घात कैलकुलेटर

bⁿ = b × b × … × b (n गुणनखंड) b⁻ⁿ = 1 ÷ (b × b × … × b) b⁰ = 1

b

आधार, यानी वह संख्या जो ख़ुद से गुणा होती है। यह बिना इकाई की सादी संख्या है और ऋणात्मक, दशमलव या शून्य हो सकती है — इन तीनों में से हर एक का अपना नियम नीचे दिया है। ऋणात्मक आधार सिर्फ़ पूर्णांक घातांक के साथ चलता है, क्योंकि ऋणात्मक संख्या का सम मूल वास्तविक नहीं होता; बाक़ी आधार ±1000000 तक जाता है

n

घातांक, यानी गुणनफल में आधार कितनी बार आता है। यह इस पेज पर वास्तविक संख्या है, केवल पूर्णांक नहीं: भिन्न का मतलब मूल है — 0.5 का घातांक वर्गमूल है, करीब एक-तिहाई घनमूल — और ऋण चिह्न का मतलब धनात्मक घात का व्युत्क्रम। घातांक -64 से 64 तक लिया जाता है, और उससे बाहर लिखा हुआ मान पेज वैसे ही ठुकरा देता है

bⁿ

घात ख़ुद, यानी मुख्य पाठ। यह 0.001 से दस लाख तक के दायरे से बाहर जाते ही वैज्ञानिक संकेतन में छपती है, इसलिए 2 की 64वीं घात बीस अंकों की पंक्ति के बजाय एक अपूर्णांक और दस की घात बनकर आती है — वही रूप जिससे संख्या का परिमाण एक नज़र में पढ़ा जाता है। यहाँ कुछ भी कृत्रिम रूप से सीमित नहीं, असली छत वह जगह है जहाँ जवाब द्विगुण परिशुद्धता से बाहर चला जाता है

b × b × … × b

विस्तारित रूप, यानी वही व्यंजक बार-बार के गुणा के रूप में खोलकर लिखा हुआ। छह गुणनखंडों से ज़्यादा लंबे गुणनफल को लोप चिह्न से छोटा किया जाता है, और उससे कम पर पूरा लिखा जाता है — इसीलिए 3 की चौथी घात चारों गुणनखंड दिखाती है और 2 की दसवीं घात दस नहीं दिखाती। यही वह कॉलम है जिससे ऋणात्मक घातांक पढ़ में आता है, और उसे पढ़े बिना निशान उलटा समझा जाता है

b⁻ⁿ = 1 ÷ (b × b × … × b)

ऋणात्मक घातांक करता क्या है: वह धनात्मक घात का व्युत्क्रम लेता है, यानी एक बटा पूरा गुणनफल। 2 की घात -3 = 1 ÷ 8 है, -8 नहीं। लिखत की यह सबसे आम ग़लत पढ़ाई है, और इसीलिए विस्तारित रूप छापना काम का है — भाग का निशान उसमें नज़र आता है, पेज पर और कहीं नहीं

b⁰ = 1

शून्य के अलावा किसी भी आधार की शून्य घात 1 होती है, और विस्तारित रूप इसे ख़ाली गुणन के बजाय सादा 1 छापकर बताता है। नीचे उतरने का नियम इसे मजबूर करता है — घातांक जैसे-जैसे एक-एक घटता है, वैसे-वैसे आधार से भाग चलता रहना चाहिए, और b ÷ b यानी 1 — इसलिए 7 की शून्य घात 1 होना पेज का चुना हुआ नियम नहीं। शून्य की शून्य घात अकेला ऐसा मामला है जिसे यह नियम तय नहीं कर पाता, और वह ठुकरा दिया जाता है

b^(1/2)

भिन्न घातांक मूल होता है: किसी संख्या को 0.5 की घात तक उठाना वर्गमूल है, एक-तिहाई की घात तक उठाना घनमूल। घातांक की जगह भिन्न लिखने की पूरी इजाज़त है — 2 का 0.5 यानी 1.414214, 9 का 0.5 यानी ठीक 3। यही वह जगह है जहाँ पेज ऋणात्मक आधार को भिन्न घात के साथ ठुकरा देता है: -8 का घनमूल पूरी तरह वास्तविक है, पर घात के रास्ते वह निकलता ही नहीं, क्योंकि भिन्न घात के पीछे का हिसाब लघुगणक से होकर जाता है। मूल कैलकुलेटर वह पेज है जो यह अंतर जानता है

