भुजा बदलने पर अंतःकोण 135 ही क्यों रहता है?

क्योंकि किसी समबहुभुज का अंतःकोण सिर्फ़ भुजाओं की संख्या से तय होता है। किसी भी बहुभुज के कोणों का जोड़ भुजाओं की संख्या में से दो घटाकर 180 अंश से गुणा करने पर मिलता है; आठ भुजाओं के लिए यह 1080 अंश है, और आठ बराबर कोनों में बाँटने पर हर एक 135 का। इस हिसाब में भुजा की लंबाई कहीं आती ही नहीं, इसलिए भुजा 1 का अष्टभुज और भुजा 10 का अष्टभुज एक ही कोण देते हैं। यही वजह है कि तालिका का आख़िरी स्तंभ हर कतार में एक जैसा है, और भुजा शून्य करने पर भी वह 135 ही कहता है जबकि बाक़ी छह आँकड़े मिट जाते हैं।

तीनों विकर्णों में कौन-सा कौन है?

छोटा विकर्ण वह है जो एक कोना छोड़कर जाता है, यानी भुजा का लगभग 1.8478 गुना। मध्यम विकर्ण दो कोने छोड़कर जाता है और भुजा का लगभग 2.4142 गुना होता है। लंबा विकर्ण सीधे केंद्र से होकर आर-पार जाता है और भुजा का लगभग 2.6131 गुना होता है। अष्टभुज में दो के बजाय तीन विकर्ण इसीलिए हैं क्योंकि आठ कोनों के बीच तीन ही अलग-अलग दूरियाँ नापी जा सकती हैं; छह भुजाओं वाले षट्भुज में ये दूरियाँ दो ही थीं। इनका अनुपात भुजा बदलने पर ज़रा भी नहीं बदलता।

अंतःत्रिज्या क्या है और इसका मध्यम विकर्ण से क्या रिश्ता है?

अंतःत्रिज्या केंद्र से सीधे किसी भुजा के मध्य तक की दूरी है, और इसका दुगुना सपाट किनारों के आर-पार की चौड़ाई होती है — यानी वही नाप जिससे कटा हुआ अष्टभुज नापा जाता है, क्योंकि कोनों के आर-पार फ़ुटा लगाना मुश्किल होता है। मध्यम विकर्ण उसकी ठीक दुगुनी है, और यह संयोग नहीं बल्कि ज़रूरी है: दोनों एक ही रक़म से निकलते हैं, अंतःत्रिज्या उसका आधा और मध्यम विकर्ण पूरा। इसीलिए यह इस पेज की सबसे सस्ती जाँच है — किसी कतार का मध्यम विकर्ण उसी कतार की अंतःत्रिज्या का दुगुना न हो तो वह कतार ग़लत है।

अष्टभुज उतनी ही भुजा वाले वर्ग से कितना बड़ा होता है?

भुजा एक के अष्टभुज का क्षेत्रफल लगभग 4.8284 होता है, जबकि भुजा एक के वर्ग का ठीक 1 — यानी उतने ही किनारे पर अष्टभुज साढ़े चार गुना से ज़्यादा ज़मीन ढकता है। पर यह पूरी कहानी नहीं है: अष्टभुज में भुजाएँ आठ हैं और वर्ग में चार, इसलिए सामग्री की ख़रीद के हिसाब से परिमाप का स्तंभ ज़्यादा ईमानदार आँकड़ा है — भुजा एक के अष्टभुज का परिमाप 8 है और वर्ग का 4। ज़्यादा ज़मीन ढकने के लिए ज़्यादा किनारा भी देना पड़ता है, और यही तुलना का सार है।

अष्टभुजी टाइलें अकेले फ़र्श पर बैठ जाती हैं?

नहीं, अकेले नहीं। अष्टभुजियों को साथ बिछाने पर उनके बीच छोटे चौकोर गैप बचते हैं, और फ़र्श पूरा भरने के लिए उन गैपों में वर्ग लगाने पड़ते हैं — यही वह पैटर्न है जिसमें अष्टभुजों के बीच वर्ग फँसाए जाते हैं। जिन आकृतियों से अकेले पूरा फ़र्श भर जाता है उनमें वर्ग, समबाहु त्रिभुज और षट्भुज हैं, अष्टभुज नहीं। यह पेज एक अष्टभुज का नाप देता है, उस लेआउट की गिनती नहीं — उसके लिए पूरी सतह को एक साथ देखना पड़ता है।

अष्टभुज कैलकुलेटर

नतीजा

173.8234 cm²

क्षेत्रफल

परिमाप: 48.0000 cm
अंतःत्रिज्या: 7.2426 cm
छोटा विकर्ण: 11.0866 cm
मध्यम विकर्ण: 14.4853 cm
लंबा विकर्ण: 15.6788 cm
अंतःकोण: 135 °

