांक में सिमट जाता है

   1. 27 यानी 3 × 3 × 3, इसलिए सबसे बड़ा घन गुणक 27 ख़ुद है
   2. उसे बाहर निकालने पर मूल चिह्न के नीचे कुछ नहीं बचता: 27 = 27 × 1
   3. नीचे कुछ न बचने पर मूल चिह्न हट जाता है और सटीक रूप 3 रह जाता है
   4. दशमलव भी 3 है, इसलिए दोनों कॉलम सहमत हैं

   करणी का ख़ाली हो जाना ही इस बात का संकेत है कि करणीय पूर्ण घन था। यह जानने लायक है कि यही पंक्ति है जिसे कोई मशीन अपने आप ग़लत करती है: फ़्लोटिंग पॉइंट में 27 की एक-तिहाई घात निकालने पर 3.0000000000000004 मिलता, और पेज उसे इस बात से ठीक कर लेता है कि कोई पड़ोसी पूर्ण संख्या ख़ुद को तीन बार गुणा करके 27 तक पहुँचती है या नहीं।

3. ऋणात्मक करणीय

   1. पहले चिह्न बाहर निकालिए: ∛-72 = -∛72
   2. धनात्मक हिस्सा पहले की तरह ही सरल होता है: ∛72 = 2∛9
   3. चिह्न वापस लगाने पर -2∛9 मिलता है
   4. दशमलव -4.160168 है, यानी धनात्मक मामले का ऋणात्मक

   ऋण चिह्न भीतर मूल चिह्न के नीचे नहीं, आगे लगता है। -2∛9 और 2∛-9 एक ही संख्या हैं, पर मानक लिखत सिर्फ़ पहली है, और दूसरी छापने पर वह किसी और व्यंजक जैसी दिखती। यही वह मामला है जिसे वर्गमूल वाला पेज सँभाल ही नहीं सकता: ऋणात्मक संख्या का सम घात वाला मूल वास्तविक संख्या नहीं होता।

4. एक दशमलव करणीय जो पूर्ण घन निकला

   1. 0.125 भिन्न के रूप में 1/8 है
   2. दोनों भाग पूर्ण घन हैं: ∛1 = 1 और ∛8 = 2
   3. मूल चिह्न के नीचे कुछ नहीं बचता, इसलिए सटीक रूप भिन्न 1/2 है
   4. दशमलव के रूप में यह 0.5 है

   यही पंक्ति वह वजह है कि पेज दो के बजाय तीन दशमलव स्थान लेता है। आठवाँ हिस्सा वह सबसे स्वाभाविक दशमलव है जिससे घनमूल की भेंट होती है, और दो स्थानों पर वह भिन्न के रूप में पहचाना ही न जाता — यानी जो संख्या घनमूल वाले पेज पर सबसे पहले आने लायक है, उसी को दरवाज़े से लौटा दिया जाता।

करणीय अधिकतम तीन दशमलव स्थानों तक लिया जाता है। चौथा स्थान गोल करने के बजाय ठुकरा दिया जाता है, क्योंकि सरलीकरण पहले दशमलव को भिन्न बनाता है और फिर तोड़कर देखता है, और उसके आगे हिसाब भरोसे लायक नहीं रहता — बीच में जो पूर्णांक गुणनफल बनते हैं वे उस हद से आगे निकल जाते हैं जहाँ तक मशीन ठीक-ठीक गिन सकती है, इसलिए जवाब धीमा होने के बजाय चुपचाप ग़लत आता। मान ऊपर-नीचे 1000000 तक सीमित है, और उतने तक तोड़कर देखने का काम सस्ता रहता है — 1000001 ठुकरा दिया जाता है। सटीक रूप संख्या नहीं, लिखत है और हर भाषा में एक ही तरह लिखा जाता है, क्योंकि मूल चिह्न और भाग का निशान अपने भीतर कोई शब्द नहीं रखते; बग़ल वाला दशमलव छह स्थानों तक गोल होता है। सिर्फ़ वास्तविक घनमूल दिया जाता है: शून्य के अलावा हर संख्या के सम्मिश्र तल में तीन घनमूल होते हैं और बाक़ी दो नहीं दिखाए जाते। ऋणात्मक संख्या का घनमूल चिह्न आगे लगाकर छापा जाता है, जो मानक लिखत है पर वह ऋणात्मक करणीय पर लगे मूल चिह्न जैसी डोरी नहीं है। नीचे की संदर्भ तालिका 14 पंक्तियों पर स्थिर है और आपके टाइप किए मान का पीछा नहीं करती; पैनल आपकी संख्या का जवाब देता है और तालिका यह दिखाती है कि वह जवाब पढ़ा कैसे जाता है।