जब कोई संख्या तय संख्या में ख़ुद से गुणा हो रही हो और जवाब चाहिए हो तब इस पेज पर आइए: चक्रवृद्धि वृद्धि जिसे गुणा की लंबी श्रृंखला के बजाय एक ही गुणक के रूप में लिखना हो, लगातार दुगुना होना, बार-बार लगने वाला कोई स्केल गुणक, एक ही घटना के लगातार होने की प्रायिकता, किसी संचय-इकाई का आकार दो की घात के रूप में। यह उन दो लिखतों का भी पेज है जिन्हें लोग आपस में मिला देते हैं — गुणा खोलकर लिखा हुआ और घात छोटा लिखा हुआ — क्योंकि यह दोनों एक साथ छापता है: विस्तारित रूप परिभाषा है और घात उसका मान, और दोनों को बग़ल-बग़ल देखने से ही ऋणात्मक घातांक पढ़ में आता है। जब घातांक अज्ञात हो और मूल निकालना हो तो मूल कैलकुलेटर लीजिए, क्योंकि वहाँ ऋणात्मक और भिन्न मामलों के अपने नियम हैं। जब आधार तय हो और वह किसी दर से निकाला गया हो तो चक्रवृद्धि वृद्धि वाला पेज लीजिए — ब्याज और जनसंख्या के हर सवाल की शक्ल वही है। और जब घात पता हो पर घातांक चाहिए हो तो लघुगणक कैलकुलेटर लीजिए, क्योंकि वह इसी संबंध को उलटा पढ़ता है।

1. 2 की दसवीं घात

   1. आधार 2 और घातांक 10, यानी 2 के दस गुणनखंड आपस में गुणा होते हैं
   2. जोड़े बनाकर: 2 × 2 = 4, और 4 × 4 = 16, और 16 × 16 = 256, जो आठ गुणनखंड हैं
   3. दो गुणनखंड बचे: 256 × 2 × 2 = 1024
   4. गुणनफल में छह से ज़्यादा गुणनखंड हैं, इसलिए विस्तारित रूप 2 × 2 × … × 2 तक छोटा कर दिया जाता है
   5. पेज इसे 1,024.000000 छापता है — छह दशमलव, और लाख-पद्धति का समूह-चिह्न

   संदर्भ तालिका इसी पंक्ति पर ख़त्म होती है, और यह इस बैच की अकेली संख्या है जो ज़बानी याद रखने लायक़ है: एक किलोबाइट 1024 बाइट का होता है, वजह यही है। दूसरी पंक्ति का लोप कम जगह की मजबूरी नहीं है — दस गुणनखंड और लोप चिह्न उतनी ही जानकारी ढोते हैं जितनी दस गुणनखंड खोलकर लिखे हुए, और गिनती तो आपने जो घातांक टाइप किया उसी में लिखी है।

2. 2 की घात -3

   1. घातांक ऋणात्मक है, इसलिए जवाब धनात्मक घात का व्युत्क्रम होगा
   2. पहले धनात्मक घात: 2 × 2 × 2 = 8
   3. 8 का व्युत्क्रम 1 ÷ 8 = 0.125
   4. विस्तारित रूप व्युत्क्रम को ख़ुद छापता है, इसलिए भाग दिखता रहता है: 1 ÷ (2 × 2 × 2)
   5. पेज दशमलव मान 0.125000 लिखता है

   वही मामला जिसके लिए विस्तारित रूप अपनी जगह कमाता है। जो पाठक ऋण चिह्न को ऋणात्मक जवाब समझता है वह -8 की उम्मीद करता है और उसे 0.125 मिलता है; 1 ÷ (2 × 2 × 2) पढ़ने से व्युत्क्रम सामने आ जाता है, याद रखने की चीज़ नहीं रह जाता। यही पंक्ति यह भी कहती है कि जवाब 1 से छोटा ही निकलेगा, क्योंकि एक को एक से बड़ी संख्या पर बाँटने से और कुछ निकल ही नहीं सकता।

3. 1.05 की चौथी घात

   1. 1.05 के चार गुणनखंड आपस में गुणा होते हैं, यानी 5 प्रतिशत वृद्धि के चार साल
   2. दो गुणनखंड: 1.05 × 1.05 = 1.1025
   3. चार गुणनखंड: 1.1025 × 1.1025 = 1.21550625
   4. घात छह दशमलव तक छपती है, इसलिए पढ़ने में 1.215506 आती है

   कक्षा के बाहर इस पेज का सबसे आम इस्तेमाल यही शक्ल है: 1 से ज़रा ऊपर का दशमलव आधार, और घातांक जो अवधियाँ गिनता है। चार गुणनखंड 1.2155 देते हैं, जो कहने का दूसरा तरीक़ा है कि चार अवधियों में मात्रा 21.55 प्रतिशत बढ़ी — वह प्रतिशत निकालने के लिए यहाँ से एक घटाना पड़ता है, और चक्रवृद्धि वृद्धि वाला पेज यही प्रतिशत सीधे बता देता है।

