समांतर चतुर्भुज क्षेत्रफल कैलकुलेटर

क्षेत्रफल = b × h परिमाप = 2(b + a)

आधार

समांतर भुजाओं की उन दो जोड़ियों में से एक भुजा की लंबाई, सेंटीमीटर में, जिस पर समांतर चतुर्भुज खड़ा है। दोनों समांतर जोड़ियों में से किसी को भी आधार कहा जा सकता है; मायने यह रखता है कि ऊँचाई उसी के लंबवत नापी जाए

ऊँचाई

आधार से सामने की भुजा तक की लंबवत दूरी, सेंटीमीटर में — सीधे ऊपर की ओर नापी गई, तिरछी भुजा के साथ नहीं। क्षेत्रफल इसी पर टिका है, और यही वह संख्या है जिसे लोग तिरछी भुजा समझ बैठते हैं, जो हर उस समांतर चतुर्भुज में दूसरी लंबाई है जो आयत नहीं है

आसन्न भुजा

दो तिरछी भुजाओं में से एक की लंबाई, सेंटीमीटर में। क्षेत्रफल इसे पूरी तरह नज़रअंदाज़ कर देता है और परिमाप इसके बिना चल ही नहीं सकता: परिमाप आधार का दुगना जमा इसका दुगना है। यह ऊँचाई से कम नहीं हो सकती, क्योंकि ऊँचाई इसी को उस कोण के sine से गुणा करके मिलती है जो यह आधार के साथ बनाती है

क्षेत्रफल

अंदर की जगह, वर्ग सेंटीमीटर में: आधार गुणा ऊँचाई, वही सूत्र जो आयत इस्तेमाल करता है। यह उस त्रिभुज के क्षेत्रफल से ठीक दुगना है जिसका आधार और ऊँचाई इतने ही हों, और यही बात संदर्भ तालिका की दूसरी पंक्ति सामने लाती है

परिमाप

चारों ओर का कुल फ़ासला, सेंटीमीटर में: आधार का दुगना जमा आसन्न भुजा का दुगना, क्योंकि भुजाओं की दोनों जोड़ियाँ बराबर होती हैं। इसमें ऊँचाई का कोई हिस्सा नहीं है, और इसीलिए जो पेज सिर्फ़ आधार और ऊँचाई माँगता, वह यह संख्या दे ही नहीं सकता था

सेंटीमीटर और वर्ग सेंटीमीटर

दोनों नतीजों की इकाइयाँ, हमेशा, चाहे सूची में कोई भी इकाई चुनी हो। परिमाप एक लंबाई है और क्षेत्रफल एक लंबाई का वर्ग, इसलिए दोनों की तुलना नहीं हो सकती और एक को दुगना करने से दूसरा दुगना नहीं होता

चार दशमलव स्थान

दोनों नतीजे कितने चौड़े लिखे जाते हैं। दो के बजाय चार, क्योंकि पेज की संदर्भ तालिका पूरे अंकों पर चलती है पर पेज उन्हीं तक सीमित नहीं है, और सूची से मीटर में डाला गया आधार दशमलव में पहुँचता है

सूत्र में सबसे ज़्यादा मायने क्षेत्रफल वाला हिस्सा रखता है, और यह जानने लायक है कि यह वही आधार गुणा ऊँचाई का सूत्र है जो हर समांतर चतुर्भुज में चलता है, आयत समेत। यह सूत्र अपनी क़ीमत वहाँ वसूल करता है जहाँ यह दिखाना हो कि तिरछी आकृति एक ही आधार और ऊँचाई वाली सीधी आकृति से छोटी नहीं होती: टेढ़ी बाड़ से तिरछा हुए खेत का क्षेत्रफल ज़रा भर भी कम नहीं होता, और आँख यही नहीं बताती। लेकिन अगर आपको ऐसे भूखंड का क्षेत्रफल चाहिए जिसकी भुजाएँ आपने ज़मीन पर नापी हैं, तो सावधान रहिए — ऊँचाई लंबवत दूरी है, जो फ़ीते से नाप कर मिलने वाली संख्या शायद ही हो, और तिरछी भुजा उसकी जगह नहीं ले सकती। परिमाप के लिए उसी भूखंड की दोनों भुजाओं की लंबाई चाहिए, और यहीं यह पेज तीसरी संख्या माँगता है। इस इनकार से जान-बूझकर पाला पड़ना अच्छा है, इत्तफ़ाक़ से नहीं: ऊँचाई से छोटी आसन्न भुजा डालने पर दोनों संख्याएँ एक-दूसरे का खंडन करती हैं, और सबसे आम वजह यह है कि आधार तथा आसन्न भुजा तो नापी गई पर लंबवत ऊँचाई का अंदाज़ा लगाया गया या दूसरी भुजा को ही ऊँचाई मान लिया गया। इस पेज के बग़ल वाला त्रिभुज पेज वही आधार और ऊँचाई लेकर आधा क्षेत्रफल लौटाता है, और आयत वाला पेज वही क्षेत्रफल तब देता है जब आसन्न भुजा ऊँचाई के बराबर हो — ये दोनों सबसे तेज़ जाँच हैं कि यह पेज ठीक चल रहा है।

