पंचभुज कैलकुलेटर

A = √(25 + 10√5) ÷ 4 × s² P = 5s a = s ÷ (2·tan(π ÷ 5)) विकर्ण = φ·s अंतःकोण = 108°

भुजा

पाँचों में से किसी एक भुजा की लंबाई, सेंटीमीटर में। हर समबहुभुज की तरह यहाँ भी यही एक अकेला इनपुट है: पाँचों भुजाएँ बराबर और पाँचों कोण 108 अंश पर जमे हुए, इसलिए भुजा अकेले पूरी आकृति तय कर देती है

क्षेत्रफल

पंचभुज जितनी जगह ढकता है, वर्ग सेंटीमीटर में: पच्चीस जमा दस गुणा पाँच का वर्गमूल, भाग चार, गुणा भुजा का वर्ग। यह गुणक लगभग 1.7205 है और यही वह अंक है जो याद रखने लायक़ है — पंचभुज अपनी एक भुजा पर खींचे गए वर्ग का लगभग 1.72 गुना ढकता है

परिमाप

चारों ओर की पूरी दूरी, सेंटीमीटर में: भुजा का पाँच गुना, क्योंकि पाँचों बराबर हैं। यह अकेला ऐसा पाठ है जो भुजा ठीक हो तो हमेशा ठीक होता है, इसीलिए नतीजा गड़बड़ लगने पर बाक़ी आँकड़ों को इसी से जाँचा जाता है

अंतःत्रिज्या

केंद्र से सीधे किसी भुजा के मध्य तक की दूरी, सेंटीमीटर में, यानी भुजा बटा दो गुणा 36 अंश की स्पर्शज्या। यह उस सबसे बड़े वृत्त की त्रिज्या है जो पंचभुज के भीतर समाता है, और इसका दुगुना सपाट किनारों के आर-पार नापी गई आकृति की चौड़ाई है

विकर्ण

दो ऐसे कोनों के बीच की दूरी, सेंटीमीटर में, जिनके बीच में एक कोना और हो, यानी भुजा गुणा स्वर्ण अनुपात। इस पेज पर दो नहीं बल्कि एक ही विकर्ण है, क्योंकि समपंचभुज के पाँचों विकर्ण एक ही लंबाई के होते हैं — हर एक ठीक एक कोना छोड़कर जाता है, इसलिए छोटे-बड़े की कोई जोड़ी बनती ही नहीं जिसे अलग बताया जाए

अंतःकोण

पंचभुज के भीतर दो पड़ोसी भुजाओं के बीच का कोण: 108 अंश, जो अकेले भुजाओं की संख्या से वहाँ जमा है। यह भुजा की लंबाई पर निर्भर नहीं करता, इसीलिए संदर्भ तालिका का यह स्तंभ हर कतार में एक ही संख्या दिखाता है। इसका आधा, यानी 54 अंश, पाँच टुकड़ों वाले फ़्रेम का कटाव है

φ

स्वर्ण अनुपात, लगभग 1.6180339887, वही संख्या जिससे विकर्ण भुजा का गुणा होता है। यह वह अनुपात है जिसमें पंचभुज के विकर्ण एक-दूसरे को काटते हैं, और यही वजह है कि यह आकृति डिज़ाइन तथा पौधों में अपने हिसाब से कहीं ज़्यादा बार आती है

√5

पाँच का वर्गमूल, लगभग 2.2360680। यह क्षेत्रफल में पच्चीस जमा दस गुणा पाँच का वर्गमूल वाले व्यंजक से आता है, और यही इसे भिन्न के बजाय अपरिमेय बनाता है — एक जमा पाँच का वर्गमूल, भाग दो

