बहुभुज कैलकुलेटर

A = n ÷ (4·tan(π ÷ n)) × s² P = n·s a = s ÷ (2·tan(π ÷ n)) अंतःकोण = (n − 2) × 180 ÷ n अलग-अलग विकर्णों की संख्या = ⌊n ÷ 2⌋ − 1

n

भुजाओं की संख्या। यह इस पेज का अकेला ऐसा इनपुट है जो यह बदलता है कि देखी जा रही आकृति कौन-सी है, न कि वह कितनी बड़ी है। यह पूरा अंक होना चाहिए और कम से कम तीन: दो भुजाएँ कुछ भी नहीं घेरतीं, और आधी भुजा कोई भुजा नहीं होती। परिमाप के अलावा हर आँकड़ा इसी का एक वक्र फलन है, इसीलिए यह पेज एक ही भुजा को दस भुजाओं-संख्याओं पर छापता है, न कि तीनों अकेली-आकृति पेजों की तरह दस अलग भुजाएँ

s

किसी एक भुजा की लंबाई, सेंटीमीटर में। हर समबहुभुज पेज की तरह यहाँ भी यही एक अकेली लंबाई है: सब भुजाएँ बराबर और सब कोण बराबर होने से आकृति पूरी तरह तय हो जाती है, इसलिए एक भुजा और भुजाओं की संख्या मिलकर पूरी आकृति बता देती हैं

A

क्षेत्रफल, वर्ग सेंटीमीटर में: भुजाओं की संख्या को चार गुणा π बटा भुजाओं की संख्या की स्पर्शज्या से भाग देकर भुजा के वर्ग से गुणा कीजिए। भुजा के वर्ग के आगे का गुणक तीन भुजाओं पर 0.4330 होता है और वहाँ से बिना रुके बढ़ता है — वर्ग पर 1 पार करता है, बीस भुजाओं पर 31.5688 और हज़ार पर 79577.2097 हो जाता है — क्योंकि ज़्यादा कोनों वाली आकृति में वही भुजा ज़्यादा ज़मीन ढकती है। परिमाप को जगह पर स्थिर रखिए तो यह बढ़ना रुक भी जाता है: परिमाप 6000 वाली हज़ार भुजाओं की आकृति 28,64,779.5509 ढकती है जबकि उसी परिमाप का सच्चा वृत्त 28,64,788.9757, यानी 0.0003 प्रतिशत का फ़र्क़। जो आँकड़ा π की तरफ़ चढ़ता है वह क्षेत्रफल बटा परित्रिज्या का वर्ग है, यह गुणक नहीं

P

परिमाप, सेंटीमीटर में: भुजा गुणा भुजाओं की संख्या। पाँचों में से यही एक ऐसा पाठ है जो दोनों इनपुटों में ठीक-ठीक रैखिक है और जो अपने इनपुट ठीक हों तो ख़ुद भी ठीक होता है, इसीलिए जब कोई नतीजा गड़बड़ लगे तो बाक़ी आँकड़ों को इसी से जाँचा जाता है

a

अंतःत्रिज्या, सेंटीमीटर में: केंद्र से सीधे किसी भुजा के मध्य तक की दूरी, यानी भुजा बटा दो गुणा π बटा भुजाओं की संख्या की स्पर्शज्या। यह उस सबसे बड़े वृत्त की त्रिज्या है जो आकृति के भीतर समाता है, और इसका दुगुना सपाट किनारों के आर-पार की चौड़ाई है — यानी वही नाप जिस पर आप सचमुच फ़ुटा रख सकते हैं, कोनों पर नहीं

अंतःकोण

आकृति के भीतर दो पड़ोसी भुजाओं के बीच का कोण: भुजाओं की संख्या में से दो घटाकर 180 से गुणा कीजिए और भुजाओं की संख्या से भाग दीजिए। यह भुजा की लंबाई पर ज़रा भी निर्भर नहीं करता, इसलिए जिस तालिका में भुजा स्थिर है और भुजाओं की संख्या चल रही है उसकी हर कतार में यह वही रहता है। यहाँ इसे दो दशमलव तक छापा जाता है क्योंकि सप्तभुज का अंतःकोण 128.571428 आता है और बिना दशमलव के यह 129 बन जाता, जो छोटा जवाब नहीं बल्कि ग़लत जवाब होता