1. आधार 6, ऊँचाई 4 और तिरछी भुजा 5

   1. क्षेत्रफल: 6 × 4 = 24 वर्ग सेंटीमीटर
   2. परिमाप: 2 × (6 + 5) = 22 सेंटीमीटर
   3. ऊँचाई 4 परिमाप में नहीं आती, और तिरछी भुजा 5 क्षेत्रफल में नहीं आती

   यह वह इनपुट है जिसके साथ पेज खुलता है, और यही गणना-जोड़ी दिखाती है कि पेज को तीन संख्याएँ क्यों चाहिए: क्षेत्रफल आधार और ऊँचाई से बनता है और परिमाप आधार तथा आसन्न भुजा से, और किसी भी नतीजे में तीनों एक साथ इस्तेमाल नहीं होते। आकृति 3-4-5 अनुपात वाले आयत को धकेलकर बनी है, इसीलिए संख्याएँ इतनी सुथरी निकलती हैं।

2. आधार 3, ऊँचाई 4 और तिरछी भुजा 5

   1. क्षेत्रफल: 3 × 4 = 12 वर्ग सेंटीमीटर
   2. परिमाप: 2 × (3 + 5) = 16 सेंटीमीटर
   3. बारह उसी आधार और ऊँचाई वाले त्रिभुज के क्षेत्रफल से ठीक दुगना है, जो 3 × 4 ÷ 2 = 6 है

   वह पंक्ति जो दुगना होना आँखों के सामने लाती है। समांतर चतुर्भुज को किसी विकर्ण के साथ काटिए तो दो ऐसे त्रिभुज मिलते हैं जिनका आधार और ऊँचाई वही रहती है, इसलिए समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल त्रिभुज से ठीक दुगना है — 12 बनाम 6। त्रिभुज के सूत्र में जो आधा बैठा है, वह उल्टा पढ़ने पर यहीं से निकलता है।

3. आधार 12, ऊँचाई 5 और तिरछी भुजा 13

   1. क्षेत्रफल: 12 × 5 = 60 वर्ग सेंटीमीटर
   2. परिमाप: 2 × (12 + 13) = 50 सेंटीमीटर
   3. 5-12-13 का त्रिभुज दूसरा सबसे छोटा पूर्ण-संख्या समकोण त्रिभुज है, और इसीलिए यहाँ संख्याएँ गोल निकलती हैं

   लंबा और नीचा समांतर चतुर्भुज, और वह पंक्ति जहाँ दोनों नतीजे सबसे दूर चले जाते हैं: क्षेत्रफल 60 है जबकि परिमाप 50, जो याद दिलाता है कि दोनों अलग राशियाँ हैं, अलग इकाइयों में नापी जाती हैं, और ऐसा कोई नियम नहीं कि एक दूसरी से बड़ी ही हो। तीनों खानों में बैठे 5, 12 और 13 एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ हैं, और ऐसा समांतर चतुर्भुज बनाने का यह सबसे साफ़ तरीक़ा है जिसका झुकाव ठीक लंबवत हो।

4. आधार 1, ऊँचाई 1 और तिरछी भुजा 1

   1. क्षेत्रफल: 1 × 1 = 1 वर्ग सेंटीमीटर
   2. परिमाप: 2 × (1 + 1) = 4 सेंटीमीटर
   3. तिरछी भुजा ऊँचाई के बराबर है, इसलिए कोण 90 अंश का है और आकृति एक वर्ग है