यह पेज पंचभुज को एक असली चीज़ की तरह लेता है, और पंचभुज आम तौर पर ढाँचा नहीं बल्कि सजावट होते हैं, जिससे आपको इन आँकड़ों से जो चाहिए वह भी बदल जाता है। अगर आप इसे किसी चादर से काट रहे हैं — मेज़ की सतह, कोई साइन बोर्ड, फ़र्श का पत्थर, बग़ीचे की क्यारी — तो क्षेत्रफल बताता है कि कितनी सामग्री लगेगी और अंतःत्रिज्या बताती है कि केंद्र से निशान कैसे लगाना है, क्योंकि अंतःत्रिज्या का दुगुना सपाट किनारों के आर-पार की चौड़ाई होती है और सपाट किनारे ही हैं जिन पर फ़ुटा सीधा रखा जा सकता है। तब विकर्ण बताता है कि बनी हुई चीज़ उस जगह में बैठेगी या नहीं, क्योंकि वह आकृति के आर-पार सबसे चौड़ी रेखा है — कोने से कोने, बीच से। अगर आप पाँच टुकड़ों से कोई चीज़ बना रहे हैं — फ़्रेम, कंदील, गज़ीबो की छत, गमला — तो 108 अंश का अंतःकोण ही वह आँकड़ा है जो काम आता है, क्योंकि हर टुकड़े पर कटाव उसका आधा यानी 54 अंश होता है, और वह सेटिंग हर समपंचभुज के लिए एक ही है, नाप कोई भी हो। और स्वर्ण अनुपात वह वजह है जिससे विकर्ण का स्तंभ तब भी देखने लायक़ है जब उसकी ज़रूरत न हो: वह इस आकृति का हस्ताक्षर है, और जिस पंचभुज का विकर्ण उसकी भुजा का 1.618 गुना न हो, वह समपंचभुज है ही नहीं, चाहे दिखने में जो चाहे लगे। सबसे आसान जाँच यही है — विकर्ण को भुजा से भाग दीजिए और 1.618 आना चाहिए, किसी भी कतार में। और अगर आप आकृतियाँ नाप नहीं रहे बल्कि तुलना कर रहे हैं, तो इस पेज की और इसके बग़ल की दो पेजों की एक ही भुजा वाली तालिकाएँ सबसे साफ़ तुलना देती हैं: भुजा 6 पर पंचभुज 61.9372 ढकता है, षट्भुज 93.5307 और अष्टभुज 173.8234 — यानी वही किनारा जितनी ज़्यादा भुजाओं के साथ, उतनी ज़्यादा ज़मीन ढकता है, वृत्त की तरफ़ बढ़ते हुए। पंचभुज इन तीनों में सबसे छोटा है और अपने क्षेत्रफल के हिसाब से सबसे चौड़ा भी, क्योंकि सिर्फ़ पाँच भुजाओं के साथ यह तीनों में सबसे कम वृत्त जैसा है।

1. भुजा 6

   1. परिमाप: 5 × 6 = 30
   2. विकर्ण: φ × 6 = 1.6180339… × 6 = 9.708203…, जो 9.7082 बनता है
   3. अंतःत्रिज्या: 6 ÷ (2 × tan 36°) = 6 ÷ 1.453085… = 4.129145…, जो 4.1291 बनता है
   4. क्षेत्रफल: 1.7204774… × 36 = 61.937187…, जो 61.9372 बनता है
   5. अंतःकोण: (5 − 2) × 180 ÷ 5 = 108, ठीक-ठीक

   जिस इनपुट के साथ पेज खुलता है। इस पर जो जाँच चलती है वह है विकर्ण को भुजा से भाग देना: 9.7082 ÷ 6 यानी 1.618, और यही स्वर्ण अनुपात है — यह अनुपात तालिका की हर कतार पर और दुनिया के हर समपंचभुज पर लागू होता है। यही वह कतार है जो बग़ल की दो पेजों से एक ही भुजा पर मिलती है: भुजा 6 यहाँ 61.9372 देती है, जबकि षट्भुज वाली पेज पर 93.5307 और अष्टभुज वाली पेज पर 173.8234 — वही किनारा, ज़्यादा भुजाएँ, ज़्यादा क्षेत्रफल। तीनों में सबसे छोटा होने के साथ-साथ पंचभुज अपने क्षेत्रफल के हिसाब से सबसे चौड़ा भी है, क्योंकि पाँच भुजाओं के साथ यह तीनों में सबसे कम वृत्त जैसा है।

2. भुजा 1

   1. परिमाप: 5 × 1 = 5
   2. विकर्ण: φ × 1 = 1.6180339…, जो 1.618 बनता है
   3. अंतःत्रिज्या: 1 ÷ (2 × tan 36°) = 0.688190…, जो 0.6882 बनता है
   4. क्षेत्रफल: 1.7204774… × 1 = 1.7204774…, जो 1.7205 बनता है
   5. अंतःकोण: 108