⌊n ÷ 2⌋ − 1

आकृति में अलग-अलग लंबाई के कितने विकर्ण बनते हैं। कोनों को जोड़ने वाली जीवाएँ भुजाओं की संख्या की आधी क़िस्मों में आती हैं, और उनमें से एक क़िस्म भुजा ख़ुद है, इसलिए त्रिभुज में एक भी नहीं, वर्ग और पंचभुज में एक-एक, षट्भुज में दो, अष्टभुज में तीन। यह एक गिनती है, लंबाई नहीं, इसलिए इसकी कोई इकाई नहीं और भुजा बदलने पर यह नहीं हिलती

π

किसी वृत्त की परिधि और व्यास का अनुपात, लगभग 3.14159265। यह यहाँ इसलिए आता है क्योंकि भुजाओं की संख्या की स्पर्शज्या ही आकृति को उसके अपने कोनों से बाँधती है: वही स्थिरांक जो उस वृत्त का बयान करता है जिसकी तरफ़ ये आकृतियाँ भुजाओं की संख्या बढ़ने पर बढ़ती हैं

यह पेज तब काम का है जब आकृति ऊपर गिनाई गई नामवाली आकृतियों में से कोई न हो, या जब सवाल का मुद्दा आकृति ख़ुद हो, उसका कोई नाप न हो। अगर आपको पता है कि आपका काम षट्भुज या अष्टभुज से है, तो उस आकृति वाली पेज दो के बजाय एक संख्या माँगती है और विकर्णों की लंबाइयाँ भी छापती है; यहाँ तब आइए जब भुजाओं की संख्या आप चुन रहे हों। ऐसा हर उस मौक़े पर होता है जब आकृति नापी नहीं जा रही बल्कि चुनी जा रही हो — उठी हुई क्यारी, गज़ीबो की छत, कोई सिक्का, कोई टाइल कितनी भुजाओं की हो — क्योंकि तालिका एक ही किनारे को दस भुजाओं-संख्याओं पर एक ही स्तंभ में पढ़ने देती है और यह दिखा देती है कि हर अतिरिक्त भुजा क्या देती है। यह पैटर्न दो हिस्सों में आता है और दोनों को मिलाना आसान है। स्थिर भुजा पर हर जोड़ी गई भुजा क्षेत्रफल देती है और मात्राएँ घटने के बजाय बढ़ती हैं: छह सेंटीमीटर के किनारे पर तीन से चार भुजाओं पर जाने से 20.4 वर्ग सेंटीमीटर जुड़ते हैं, चार से पाँच पर 25.9, पाँच से छह पर 31.6, और बीस से हज़ार तक की पूरी दौड़ 28,63,643 जोड़ देती है, क्योंकि आकृति गोल होने के साथ-साथ बड़ी भी हो रही है और परिमाप उसके साथ बढ़ रहा है। इसके उलट परिमाप को स्थिर रखिए तो सौदा पलट जाता है। परिमाप 6000 पर पाँच से छह भुजाओं का एक ही क़दम 1,20,589 वर्ग सेंटीमीटर देता है, जबकि बीस से हज़ार तक की पूरी दौड़ — 980 अतिरिक्त भुजाएँ — 23,591। यही वह तुलना है जिसके लिए तालिका के आख़िरी स्तंभ हैं, और यही वजह है कि बोल्ट का सिर, फ़र्श की टाइल और मधुमक्खी का छत्ता षट्भुज होते हैं: छह के बाद ज़्यादा भुजाओं से मिलने वाला क्षेत्रफल काटने लायक़ अतिरिक्त किनारे और बैठाने लायक़ अतिरिक्त कोने के लायक़ नहीं रहता। अंतःत्रिज्या का स्तंभ किसी चादर या शीट पर आकृति बिछाने के लिए है, क्योंकि उसका दुगुना सपाट किनारों के आर-पार की चौड़ाई होती है, और अंतःकोण का स्तंभ टुकड़ों से आकृति बनाने के लिए, क्योंकि उसका आधा हर टुकड़े का कटाव कोण होता है और वह उस आकृति के हर नाप के लिए एक ही रहता है। और अगर आप इस पेज की तुलना वृत्त वाली पेज से कर रहे हों, तो हज़ार भुजाओं वाली कतार ही ईमानदार तुलना है: भुजा 6 पर उसका परिमाप 6000 है और क्षेत्रफल 28,64,779.5509, जबकि उसी परिमाप के सच्चे वृत्त का 28,64,788.9757 — यानी 0.0003 प्रतिशत का फ़र्क़।