   यह वह सीमा है जिसे पेज मना करने के बजाय चलने देता है। जब आसन्न भुजा ऊँचाई के बराबर होती है तो कोण का sine एक होता है, कोण समकोण होता है, और समांतर चतुर्भुज एक वर्ग बन जाता है — यानी परिवार का असली सदस्य, कोई बिगड़ी हुई आकृति नहीं। पेज का नियम यह है कि आसन्न भुजा ऊँचाई से कम न हो, उससे ज़्यादा होने की शर्त नहीं, और यही वह स्थिति है जो यह फ़र्क़ सामने लाती है।

5. आधार 5, ऊँचाई 0 और तिरछी भुजा 3

   1. क्षेत्रफल: 5 × 0 = 0 वर्ग सेंटीमीटर
   2. परिमाप: 2 × (5 + 3) = 16 सेंटीमीटर
   3. दोनों आँकड़े अपने-अपने सूत्र से निकलते हैं, और वे एक ही चपटी आकृति के बारे में दो अलग बातें बताते हैं

   यह वह स्थिति है जहाँ दोनों नतीजे एक-दूसरे से टकराते दिखते हैं, पर टकराते नहीं। शून्य ऊँचाई का मतलब है कि ऊपर की भुजा नीचे वाली पर आ गिरी और आकृति एक रेखाखंड में चपटी हो गई, इसलिए वह कोई क्षेत्र घेरती ही नहीं — शून्य ही सही जवाब है। परिमाप उसके उलट चारों भुजाओं की कुल लंबाई है, यानी वही जो सूत्र निकालता है और जिसका मतलब परिमाप होता ही है: आधार के साथ चलिए, आसन्न भुजा के साथ वापस आइए, फिर आधार के साथ चलिए, फिर आसन्न भुजा के साथ वापस आइए। यह चपटे हो चुके नतीजे की लंबाई नहीं है, जो 2 × 5 = 10 होती। पेज चार भुजाओं वाली आकृति के किनारों की लंबाई देता है, और यह जान लेना अच्छा है उससे पहले कि दोनों में से कोई आँकड़ा ग़लती लगने लगे।

ऊँचाई आधार और सामने की भुजा के बीच की लंबवत दूरी है, और पेज यह नहीं बता सकता कि आपने जो नापा वह असल में तिरछी भुजा थी। ऊँचाई की खान में तिरछी भुजा डालने पर क्षेत्रफल ज़रूरत से बड़ा आता है, और यही इस पेज पर सबसे आम ग़लती है, क्योंकि फ़ीता तिरछी भुजा तक ही पहुँचता है। परिमाप आधार और आसन्न भुजा इस्तेमाल करता है और ऊँचाई को गिनता ही नहीं, इसलिए अगर आप ऊँचाई दें और आसन्न भुजा न दें तो पेज चल ही नहीं सकता। ऊँचाई से छोटी आसन्न भुजा ठुकरा दी जाती है, क्योंकि वह किसी समांतर चतुर्भुज को नहीं बताती: ऊँचाई आसन्न भुजा को उस कोण के sine से गुणा करके मिलती है जो वह आधार के साथ बनाती है, और किसी कोण का sine एक से ऊपर नहीं होता। नतीजे सेंटीमीटर और वर्ग सेंटीमीटर में हैं, चाहे सूची में कोई भी इकाई चुनी हो। चार दशमलव स्थान एक लिखने की चौड़ाई है, परिशुद्धता का दावा नहीं। पेज एक सच्चा समांतर चतुर्भुज मानकर चलता है जिसकी दो जोड़ियाँ समांतर भुजाओं की हों, इसलिए ऐसे चतुर्भुज की जाँच नहीं करेगा जिसकी आमने-सामने की भुजाएँ बराबर न हों, और यह कोई कोण, कोई विकर्ण, और भुजाओं के बीच के कोण को सीधे डालने का कोई रास्ता नहीं देता। शून्य ऊँचाई चलती है और शून्य क्षेत्रफल के साथ ग़ैर-शून्य परिमाप लौटाती है, जो गणित की दृष्टि से सही है और असल में एक आकृति नहीं, एक रेखाखंड है — तब परिमाप चारों भुजाओं के रास्ते की लंबाई बताता है, चपटे नतीजे की लंबाई नहीं।

क्षेत्रफल के लिए दो संख्याएँ ही काफ़ी हैं, तो पेज तीन क्यों माँगता है?