   इकाई पंचभुज, और वह कतार जहाँ गुणक अपने आप में खड़े दिखते हैं: क्षेत्रफल 1.7205 है, यानी पूरा क्षेत्रफल-गुणक, और विकर्ण 1.618 है, यानी स्वर्ण अनुपात ख़ुद। दोनों इसी रूप में याद रखने लायक़ हैं। क्षेत्रफल की तुलना भुजा एक के वर्ग से कीजिए जिसका क्षेत्रफल 1 है, और त्रिभुज के 0.433 तथा षट्भुज के 2.598 से भी: पाँच भुजाएँ वर्ग और षट्भुज के बीच बैठती हैं, और यही पैटर्न पूरा परिवार दोहराता है।

3. भुजा 3

   1. परिमाप: 5 × 3 = 15
   2. विकर्ण: φ × 3 = 4.854101…, जो 4.8541 बनता है
   3. अंतःत्रिज्या: 3 ÷ (2 × tan 36°) = 2.064572…, जो 2.0646 बनता है
   4. क्षेत्रफल: 1.7204774… × 9 = 15.484296…, जो 15.4843 बनता है
   5. अंतःकोण: 108

   वह कतार जो स्वर्ण अनुपात को सबसे बेतुके और इसीलिए सबसे क़ायल करने वाले रूप में दिखाती है: विकर्ण 4.8541 है और भुजा 3 है, और 4.8541 ÷ 3 यानी 1.618। जो अनुपात भुजा 1, भुजा 3 और भुजा 6 — तीनों पर एक ही तीन अंक दे, वह हिसाब का नहीं आकृति का गुण है। इसी कतार में क्षेत्रफल और परिमाप एक-दूसरे के सबसे क़रीब बैठते हैं — 15.4843 बनाम 15 — जो बराबरी नहीं बल्कि एक इत्तफ़ाक़ है, और वैसे भी दोनों अलग इकाइयों में अलग राशियाँ हैं।

4. भुजा 10

   1. परिमाप: 5 × 10 = 50
   2. विकर्ण: φ × 10 = 16.180339…, जो 16.1803 बनता है
   3. अंतःत्रिज्या: 10 ÷ (2 × tan 36°) = 6.881909…, जो 6.8819 बनता है
   4. क्षेत्रफल: 1.7204774… × 100 = 172.047740…, जो 172.0477 बनता है
   5. अंतःकोण: 108

   दस सेंटीमीटर का पंचभुज, लगभग फ़र्श के एक पत्थर जितना। इस पर बिछाने का आँकड़ा अंतःत्रिज्या है: उसका दुगुना, यानी 13.7638, सपाट किनारों के आर-पार की चौड़ाई है, और यही वह नाप है जो किसी पत्थर को काटकर बैठाने से पहले फ़ीते से ली जा सकती है। इस कतार में एक संयोग है जिसे ग़लती लगने से पहले पहचान लेना अच्छा है: यहाँ की अंतःत्रिज्या 6.8819 ऊपर तालिका में भुजा 2 वाले पंचभुज के क्षेत्रफल जितनी ही है। दोनों एक ही वर्गमूल व्यंजक हैं जो दो अलग दिशाओं से पहुँचे हैं, एक लंबाई और एक क्षेत्रफल, और इन दो नापों पर उनका चार अंक मिल जाना इसके आगे कुछ नहीं बताता।

5. भुजा 0

   1. परिमाप: 5 × 0 = 0
   2. विकर्ण: φ × 0 = 0
   3. अंतःत्रिज्या: 0 ÷ (2 × tan 36°) = 0
   4. क्षेत्रफल: 1.7204774… × 0 = 0
   5. अंतःकोण: (5 − 2) × 180 ÷ 5 = 108

   शून्य एक असली इनपुट है, ख़ाली खाना नहीं, और यह कतार अंतःकोण की असलियत सबसे साफ़ दिखा देती है: भुजा शून्य वाला पंचभुज सिकुड़कर एक बिंदु रह गया है, पाँच में से चार आँकड़े शून्य हैं, और अंतःकोण अब भी 108 अंश है। वह नाप का नहीं आकृति का गुण है, इसलिए नाप के ख़त्म हो जाने पर भी बचा रहता है। खाना ख़ाली छोड़ देना अलग बात है: कुछ भी भरा न हो तो पेज कोई नतीजा ही नहीं दिखाता, क्योंकि काम करने के लिए कुछ है ही नहीं।