अष्टभुज कैलकुलेटर एक समअष्टभुज की भुजा लेता है और सात नाप लौटाता है: क्षेत्रफल, परिमाप, अंतःत्रिज्या, तीनों विकर्ण और अंतःकोण। आठ भुजाएँ वह जगह है जहाँ कोई समबहुभुज दिमाग़ में निकलना बंद हो जाता है और देखने लायक़ हो जाता है, और अष्टभुज इनमें पहला है जो रोज़मर्रा की चीज़ों में मिलता है। स्टॉप साइन, अष्टभुजी टाइल, गज़ीबो की छत, ट्रेम्पोलिन का मैट और बोल्ट का सिर — ये सब अष्टभुज हैं, और वजह लगभग हमेशा एक ही होती है: अष्टभुज वह आकृति है जो किसी वर्ग के चारों कोने काटने पर बचती है। इसलिए उसमें वर्ग की सपाट भुजाएँ और समकोण बचे रहते हैं, पर वे चारों कोने हट जाते हैं जो चीज़ों में उलझते या टकराते थे। हिसाब भुजा से निकलता है। परिमाप आठ भुजाएँ हैं। किसी समबहुभुज का अंतःकोण सिर्फ़ भुजाओं की संख्या से तय होता है, और आठ भुजाओं के लिए वह 135 अंश है — यही वह संख्या है जो अष्टभुज के बारे में याद रखने लायक़ है, क्योंकि इसी से यह कटने लायक़ बनता है: दो अष्टभुजी किनारों को जोड़ने के लिए मिटर आरी 67.5 अंश पर सेट की जाती है, यानी 135 का आधा, और आठ टुकड़ों वाला फ़्रेम ठीक उसी सेटिंग पर बनता है। क्षेत्रफल भुजा के वर्ग का दो गुणा एक जमा दो का वर्गमूल है, और यह जानने लायक़ है कि यह गुणक लगभग 4.83 है, इसलिए भुजा एक का अष्टभुज 4.83 वर्ग इकाई ढकता है जबकि उतनी ही भुजा के वर्ग का 1 — यानी उतने ही किनारे पर अष्टभुज साढ़े चार गुना से ज़्यादा ज़मीन ढकता है। अंतःत्रिज्या, यानी केंद्र से सीधे किसी भुजा के मध्य तक की दूरी, भुजा गुणा एक जमा दो का वर्गमूल, आधा है। और अष्टभुज में दो के बजाय तीन विकर्ण हैं — छह भुजाओं वाले षट्भुज में दो ही थे — क्योंकि आठ कोनों के बीच तीन अलग-अलग दूरियाँ नापी जा सकती हैं: छोटी वाली जो एक कोना छोड़कर जाती है, मध्यम वाली जो दो कोने छोड़कर, और लंबी वाली जो सीधे आर-पार जाती है। मध्यम विकर्ण अंतःत्रिज्या का ठीक दुगुना होता है, और यह संयोग नहीं है — दोनों एक ही रक़म से निकलते हैं, एक आधा किया हुआ और एक नहीं — और लंबा विकर्ण उस वृत्त का व्यास है जो अष्टभुज के चारों ओर खींचा जाता है। इस पेज पर भी इनपुट एक ही है, और यह पिछले पेजों से एक ज़रूरी फ़र्क़ है। समअष्टभुज की आठों भुजाएँ बराबर और आठों कोण 135 अंश पर तय हैं, इसलिए एक संख्या अकेले पूरी आकृति तय कर देती है — सिर्फ़ वह पूरी आकृति नहीं, बल्कि उसके साथ खींचा जाने वाला वृत्त तक। भुजा बदलिए तो हर लंबाई उसी अनुपात में बदलती है: भुजा दुगुनी कीजिए तो परिमाप, तीनों विकर्ण और अंतःत्रिज्या सब दुगुने, पर क्षेत्रफल चार गुना, क्योंकि क्षेत्रफल लंबाई के वर्ग के साथ चलता है। अंतःकोण वह अकेला आँकड़ा है जो भुजा बदलने पर ज़रा भी नहीं हिलता, और नीचे की तालिका में यह साफ़ दिखता है: आख़िरी स्तंभ हर कतार में 135 कहता है। इसलिए अगर ऐसा लगे कि भुजा बदलने पर पेज ने जवाब नहीं दिया, तो याद रखिए कि सात में से छह अंक हिल चुके हैं और सिर्फ़ वही एक जमा रहता है जो आकृति की परिभाषा से आता है, नाप से नहीं — भुजा शून्य करने पर भी वह 135 ही कहता है जबकि बाक़ी सब मिट जाता है। इसी 135 की वजह से अष्टभुज हर नाप पर एक ही कटाव माँगता है, 67.5 अंश, चाहे वह स्टॉप साइन हो या टेबल का सिरा। और अष्टभुजी टाइलें किसी फ़र्श पर अकेले नहीं बैठतीं — उनके बीच में जो छोटे चौकोर गैप बचते हैं उन्हें भरना पड़ता है, और वही असली पैटर्न है जिसमें अष्टभुजों के बीच वर्ग फँसाए जाते हैं। यह लेआउट का सवाल है, एक आकृति का नाप नहीं, इसलिए यह पेज उसकी गिनती नहीं करता। आख़िर में एक चीज़ जो सिर्फ़ इस तालिका से दिखती है: इसकी कतारें षट्भुज और पंचभुज वाले पेजों की तालिकाओं से एक ही भुजा पर हैं, इसलिए तीनों को साथ रखकर पढ़ा जा सकता है। भुजा छह पर अष्टभुज का क्षेत्रफल 173.8234 है, षट्भुज का 93.5307 और पंचभुज का 61.9372 — यानी वही किनारा जितनी भुजाएँ हों उतनी ज़्यादा ज़मीन ख़रीदता है, पर साथ ही उतने ही ज़्यादा किनारे भी, और अगर सामग्री ख़रीदनी हो तो परिमाप वाला स्तंभ ज़्यादा ईमानदार आँकड़ा है।