4. 7 की शून्य घात

   1. शून्य घातांक का मतलब गुणनफल ख़ाली है — 7 का एक भी गुणनखंड गुणा नहीं होता
   2. ख़ाली गुणनफल 1 होता है, जो गुणा का तत्समक है: उससे गुणा करने पर कुछ नहीं बदलता
   3. नीचे उतरने का नियम भी यही कहता है: 7¹ ÷ 7 = 1, और 7⁰ ÷ 7 = 7⁻¹, इसलिए 7⁰ का 1 होना ज़रूरी है
   4. विस्तारित रूप ख़ाली गुणा के बजाय सादा 1 छापता है

   वह प्रविष्टि जिसके 0 होने की उम्मीद सबसे ज़्यादा की जाती है। कुछ भी गुणा नहीं हो रहा, तो उसमें से कुछ निकल भी नहीं सकता — पर 1 ही वह मान है जो पड़ोस की हर घात को सही छोड़ता है, इसीलिए परिभाषा ख़ाली गुणनफल है, अंदाज़ा नहीं। संदर्भ तालिका भी इसी वजह से 2⁰ = 1 पर खुलती है।

5. −2 की तीसरी घात

   1. आधार ऋणात्मक है और घातांक पूर्ण संख्या, यानी वही जोड़ी जो इजाज़त में है
   2. −2 × −2 = 4, क्योंकि दो ऋणात्मक संख्याओं का गुणनफल धनात्मक होता है
   3. 4 × −2 = −8
   4. ऋणात्मक गुणनखंडों की गिनती विषम है, इसलिए जवाब का चिह्न ऋणात्मक है

   ऋणात्मक आधार ठुकराया नहीं जाता — सिर्फ़ ऋणात्मक आधार के साथ भिन्न घातांक ठुकराया जाता है, क्योंकि वहीं जवाब वास्तविक संख्या नहीं रह जाता। नतीजे का चिह्न घातांक की समता पर चलता है, और विस्तारित रूप उसे गिनने लायक़ बना देता है: −2 के तीन गुणनखंड एक बार जोड़ी बनाते हैं और एक ऋणात्मक बचा रह जाता है। घातांक 4 कर दीजिए तो जवाब 16.000000 आता है।

यह पेज एक संख्या को घात तक उठाता है, बस इतना। यह घातों को जोड़ता नहीं, गुणा नहीं करता, और दो घातों को मिलाता नहीं — घातों के नियम सूत्र-खंड में लिखे हैं और हाथ से लगाने पड़ते हैं, और यह जान-बूझकर है, क्योंकि पेज के पास लगाने के लिए कोई दूसरा आधार ही नहीं। यह लघुगणक नहीं लेता: घात और आधार दिए हों और घातांक निकालना हो तो वह उलटा सवाल है और लघुगणक कैलकुलेटर का काम है। ऋणात्मक आधार सिर्फ़ पूर्णांक घातांक के साथ लिया जाता है, और यह मना करना गणना की असमर्थता नहीं — -8 का घनमूल सचमुच -2 है — बल्कि रास्ते का फ़ैसला है, क्योंकि वह निकालने वाला हिसाब घात नहीं मूल है और वह नियम मूल कैलकुलेटर में लिखा है। नतीजा द्विगुण परिशुद्धता में निकलता है और उतना ही ठीक है जितनी द्विगुण परिशुद्धता ठीक है। घातांक -64 से 64 तक और आधार ±1000000 तक लिया जाता है, जो प्रदर्शन के दायरे हैं, गणित की सीमाएँ नहीं; असली छत वह जगह है जहाँ जवाब द्विगुण परिशुद्धता से बाहर चला जाए, और वहाँ जवाब देने के बजाय त्रुटि दी जाती है — 1000000 की 50वीं घात 1.000000 × 10³⁰⁰ बनकर आती है, 51वीं पर गणना मना कर दी जाती है। एक और बात जो साफ़ कर देनी चाहिए: छोटे जवाबों पर छह दशमलव तक गोल करने से वे शून्य बन जाते हैं — 2 की घात -20 अभी 1.000000 × 10⁻⁶ छपती है, पर 2 की घात -21 पर पेज 0.000000 लिख देता है, यानी ऐसा मान जो शून्य नहीं है पर शून्य दिखता है। विस्तारित रूप छह गुणनखंडों से ऊपर छोटा किया जाता है, इसलिए वह गुणा की एक पढ़ाई है, उसकी पूरी नक़ल नहीं, और घात 65 की घात 1000000 की — छठे गुणनखंड से आगे दोनों एक जैसी दिखती हैं।

ऋणात्मक घातांक का क्या मतलब होता है?

