वर्ग कैलकुलेटर

s = P ÷ 4 = √A P = 4s A = s² d = s√2

भुजा

चारों में से किसी एक भुजा की लंबाई, सेंटीमीटर में। चारों बराबर होती हैं, इसलिए नापनी एक ही है। यही वह ख़ाना है जो पेज खुलते ही भरा हुआ दिखता है, क्योंकि भुजा वह संख्या है जिससे बाक़ी सब निकलता है

परिमाप

चारों तरफ़ का कुल फ़ासला, सेंटीमीटर में, जो भुजा का चार गुना है। अगर आपने यह ख़ाना भरा है तो पेज कुछ और निकालने से पहले 4 से भाग देकर भुजा निकाल लेता है

क्षेत्रफल

वर्ग जितनी सतह ढँकता है, cm² में, यानी भुजा गुणा भुजा। अगर आपने यह ख़ाना भरा है तो पेज भुजा निकालने के लिए इसका वर्गमूल लेता है, और इसीलिए क्षेत्रफल ऋणात्मक नहीं हो सकता — ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल होता ही नहीं, और पेज तब आगे नहीं बढ़ पाता

विकर्ण

एक कोने से सामने वाले कोने तक का फ़ासला, सेंटीमीटर में, जो भुजा गुणा √2 है। इसका अपना कोई इनपुट ख़ाना नहीं है, क्योंकि विकर्ण नाप तय करने का तरीका नहीं, नाप का नतीजा है — फिर भी यह छपता है, क्योंकि लोग इसे सबसे ज़्यादा माँगते हैं और सबसे कम उम्मीद करते हैं

√2

दो का वर्गमूल, लगभग 1.4142136। यह किसी भी वर्ग के विकर्ण और उसकी भुजा का अनुपात है, और आज तक खींचे गए हर वर्ग के लिए यही संख्या रहती है — इसी वजह से यह इतिहास की पहली अपरिमेय संख्या बनी

चार दशमलव स्थान

हर पढ़त कितनी चौड़ी छपती है। भुजा और परिमाप तब सटीक होते हैं जब इनपुट सटीक हो, पर विकर्ण में हमेशा एक √2 रहता है इसलिए वह लगभग कभी ख़त्म नहीं होता, और वर्गमूल से निकाला गया क्षेत्रफल वही परेशानी भुजा में ले आता है

यह पेज उन मौक़ों के लिए है जब वर्ग की कोई एक नाप आपके पास हो और कोई दूसरी चाहिए — और ऐसा उतनी बार होता है जितना आयत वाले पेज के दो अंदर-तीन बाहर वाले ढाँचे को देखकर लगता है। सबसे आम सूरत यह है कि क्षेत्रफल मालूम हो और भुजा चाहिए: 36 m² बताया गया कमरा छह मीटर भुजा वाला वर्ग है, 500 m² का टुकड़ा क़रीब 22.36 मीटर का होता है, और पेंट के एक टिन पर लिखा हुआ क्षेत्रफल बता देता है कि उससे कितनी लंबी दीवार हो जाएगी। दूसरी सबसे आम नाप विकर्ण है, और यही वह है जिसे लोग माँगना भूल जाते हैं। गोल मेज़ के लिए चौकोर मेज़पोश विकर्ण से नापा जाता है; आयताकार छेद से निकाली जाने वाली चौकोर चादर विकर्ण पर निकलती है, भुजा पर नहीं; 32 in बताई गई चौकोर स्क्रीन विकर्ण पर बताई जाती है, इसलिए उसकी असली भुजाएँ 32 ÷ √2, यानी क़रीब 22.6 in होती हैं। और उलटी तरफ़, विकर्ण से यह भी जाँचा जाता है कि कोई चीज़ वाक़ई वर्ग है या नहीं: अगर चारों भुजाएँ बराबर हों पर दोनों विकर्ण बराबर न हों, तो सामने समांतर चतुर्भुज है या टेढ़ा फ़्रेम, वर्ग नहीं।

1. भुजा 5

   1. परिमाप: 4 × 5 = 20
   2. क्षेत्रफल: 5 × 5 = 25
   3. विकर्ण: 5 × √2 = 7.0710678…, जो पूर्णांकित करने पर 7.0711

   यही वह इनपुट है जो पेज खुलते ही भरा दिखता है, और यही वह पंक्ति है जो आयत वाले पेज के 5 गुणा 5 से बिलकुल मिलती है — 25 cm², चारों तरफ़ 20 cm, विकर्ण 7.0711। दो पेज, एक ही संख्या, और यह मिलना जानबूझकर है: वर्ग ऐसा आयत है जिसकी भुजाएँ बराबर हैं, इसलिए इन दोनों में कोई भी फ़र्क़ इनमें से किसी एक पेज का दोष होगा।