भुजा शून्य से भुजा दस तक के समअष्टभुज

भुजा (cm)	क्षेत्रफल (cm²)	परिमाप (cm)	अंतःत्रिज्या (cm)	छोटा विकर्ण (cm)	मध्यम विकर्ण (cm)	लंबा विकर्ण (cm)	अंतःकोण (°)
6	173.8234	48	7.2426	11.0866	14.4853	15.6788	135
1	4.8284	8	1.2071	1.8478	2.4142	2.6131	135
2	19.3137	16	2.4142	3.6955	4.8284	5.2263	135
3	43.4558	24	3.6213	5.5433	7.2426	7.8394	135
5	120.7107	40	6.0355	9.2388	12.0711	13.0656	135
7.5	271.599	60	9.0533	13.8582	18.1066	19.5984	135
10	482.8427	80	12.0711	18.4776	24.1421	26.1313	135
0	0	0	0	0	0	0	135

आठ अष्टभुज, और पहली कतार वही है जिसके साथ पेज खुलता है। आख़िरी स्तंभ हर कतार में वही 135 दिखाता है, और यह गुण है न कि कॉपी-पेस्ट की ग़लती: समअष्टभुज का अंतःकोण उसके आठ भुजाओं वाला होने से तय है, इसलिए नाप बदलने पर वह नहीं हिलता, और यह इस पेज का अकेला ऐसा आँकड़ा है जो भुजा के शून्य हो जाने पर बचा रहता है जबकि बाक़ी छह मिट जाते हैं। दो स्तंभ जोड़े में पढ़ने लायक़ हैं: अंतःत्रिज्या और मध्यम विकर्ण, जिनमें हर एक कतार पर 1 का 2 का रिश्ता है — 1.2071 के सामने 2.4142, 6.0355 के सामने 12.0711, 12.0711 के सामने 24.1421। दोनों एक ही रक़म से निकलते हैं, एक आधा किया हुआ और एक नहीं। यह पूरी तालिका की सबसे सस्ती जाँच है: किसी भी कतार का मध्यम विकर्ण अपनी ही कतार की अंतःत्रिज्या का ठीक दुगुना न हो तो वह कतार ग़लत है। सातवाँ स्तंभ, लंबा विकर्ण, वह दूसरा सवाल भी जवाब देता है जो उसके नाम में नहीं लिखा: वह अष्टभुज के चारों ओर खींचे गए वृत्त का व्यास है, इसलिए हर कतार यह भी बताती है कि उतने बड़े अष्टभुज को किस गोल चादर से काटा जा सकता है। और भुजा पाँच वाली कतार में एक ऐसा जोड़ा है जो ग़लती जैसा लगता है और है नहीं: भुजा 5 का मध्यम विकर्ण 12.0711 है, और भुजा 10 की अंतःत्रिज्या भी 12.0711 — यह उसी दुगुने होने के नियम का नतीजा है, क्योंकि भुजा दुगुनी करने पर हर लंबाई दुगुनी हो जाती है, इसलिए बड़े अष्टभुज की अंतःत्रिज्या को छोटे अष्टभुज की किसी लंबाई पर गिरना ही था, और यहाँ वह मध्यम विकर्ण पर गिरी। पहली कतार की एक और बात: भुजा छह पर यह तालिका बाक़ी दो बहुभुज पेजों से मिल जाती है — यहाँ 173.8234, षट्भुज पर 93.5307 और पंचभुज पर 61.9372 — यानी वही किनारा जितनी भुजाएँ हों उतनी ज़्यादा ज़मीन ख़रीदता है। यहाँ की हर संख्या पेज बनते समय उसकी भुजा से दोबारा निकाली जाती है, सेंटीमीटर और अंशों में, और दशमलव की चौड़ाइयाँ वही हैं जो नतीजे का पैनल इस्तेमाल करता है।

फ़ॉर्मूला

A = 2(1 + √2) × s² P = 8s a = s(1 + √2) ÷ 2 छोटा विकर्ण = s√(2 + √2) मध्यम विकर्ण = s(1 + √2) लंबा विकर्ण = s√(4 + 2√2) अंतःकोण = 135°