उसका मतलब धनात्मक घात का व्युत्क्रम है, ऋणात्मक संख्या नहीं। 2 पर घातांक -3 यानी 1 ÷ (2 × 2 × 2), जो 0.125 है — जवाब 1 से छोटा है, शून्य से नीचे नहीं। इस पेज का विस्तारित रूप सिर्फ़ नतीजा नहीं, भाग ख़ुद छापता है, क्योंकि ऋण चिह्न लिखत का अकेला हिस्सा है जो आम तौर पर उलटा पढ़ा जाता है।

किसी भी संख्या की शून्य घात 1 क्यों होती है?

क्योंकि शून्य घातांक का मतलब ख़ाली गुणनफल है, और ख़ाली गुणनफल गुणा का तत्समक है, यानी 1। नीचे उतरने का नियम भी यही कहता है: घातांक जितनी बार एक घटता है, मान उतनी बार आधार से बँटता है, और 7¹ = 7 को एक क़दम नीचे ले जाने पर 7 ÷ 7 = 1 आता है। यह कभी 0 नहीं होता — कुछ गुणा ही नहीं हुआ, तो कुछ निकलेगा भी नहीं।

शून्य की शून्य घात क्या होती है?

उसकी कोई परिभाषा नहीं है, और यह पेज कोई मान छापने के बजाय यही बताता है। उस पर दो नियम टकराते हैं: शून्य के अलावा हर आधार की शून्य घात 1 होती है, और शून्य की हर धनात्मक घात 0। JavaScript इस व्यंजक पर 1 लौटाता है, पर वह भाषा का अपने कामों में एकरूपता के लिए लिया गया फ़ैसला है, गणित का नतीजा नहीं — इसीलिए पेज चुपचाप सहमत होने के बजाय मना कर देता है।

क्या 0.5 जैसा भिन्न घातांक इस्तेमाल कर सकते हैं?

हाँ, धनात्मक आधार के साथ — 0.5 का घातांक वर्गमूल है, इसलिए 2 की घात 0.5 यानी 1.414214 और 9 की घात 0.5 यानी ठीक 3। ऋणात्मक आधार के साथ भिन्न घातांक ठुकरा दिया जाता है, क्योंकि वह जवाब वास्तविक संख्या नहीं होता: भिन्न घात के पीछे का हिसाब लघुगणक से होकर जाता है, और ऋणात्मक संख्या का लघुगणक वास्तविक संख्याओं में होता ही नहीं। ऋणात्मक संख्याओं के विषम मूल वास्तविक होते हैं, और मूल कैलकुलेटर वह पेज है जो यह अंतर जानता है।

विस्तारित रूप छह गुणनखंडों पर क्यों रुक जाता है?

क्योंकि उसके बाद लोप चिह्न उतनी ही जानकारी देता है जितना पूरा गुणनफल। दो की 64वीं घात खोलकर लिखने पर एक ही गुणनखंड के सौ से ज़्यादा अक्षर बनते हैं, और गिनती तो आपने जो घातांक टाइप किया उसी में लिखी है, इसलिए 2 × 2 × … × 2 तक छोटा करने से कुछ नहीं खोता। छह गुणनखंडों से नीचे गुणा पूरा लिखा जाता है, इसीलिए 3 की चौथी घात चारों गुणनखंड दिखाती है।

जवाब वैज्ञानिक संकेतन में कब बदलता है?

जब वह 0.001 से दस लाख तक के दायरे से बाहर चला जाए। उस दायरे के भीतर संख्या साधारण दशमलव में छपती है, क्योंकि 9,375 पाठक एक नज़र में पढ़ लेता है और 9.375 × 10³ के लिए उसे पहले दिमाग़ में उतारना पड़ता। दायरे से बाहर अपूर्णांक और दस की घात दोनों दिखाए जाते हैं, इसलिए 2 की 64वीं घात 1.844674 × 10¹⁹ पढ़ी जाती है, बीस अंकों की ऐसी पंक्ति नहीं जिससे परिमाण का अंदाज़ा ही न हो।

• Power — the definition of a power as repeated multiplication, together with the rules for negative and fractional exponents — Wolfram MathWorld (United States)
• Exponentiation — the operation itself, including the reciprocal rule for negative exponents and the treatment of the indeterminate case 0⁰ — Wolfram MathWorld (United States)