1. षट्भुज, भुजा 6

   1. परिमाप: 6 × 6 = 36
   2. अंतःकोण: (6 − 2) × 180 ÷ 6 = 720 ÷ 6 = 120, ठीक-ठीक
   3. अंतःत्रिज्या: 6 ÷ (2 × tan 30°) = 6 ÷ 1.154700… = 5.196152…, जो 5.1962 बनता है
   4. क्षेत्रफल: 6 ÷ (4 × tan 30°) × 36 = 2.598076… × 36 = 93.530743…, जो 93.5307 बनता है
   5. अलग-अलग विकर्णों की संख्या: ⌊6 ÷ 2⌋ − 1 = 3 − 1 = 2

   जिस इनपुट के साथ पेज खुलता है, और वही कतार जो इस पेज को षट्भुज वाली पेज से मिलाती है: 93.5307 और 5.1962 वही दो संख्याएँ हैं जो षट्भुज कैलकुलेटर आपके कुछ छूने से पहले दिखाता है। आख़िरी स्तंभ का 2 भी उसी पेज के दो विकर्ण हैं — एक जो एक कोना छोड़कर जाता है और एक जो सीधे आर-पार — बस यहाँ लंबाइयों के बजाय गिनती के रूप में, जो यह पेज कर सकता है और वह नहीं। अंतःकोण 120 यहाँ नतीजे के पैनल में 120.00 छपता है और नीचे तालिका में 120, यानी एक ही संख्या दो अलग चौड़ाइयों पर।

2. त्रिभुज, भुजा 6

   1. परिमाप: 3 × 6 = 18
   2. अंतःकोण: (3 − 2) × 180 ÷ 3 = 180 ÷ 3 = 60, ठीक-ठीक
   3. अंतःत्रिज्या: 6 ÷ (2 × tan 60°) = 6 ÷ 3.464101… = 1.732050…, जो 1.7321 बनता है
   4. क्षेत्रफल: 3 ÷ (4 × tan 60°) × 36 = 0.433012… × 36 = 15.588457…, जो 15.5885 बनता है
   5. अलग-अलग विकर्णों की संख्या: ⌊3 ÷ 2⌋ − 1 = 1 − 1 = 0

   सबसे छोटी आकृति जिसे पेज स्वीकार करता है, और इस पेज पर अकेली ऐसी जिसमें एक भी विकर्ण नहीं: त्रिभुज के दो कोनों को जोड़ने वाली हर जीवा उसकी तीन भुजाओं में से एक ही होती है, इसलिए विकर्ण बनने के लिए कुछ बचता ही नहीं। यह शून्य ख़ाली खाना नहीं बल्कि एक जवाब है, और 15.5885 का क्षेत्रफल उसी भुजा पर समबाहु त्रिभुज वाली पेज से मेल खाता है — यही वह जाँच है कि आम सूत्र आकृति-विशेष सूत्र से भटका नहीं है। अंतःत्रिज्या पर ग़ौर कीजिए: तीन भुजाओं पर यह तालिका की सबसे छोटी है, भुजा 6 के सामने 1.7321, क्योंकि त्रिभुज के भीतर समाने वाला वृत्त त्रिभुज के मुक़ाबले छोटा होता है।