भुजा: आठ में से किसी एक भुजा की लंबाई, सेंटीमीटर में। यहाँ यही एक अकेला इनपुट है क्योंकि समअष्टभुज की आठों भुजाएँ बराबर और आठों कोण 135 अंश पर तय हैं, इसलिए यह संख्या अकेले पूरी आकृति तय कर देती है
क्षेत्रफल: अष्टभुज के भीतर की जगह, वर्ग सेंटीमीटर में: भुजा के वर्ग का दो गुणा एक जमा दो का वर्गमूल, यानी भुजा के वर्ग का लगभग 4.8284 गुना। यह गुणक इस बात से आता है कि आकृति एक वर्ग है जिसके चारों कोने कटे हुए हैं, और भुजा एक के अष्टभुज का 4.83 की तुलना भुजा एक के वर्ग के 1 से करना ही पूरी तुलना है
परिमाप: आठों भुजाओं की कुल लंबाई, सेंटीमीटर में: भुजा का आठ गुना, क्योंकि आठों बराबर हैं। यह अकेला ऐसा पाठ है जो भुजा ठीक हो तो हमेशा ठीक होता है, इसलिए नतीजा गड़बड़ लगने पर बाक़ी आँकड़ों को इसी से जाँचा जाता है। और अगर सामग्री ख़रीदनी हो तो यही वह स्तंभ है जिस पर भरोसा कीजिए, क्षेत्रफल पर नहीं, क्योंकि भुजाएँ आठ हैं और वे ही ख़र्च कराती हैं
अंतःत्रिज्या: केंद्र से सीधे किसी भुजा के मध्य तक की दूरी, सेंटीमीटर में, यानी भुजा गुणा एक जमा दो का वर्गमूल, आधा। यह अष्टभुज के भीतर खींचे गए वृत्त की त्रिज्या है, और इसका दुगुना सपाट किनारों के आर-पार की चौड़ाई है — कटे हुए अष्टभुज को हमेशा इसी चौड़ाई से नापा जाता है, क्योंकि कोनों के आर-पार फ़ुटा लगाना मुश्किल होता है
छोटा विकर्ण: दो ऐसे कोनों के बीच की दूरी, सेंटीमीटर में, जिनके बीच ठीक एक कोना हो, यानी भुजा गुणा दो जमा दो का वर्गमूल का वर्गमूल, लगभग 1.8478 गुना। तीन विकर्णों में सबसे छोटा, और अकेला विकर्ण जो किसी भी अष्टभुज को दो बराबर हिस्सों में नहीं बाँटता — वह एक ओर पूरा हिस्सा और दूसरी ओर उससे बड़ा छोड़ देता है
मध्यम विकर्ण: दो ऐसे कोनों के बीच की दूरी, सेंटीमीटर में, जिनके बीच दो कोने हों, यानी भुजा गुणा एक जमा दो का वर्गमूल, लगभग 2.4142 गुना। यह अंतःत्रिज्या का ठीक दुगुना है और यह इस पेज की सबसे काम की जाँच है: किसी भी कतार का मध्यम विकर्ण उसी कतार की अंतःत्रिज्या का दुगुना न हो तो वह कतार ग़लत है, क्योंकि दोनों एक ही रक़म से निकलते हैं, एक आधा किया हुआ और एक नहीं
लंबा विकर्ण: एक कोने से सीधे केंद्र से होकर सामने के कोने तक की दूरी, सेंटीमीटर में, यानी भुजा गुणा चार जमा दो गुणा दो का वर्गमूल का वर्गमूल, लगभग 2.6131 गुना। यह अष्टभुज के आर-पार की सबसे चौड़ी नाप है और उस वृत्त का व्यास भी जिसके भीतर अष्टभुज ठीक-ठीक समाता है, इसलिए यह उस सवाल का जवाब है कि इतना बड़ा अष्टभुज किस व्यास के गोल छेद से निकल जाएगा
अंतःकोण: अष्टभुज के भीतर दो पड़ोसी भुजाओं के बीच का कोण, जो हर समअष्टभुज में 135 अंश है और इसलिए भुजा पर ज़रा भी निर्भर नहीं करता। यह उस नियम से आता है कि किसी भी बहुभुज के कोणों का जोड़ भुजाओं की संख्या में से दो घटाकर 180 अंश से गुणा करने पर मिलता है — आठ भुजाएँ, छह त्रिभुज, 1080 अंश आठ बराबर कोनों में बँटे। इसका आधा, यानी 67.5 अंश, वह कटाव है जो आठ टुकड़ों वाले फ़्रेम में हर जोड़ पर लगता है
√2: दो का वर्गमूल, लगभग 1.4142136। यह क्षेत्रफल, अंतःत्रिज्या, मध्यम विकर्ण और छोटे तथा लंबे विकर्ण — पाँचों में आता है, और यह भुजा एक वाले समकोण त्रिभुज के कर्ण की लंबाई है, यानी वही संख्या जो किसी वर्ग के कोने से सामने के कोने तक जाती है

