षट्भुज का क्षेत्रफल भुजा से कैसे निकालें?

भुजा के वर्ग को तीन गुणा तीन का वर्गमूल, भाग दो से गुणा कीजिए — यह गुणक लगभग 2.5981 है। इसका सबसे आसान याद रखने वाला रूप यह है कि षट्भुज छह समबाहु त्रिभुजों से बना है: हर त्रिभुज भुजा के वर्ग का √3 भाग चार होता है, और छह ऐसे त्रिभुज मिलकर यही गुणक बनाते हैं। भुजा दुगुनी करने पर क्षेत्रफल चार गुना हो जाता है क्योंकि क्षेत्रफल लंबाई के वर्ग के साथ चलता है, जबकि परिमाप और दोनों विकर्ण सिर्फ़ दुगुने होते हैं।

लंबा विकर्ण हमेशा भुजा का ठीक दुगुना क्यों होता है?

क्योंकि वह केंद्र से होकर सामने के कोने तक जाता है, और रास्ते में षट्भुज के उन छह समबाहु त्रिभुजों में से दो की दो भुजाएँ पड़ती हैं जिनसे यह बना है। वह दो भुजाएँ सीधी रेखा में होती हैं, इसलिए उनका जोड़ ठीक दुगुनी भुजा है — कोई गोलाई नहीं, कोई अनुमान नहीं, यह इस पेज के दो ठीक-ठीक पाठों में से एक है। इसी वजह से वह षट्भुज के चारों ओर खींचे गए वृत्त का व्यास भी है, और यही आकृति के आर-पार की सबसे चौड़ी नाप है।

अंतःत्रिज्या और छोटा विकर्ण दोनों क्यों दिखाए गए हैं जबकि एक दूसरे का आधा है?

क्योंकि दोनों अलग-अलग कामों में बोले जाते हैं और पेज आपसे एक को आधा करने के बजाय दोनों छाप देना पसंद करता है। अंतःत्रिज्या केंद्र से भुजा के मध्य तक की दूरी है और उसका दुगुना सपाट किनारों के आर-पार की चौड़ाई होती है — यानी वही नाप जिससे बोल्ट का सिर और उसका सॉकेट बताए जाते हैं। छोटा विकर्ण दो कोनों के बीच की दूरी है और वह बताता है कि आकृति को कितनी जगह चाहिए। दोनों एक ही नाप हैं, बस एक केंद्र से देखी हुई और एक कोने से, और दोनों को चार दशमलव तक छापने में किसी की जानकारी नहीं छूटती।

भुजा बदलने पर अंतःकोण 120 ही क्यों रहता है?

क्योंकि किसी समबहुभुज का अंतःकोण सिर्फ़ भुजाओं की संख्या से तय होता है। किसी भी बहुभुज के कोणों का जोड़ भुजाओं की संख्या में से दो घटाकर 180 अंश से गुणा करने पर मिलता है; छह भुजाओं के लिए यह 720 अंश है, और छह बराबर कोनों में बाँटने पर हर एक 120 का। इस हिसाब में भुजा की लंबाई कहीं आती ही नहीं, इसलिए भुजा 1 का षट्भुज और भुजा 100 का षट्भुज एक ही कोण देते हैं। यही वजह है कि तालिका का आख़िरी स्तंभ हर कतार में एक जैसा है और यही वजह है कि 30 अंश का कटाव हर षट्भुजी फ़्रेम में चलता है, नाप कोई भी हो।

अंतःत्रिज्या क्या है और यहाँ किस काम की है?

यह केंद्र से सीधे किसी भुजा के मध्य तक की दूरी है, और यह उस वृत्त की त्रिज्या है जो षट्भुज के भीतर ठीक-ठीक समाता है। टाइलें काटते समय यही बताती है कि केंद्रों के बीच कितनी दूरी रखनी है, क्योंकि पड़ोसी टाइलें अपने सपाट किनारों से मिलती हैं और वे किनारे केंद्र से अंतःत्रिज्या जितनी दूर होते हैं। और अगर आप किसी बोल्ट या नट के लिए पाना या सॉकेट चुन रहे हों, तो नाप हमेशा सपाट किनारों के आर-पार लिया जाता है, यानी अंतःत्रिज्या का दुगुना — वही इस पेज का सबसे काम का पाठ है।

भुजा शून्य डालने पर पाँच शून्य क्यों आते हैं?