घनमूल कैलकुलेटर क्या करता है?

यह करणीय लेता है और दो चीज़ें लौटाता है: उसके घनमूल का दशमलव मान, और सटीक रूप जिसमें सबसे बड़ा पूर्ण घन मूल चिह्न के आगे निकाल दिया गया हो। 72 का घनमूल दशमलव में 4.160168 है और सटीक रूप में 2∛9, और दोनों एक ही संख्या के दो लिखे हुए रूप हैं।

घनमूल हाथ से कैसे सरल करूँ?

करणीय को बाँटने वाला सबसे बड़ा पूर्ण घन ढूँढ़िए, उसे बाहर निकालिए, और उसका घनमूल चिह्न के आगे लिख दीजिए। 72 के लिए वह गुणक 8 है, और चूँकि 72 ÷ 8 = 9, पूरा व्यंजक 2∛9 बन जाता है। जब मूल चिह्न के नीचे कुछ घन-मुक्त न बचे तो समझिए काम पूरा हुआ — 27 पर करणी पूरी ख़ाली हो जाती है और जवाब बस 3 रह जाता है।

क्या करणीय ऋणात्मक हो सकता है?

हाँ, और यही इस पेज और वर्गमूल वाले पेज के बीच सबसे साफ़ फ़र्क़ है, क्योंकि वह ऋणात्मक मान सीधे मना कर देता है। घनमूल विषम घात का मूल है, इसलिए ऋणात्मक करणीय चल जाता है: -64 का घनमूल -4 है। चिह्न पहले बाहर निकाला जाता है और सटीक रूप के आगे छापा जाता है, इसलिए -72 सरल होकर -2∛9 बनता है, ऋणात्मक संख्या पर लगे मूल चिह्न जैसा कुछ नहीं।

सटीक रूप कभी-कभी भिन्न में क्यों बदल जाता है?

जब करणीय किसी भिन्न का घन हो तो मूल चिह्न के नीचे कुछ नहीं बचता और सटीक रूप सादी भिन्न रह जाता है — 0.125 का घनमूल 1/2 है और 0.001 का 1/10। मूल चिह्न ठीक तभी बचता है जब उसके नीचे कुछ घन-मुक्त बचा हो, और यही वह नियम है जिससे 27 का घनमूल सादा पूर्णांक रह जाता है।

करणीय में कितने दशमलव स्थान चलते हैं?

तीन, यानी वर्गमूल वाले पेज से एक ज़्यादा। वह एक अतिरिक्त स्थान किसी ख़ास संख्या के लिए है: 0.125 आठवाँ हिस्सा है, उसका घनमूल 0.5 है, और दो दशमलव स्थानों पर वह भिन्न के रूप में पहचाना ही न जाता। चौथा दशमलव स्थान गोल करने के बजाय ठुकरा दिया जाता है, क्योंकि उसके आगे तोड़कर देखने का काम ठीक-ठीक नहीं रहता।

• Cube Root — the inverse of cubing, defined on negative inputs because the index is odd — Wolfram MathWorld (United States)
• Cubic Number — the perfect cubes the simplification searches for, from 8 up to whatever the radicand allows — Wolfram MathWorld (United States)
• Radical — the radical sign, the radicand, and the convention for writing a coefficient in front of a root — Wolfram MathWorld (United States)