3. सप्तभुज, भुजा 6

   1. परिमाप: 7 × 6 = 42
   2. अंतःकोण: (7 − 2) × 180 ÷ 7 = 900 ÷ 7 = 128.571428…, जो 128.57 बनता है
   3. अंतःत्रिज्या: 6 ÷ (2 × tan 25.714285…°) = 6 ÷ 0.963149… = 6.229585…, जो 6.2296 बनता है
   4. क्षेत्रफल: 7 ÷ (4 × tan 25.714285…°) × 36 = 3.633912… × 36 = 130.820846…, जो 130.8208 बनता है
   5. अलग-अलग विकर्णों की संख्या: ⌊7 ÷ 2⌋ − 1 = 3 − 1 = 2

   वही कतार जिसके लिए यह पेज मौजूद है, और वही जिसके बारे में अष्टभुज वाली पेज ने चेतावनी छोड़ी थी। बारह तक की हर भुजाओं-संख्या पूरे अंक का अंतःकोण देती है सिवाय सात और ग्यारह के, इसलिए जो पेज कोण बिना दशमलव के छापता, वह यहाँ 129 छापता — मोटा जवाब नहीं, ग़लत जवाब। दो दशमलव पेज की हर स्वीकार्य भुजाओं-संख्या के लिए काफ़ी हैं: हज़ार भुजाओं पर कोण 179.64 रहता है, यानी 180 से अब भी दो दशमलव दूर। सात भुजाओं वाली आकृति पहली ऐसी भी है जिसमें अलग-अलग विकर्ण-लंबाइयाँ उससे कम हैं जितनी महसूस होती हैं: सप्तभुज में कुल चौदह विकर्ण होते हैं, पर वे सिर्फ़ दो लंबाइयों में आते हैं — 2 और 3 कोने छोड़कर — क्योंकि बाक़ी वही दो फैलाव हैं जो दूसरे कोनों से नापे गए।

4. वर्ग, भुजा 6

   1. परिमाप: 4 × 6 = 24
   2. अंतःकोण: (4 − 2) × 180 ÷ 4 = 360 ÷ 4 = 90, ठीक-ठीक
   3. अंतःत्रिज्या: 6 ÷ (2 × tan 45°) = 6 ÷ 2 = 3, ठीक-ठीक
   4. क्षेत्रफल: 4 ÷ (4 × tan 45°) × 36 = 1 × 36 = 36
   5. अलग-अलग विकर्णों की संख्या: ⌊4 ÷ 2⌋ − 1 = 2 − 1 = 1

   वर्ग, जहाँ आम सूत्र एक ऐसी फ़्लोटिंग-पॉइंट अड़चन से टकराता है जिसके बारे में जानना काम का है: 45 अंश की स्पर्शज्या गणित में 1 है, पर पेज π बटा चार की स्पर्शज्या फ़्लोटिंग पॉइंट में निकालता है और 0.9999999999999999 पाता है, इसलिए क्षेत्रफल 36.000000000000014 बनकर आता है। वह 36 छपता है क्योंकि नतीजा बाहर निकलते समय चार दशमलव पर गोल होता है, और यही उस गोलाई का काम है। आख़िरी स्तंभ भी देखिए: वर्ग में दो विकर्ण होते हैं, वे आकृति को एक ही तरह से काटते हैं, और ⌊4 ÷ 2⌋ − 1 उन्हें एक लंबाई गिनता है, जो सही है और ठीक वही जाल है जिससे यह पेज लंबाइयाँ न छापकर बचता है।

5. हज़ार भुजाएँ, भुजा 6

   1. परिमाप: 1000 × 6 = 6000
   2. अंतःकोण: (1000 − 2) × 180 ÷ 1000 = 179640 ÷ 1000 = 179.64, ठीक-ठीक
   3. अंतःत्रिज्या: 6 ÷ (2 × tan 0.18°) = 6 ÷ 0.006283… = 954.926539…, जो 954.9265 बनता है
   4. क्षेत्रफल: 1000 ÷ (4 × tan 0.18°) × 36 = 79577.2097… × 36 = 2864779.5509…, जो 2864779.5509 बनता है
   5. अलग-अलग विकर्णों की संख्या: ⌊1000 ÷ 2⌋ − 1 = 500 − 1 = 499