यह पेज अष्टभुज को एक असली चीज़ की तरह लेता है, और दो सबसे आम सूरतें हैं: एक सपाट टुकड़ा और एक गोल फ़िटिंग। अगर आप किसी चादर से अष्टभुज काट रहे हैं — टेबल का सिरा, टाइल, फ़र्श का पत्थर, किसी खंभे की ऊपरी प्लेट — तो क्षेत्रफल बताता है कि कितनी सामग्री लगेगी और अंतःत्रिज्या बताती है कि नाप कैसे लगानी है। अंतःत्रिज्या वह संख्या है जो पहले निशान लगाने के काम आती है, क्योंकि उसका दुगुना सपाट किनारों के आर-पार की चौड़ाई है, और कटे हुए अष्टभुज को हमेशा इसी चौड़ाई से नापा जाता है — कोनों के आर-पार फ़ुटा लगाना मुश्किल होता है। लंबा विकर्ण फिर दूसरा सवाल हल करता है: वह कोनों के आर-पार की चौड़ाई देता है, और यही तय करता है कि बना हुआ टुकड़ा उस गोल चादर में फ़िट होगा या नहीं जिससे वह काटा जा रहा है। वही आँकड़ा अष्टभुज के चारों ओर खींचे गए वृत्त का व्यास भी है, इसलिए उतने व्यास की कोई गोल चादर अष्टभुज को बिना कुछ बचाए समेट लेगी — और अगर आपको यह जानना हो कि इतना बड़ा अष्टभुज किस गोल छेद से निकल जाएगा, तो जवाब यही है। अगर आप आठ टुकड़ों को जोड़कर कुछ बना रहे हैं — फ़्रेम, लालटेन, गज़ीबो की छत — तो 135 अंश का अंतःकोण वह संख्या है जिसके लिए हाथ बढ़ाना है, क्योंकि हर टुकड़े पर लगने वाला कटाव उसका आधा, यानी 67.5 अंश, होता है, और वह सेटिंग हर अष्टभुज के लिए एक ही रहती है, चाहे नाप कोई भी हो। यहाँ एक बात ध्यान में रखिए: आरी 67.5 अंश पर सेट कीजिए, 135 पर नहीं — 135 भीतर का कोण है, आरी बाहर से काटती है। और अगर आप चाहते हैं कि मध्यम विकर्ण और अंतःत्रिज्या को एक-दूसरे से जाँच लें, तो वह सबसे सस्ती जाँच है जो इस पेज पर की जा सकती है: हर कतार में मध्यम विकर्ण अपनी ही कतार की अंतःत्रिज्या का ठीक दुगुना होना चाहिए। भुजा छह पर 7.2426 का दुगुना 14.4853 है, और भुजा दस पर 12.0711 का दुगुना 24.1421 — अगर कहीं यह न बैठे तो गोलाई का फ़र्क़ नहीं बल्कि लिखने की ग़लती है। इसी जाँच से एक चीज़ और निकलती है जो देखने में ग़लती लगती है: भुजा पाँच वाले अष्टभुज का मध्यम विकर्ण 12.0711 है, और भुजा दस वाले अष्टभुज की अंतःत्रिज्या भी 12.0711। यह संयोग नहीं बल्कि ज़रूरी नतीजा है: भुजा दुगुनी करने पर सूची की हर लंबाई दुगुनी हो जाती है, इसलिए बड़े अष्टभुज की अंतःत्रिज्या को छोटे अष्टभुज की किसी न किसी लंबाई पर गिरना ही था, और यहाँ वह मध्यम विकर्ण पर गिरी।