2. परिमाप 20 से

   1. भुजा: 20 ÷ 4 = 5
   2. क्षेत्रफल: 5 × 5 = 25
   3. विकर्ण: 5 × √2 = 7.0710678…, जो पूर्णांकित करने पर 7.0711

   वही वर्ग, दूसरी तरफ़ से भरा हुआ, और चारों पढ़तें ऊपर वाली पंक्ति से हूबहू मिलती हैं — यह तालिका की दोहराई नहीं, इस पेज का पूरा मतलब है। अगर आप फ़्रेम बनवा रहे हैं और सिर्फ़ कुल लंबाई मालूम है, तो जवाब यही प्रविष्टि देती है, और भुजा, क्षेत्रफल तथा विकर्ण तीनों उसी से निकल आते हैं।

3. क्षेत्रफल 25 से

   1. भुजा: √25 = 5
   2. परिमाप: 4 × 5 = 20
   3. विकर्ण: 5 × √2 = 7.0710678…, जो पूर्णांकित करने पर 7.0711

   उसी वर्ग में जाने का तीसरा रास्ता। यह प्रविष्टि तब काम आती है जब आपके पास सतह की नाप हो — 25 m² बताया गया कमरा, या क्षेत्रफल के हिसाब से बिकने वाला कोई तख़्ता — क्योंकि 25 का वर्गमूल ठीक 5 होता है और पेज वहीं से आगे बढ़ जाता है।

4. क्षेत्रफल 2

   1. भुजा: √2 = 1.4142135…, जो पूर्णांकित करने पर 1.4142
   2. परिमाप: 4 × √2 = 5.6568542…, जो पूर्णांकित करने पर 5.6569
   3. विकर्ण: √2 × √2 = 2

   यह पंक्ति याद रखने लायक़ है। जिस वर्ग का क्षेत्रफल 2 है उसकी भुजा 1.4142 होती है — यानी दो का वर्गमूल, और इसी वजह से वह संख्या मशहूर है — और विकर्ण ठीक 2, क्योंकि भुजा √2 है और विकर्ण भुजा गुणा √2, इसलिए दोनों √2 कट जाते हैं। यही वह वर्ग भी है जो किसी वर्ग का क्षेत्रफल दुगुना कर देता है: यह इकाई वर्ग से दुगुना बड़ा है, और इसकी भुजा इकाई वर्ग का विकर्ण है, और यही रचना इतिहास की पहली लिखी गई अपरिमेय संख्या के पीछे है।

5. भुजा शून्य

   1. परिमाप: 4 × 0 = 0
   2. क्षेत्रफल: 0 × 0 = 0
   3. विकर्ण: 0 × √2 = 0

   बिना नाप का वर्ग एक बिंदु ही है, और चारों पढ़तें शून्य आती हैं। शून्य ख़ाली ख़ाना नहीं, एक असली इनपुट है, इसलिए शून्य की पंक्ति असली जवाब है — पेज इसे तीनों ख़ाने ख़ाली छोड़ने से अलग रखता है, जहाँ कोई नतीजा नहीं दिखता क्योंकि काम करने के लिए कुछ है ही नहीं।

यह पेज सिर्फ़ वर्ग के लिए है: चार बराबर भुजाएँ और चार समकोण। वर्ग जैसा दिखने वाला आयत दूसरी आकृति है और उसका विकर्ण भी दूसरा होता है — उसका काम पड़ोसी आयत वाला पेज करता है; समचतुर्भुज की चारों भुजाएँ बराबर होती हैं पर कोने समकोण नहीं होते, इसलिए उसका विकर्ण भुजा गुणा √2 से छोटा आता है, और यह पेज वह नहीं बताएगा। पढ़तें सेंटीमीटर और cm² में आती हैं, चाहे ड्रॉपडाउन किसी भी इकाई पर हो, इसलिए इंच में डाली गई भुजा का जवाब सेंटीमीटर में आता है और उसे ख़ुद बदलना पड़ता है। चार दशमलव स्थान दिखाने की चौड़ाई है, सटीकता का दावा नहीं: इनपुट सटीक हो तो परिमाप सटीक निकलता है, विकर्ण लगभग कभी नहीं क्योंकि उसमें एक √2 रहता है, और जो क्षेत्रफल पूर्ण वर्ग नहीं है उसका वर्गमूल वही समस्या भुजा में ले आता है। विकर्ण छपता है पर डाला नहीं जा सकता — उसका ख़ाना ही नहीं है — इसलिए विकर्ण से बताए गए वर्ग को पहले हाथ से बदलना पड़ता है। तीन में से दो ख़ाने एक साथ भरने पर पेज चुपचाप कुछ तय करने के बजाय मना कर देता है, क्योंकि भुजा 5 और परिमाप 30 दो अलग वर्ग बताते हैं, और पेज किसी एक को चुनने से बेहतर है कि यही कह दे। यहाँ गोल कोनों वाला वर्ग, मुड़ी सतह पर खींचा गया वर्ग, या किसी चौकोर टाइल या पट्टी की मोटाई — कुछ नहीं सँभाला जाता।

सिर्फ़ एक ख़ाना भरना क्यों काफ़ी है?