क्योंकि शून्य भुजा वाला षट्भुज सिकुड़कर एक बिंदु रह जाता है, और एक बिंदु का कोई क्षेत्रफल, कोई परिमाप और कोई विकर्ण नहीं होता। शून्य यहाँ ख़ालीपन या ग़लती नहीं बल्कि उस सवाल का ईमानदार जवाब है। अंतःकोण अब भी 120 रहता है क्योंकि वह नाप का नहीं आकृति की परिभाषा का हिस्सा है। और अगर आप खाना बिलकुल ख़ाली छोड़ दें तो पेज कुछ भी नहीं दिखाता — यह अलग बात है और जान-बूझकर है, ताकि कोई संख्या दोबारा लिखने के लिए खाना साफ़ करते समय नतीजे में शून्यों की कतार न चमके।

षट्भुज कैलकुलेटर

नतीजा

93.5307 cm²

क्षेत्रफल

परिमाप: 36.0000 cm
लंबा विकर्ण: 12.0000 cm
छोटा विकर्ण: 10.3923 cm
अंतःत्रिज्या: 5.1962 cm
अंतःकोण: 120 °

षट्भुज कैलकुलेटर एक समषट्भुज की भुजा लेता है और उसकी छह नाप लौटाता है: क्षेत्रफल, परिमाप, दोनों विकर्ण, अंतःत्रिज्या और अंतःकोण। समषट्भुज मधुमक्खी के छत्ते के कोष्ठक, नट, बोल्ट के सिर और फ़र्श की टाइल की आकृति है, और यह इतनी बार क्यों आती है इसकी वजह यह है कि किसी सतह को बिना गैप के बराबर कोष्ठकों में बाँटने का यह सबसे किफ़ायती तरीक़ा है — इसीलिए मधुमक्खियों ने इसे किसी के साबित करने से पहले खोज लिया। इसका दूसरा गुण इसका हिसाब है: एक समषट्भुज छह समबाहु त्रिभुजों से बना है जो एक बिंदु पर जुड़े हैं, और इसके बारे में लगभग हर बात उसी एक तथ्य से निकल आती है। परिमाप छह भुजाएँ हैं। लंबा विकर्ण, यानी वह जो एक कोने से सीधे केंद्र से होकर सामने के कोने तक जाता है, दो भुजाओं के बराबर है, क्योंकि वह उन्हीं त्रिभुजों में से दो के सिरे-से-सिरा जुड़े होने जितना है। छोटा विकर्ण, यानी वह जो सिर्फ़ एक कोना छोड़कर जाता है, उन्हीं दो त्रिभुजों की पीठ-से-पीठ लगी ऊँचाई है, यानी भुजा का तीन का वर्गमूल गुणा। क्षेत्रफल छह समबाहु त्रिभुज हैं, जिनमें हर एक भुजा के वर्ग का तीन का वर्गमूल भाग चार होता है, और ऐसे छह मिलकर भुजा के वर्ग का तीन गुणा तीन का वर्गमूल भाग दो बन जाते हैं। और अंतःत्रिज्या — केंद्र से सीधे किसी भुजा के मध्य तक की दूरी, जो उस वृत्त की त्रिज्या है जिसके भीतर षट्भुज बैठता है — छोटे विकर्ण की आधी है, यानी भुजा का तीन का वर्गमूल भाग दो गुणा। छह नाप, एक इनपुट। उस एक इनपुट पर ज़रा रुकने लायक़ है, क्योंकि यही इस पेज को अपने आस-पास की ज़्यादातर पेजों से अलग करता है। आयत को दो संख्याएँ चाहिए, त्रिभुज को तीन, और किसी आम चतुर्भुज को उससे भी ज़्यादा; समषट्भुज को सिर्फ़ उसकी भुजा चाहिए, क्योंकि «सम» शब्द पहले ही हर कोण को 120 अंश पर और हर भुजा को एक ही लंबाई पर जमा चुका है। भुजा बदलिए तो पूरी आकृति उसी अनुपात में बदलती है — भुजा दुगुनी कीजिए तो परिमाप दुगुना, दोनों विकर्ण दुगुने, पर क्षेत्रफल चार गुना, क्योंकि क्षेत्रफल हमेशा लंबाई के वर्ग के साथ चलता है और यह पेज इसका अपवाद नहीं। अंतःकोण वह अकेला आँकड़ा है जो भुजा बदलने पर ज़रा भी नहीं हिलता: वह इस बात से 120 अंश पर जमा है कि भुजाएँ छह हैं, और यह नीचे की तालिका में देखने लायक़ है, जहाँ हर कतार के आख़िरी स्तंभ में वही संख्या चलती है। इसीलिए किसी छह भुजाओं वाली चीज़ का कटाव हमेशा 30 अंश का होता है — 120 का आधा — चाहे वह छोटी हो या बड़ी। और यह भी ध्यान देने लायक़ है कि क्षेत्रफल सेंटीमीटर में नापे गए किनारे के हिसाब से कितना सस्ता पड़ता है: भुजा एक के वर्ग का क्षेत्रफल 1 होता है जबकि भुजा एक के षट्भुज का लगभग 2.6 — यानी उतने ही किनारे पर षट्भुज ज़्यादा ज़मीन ढकता है, और यही किफ़ायत है जिसकी नक़ल पैकेजिंग और पैनलों में की जाती है।