   पेज की ऊपरी सीमा, और वही कतार जो उस सवाल का जवाब देती है जिसके बारे में इस परिवार की बाक़ी पेज सिर्फ़ बात कर सकती हैं। परिमाप 6000 वाली हज़ार भुजाओं की समबहुभुज आकृति 28,64,779.5509 वर्ग सेंटीमीटर ढकती है; उसी परिमाप के सच्चे वृत्त का क्षेत्रफल 28,64,788.9757 है, यानी 0.0003 प्रतिशत ज़्यादा। उसकी अंतःत्रिज्या 954.9265 उस वृत्त की त्रिज्या 954.9297 के सामने खड़ी है, और फ़र्क़ 0.0032 सेंटीमीटर का है। तो यहीं आकर बहुभुज व्यवहार की किसी भी दृष्टि से बहुभुज रह ही नहीं जाता — और इसीलिए पेज हज़ार से ज़्यादा भुजाएँ स्वीकार नहीं करता: इसके आगे भुजा की लंबाई आकृति के बारे में कुछ बताना बंद कर देती है और वह वृत्त बन जाती है, बस थोड़े अतिरिक्त क़दमों के साथ।

यह पेज सिर्फ़ समबहुभुज के लिए है: सब भुजाएँ बराबर और सब कोण बराबर। असमान भुजाओं या असमान कोणों वाली आकृति की कोई एक भुजा-लंबाई और कोई एक अंतःकोण नहीं होता, और इस पेज के कितने भी इनपुट उसका बयान नहीं कर सकते — भुजाओं की संख्या और भुजा डालिए और पेज चुपचाप उस नाप की समबहुभुज आकृति का जवाब दे देगा, यह बताए बिना कि आपके दिमाग़ में कोई और आकृति है। भुजाओं की संख्या पूरा अंक होनी चाहिए और कम से कम तीन; न हो तो पेज गोल करने के बजाय ग़लती बताता है, और हज़ार से ऊपर भी मना कर देता है, क्योंकि उसके आगे आकृति हर उस मक़सद के लिए वृत्त है जिसके लिए यहाँ के आँकड़े काम आ सकते। नतीजे सेंटीमीटर और वर्ग सेंटीमीटर में हैं, चाहे इकाई वाला ड्रॉपडाउन कुछ भी कह रहा हो, इसलिए इंच में डाली गई भुजा का जवाब सेंटीमीटर में लौटता है और बदलना आपको पड़ेगा। चार दशमलव लिखने की चौड़ाई है, परिशुद्धता का दावा नहीं, और नापी हुई भुजा के लिए यह उदार है; आख़िरी दो अंक तब तक मायने नहीं रखते जब तक इनपुट ठीक-ठीक न हो। अंतःकोण में दो दशमलव हैं और शून्य नहीं, जिसका मतलब है कि पूरे अंक के कोण यहाँ 120.00 छपते हैं और पंचभुज तथा अष्टभुज वाली पेजों पर 120 — एक ही संख्या दो चौड़ाइयों पर, पेजों का मतभेद नहीं। आख़िरी दो स्तंभ एक गिनती और एक कोण हैं और भुजा बदलने पर कोई नहीं हिलता, इसलिए जो पेज भुजा बदलने पर जवाब न देता लगे वह जमा नहीं है: पाँच में से तीन आँकड़े बदले हैं। यहाँ विकर्ण का एक ही आँकड़ा है और वह गिनती है, लंबाई नहीं — असली लंबाइयाँ तीन अकेली-आकृति पेजों पर हैं, और वजह यह है कि उनकी संख्या भुजाओं की संख्या पर निर्भर करती है, जिसे आउटपुट की तय सूची उठा ही नहीं सकती। यह पेज द्विविमीय है और इसमें सामग्री की मोटाई का कोई खाना नहीं, इसलिए यह किसी प्रिज़्म का आयतन या इनमें से किसी आकृति से कटी प्लेट का वज़न नहीं दे सकता, और विकर्ण वाली गिनती अलग-अलग लंबाइयों की गिनती है, विकर्णों की नहीं — सप्तभुज में चौदह विकर्ण होते हैं और यह पेज दो कहता है, और दोनों बातें दो अलग राशियों के बारे में सच हैं।

भुजा से समबहुभुज का क्षेत्रफल कैसे निकालें?