यह पेज सिर्फ़ समपंचभुज के लिए है: पाँचों भुजाएँ बराबर और पाँचों कोण 108 अंश। जो पंचभुज सम न हो — घर जैसा बना हुआ, या लंबा खींचा हुआ — उसकी कोई एक भुजा-लंबाई नहीं होती और उसे एक संख्या से बयान नहीं किया जा सकता; पेज चुपचाप उस भुजा वाला समपंचभुज निकाल देगा, यह बताए बिना कि आपके दिमाग़ में कोई और आकृति है। नतीजे सेंटीमीटर और वर्ग सेंटीमीटर में हैं, चाहे इकाई वाला ड्रॉपडाउन कुछ भी कह रहा हो, इसलिए इंच में डाली गई भुजा का जवाब सेंटीमीटर में लौटता है और बदलना आपको पड़ेगा। चार दशमलव लिखने की चौड़ाई है, परिशुद्धता का दावा नहीं, और नापी हुई भुजा के लिए यह उदार है; आख़िरी दो अंक तब तक मायने नहीं रखते जब तक इनपुट ठीक-ठीक न हो। अंतःकोण 108 अंश पर ठीक-ठीक है और बिना दशमलव के छपता है, पर वह हर कतार में वही है, इसलिए जो पेज भुजा बदलने पर जवाब न देता लगे वह जमा नहीं है — पाँच में से चार आँकड़े बदले हैं। इस पेज पर विकर्ण एक ही है, दो नहीं, और यह छूट नहीं है: समपंचभुज के पाँचों विकर्ण एक ही लंबाई के होते हैं, इसलिए छापने लायक़ कोई छोटा-बड़ा जोड़ा है ही नहीं। यह पेज द्विविमीय है और इसमें सामग्री की मोटाई का कोई खाना नहीं, इसलिए यह पंचभुजी प्रिज़्म का आयतन या पंचभुजी प्लेट का वज़न नहीं दे सकता। यह उस पाँच-कोनों वाले तारे को भी नहीं नापता जो विकर्णों से खिंचता है, क्योंकि वह एक पंचभुज नहीं बल्कि कई पंचभुजों भर के त्रिभुजों से बनी आकृति है। और एक बात जो इस आकृति की सबसे आम ग़लतफ़हमी है: समपंचभुज फ़र्श नहीं भरते। किनारे से किनारा जोड़कर रखने पर तीन पंचभुज 324 अंश ढकते हैं और 36 अंश की जगह बची रह जाती है, इसलिए पंचभुजी फ़र्श के लिए हमेशा कोई दूसरी आकृति चाहिए।

पंचभुज का विकर्ण हमेशा भुजा का 1.618 गुना क्यों होता है?

क्योंकि वह संख्या स्वर्ण अनुपात है, और समपंचभुज उसके दिखने की सबसे साफ़ जगहों में से एक है। यह अनुपात वह है जिसमें पूरा उतना ही बड़ा होता है जितना बड़ा हिस्सा छोटे के सामने, और पंचभुज के विकर्ण एक-दूसरे को ठीक उसी अनुपात में काटते हैं — जिससे विकर्ण बटा भुजा भी वही अनुपात बन जाता है। यह हर नाप के हर पंचभुज पर लागू होता है, इसीलिए संदर्भ तालिका के विकर्ण स्तंभ की जाँच किसी भी कतार के विकर्ण को उसकी भुजा से भाग देकर की जा सकती है।

षट्भुज वाली पेज दो विकर्ण दिखाती है, यह पेज एक ही क्यों?

क्योंकि समपंचभुज में विकर्ण की लंबाई एक ही होती है। हर विकर्ण दो ऐसे कोनों को जोड़ता है जिनके बीच ठीक एक कोना होता है, और सममिति से पाँचों एक ही नाप के निकलते हैं। षट्भुज अलग है: छह कोनों के साथ दो अलग फैलाव बनते हैं, एक जो एक कोना छोड़ता है और एक जो सीधा आर-पार जाता है, इसलिए वह पेज दोनों छापती है। पंचभुज के लिए लंबा और छोटा विकर्ण छापने का मतलब होता एक ही संख्या दो बार छापना, और पढ़ने वाले को ऐसे फ़र्क़ की तलाश में भेजना जो है ही नहीं।

भुजा बदलने पर अंतःकोण कभी क्यों नहीं बदलता?