भुजा शून्य से भुजा दस तक के समषट्भुज

भुजा (cm)	क्षेत्रफल (cm²)	परिमाप (cm)	लंबा विकर्ण (cm)	छोटा विकर्ण (cm)	अंतःत्रिज्या (cm)	अंतःकोण (°)
6	93.5307	36	12	10.3923	5.1962	120
1	2.5981	6	2	1.7321	0.866	120
2	10.3923	12	4	3.4641	1.7321	120
3	23.3827	18	6	5.1962	2.5981	120
5	64.9519	30	10	8.6603	4.3301	120
7.5	146.1418	45	15	12.9904	6.4952	120
10	259.8076	60	20	17.3205	8.6603	120
0	0	0	0	0	0	120

आठ षट्भुज, और पहली कतार वही है जिसके साथ पेज खुलता है। पहले दो स्तंभ नीचे की तरफ़ पढ़िए तो वह एक संबंध दिखता है जो लोगों को सबसे ज़्यादा उलझाता है: भुजा 5 से भुजा 10 पर जाने पर परिमाप, दोनों विकर्ण और अंतःत्रिज्या दुगुने हो जाते हैं, पर क्षेत्रफल 64.9519 से 259.8076 चला जाता है — चार गुना, दुगुना नहीं, क्योंकि क्षेत्रफल लंबाई के वर्ग के साथ चलता है। आख़िरी स्तंभ हर कतार में वही 120 दिखाता है, और यह गुण है न कि कॉपी-पेस्ट की ग़लती: समषट्भुज का अंतःकोण उसके छह भुजाओं वाला होने से तय है, इसलिए नाप बदलने पर वह नहीं हिलता, और यह इस पेज का अकेला ऐसा आँकड़ा है जो भुजा के शून्य हो जाने पर बचा रहता है जबकि बाक़ी पाँचों मिट जाते हैं। दूसरी कतार इकाई षट्भुज है, जहाँ तीनों √3 वाले पाठ अपने सबसे नंगे रूप में हैं: छोटा विकर्ण 1.7321 और अंतःत्रिज्या 0.866, यानी √3 और √3 भाग दो। तीसरी कतार में पहला संयोग बैठा है: भुजा 2 वाले षट्भुज का क्षेत्रफल 10.3923 है, और पहली कतार के भुजा 6 वाले षट्भुज का छोटा विकर्ण भी वही 10.3923। सातवीं कतार, भुजा 10, दूसरा संयोग लिए है: उसकी अंतःत्रिज्या 8.6603 है, जो भुजा 5 वाले षट्भुज का छोटा विकर्ण है — दोनों पाँच गुणा तीन का वर्गमूल हैं, अलग-अलग दिशाओं से पहुँचे हुए। एक ही तालिका में दो राशियों का चार छपे अंक मिल जाना ठीक वैसी चीज़ है जो कॉपी-पेस्ट की ग़लती लगती है, और यहाँ दोनों असली हैं। आख़िरी कतार भुजा शून्य की है, जहाँ पाँचों नाप-वाले स्तंभ शून्य हैं और जवाब असली है, ग़ायब नहीं — और जहाँ ऊपर बताई वजह से अंतःकोण का स्तंभ अब भी 120 कहता है। यहाँ की हर संख्या पेज बनते समय उसकी भुजा से दोबारा निकाली जाती है, सेंटीमीटर और अंशों में, और दशमलव की चौड़ाइयाँ वही हैं जो नतीजे का पैनल इस्तेमाल करता है।

फ़ॉर्मूला

A = (3√3 ÷ 2) × s² P = 6s लंबा विकर्ण = 2s छोटा विकर्ण = √3 × s a = (√3 ÷ 2) × s अंतःकोण = 120°