हल किए हुए उदाहरण

भुजा 6
1. परिमाप: 8 × 6 = 48, ठीक-ठीक
2. अंतःत्रिज्या: 6 × (1 + √2) ÷ 2 = 6 × 1.207106… = 7.242640…, जो 7.2426 बनता है
3. मध्यम विकर्ण: 6 × (1 + √2) = 14.485281…, जो 14.4853 बनता है — यानी अंतःत्रिज्या का ठीक दुगुना
4. छोटा विकर्ण: 6 × √(2 + √2) = 6 × 1.847759… = 11.086554…, जो 11.0866 बनता है
5. लंबा विकर्ण: 6 × √(4 + 2√2) = 6 × 2.613125… = 15.678755…, जो 15.6788 बनता है
6. क्षेत्रफल: 2 × (1 + √2) × 36 = 4.828427… × 36 = 173.823376…, जो 173.8234 बनता है
7. अंतःकोण: (8 − 2) × 180 ÷ 8 = 135, ठीक-ठीक
जिस इनपुट के साथ पेज खुलता है। यहाँ सबसे पहले यह जाँचिए कि अंतःत्रिज्या 7.2426 का दुगुना मध्यम विकर्ण 14.4853 ही है — यह इस पेज की सबसे सस्ती जाँच है और यह भुजा छह पर ही नहीं, हर कतार पर बैठती है। फिर तीनों विकर्णों को एक साथ देखिए: छोटा 11.0866, मध्यम 14.4853, लंबा 15.6788। तीनों अलग-अलग हैं और तीनों भुजा के ही अनुपात में हैं, इसलिए इनका अनुपात भुजा बदलने पर ज़रा भी नहीं बदलता — यह वह अनुपात है जिससे किसी भी अष्टभुज की पहचान की जा सकती है। और यह कतार उन तीनों कतारों में से एक है जो पंचभुज और षट्भुज वाले पेजों से मिलती है: भुजा छह पर यहाँ 173.8234 है, षट्भुज पर 93.5307 और पंचभुज पर 61.9372।
भुजा 1
1. परिमाप: 8 × 1 = 8
2. अंतःत्रिज्या: 1 × (1 + √2) ÷ 2 = 1.207106…, जो 1.2071 बनता है
3. मध्यम विकर्ण: 1 × (1 + √2) = 2.414213…, जो 2.4142 बनता है
4. छोटा विकर्ण: √(2 + √2) = 1.847759…, जो 1.8478 बनता है
5. लंबा विकर्ण: √(4 + 2√2) = 2.613125…, जो 2.6131 बनता है
6. क्षेत्रफल: 2 × (1 + √2) × 1 = 4.828427…, जो 4.8284 बनता है
7. अंतःकोण: 135
भुजा एक, यानी वह कतार जहाँ हर गुणक अपने नंगे रूप में दिखता है: क्षेत्रफल 4.8284 यानी ठीक वही 2(1 + √2), मध्यम विकर्ण 2.4142 यानी 1 + √2, और अंतःत्रिज्या 1.2071 यानी उसका आधा। यह भी देखिए कि क्षेत्रफल का गुणक 4.8284 और मध्यम विकर्ण का 2.4142 एक ही रक़म हैं — क्षेत्रफल का 2(1 + √2) और मध्यम विकर्ण का 1 + √2 — इसलिए भुजा एक पर क्षेत्रफल ठीक मध्यम विकर्ण का दुगुना निकलता है, जो भुजा एक पर ही सच है और हर भुजा पर नहीं। सबसे आसान तुलना यह है: भुजा एक के वर्ग का क्षेत्रफल 1 है और इस अष्टभुज का 4.8284 — यानी उतने ही किनारे पर अष्टभुज साढ़े चार गुना से ज़्यादा ज़मीन ढकता है।
भुजा 5
1. परिमाप: 8 × 5 = 40
2. अंतःत्रिज्या: 5 × (1 + √2) ÷ 2 = 5 × 1.207106… = 6.035534…, जो 6.0355 बनता है
3. मध्यम विकर्ण: 5 × (1 + √2) = 12.071068…, जो 12.0711 बनता है
4. छोटा विकर्ण: 5 × √(2 + √2) = 5 × 1.847759… = 9.238795…, जो 9.2388 बनता है
5. लंबा विकर्ण: 5 × √(4 + 2√2) = 5 × 2.613125… = 13.065629…, जो 13.0656 बनता है
6. क्षेत्रफल: 4.828427… × 25 = 120.710678…, जो 120.7107 बनता है
7. अंतःकोण: 135
यह कतार दो वजहों से देखने लायक़ है। पहली यह कि इसका मध्यम विकर्ण 12.0711 ठीक वही संख्या है जो भुजा दस वाले अष्टभुज की अंतःत्रिज्या है — तालिका में यह किसी ग़लती जैसा लगता है और है नहीं। भुजा दुगुनी करने पर सूची की हर लंबाई दुगुनी हो जाती है, इसलिए बड़े अष्टभुज की अंतःत्रिज्या को छोटे अष्टभुज की किसी लंबाई पर गिरना ही था, और वह मध्यम विकर्ण पर गिरी। यह ठीक वैसा ही है जैसा षट्भुज वाले पेज की तालिका में होता है, जहाँ भुजा दस की अंतःत्रिज्या भुजा पाँच के छोटे विकर्ण के बराबर आती है। दूसरी बात यह है कि यह कतार अपनी अंतःत्रिज्या और मध्यम विकर्ण से सबसे साफ़ जाँचती है: 6.0355 का दुगुना 12.0711, और यह जोड़ा तालिका में तीन बार आता है।
भुजा 10
1. परिमाप: 8 × 10 = 80
2. अंतःत्रिज्या: 10 × (1 + √2) ÷ 2 = 10 × 1.207106… = 12.071068…, जो 12.0711 बनता है
3. मध्यम विकर्ण: 10 × (1 + √2) = 24.142136…, जो 24.1421 बनता है
4. छोटा विकर्ण: 10 × √(2 + √2) = 18.477590…, जो 18.4776 बनता है
5. लंबा विकर्ण: 10 × √(4 + 2√2) = 26.131259…, जो 26.1313 बनता है
6. क्षेत्रफल: 4.828427… × 100 = 482.842710…, जो 482.8427 बनता है
7. अंतःकोण: 135
दस सेंटीमीटर का अष्टभुज, यानी लगभग किसी छोटी मेज़ का सिरा या फ़र्श का एक पत्थर। भुजा पाँच वाली कतार से यहाँ आइए तो दुगुने होने का नियम साफ़ दिखता है: परिमाप 40 से 80, अंतःत्रिज्या 6.0355 से 12.0711, तीनों विकर्ण भी दुगुने — पर क्षेत्रफल 120.7107 से 482.8427, यानी चार गुना। यह वही बात है जो हर आकृति में होती है और यही वजह है कि किसी चीज़ को बड़ा करना उसके किनारे के हिसाब से कभी सस्ता नहीं पड़ता। इस कतार का लंबा विकर्ण 26.1313 यह भी बताता है कि इतना बड़ा अष्टभुज पूरा समाने के लिए 26.1313 सेंटीमीटर व्यास की गोल चादर माँगता है।
भुजा 0
1. परिमाप: 8 × 0 = 0
2. अंतःत्रिज्या: 0 × (1 + √2) ÷ 2 = 0
3. मध्यम विकर्ण: 0 × (1 + √2) = 0
4. छोटा विकर्ण: 0 × √(2 + √2) = 0
5. लंबा विकर्ण: 0 × √(4 + 2√2) = 0
6. क्षेत्रफल: 2 × (1 + √2) × 0 = 0
7. अंतःकोण: (8 − 2) × 180 ÷ 8 = 135
शून्य एक असली इनपुट है, ख़ाली खाना नहीं, और यह कतार इस पेज की सबसे ज़रूरी बात कहती है: भुजा शून्य वाला अष्टभुज सिकुड़कर एक बिंदु रह गया है, छहों नाप-वाले स्तंभ शून्य हैं, और अंतःकोण अब भी 135 अंश है। वह आकृति की परिभाषा से आता है, नाप से नहीं, इसलिए नाप के ख़त्म हो जाने पर भी वह बचा रहता है — यह तालिका का अकेला ऐसा स्तंभ है जो आख़िरी कतार में भी वही रहता है। यह भी याद रखिए कि शून्य होना जवाब है, जवाब का ग़ायब हो जाना नहीं; खाना बिलकुल ख़ाली छोड़ देने से फ़र्क़ पड़ता है, और वह जान-बूझकर अलग रखा गया है ताकि कोई संख्या दोबारा लिखने के लिए खाना साफ़ करते समय नतीजे में शून्यों की कतार न चमके।