क्योंकि वर्ग के पास आज़ादी की सिर्फ़ एक डिग्री है। हर वर्ग एक ही आकार है, बस नाप अलग, इसलिए नाप बताने वाली अकेली संख्या बाक़ी सब तय कर देती है — आयत से उलट, जो अलग-अलग अनुपातों में आता है और जिसमें कुछ भी निकालने से पहले दो संख्याएँ चाहिए। इसीलिए यह पेज वही नाप ले लेता है जो आपके पास हो और बाक़ी निकाल देता है।

विकर्ण का कोई ख़ाना क्यों नहीं है?

क्योंकि विकर्ण नाप तय करने का तरीका नहीं, नाप का नतीजा है। इसके लिए ख़ाना जोड़ने का मतलब होता चौथा उलटा फ़ॉर्मूला — भुजा निकालने के लिए √2 से भाग — और वह भी ऐसी राशि के लिए जिसे लगभग कोई सीधे नहीं नापता। फिर भी यह छपता है, क्योंकि लोग इसे सबसे ज़्यादा माँगते हैं और सबसे कम उम्मीद करते हैं, और वर्ग सही है या नहीं यह जाँचने का काम भी इसी से होता है।

भुजा, परिमाप और क्षेत्रफल तीनों एक ही चार पढ़तें क्यों देते हैं?

क्योंकि तीनों एक ही वर्ग बता रहे हैं। भुजा 5 डालना, परिमाप 20 डालना और क्षेत्रफल 25 डालना एक ही बात कहने के तीन तरीक़े हैं, इसलिए तीनों से 5 cm भुजा, 20 cm परिमाप, 25 cm² और 7.0711 का विकर्ण निकलता है। संदर्भ तालिका यही तीनों प्रविष्टियाँ अलग-अलग पंक्तियों में दिखाती है ताकि यह आँखों के सामने रहे, किसी के भरोसे पर न छूटे।

क्षेत्रफल 2 वाले वर्ग में ऐसी क्या ख़ास बात है?

उसकी भुजा दो का वर्गमूल है, क़रीब 1.4142, और विकर्ण ठीक 2। यह इसलिए बैठता है कि भुजा √2 है और विकर्ण भुजा गुणा √2, इसलिए दोनों √2 कट जाते हैं — ऐसे पेज में सटीक जवाब जहाँ बाक़ी लगभग हर चीज़ में एक न ख़त्म होने वाला मूल चलता है। यही वह वर्ग है जिसका क्षेत्रफल एक गुणा एक वाले वर्ग से दुगुना है, और इसीलिए उसकी भुजा इकाई वर्ग का विकर्ण बनती है।

क्या दो ख़ानों में एक साथ संख्या डाल सकते हैं?

नहीं, और पेज किसी एक को चुनने के बजाय मना कर देता है। भुजा 5 और परिमाप 30 दो अलग वर्ग बताते हैं, और यह तय करने का कोई ईमानदार तरीक़ा नहीं कि आपका मतलब कौन-सा था। जो ख़ाना भरना हो उससे पहले बाक़ी ख़ाली कर दीजिए — पेज ख़ाली ख़ाने और शून्य में भी फ़र्क़ रखता है, इसलिए भुजा शून्य वाला वर्ग असली जवाब है जबकि तीनों ख़ाने ख़ाली छोड़ने पर कोई नतीजा नहीं आता।

यह आयत कैलकुलेटर से कैसे अलग है?

आयत वाला पेज दो संख्याएँ लेता है और तीन जवाब देता है; यह पेज एक संख्या लेता है और चार पढ़तें देता है। फ़र्क़ आज़ादी की डिग्रियों का है, एक बनाम दो, और इसी से फ़ॉर्म का ढाँचा बदल जाता है: आयत आपसे लंबाई और चौड़ाई माँगता है, जबकि यह पेज वह अकेली नाप माँगता है जो आपके पास हो। आयत वाले पेज पर डाला गया वर्ग वही क्षेत्रफल, परिमाप और विकर्ण देता है, इसलिए जहाँ दोनों पेज एक-दूसरे से मिलते हैं वहाँ वे सहमत रहते हैं।

• Square — the regular quadrilateral, with the area, the perimeter and the diagonal this page computes and the note that the diagonal is the side times the square root of two — Wolfram MathWorld (United States)
• Square root of 2 — the ratio of a square's diagonal to its side, with the proof that it cannot be written as a fraction, which is why this page's diagonal output almost never ends — Wolfram MathWorld (United States)
• Regular polygon — the family a square belongs to, alongside the equilateral triangle and the regular hexagon that the perimeter page next door also covers — Wolfram MathWorld (United States)