भुजा: छह में से किसी एक भुजा की लंबाई, सेंटीमीटर में। यहाँ यही एक अकेला इनपुट है क्योंकि समषट्भुज की छहों भुजाएँ बराबर और छहों कोण 120 अंश पर तय हैं, इसलिए यह संख्या अकेले पूरी आकृति तय कर देती है
क्षेत्रफल: षट्भुज के भीतर की जगह, वर्ग सेंटीमीटर में: भुजा के वर्ग का तीन गुणा तीन का वर्गमूल भाग दो। यह गुणक उन छह समबाहु त्रिभुजों से आता है जिनसे यह बना है, किसी रटे हुए सूत्र से नहीं: एक त्रिभुज भुजा के वर्ग का √3 भाग चार होता है, और छह मिलकर (3√3 ÷ 2) बन जाते हैं
परिमाप: चारों ओर की पूरी दूरी, सेंटीमीटर में: भुजा का छह गुना, क्योंकि छहों बराबर हैं। यह अकेला ऐसा पाठ है जो भुजा ठीक हो तो हमेशा ठीक होता है, इसीलिए नतीजा गड़बड़ लगने पर बाक़ी आँकड़ों को इसी से जाँचा जाता है
लंबा विकर्ण: एक कोने से सीधे केंद्र से होकर सामने के कोने तक की दूरी, सेंटीमीटर में। यह ठीक दुगुनी भुजा होती है, जिससे यह षट्भुज के चारों ओर खींचे गए वृत्त का व्यास भी बन जाती है, और यह आकृति के आर-पार ली जा सकने वाली सबसे चौड़ी नाप भी है
छोटा विकर्ण: दो ऐसे कोनों के बीच की दूरी, सेंटीमीटर में, जिनके बीच ठीक एक कोना हो, यानी भुजा का तीन का वर्गमूल गुणा। यह अंतःत्रिज्या के दुगुने से ज़रा कम और भुजा के डेढ़ गुने से ज़रा ज़्यादा होता है, और षट्भुज को एक आयत तथा दो त्रिभुजों में बाँट देता है
अंतःत्रिज्या: केंद्र से सीधे किसी भुजा के मध्य तक की दूरी, सेंटीमीटर में, यानी भुजा का तीन का वर्गमूल भाग दो गुणा। यह षट्भुज के भीतर खींचे गए वृत्त की त्रिज्या है, और यह छोटे विकर्ण की ठीक आधी है — दोनों एक ही नाप हैं, एक केंद्र से देखी हुई और एक कोने से। बोल्ट का सिर और उस पर फ़िट होने वाला सॉकेट दोनों सपाट किनारों के आर-पार नापे जाते हैं, यानी अंतःत्रिज्या के दुगुने से, इसीलिए व्यवहार में यही आँकड़ा काम आता है, लंबा विकर्ण नहीं
√3: तीन का वर्गमूल, लगभग 1.7320508। यह क्षेत्रफल, छोटे विकर्ण और अंतःत्रिज्या तीनों में आता है, और यह भुजा एक वाले समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई है — वही संख्या जो त्रिभुज की भुजा को उसकी ऊँचाई में बदल देती है
अंतःकोण: षट्भुज के भीतर दो पड़ोसी भुजाओं के बीच का कोण, जो हर समषट्भुज में 120 अंश है और इसलिए भुजा पर ज़रा भी निर्भर नहीं करता। यह उस नियम से आता है कि किसी भी बहुभुज के कोणों का जोड़ भुजाओं की संख्या में से दो घटाकर 180 अंश से गुणा करने पर मिलता है — छह भुजाएँ, चार त्रिभुज, 720 अंश छह बराबर कोनों में बँटे। यह इस पेज का अकेला ऐसा पाठ है जिसे बड़ा षट्भुज भी बिलकुल वही छापता है
चार दशमलव स्थान: हर पाठ कितना चौड़ा छपता है। क्षेत्रफल, छोटा विकर्ण और अंतःत्रिज्या तीनों में लगभग हमेशा एक √3 रहता है और इसलिए वे लगभग कभी ख़त्म नहीं होते; परिमाप और लंबा विकर्ण ठीक-ठीक होते हैं, और उन्हें चार स्थानों तक छापना लिखने की चौड़ाई है, कोई दावा नहीं। अंतःकोण ठीक 120 है, इसलिए वह बिना दशमलव के पूरे अंक के रूप में छपता है — चौड़ाई हर पाठ की अपनी है, पूरे पेज की एक नहीं