क्योंकि समपंचभुज के कोण भुजाओं की संख्या से तय होते हैं और किसी और चीज़ से नहीं। किसी समबहुभुज का अंतःकोण भुजाओं की संख्या में से दो घटाकर, 180 अंश से गुणा करके, भुजाओं की संख्या से भाग देने पर आता है; पाँच भुजाओं के लिए वह 108 अंश है, और उस व्यंजक में कहीं कोई भुजा-लंबाई नहीं आती। भुजा 1 वाले पंचभुज और भुजा 100 वाले पंचभुज के कोण एक ही होते हैं, फ़र्क़ सिर्फ़ नाप का है। इसीलिए संदर्भ तालिका का आख़िरी स्तंभ हर कतार में एक ही संख्या दिखाता है, और इसीलिए 54 अंश की कटाव सेटिंग आपके काटे जाने वाले हर पंचभुज पर चलती है।

अंतःत्रिज्या क्या है और यहाँ किस काम की है?

यह केंद्र से सीधे किसी भुजा के मध्य तक की दूरी है, और यह उस सबसे बड़े वृत्त की त्रिज्या है जो भीतर समाता है। पंचभुज के लिए यही वह आँकड़ा है जिससे आकृति बिछाई जाती है: इसका दुगुना सपाट किनारों के आर-पार की चौड़ाई होती है, और सपाट किनारों पर फ़ुटा रखना आसान है जबकि कोनों पर नहीं। अगर आप किसी चादर पर पंचभुज का निशान लगा रहे हों, तो केंद्र से अंतःत्रिज्या जितनी दूरी पाँच बार नापिए और आपके पास पाँचों भुजाओं के मध्य बिंदु आ जाएँगे।

क्या समपंचभुज फ़र्श पर जमते हैं?

नहीं, और यह इस परिवार की अकेली आकृति है जो नहीं जमती। किसी बिंदु के चारों ओर तीन समपंचभुज रखिए तो एक खाली जगह बच जाती है, क्योंकि तीन गुणा 108 यानी 324 होता है और पूरा चक्कर 360 का — जो 36 अंश बचे रह जाते हैं वे कभी नहीं भरते। इसीलिए पंचभुजी फ़र्श में दूसरी आकृति भरनी पड़ती है, और इसीलिए पंचभुज ढाँचे से ज़्यादा सजावट का काम है जबकि षट्भुज, जो बिना गैप के जमता है, टाइल और मधुमक्खी के छत्ते की आकृति है।

क्या भुजा शून्य हो सकती है, और क्या वह ख़ाली खाने जैसा है?

शून्य एक असली इनपुट है: पाँच में से चार पाठ शून्य लौटाते हैं, जो बिना नाप के पंचभुज के लिए ईमानदार जवाब है, और अंतःकोण अब भी 108 अंश रहता है क्योंकि वह नाप पर ज़रा भी निर्भर नहीं करता। ख़ाली खाना अलग बात है — कुछ भी भरा न हो तो पेज कोई नतीजा ही नहीं दिखाता, क्योंकि काम करने के लिए कुछ है ही नहीं। यह फ़र्क़ टाइप करते समय मायने रखता है, क्योंकि कोई संख्या दोबारा लिखने के लिए खाना ख़ाली करने पर शून्यों की कतार चमकनी नहीं चाहिए।

• Pentagon — the five-sided polygon, with the area, the apothem, the diagonal and the 108-degree interior angle this page computes, and the golden-ratio proportion its diagonals cut each other in — Wolfram MathWorld (United States)
• Regular polygon — the family a regular pentagon belongs to, with the interior angle fixed by the side count and the apothem defined as the distance from the centre to a side — Wolfram MathWorld (United States)
• Apothem — the distance from the centre of a regular polygon to the midpoint of a side, which is the radius of the inscribed circle and, doubled, the width of this shape across its flats — Wolfram MathWorld (United States)