सीमाएँ

यह पेज सिर्फ़ समअष्टभुज के लिए है: आठों भुजाएँ एक ही लंबाई की और आठों कोण 135 अंश। जो अष्टभुज सम न हो — जैसे किसी वर्ग के असमान कोने काटकर बनी आकृति, या कोई लंबाई में खिंचा हुआ अष्टभुज — उसकी कोई एक भुजा-लंबाई नहीं होती और उसे एक संख्या से बयान नहीं किया जा सकता; पेज चुपचाप उस भुजा वाला समअष्टभुज निकाल देगा यह बताए बिना कि आपके दिमाग़ में कोई और आकृति है। अंतःकोण हर नाप के लिए 135 अंश पर जमा है और तालिका की हर कतार में छपता है, इसलिए जिस पेज ने भुजा बदलने पर जवाब नहीं दिया ऐसा लगे, वह जमा नहीं हुआ — सात में से छह आँकड़े हिल चुके होते हैं और सिर्फ़ यही एक अपनी जगह रहता है। यह पाठ बिना दशमलव के इसलिए छपता है क्योंकि यह ठीक 135 है, और यही वजह है कि इस स्तंभ की चौड़ाई बाक़ी स्तंभों से अलग दिखती है। नतीजे सेंटीमीटर, वर्ग सेंटीमीटर और अंशों में हैं, चाहे ड्रॉपडाउन किसी भी इकाई पर हो, इसलिए इंच में डाली गई भुजा का जवाब सेंटीमीटर में लौटता है और बदलना आपको पड़ेगा। चार दशमलव लिखने की चौड़ाई है, परिशुद्धता का दावा नहीं: नापी हुई भुजा के लिए यह उदार है और आख़िरी दो अंक तब तक मायने नहीं रखते जब तक इनपुट ठीक-ठीक न हो। तीनों विकर्णों में लगभग हमेशा एक वर्गमूल रहता है, इसलिए वे लगभग कभी ख़त्म नहीं होते, जबकि परिमाप हमेशा ठीक होता है — नतीजे गड़बड़ लगने पर उसी से जाँचिए। मध्यम विकर्ण और अंतःत्रिज्या दो अलग पाठों के रूप में छपते हैं, जबकि एक ठीक दूसरे का दुगुना है; वजह यह है कि दोनों अलग-अलग कामों में बोले जाते हैं और पेज दोनों छापना पसंद करता है बजाय इसके कि आपको गुणा करना पड़े। यह पेज दो-आयामी है और इसमें सामग्री की मोटाई का कोई खाना नहीं, इसलिए यह किसी अष्टभुजी खंभे का आयतन, किसी अष्टभुजी प्लेट का वज़न या किसी अष्टभुजी छेद की गहराई नहीं दे सकता — मोटाई तीसरा आयाम है। यह उन चौकोर टुकड़ों की गिनती भी नहीं करता जो अष्टभुजों को साथ बिछाने पर उनके बीच बची जगह में भरने पड़ते हैं, क्योंकि वह एक पूरी सतह का लेआउट है, एक आकृति का नाप नहीं। और यह भी याद रखिए कि इस तालिका की कतारें षट्भुज और पंचभुज वाले पेजों की तालिकाओं से एक ही भुजा पर हैं — तीनों को साथ रखकर पढ़ना इस पेज के इरादे में है, पर तीनों आकृतियों की तुलना करने के लिए सिर्फ़ क्षेत्रफल का स्तंभ काफ़ी नहीं; परिमाप का स्तंभ भी देखिए, क्योंकि सामग्री किनारों पर ख़र्च होती है।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