यह पेज षट्भुज को एक असली चीज़ की तरह लेता है, और मधुमक्खी का छत्ता ही वजह है कि यह बार-बार सामने आता है। अगर आप कोई सतह बिछा रहे हैं और जानना चाहते हैं कि एक षट्भुजी टाइल कितनी सामग्री लेगी, तो क्षेत्रफल वही आँकड़ा है, और यह जानने लायक़ है कि भुजा एक के षट्भुज का क्षेत्रफल लगभग 2.6 होता है जबकि भुजा एक के वर्ग का 1 — यानी उतने ही किनारे पर षट्भुज ज़्यादा ज़मीन ढकता है, और यही किफ़ायत है जिसकी नक़ल पैकेजिंग और पैनलों में की जाती है। अगर आप टाइलें किसी चादर से काट रहे हैं, तो अंतःत्रिज्या बताती है कि केंद्रों के बीच कितनी दूरी छोड़नी है, और दोनों विकर्ण बताते हैं कि बनी हुई आकृति को कितनी जगह चाहिए — लंबा विकर्ण सबसे चौड़े हिस्से के आर-पार, और छोटा वाला वह नाप जिससे तय होता है कि नट पर पाना फ़िट होगा या नहीं। बोल्ट का सिर सपाट किनारों के आर-पार बताया जाता है, यानी अंतःत्रिज्या के दुगुने से, और उस पर फ़िट होने वाला सॉकेट भी उसी तरह बताया जाता है — इसलिए व्यवहार में अंतःत्रिज्या का पाठ काम आता है, लंबे विकर्ण का नहीं। और अगर आप किसी ड्रॉइंग या नक़्शे की जाँच कर रहे हैं, तो दोनों विकर्णों का अनुपात हमेशा एक जैसा रहता है — छोटा वाला बड़े वाले का ठीक आधा गुणा तीन का वर्गमूल होता है — इसलिए जिस षट्भुज में यह अनुपात न बैठे, उसमें गोलाई का फ़र्क़ नहीं बल्कि टाइपिंग की ग़लती है। यह अनुपात हर कतार पर जाँचा जा सकता है: लंबा विकर्ण 12 के सामने छोटा 10.3923, और 12 का आधा गुणा 1.7321 भी 10.3923 ही होता है। और षट्भुज वह आकृति है जिसमें सबसे आसानी से यह देखा जा सकता है कि क्षेत्रफल और परिमाप एक ही रफ़्तार से नहीं बढ़ते: परिमाप भुजा के साथ सीधा चलता है, क्षेत्रफल भुजा के वर्ग के साथ। भुजा 5 से भुजा 10 पर जाने पर परिमाप 30 से 60 हो जाता है, यानी दुगुना, पर क्षेत्रफल 64.9519 से 259.8076, यानी चार गुना। किसी आकृति को बड़ा करना उसके किनारे के हिसाब से कभी सस्ता नहीं पड़ता।