क्योंकि परिमाप को वह संख्या चाहिए जो क्षेत्रफल को नहीं चाहिए। क्षेत्रफल आधार गुणा ऊँचाई है; परिमाप आधार का दुगना जमा आसन्न भुजा का दुगना है, और ऊँचाई तथा आसन्न भुजा हर उस समांतर चतुर्भुज में अलग-अलग लंबाइयाँ हैं जो आयत नहीं है। आधार और ऊँचाई क्षेत्रफल तय कर देते हैं पर आकृति को दबाए रखने के लिए छोड़ देते हैं, और दबाने से परिमाप बदलता है जबकि क्षेत्रफल वहीं रहता है।

क्या ऊँचाई और तिरछी भुजा एक ही चीज़ हैं?

नहीं, और यही वह ग़लती है जो इस पेज पर सबसे ज़्यादा दिखती है। ऊँचाई आधार से सीधे ऊपर सामने की भुजा तक की लंबवत दूरी है; तिरछी भुजा ख़ुद किनारे की लंबाई है। दोनों केवल आयत में बराबर होती हैं। 30 अंश पर झुके समांतर चतुर्भुज में तिरछी भुजा ऊँचाई से दुगनी होती है, इसलिए ऊँचाई की खान में तिरछी भुजा डालने से क्षेत्रफल दुगना हो जाता।

यह ऊँचाई से छोटी आसन्न भुजा क्यों नहीं लेता?

क्योंकि ऐसा कोई समांतर चतुर्भुज होता ही नहीं। ऊँचाई आसन्न भुजा को उस कोण के sine से गुणा करके मिलती है जो वह आधार के साथ बनाती है, और sine एक से ऊपर कभी नहीं जाता, इसलिए आसन्न भुजा हमेशा ऊँचाई से कम से कम इतनी ही लंबी होती है। आसन्न भुजा ऊँचाई के बराबर होने का मतलब है कि कोण 90 अंश का है और आकृति आयत है, इसीलिए पेज बराबरी को ठुकराने के बजाय चलने देता है।

क्षेत्रफल तो आयत जैसा ही क्यों आता है?

क्योंकि जिस समांतर चतुर्भुज और आयत का आधार और लंबवत ऊँचाई एक हो, वे बराबर क्षेत्रफल घेरते हैं, चाहे समांतर चतुर्भुज कितना भी झुका हो। समांतर चतुर्भुज के एक सिरे से त्रिभुज को खिसकाकर दूसरे सिरे पर रखिए, वह ठीक वहीं बैठ जाता है और आकृति उसी आधार और ऊँचाई का आयत बन जाती है। आयत को झुकाने से उसकी तिरछी भुजाएँ लंबी होती जाती हैं, पर वह जितनी जगह घेरता है वह नहीं बदलती।

क्षेत्रफल शून्य है पर परिमाप नहीं — इनमें ग़लत कौन है?

कोई नहीं। शून्य ऊँचाई का मतलब है कि ऊपर की भुजा नीचे वाली पर आ गिरी, इसलिए आकृति एक रेखाखंड है और कोई क्षेत्र नहीं घेरती; शून्य सही है। परिमाप चारों भुजाओं की कुल लंबाई है — आधार के साथ, आसन्न भुजा के साथ वापस, फिर आधार के साथ, फिर वापस — और आधार 5 तथा भुजा 3 पर वह रास्ता अब भी 16 सेंटीमीटर का है। यह चपटे हो चुके नतीजे की लंबाई नहीं है, जो 10 होती।

इसके बजाय त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे निकालें?

इस पेज के क्षेत्रफल को आधा कर दीजिए, बशर्ते त्रिभुज का आधार और लंबवत ऊँचाई वही हो। समांतर चतुर्भुज को विकर्ण के साथ काटने पर बराबर क्षेत्रफल के दो त्रिभुज मिलते हैं, और त्रिभुज के सूत्र में जो आधा है वह ठीक यहीं से आता है। अगर आपने त्रिभुज की भुजाएँ नापी हैं, आधार और ऊँचाई नहीं, तो इसी साइट के त्रिभुज वाले पेज तीनों भुजाएँ सीधे ले लेते हैं।

• Parallelogram — the quadrilateral with two pairs of parallel sides, with the base-times-height area formula and the note that a parallelogram and a rectangle on the same base and height have equal areas — Wolfram MathWorld (United States)
• Triangle — the figure a parallelogram splits into along a diagonal, which is why the triangle's area carries a half and the parallelogram's does not — Wolfram MathWorld (United States)
• Sine — the function that relates a parallelogram's sloping side, its height and the angle between them, and the reason a sloping side can never be shorter than the height — Wolfram MathWorld (United States)