भुजा बदलने पर अंतःकोण 135 ही क्यों रहता है?: क्योंकि किसी समबहुभुज का अंतःकोण सिर्फ़ भुजाओं की संख्या से तय होता है। किसी भी बहुभुज के कोणों का जोड़ भुजाओं की संख्या में से दो घटाकर 180 अंश से गुणा करने पर मिलता है; आठ भुजाओं के लिए यह 1080 अंश है, और आठ बराबर कोनों में बाँटने पर हर एक 135 का। इस हिसाब में भुजा की लंबाई कहीं आती ही नहीं, इसलिए भुजा 1 का अष्टभुज और भुजा 10 का अष्टभुज एक ही कोण देते हैं। यही वजह है कि तालिका का आख़िरी स्तंभ हर कतार में एक जैसा है, और भुजा शून्य करने पर भी वह 135 ही कहता है जबकि बाक़ी छह आँकड़े मिट जाते हैं।
तीनों विकर्णों में कौन-सा कौन है?: छोटा विकर्ण वह है जो एक कोना छोड़कर जाता है, यानी भुजा का लगभग 1.8478 गुना। मध्यम विकर्ण दो कोने छोड़कर जाता है और भुजा का लगभग 2.4142 गुना होता है। लंबा विकर्ण सीधे केंद्र से होकर आर-पार जाता है और भुजा का लगभग 2.6131 गुना होता है। अष्टभुज में दो के बजाय तीन विकर्ण इसीलिए हैं क्योंकि आठ कोनों के बीच तीन ही अलग-अलग दूरियाँ नापी जा सकती हैं; छह भुजाओं वाले षट्भुज में ये दूरियाँ दो ही थीं। इनका अनुपात भुजा बदलने पर ज़रा भी नहीं बदलता।
अंतःत्रिज्या क्या है और इसका मध्यम विकर्ण से क्या रिश्ता है?: अंतःत्रिज्या केंद्र से सीधे किसी भुजा के मध्य तक की दूरी है, और इसका दुगुना सपाट किनारों के आर-पार की चौड़ाई होती है — यानी वही नाप जिससे कटा हुआ अष्टभुज नापा जाता है, क्योंकि कोनों के आर-पार फ़ुटा लगाना मुश्किल होता है। मध्यम विकर्ण उसकी ठीक दुगुनी है, और यह संयोग नहीं बल्कि ज़रूरी है: दोनों एक ही रक़म से निकलते हैं, अंतःत्रिज्या उसका आधा और मध्यम विकर्ण पूरा। इसीलिए यह इस पेज की सबसे सस्ती जाँच है — किसी कतार का मध्यम विकर्ण उसी कतार की अंतःत्रिज्या का दुगुना न हो तो वह कतार ग़लत है।
अष्टभुज उतनी ही भुजा वाले वर्ग से कितना बड़ा होता है?: भुजा एक के अष्टभुज का क्षेत्रफल लगभग 4.8284 होता है, जबकि भुजा एक के वर्ग का ठीक 1 — यानी उतने ही किनारे पर अष्टभुज साढ़े चार गुना से ज़्यादा ज़मीन ढकता है। पर यह पूरी कहानी नहीं है: अष्टभुज में भुजाएँ आठ हैं और वर्ग में चार, इसलिए सामग्री की ख़रीद के हिसाब से परिमाप का स्तंभ ज़्यादा ईमानदार आँकड़ा है — भुजा एक के अष्टभुज का परिमाप 8 है और वर्ग का 4। ज़्यादा ज़मीन ढकने के लिए ज़्यादा किनारा भी देना पड़ता है, और यही तुलना का सार है।
इतना बड़ा अष्टभुज किस गोल छेद से निकल जाएगा?: लंबा विकर्ण देखिए — वह अष्टभुज के आर-पार की सबसे चौड़ी नाप है और उस वृत्त का व्यास भी जो आकृति के चारों कोनों से होकर जाता है। भुजा छह के अष्टभुज के लिए यह 15.6788 है, इसलिए 15.6788 सेंटीमीटर या उससे बड़े व्यास के गोल छेद से वह बिना अटके निकल जाएगा, और उतने ही व्यास की गोल चादर उसे बिना कुछ बचाए समेट लेगी। इसके उलट अंतःत्रिज्या बताती है कि अष्टभुज अपनी सपाट भुजाओं के बल पर कितनी चौड़ाई घेरता है, और ये दोनों संख्याएँ अलग-अलग सवालों के जवाब हैं।
अष्टभुजी टाइलें अकेले फ़र्श पर बैठ जाती हैं?: नहीं, अकेले नहीं। अष्टभुजियों को साथ बिछाने पर उनके बीच छोटे चौकोर गैप बचते हैं, और फ़र्श पूरा भरने के लिए उन गैपों में वर्ग लगाने पड़ते हैं — यही वह पैटर्न है जिसमें अष्टभुजों के बीच वर्ग फँसाए जाते हैं। जिन आकृतियों से अकेले पूरा फ़र्श भर जाता है उनमें वर्ग, समबाहु त्रिभुज और षट्भुज हैं, अष्टभुज नहीं। यह पेज एक अष्टभुज का नाप देता है, उस लेआउट की गिनती नहीं — उसके लिए पूरी सतह को एक साथ देखना पड़ता है।

संदर्भ

Octagon — the eight-sided polygon, with the area, the apothem, the three diagonals and the interior angle this page computes, and the construction as a square with its corners cut off — Wolfram MathWorld (United States)
Regular polygon — the family a regular octagon belongs to, with the interior angle fixed by the side count and the apothem defined as the distance from the centre to a side, which is what makes the middle diagonal exactly twice it — Wolfram MathWorld (United States)
Apothem — the distance from the centre of a regular polygon to the midpoint of a side, which is the radius of the inscribed circle and, doubled, the width of this shape across its flats — Wolfram MathWorld (United States)

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षट्भुज कैलकुलेटरसमषट्भुज का क्षेत्रफल, परिमाप और विकर्ण।पंचभुज कैलकुलेटरपंचभुज का क्षेत्रफल, परिमाप, अंतःत्रिज्या और विकर्ण।बहुभुज कैलकुलेटरभुजाओं की संख्या दें; क्षेत्रफल, परिमाप और कोण पाएँ।वृत्त कैलकुलेटरत्रिज्या, व्यास, परिधि या क्षेत्रफल में से कोई एक दें।

अष्टभुज कैलकुलेटर

नतीजा

भुजा शून्य से भुजा दस तक के समअष्टभुज

फ़ॉर्मूला

हल किए हुए उदाहरण

भुजा 6

भुजा 1

भुजा 5

भुजा 10

भुजा 0

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अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

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