हल किए हुए उदाहरण

भुजा 6
1. परिमाप: 6 × 6 = 36
2. लंबा विकर्ण: 2 × 6 = 12, ठीक-ठीक
3. छोटा विकर्ण: √3 × 6 = 1.732050… × 6 = 10.392304…, जो 10.3923 बनता है
4. अंतःत्रिज्या: छोटे विकर्ण की आधी, यानी 5.196152…, जो 5.1962 बनता है
5. क्षेत्रफल: (3√3 ÷ 2) × 36 = 2.598076… × 36 = 93.530743…, जो 93.5307 बनता है
6. अंतःकोण: (6 − 2) × 180 ÷ 6 = 120, ठीक-ठीक
जिस इनपुट के साथ पेज खुलता है, और यही वह कतार है जहाँ सबसे साफ़ दिखता है कि छह में से दो पाठ ठीक-ठीक हैं और बाक़ी चार नहीं। परिमाप और लंबा विकर्ण बिना किसी अपूर्णता के 36 और 12 निकलते हैं, जबकि छोटा विकर्ण, अंतःत्रिज्या और क्षेत्रफल तीनों में वही √3 बैठा है और तीनों अनंत दशमलव छोड़ते हैं। अंतःत्रिज्या पर ग़ौर कीजिए: वह छोटे विकर्ण की ठीक आधी है, 10.3923 का आधा यानी 5.196152, और यही 5.1962 छपता है — दो अलग पाठ हैं पर एक ही नाप, एक केंद्र से देखी हुई और एक कोने से।
भुजा 1
1. परिमाप: 6 × 1 = 6
2. लंबा विकर्ण: 2 × 1 = 2
3. छोटा विकर्ण: √3 × 1 = 1.732050…, जो 1.7321 बनता है
4. अंतःत्रिज्या: √3 ÷ 2 = 0.866025…, जो 0.866 बनता है
5. क्षेत्रफल: 2.598076… × 1 = 2.5981 बनता है
6. अंतःकोण: 120
इकाई षट्भुज, और वह कतार जहाँ तीनों √3 वाले पाठ अपने सबसे नंगे रूप में दिखते हैं: छोटा विकर्ण 1.7321 यानी √3 ख़ुद, और अंतःत्रिज्या 0.866 यानी √3 भाग दो। यहाँ एक और बात देखने लायक़ है — अंतःत्रिज्या के चार दशमलव में आख़िरी अंक 0 है और वह छपता नहीं, इसलिए 0.8660 के बजाय 0.866 दिखता है। क्षेत्रफल की तुलना भुजा एक के वर्ग से कीजिए जिसका क्षेत्रफल 1 है: 2.598 बनाम 1, यानी उतने ही किनारे पर षट्भुज ढाई गुने से ज़्यादा ज़मीन ढकता है।
भुजा 2
1. परिमाप: 6 × 2 = 12
2. लंबा विकर्ण: 2 × 2 = 4
3. छोटा विकर्ण: √3 × 2 = 3.464101…, जो 3.4641 बनता है
4. अंतःत्रिज्या: √3 ÷ 2 × 2 = 1.732050…, जो 1.7321 बनता है
5. क्षेत्रफल: 2.598076… × 4 = 10.392304…, जो 10.3923 बनता है
6. अंतःकोण: 120
इस कतार में वह पहला संयोग बैठा है जो तालिका में ग़लती जैसा लगता है: भुजा 2 वाले षट्भुज का क्षेत्रफल 10.3923 है, और भुजा 6 वाले षट्भुज का छोटा विकर्ण भी 10.3923। दोनों असल में एक ही संख्या हैं — छह गुणा तीन का वर्गमूल — जो एक बार लंबाई के रूप में और एक बार क्षेत्रफल के रूप में निकल आई है। यह भी देखिए कि अंतःत्रिज्या यहाँ ठीक 1.7321 है, यानी √3, और भुजा 1 वाले षट्भुज का छोटा विकर्ण भी वही — भुजा दुगुनी होने पर हर लंबाई दुगुनी हो जाती है, इसलिए एक कतार की लंबाई दूसरी कतार की किसी लंबाई पर गिर ही जाती है।
भुजा 10
1. परिमाप: 6 × 10 = 60
2. लंबा विकर्ण: 2 × 10 = 20
3. छोटा विकर्ण: √3 × 10 = 17.320508…, जो 17.3205 बनता है
4. अंतःत्रिज्या: √3 ÷ 2 × 10 = 8.660254…, जो 8.6603 बनता है
5. क्षेत्रफल: 2.598076… × 100 = 259.807621…, जो 259.8076 बनता है
6. अंतःकोण: 120
दस सेंटीमीटर का षट्भुज, यानी लगभग एक फ़र्श की टाइल। यह वह कतार है जहाँ यह साफ़ दिखता है कि भुजा दुगुनी करने पर क्या-क्या कैसे बदलता है: भुजा 5 की कतार से यहाँ आइए तो परिमाप 30 से 60, लंबा विकर्ण 10 से 20 और छोटा विकर्ण 8.6603 से 17.3205 — सब दुगुने — जबकि क्षेत्रफल 64.9519 से 259.8076, यानी चार गुना। इस कतार में दूसरा संयोग भी बैठा है: यहाँ की अंतःत्रिज्या 8.6603 भुजा 5 वाले षट्भुज के छोटे विकर्ण जितनी है, क्योंकि दोनों पाँच गुणा तीन का वर्गमूल हैं, बस एक बार आधा करके और एक बार न करके।
भुजा 0
1. परिमाप: 6 × 0 = 0
2. लंबा विकर्ण: 2 × 0 = 0
3. छोटा विकर्ण: √3 × 0 = 0
4. अंतःत्रिज्या: √3 ÷ 2 × 0 = 0
5. क्षेत्रफल: 2.598076… × 0 = 0
6. अंतःकोण: (6 − 2) × 180 ÷ 6 = 120
शून्य एक असली इनपुट है, ख़ाली खाना नहीं, और यह कतार वह बात सबसे साफ़ कहती है जो इस पेज के बारे में समझने लायक़ है: भुजा शून्य वाला षट्भुज सिकुड़कर एक बिंदु रह गया है, पाँचों नाप-वाले स्तंभ शून्य हैं, और अंतःकोण अब भी 120 अंश है। वह आकृति की परिभाषा से आता है, नाप से नहीं, इसलिए नाप के ख़त्म हो जाने पर भी वह बचा रहता है। नतीजे शून्य होना जवाब है, जवाब का ग़ायब हो जाना नहीं — और यही फ़र्क़ खाना ख़ाली छोड़ देने से है, जहाँ पेज कुछ भी नहीं दिखाता क्योंकि काम करने के लिए कुछ है ही नहीं।