भुजा के वर्ग को भुजाओं की संख्या से गुणा कीजिए, और फिर चार गुणा π बटा भुजाओं की संख्या की स्पर्शज्या से भाग दीजिए। भुजा के वर्ग के आगे लगने वाला गुणक सिर्फ़ भुजाओं की संख्या पर निर्भर है — त्रिभुज पर 0.4330, वर्ग पर 1, पंचभुज पर 1.7205, षट्भुज पर 2.5981 — और भुजाओं की संख्या बढ़ने पर वह बिना रुके बढ़ता है: सात भुजाओं पर 3.6339, बीस पर 31.5688, हज़ार पर 79577.2097। वृत्त के क्षेत्रफल की तरफ़ यह गुणक नहीं बल्कि क्षेत्रफल ख़ुद बढ़ता है, और वह भी तभी जब परिमाप स्थिर रखा जाए; जो गुणक π यानी 3.1416 की तरफ़ चढ़ता है वह क्षेत्रफल बटा केंद्र-से-कोने की दूरी का वर्ग है। और चूँकि यह गुणक है, कोई जोड़ नहीं, इसलिए भुजा दुगुनी करने पर इस पेज की हर आकृति का क्षेत्रफल चार गुना हो जाता है।

भुजा की लंबाई बदलने पर अंतःकोण क्यों नहीं बदलता?

क्योंकि समबहुभुज का अंतःकोण सिर्फ़ भुजाओं की संख्या से तय होता है, और किसी और चीज़ से नहीं: वह भुजाओं की संख्या में से दो घटाकर 180 अंश से गुणा करके भुजाओं की संख्या से भाग देने पर आता है। उस व्यंजक में कोई भुजा-लंबाई है ही नहीं। त्रिभुज का कोण हमेशा 60 अंश, पंचभुज का 108, षट्भुज का 120, अष्टभुज का 135 — नाप कोई भी हो। इसीलिए संदर्भ तालिका का चौथा स्तंभ नापा हुआ नहीं बल्कि पहले से बता दिया जाने वाला है, और इसीलिए षट्भुजी फ़्रेम के लिए आप जो कटाव काटते हैं वह 30 अंश ही रहता है, चाहे फ़्रेम कोस्टर हो या मेज़।

बहुभुज में कितने विकर्ण होते हैं?

इस एक सवाल में दो अलग सवाल बैठे हैं, और यह पेज दूसरे का जवाब देता है। कुल विकर्णों की संख्या भुजाओं की संख्या गुणा भुजाओं की संख्या में से तीन घटाकर, भाग दो होती है: पंचभुज में 5, षट्भुज में 9, अष्टभुज में 20। और अलग-अलग लंबाई के विकर्णों की संख्या भुजाओं की संख्या का आधा, नीचे की तरफ़ पूरा करके, में से एक घटाकर होती है: पंचभुज में 1, षट्भुज में 2, अष्टभुज में 3, सप्तभुज में 2। यह पेज दूसरा वाला छापता है, क्योंकि वही वह आँकड़ा है जिसके इर्द-गिर्द बग़ल की अकेली-आकृति पेज बनी हैं, और क्योंकि लंबाइयों की गिनती ही ऐसा अकेला विकर्ण-आँकड़ा है जो हर भुजाओं-संख्या के लिए सच रहता है।

अंतःत्रिज्या क्या है और किस काम की है?