सीमाएँ

यह पेज सिर्फ़ समषट्भुज के लिए है: छहों भुजाएँ एक ही लंबाई की और छहों कोण 120 अंश। जो षट्भुज सम न हो उसकी कोई एक भुजा-लंबाई नहीं होती और उसे एक संख्या से बयान नहीं किया जा सकता; पेज चुपचाप उस भुजा वाला समषट्भुज निकाल देगा यह बताए बिना कि आपके दिमाग़ में कोई और आकृति है। अंतःकोण किसी भी नाप के लिए 120 अंश पर जमा है और तालिका की हर कतार में, भुजा शून्य वाली कतार में भी, वही छपता है; पेज न बाहरी कोण देता है न केंद्रीय कोण, और किसी असम षट्भुज के लिए कोई कोण नहीं देता, क्योंकि देना ही नहीं है — उसका कोई एक जवाब नहीं होता। नतीजे सेंटीमीटर, वर्ग सेंटीमीटर और अंशों में हैं, चाहे ड्रॉपडाउन किसी भी इकाई पर हो, इसलिए इंच में डाली गई भुजा का जवाब सेंटीमीटर में लौटता है और बदलना आपको पड़ेगा। चार दशमलव लिखने की चौड़ाई है, परिशुद्धता का दावा नहीं: नापी हुई भुजा के लिए यह उदार है और आख़िरी दो अंक तब तक मायने नहीं रखते जब तक इनपुट ठीक-ठीक न हो। क्षेत्रफल भुजा के वर्ग के साथ बढ़ता है जबकि परिमाप और दोनों विकर्ण भुजा के साथ, इसलिए किसी षट्भुज को बड़ा करने पर ये आँकड़े अलग-अलग रफ़्तार से बदलते हैं — अंतःकोण अकेला है जो ज़रा भी नहीं बदलता। अंतःत्रिज्या और छोटा विकर्ण दो अलग पाठों के रूप में छपते हैं, जबकि एक ठीक दूसरे की आधी है; वजह यह है कि दोनों अलग-अलग कामों में बोले जाते हैं और पेज दोनों छापना पसंद करता है बजाय इसके कि आपको एक को आधा करना पड़े। यहाँ बीच में छेद वाला षट्भुज, किसी मुड़ी सतह पर खींचा गया षट्भुज, या षट्भुजी टाइल या नट की मोटाई कुछ भी नहीं आती — मोटाई तीसरा आयाम है जिसका इस पेज में कोई खाना नहीं। और यह भी याद रखिए कि षट्भुज किनारे से किनारा जमता है और कोई जगह नहीं छोड़ता, इसीलिए छत्ता बनता है — पर उस जमाव की गिनती यह पेज नहीं करता, वह एक पूरी सतह का लेआउट है, एक आकृति का नाप नहीं।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

षट्भुज का क्षेत्रफल भुजा से कैसे निकालें?: भुजा के वर्ग को तीन गुणा तीन का वर्गमूल, भाग दो से गुणा कीजिए — यह गुणक लगभग 2.5981 है। इसका सबसे आसान याद रखने वाला रूप यह है कि षट्भुज छह समबाहु त्रिभुजों से बना है: हर त्रिभुज भुजा के वर्ग का √3 भाग चार होता है, और छह ऐसे त्रिभुज मिलकर यही गुणक बनाते हैं। भुजा दुगुनी करने पर क्षेत्रफल चार गुना हो जाता है क्योंकि क्षेत्रफल लंबाई के वर्ग के साथ चलता है, जबकि परिमाप और दोनों विकर्ण सिर्फ़ दुगुने होते हैं।
लंबा विकर्ण हमेशा भुजा का ठीक दुगुना क्यों होता है?: क्योंकि वह केंद्र से होकर सामने के कोने तक जाता है, और रास्ते में षट्भुज के उन छह समबाहु त्रिभुजों में से दो की दो भुजाएँ पड़ती हैं जिनसे यह बना है। वह दो भुजाएँ सीधी रेखा में होती हैं, इसलिए उनका जोड़ ठीक दुगुनी भुजा है — कोई गोलाई नहीं, कोई अनुमान नहीं, यह इस पेज के दो ठीक-ठीक पाठों में से एक है। इसी वजह से वह षट्भुज के चारों ओर खींचे गए वृत्त का व्यास भी है, और यही आकृति के आर-पार की सबसे चौड़ी नाप है।
अंतःत्रिज्या और छोटा विकर्ण दोनों क्यों दिखाए गए हैं जबकि एक दूसरे का आधा है?: क्योंकि दोनों अलग-अलग कामों में बोले जाते हैं और पेज आपसे एक को आधा करने के बजाय दोनों छाप देना पसंद करता है। अंतःत्रिज्या केंद्र से भुजा के मध्य तक की दूरी है और उसका दुगुना सपाट किनारों के आर-पार की चौड़ाई होती है — यानी वही नाप जिससे बोल्ट का सिर और उसका सॉकेट बताए जाते हैं। छोटा विकर्ण दो कोनों के बीच की दूरी है और वह बताता है कि आकृति को कितनी जगह चाहिए। दोनों एक ही नाप हैं, बस एक केंद्र से देखी हुई और एक कोने से, और दोनों को चार दशमलव तक छापने में किसी की जानकारी नहीं छूटती।
भुजा बदलने पर अंतःकोण 120 ही क्यों रहता है?: क्योंकि किसी समबहुभुज का अंतःकोण सिर्फ़ भुजाओं की संख्या से तय होता है। किसी भी बहुभुज के कोणों का जोड़ भुजाओं की संख्या में से दो घटाकर 180 अंश से गुणा करने पर मिलता है; छह भुजाओं के लिए यह 720 अंश है, और छह बराबर कोनों में बाँटने पर हर एक 120 का। इस हिसाब में भुजा की लंबाई कहीं आती ही नहीं, इसलिए भुजा 1 का षट्भुज और भुजा 100 का षट्भुज एक ही कोण देते हैं। यही वजह है कि तालिका का आख़िरी स्तंभ हर कतार में एक जैसा है और यही वजह है कि 30 अंश का कटाव हर षट्भुजी फ़्रेम में चलता है, नाप कोई भी हो।
अंतःत्रिज्या क्या है और यहाँ किस काम की है?: यह केंद्र से सीधे किसी भुजा के मध्य तक की दूरी है, और यह उस वृत्त की त्रिज्या है जो षट्भुज के भीतर ठीक-ठीक समाता है। टाइलें काटते समय यही बताती है कि केंद्रों के बीच कितनी दूरी रखनी है, क्योंकि पड़ोसी टाइलें अपने सपाट किनारों से मिलती हैं और वे किनारे केंद्र से अंतःत्रिज्या जितनी दूर होते हैं। और अगर आप किसी बोल्ट या नट के लिए पाना या सॉकेट चुन रहे हों, तो नाप हमेशा सपाट किनारों के आर-पार लिया जाता है, यानी अंतःत्रिज्या का दुगुना — वही इस पेज का सबसे काम का पाठ है।
भुजा शून्य डालने पर पाँच शून्य क्यों आते हैं?: क्योंकि शून्य भुजा वाला षट्भुज सिकुड़कर एक बिंदु रह जाता है, और एक बिंदु का कोई क्षेत्रफल, कोई परिमाप और कोई विकर्ण नहीं होता। शून्य यहाँ ख़ालीपन या ग़लती नहीं बल्कि उस सवाल का ईमानदार जवाब है। अंतःकोण अब भी 120 रहता है क्योंकि वह नाप का नहीं आकृति की परिभाषा का हिस्सा है। और अगर आप खाना बिलकुल ख़ाली छोड़ दें तो पेज कुछ भी नहीं दिखाता — यह अलग बात है और जान-बूझकर है, ताकि कोई संख्या दोबारा लिखने के लिए खाना साफ़ करते समय नतीजे में शून्यों की कतार न चमके।

संदर्भ

Hexagon — the six-sided polygon, with the area, the apothem, the two diagonal lengths and the 120-degree interior angle this page computes — Wolfram MathWorld (United States)
Regular polygon — the family a regular hexagon belongs to, with the interior angle fixed by the side count and the apothem defined as the distance from the centre to a side — Wolfram MathWorld (United States)
Equilateral triangle — the six of them a regular hexagon is made of, and the source of the square root of three in the area, the short diagonal and the apothem — Wolfram MathWorld (United States)

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षट्भुज कैलकुलेटर

नतीजा

भुजा शून्य से भुजा दस तक के समषट्भुज

फ़ॉर्मूला

हल किए हुए उदाहरण

भुजा 6

भुजा 1

भुजा 2

भुजा 10

भुजा 0

सीमाएँ

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

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