यह केंद्र से सीधे किसी भुजा के बीच तक की दूरी है, और यह उस सबसे बड़े वृत्त की त्रिज्या है जो आकृति के भीतर समाता है। आकृति को शीट पर बिछाने के लिए यही आँकड़ा है, क्योंकि अंतःत्रिज्या का दुगुना सपाट किनारों के आर-पार की चौड़ाई होती है और सपाट किनारे ही हैं जिन पर फ़ुटा रखा जा सकता है, कोने नहीं। अगर आप किसी चादर पर आकृति का निशान लगा रहे हों, तो केंद्र से अंतःत्रिज्या जितनी दूरी उतनी बार नापिए जितनी भुजाएँ हैं, और आपके पास हर भुजा का मध्य बिंदु आ जाएगा। तीन भुजाओं पर यह आकृति के मुक़ाबले छोटी होती है, और भुजाओं की संख्या बढ़ने पर यह परित्रिज्या के क़रीब पहुँचती जाती है।

इस पेज का इस्तेमाल कब करें, पंचभुज या अष्टभुज वाली पेज के बजाय?

जब भुजाओं की संख्या आप तय कर रहे हों, न कि पहले से जानते हों। अकेली-आकृति वाली पेजें एक संख्या माँगती हैं और विकर्णों की लंबाइयाँ भी दे देती हैं, क्योंकि उन्हें पता है कि उनका काम किस आकृति से है; यह पेज दो संख्याएँ माँगता है, और बदले में तीन से हज़ार तक किसी भी भुजाओं-संख्या को सँभाल लेता है और एक ही भुजा को उनमें से दस पर एक स्तंभ में पढ़ने देता है। अगर नापने के लिए कोई तय षट्भुज रखा है, तो षट्भुज वाली पेज के क़दम कम हैं। और अगर मेज़ की सतह के लिए षट्भुज और अष्टभुज के बीच चुन रहे हों, तो यह पेज वही तुलना है।

परिमाप का स्तंभ क्षेत्रफल के स्तंभ से ज़्यादा क्या बताता है?

यह बताता है कि आकृति बनाने में कितना लगेगा, जबकि क्षेत्रफल बताता है कि वह कितनी ज़मीन ढकेगी। परिमाप भुजा गुणा भुजाओं की संख्या है, इसलिए स्थिर भुजा पर वह सीधी रेखा में बढ़ता है जबकि क्षेत्रफल उसके साथ चढ़ता जाता है: छह सेंटीमीटर के किनारे पर त्रिभुज से वर्ग तक जाने में परिमाप में 6 जुड़ते हैं और क्षेत्रफल में 20.4, पर बीस से हज़ार भुजाओं तक जाने में परिमाप में 5880 जुड़ते हैं और क्षेत्रफल में 28,63,643, यानी ऐसी आकृति के लिए ढेर सारा अतिरिक्त किनारा जो आँख से पहले जैसी ही दिखती है। इसके उलट परिमाप स्थिर कीजिए तो सौदा उलटी तरफ़ चलता है: परिमाप 6000 पर पाँच से छह भुजाओं के क़दम पर एक अतिरिक्त भुजा 1,20,589 वर्ग सेंटीमीटर देती है, जबकि आख़िरी 980 भुजाएँ मिलकर 23,591। इसीलिए बोल्ट का सिर और फ़र्श की टाइल षट्भुज होते हैं, ज़्यादा भुजाओं वाली आकृतियाँ नहीं — छह के बाद अतिरिक्त किनारा उस अतिरिक्त क्षेत्रफल से महँगा पड़ता है।

• Regular polygon — the family this page covers end to end, with the area, the apothem, the interior angle and the diagonal structure all defined in terms of the side count — Wolfram MathWorld (United States)
• Apothem — the distance from the centre of a regular polygon to the midpoint of a side, which is the radius of the inscribed circle and, doubled, the width of the shape across its flats — Wolfram MathWorld (United States)
• Polygon — the general closed figure this page specialises to the regular case, including the distinction between the number of diagonals and the number of distinct diagonal lengths — Wolfram MathWorld (United States)